线性规划与目标规划

5.1 规划论基础规划论是运筹学中应用最为广泛的一个分支，本小节重点介绍在军事通信网分析和规划中常用的两类模型——线性规划和目标规划。

5.1.1 线性规划1. 问题和模型线性规划问题主要有以下2种：一是如何有效利用现有的人力、物力完成更多的任务；二是在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力、物力去实现目标。

这些规划问题的数学模型都是由3个要素组成：一是变量，或称决策变量，是需要确定的未知量，用来表明规划中的用数量表示的方案；二是目标函数，它是决策变量的线性函数，按优化目标在该函数前加上max 或min ；三是约束条件，它是含决策变量的线性等式或不等式。

下面，以一个具体的例子来说明问题。

例5.1 某通信连计划用两种通信设备A 和B 进行通信联络，建网方式有甲、乙两种，有关数据见表5.1。

问：两种方式的组网数各为多少时，能在规定的条件下，使得提供的话路总数z 达到最大？解： 设12x x ，分别为甲、乙两种方式的组网数，则由已知条件，容易得到该问题的线性规划模型为：目标函数：12max 1815z x x =+约束条件：12121232422200x x x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，一般地，规定线性规划问题的标准形式如下：1max nj j j z c x ==∑..s t 1(1,2,,)0(1,2,,)nij j i j j a x b i m x j n ∙∙∙∙∙∙=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩∑ 其中，{}(1,2,,)j x j n ∙∙∙=是决策变量，1max nj jj z c x==∑为目标函数，1nij ji j a xb ==∑，1,2,,i m ∙∙∙=，0(1,2,,)j x j n ∙∙∙≥=为约束条件，..s t （subject to 的缩写）为约束于。

约束条件右端的常数项i b 全为非负。

对于非标准形式的线性规划问题可以通过引入松弛变量等转化为标准形式。

所谓松弛变量，是指在化为标准形式时，使约束不等式变为等式时所加入的变量。

对不符合标准形式（或称非标准形式）的线性规划问题，可分别通过下列方法化为标准形式。

（1）目标函数为求极小值，即为：因为求min z 等价于求max()z -，令z z '=-，即化为1max nj j j z c x ='=-∑(2) 约束条件的右端项0i b <时，只需将等式或不等式两端同乘－1，则等式右端项必大于零。

(3) 约束条件为不等式。

当约束条件为“≤”时，如12523x x +≤，可令312235x x x =--，得123523x x x ++=，显然30x ≥；当约束条件为“≥”时，如124325x x +≥，可令4124325x x x =+-，得1244325x x x +-=，显然40x ≥；式中的变量340x x ≥，，即为引入的松弛变量，引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。

(4) 取值无约束的变量。

如果变量x 代表某产品当年计划数之差，显然x 的取值可能是正也可能是负，这时可令x x x '''=-，其中0,0x x '''≥≥，将其代入线性规划模型即可。

(5) 对0x ≤的情况，令x x '=-，显然0x '≥。

满足约束条件的解12(,,,)n X x x x ∙∙∙=称为问题的可行解，可行解的全体称为可行域；使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。

可行域是一个凸多边形，最优解若存在一定在其某个顶点上取得。

所谓凸集C ，是指对任何12X X C ∈，，有1m i n nj jj z c x ==∑12(1)(01)X X C ααα+-∈<<。

顶点()X C ∈：不存在12X X C ∈，，使得12(1)(01)X X X C ααα=+-∈<<。

所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其它各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。

如图 5.1，多边形ABCDEF ，把线段AF 向两方无限延长，此多边形的其它各边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 均在此直线的同旁，所以多边形ABCDEF 是凸多边形。

图5.1凸多边形值得注意的是，在凸多边形的定义中，延长的这一边是凸多边形的任意一边。

图5.2中的多边形ABCDEF ，若分别把AB 、BC 、CD 、DE 各边延长为直线，这时均满足凸多边形的定义，但这时并不能说多边形是凸多边形。

因为，延长线段AF 为直线后，多边形其它各边并不在此直线的同旁。

同样，把线段FE 延长为直线后，又有类似的情况出现。

图5.2 凹多边形在二维情况下可用图解法或计算顶点的枚举法求解，但在决策变量较多时，图解法失效，枚举法计算量较大，通常用基于线性方程组变换的单纯形法进行求解。

2．图解法（又称几何法）图解法是对于只是两个决策变量的线性规划问题，在平面内建立直角坐标系，使每个决策变量的取值在一个数轴上表示出来，可行解就成为平面上的点，可行域就是平面上的一个共域，从而最优解必定是在这个平面区域内（包括边界上）的点。

根据目标函数在这个平面区域内的取值找出使目标函数取得最优值的点（即最优解）。

图解法便于我们理解和了解线性规划问题的一些概念、理论及解的一些特性，也为我们进一步学习单纯方法提供一个直观图形。

例5.2 求解线性问题 12min 75S x x =+A B CD EF 12750x x +=1275x x +=1275x x +121212228.442,0x x S t x x x x +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩图5.3线性规划图解法解：第一步，在平面直角坐标系12Ox x 上绘出约束条件图，如图5.3所示。

