线性规划与目标规划

5.1 规划论基础

规划论是运筹学中应用最为广泛的一个分支，本小节重点介绍在军事通信网分析和规划中常用的两类模型——线性规划和目标规划。

5.1.1 线性规划

1. 问题和模型

线性规划问题主要有以下2种：一是如何有效利用现有的人力、物力完成更多的任务；二是在预定的任务目标下，如何耗用最少的人力、物力去实现目标。这些规划问题的数学模型都是由3个要素组成：一是变量，或称决策变量，是需要确定的未知量，用来表明规划中的用数量表示的方案；二是目标函数，它是决策变量的线性函数，按优化目标在该函数前加上max 或min ；三是约束条件，它是含决策变量的线性等式或不等式。下面，以一个具体的例子来说明问题。

例5.1 某通信连计划用两种通信设备A 和B 进行通信联络，建网方式有甲、乙两种，有关数据见表5.1。问：两种方式的组网数各为多少时，能在规定的条件下，使得提供的话路总数z 达到最大？

解： 设12x x ，分别为甲、乙两种方式的组网数，则由已知条件，容易得到该问题的线性规划模型为：

目标函数：12max 1815z x x =+

约束条件：121212

32422200x x x x x x +≤⎧⎪

+≤⎨⎪≥⎩，

一般地，规定线性规划问题的标准形式如下：

1

max n

j j j z c x ==∑

..s t 1

(1,2,,)

0(1,2,,)n

ij j i j j a x b i m x j n ∙∙∙∙∙∙=⎧==⎪⎨⎪≥=⎩

∑ 其中，{}(1,2,,)j x j n ∙∙∙=是决策变量，1

max n

j j

j z c x

==

∑为目标函数，

1

n

ij j

i j a x

b ==∑，

1,2,,i m ∙∙∙=，0(1,2,,)j x j n ∙∙∙≥=为约束条件，..s t （subject to 的缩写）为约束于。 约束条件右端的常数项i b 全为非负。对于非标准形式的线性规划问题可以通过引入松弛变量等转化为标准形式。所谓松弛变量，是指在化为标准形式时，使约束不等式变为等式时

所加入的变量。对不符合标准形式（或称非标准形式）的线性规划问题，可分别通过下列方法化为标准形式。

（1）目标函数为求极小值，即为：

因为求min z 等价于求max()z -，令z z '=-，即化为

1

max n

j j j z c x ='=-∑

(2) 约束条件的右端项0i b <时，只需将等式或不等式两端同乘－1，则等式右端项必大于零。

(3) 约束条件为不等式。当约束条件为“≤”时，如12523x x +≤，可令

312235x x x =--，得123523x x x ++=，显然30x ≥；当约束条件为“≥”时，如124325x x +≥，可令4124325x x x =+-，得1244325x x x +-=，显然40x ≥；式中的变

量340x x ≥，，即为引入的松弛变量，引进模型后它们在目标函数中的系数均为零。

(4) 取值无约束的变量。如果变量x 代表某产品当年计划数之差，显然x 的取值可能是正也可能是负，这时可令x x x '''=-，其中0,0x x '''≥≥，将其代入线性规划模型即可。

(5) 对0x ≤的情况，令x x '=-，显然0x '≥。

满足约束条件的解12(,,,)n X x x x ∙∙∙=称为问题的可行解，可行解的全体称为可行域；使目标函数达到最大值的可行解称为最优解。可行域是一个凸多边形，最优解若存在一定在其某个顶点上取得。所谓凸集C ，是指对任何12X X C ∈，，有

1

m i n n

j j

j z c x ==∑

12(1)(01)X X C ααα+-∈<<。顶点()X C ∈：不存在12X X C ∈，，使得

12(1)(01)X X X C ααα=+-∈<<。

所谓凸多边形，就是把一个多边形任意一边向两方无限延长成为一条直线，如果多边形的其它各边均在此直线的同旁，那么这个多边形就叫做凸多边形。如图 5.1，多边形ABCDEF ，把线段AF 向两方无限延长，此多边形的其它各边AB 、BC 、CD 、DE 、EF 均在此直线的同旁，所以多边形ABCDEF 是凸多边形。

图5.1凸多边形

值得注意的是，在凸多边形的定义中，延长的这一边是凸多边形的任意一边。图5.2中的多边形ABCDEF ，若分别把AB 、BC 、CD 、DE 各边延长为直线，这时均满足凸多边形的定义，但这时并不能说多边形是凸多边形。因为，延长线段AF 为直线后，多边形其它各边并不在此直线的同旁。同样，把线段FE 延长为直线后，又有类似的情况出现。

图5.2 凹多边形

在二维情况下可用图解法或计算顶点的枚举法求解，但在决策变量较多时，图解法失效，枚举法计算量较大，通常用基于线性方程组变换的单纯形法进行求解。

2．图解法（又称几何法）

图解法是对于只是两个决策变量的线性规划问题，在平面内建立直角坐标系，使每个决策