①画出这条直线12228x x +=，再定出12228x x +≤区域。

把（0，0）代入不等式得0＋2·0＜28，所以，原点所在半平面及直线本身就是12228x x +≤代表的区域。

②画出12442x x +=这条直线，定出12442x x +≤代表的区域，有（0，0）代入不等式得0·4＋0＜42所以，12442x x +≤代表的区域是包括原点的下半平面与直线本身。

③定出1200x x ≥≥，的区域，它就是第一象限。

从图5.3看出，满足全部约束条件的点所构成的区域（即可行域），就是凸多边形OABC 。

第二步，绘制目标函数图形。

对于目标函数1275S x x =+将S 看作参数，即得到一簇平行直线（图5.3中虚线所示），直线上每一点的目标函数值为S 。

由图可见，直线离原点越远，S 值越大，我们寻找的是在可行域内使S 值最大点。

可见，B 点即为可行域内使目标函数最大的点，即为最优解。

第三步，确定最优解。

B 点是直线12228x x +=与124x 42x ＋＝交点，所以解方程组121222842x x x x +=⎧⎨+=⎩4 得到12810x x ==，这就是最优解。

将其代入目标函数，得最优解78510=106maxS =⨯+⨯例中有可行解且有唯一最优解将目标函数改为122S x x =+或124S x x =+仍求其最大值，则BC 或AB 上每一点的坐标均为最优解，最优解有无穷多个，而它们对应的目标函数数值是28或42。

3. 单纯形法线性规划问题的标准形式用矩阵可表示为：（LP ） max ..0T n z c x s t Ax b x x R ⎧=⎪=⎨⎪≥∈⎩， 其中，c 为n 维列向量，A 为m n ⨯矩阵，b 为m 维列向量。

设m n <，矩阵A 的秩为m ，B 是矩阵A 中的一个m m ⨯阶的满秩子矩阵，则称B 是线性规划问题的一个基。

B 的每一个列向量（设为,1,2,,j P j m ∙∙∙=）称为基向量，与基向量j P 对应的变量j x 称为基变量，其它变量称为非基变量。

在约束方程组中，令非基变量为零而求得的解称为线性规划问题的基解，基解的总数不超过mn C 个。

满足变量非负约束条件的基解称为基可行解，对应于基可行解的基称为可行基。

可以证明：线性规划问题的基可行解对应于可行域的顶点，且线性规划问题如果存在最优解，则一定存在一个基可行解是最优解。

由此，可产生求解线性规划问题的单纯形迭代算法的思路为：先找出一个基可行解(0)X ，判断其是否是最优解，若是停止计算，否则改进(0)X 得新的基可行解(1)X ，重复这一过程，使目标函数值不断增大，直到找到最优解为止。

具体的单纯形法计算步骤为： 第1步 构造单纯形表对非标准形式的规划问题首先转化成标准形式，将目标函数改写成10nj j j c x z =-+=∑将它也看作是一个约束条件，这样连同对应于原来的m 个约束方程就得到了一个含1m +个方程的方程组。

第2步 选取初始基可行解（一般选取某个顶点）。

第3步 进行最优性检验。

检查最后一个方程（对应于目标函数），如果所有的系数非负，则停止运算，当前顶点是最优的；否则选择其中绝对值最大的负系数对应的变量，作为新的进入变量。

第4步 进行可行性检验。

用当前右端项的值，分别除以进入变量在每个等式中对应的系数，选择最小正比值对应的变量为退出变量。

第5步 旋转。

在不包含退出变量的方程中，消去进入变量。

然后，令新的独立变量集合中的变量（包括退出变量，以及原独立变量集合中除进入变量以外的变量）全部取值为零。

结果得到了新的顶点以及在该点的目标函数值。

第6步 重复步骤3～5，直到找到一个最优的顶点。

例5.3 用单纯法求解例5.1的线性规划问题。

解：问题的表格形式为：12112412324222018150x x y x x y x x z ++=++=--+=其中，12120x x y y z ≥，，，， 单纯形表0相关变量：12{}y y z ，，；独立变量：120x x ==；顶点：12(,)(0,0)x x =；目标函数值：0z =最优化检验进入变量是1x （对应于最后一行的系数） 可行性检验用右端项除以1x 所在列的系数，计算相应的比值，并确定正的最小比值。

1y 为退出变量。

旋转将退出变量所在的行(这里是第1行)除以该行中进入变量的系数（这里是1x 的系数），使得进入变量在本行中的系数变为1，用消元法消去其它行的进入变量1x ，这些行中不含有退出变量（对应的系数为0）。

结果表示见单纯形表1。

单纯形表1相关变量：12{}x y z ，，；独立变量：210x y ==；顶点：12(,)(8,0)x x =；目标函数退出变量值：144z =最优化检验进入变量是2x （对应于最后一行的系数-9） 可行性检验用右端项除以2x 所在列的系数，计算相应的比值，并确定正的最小比值。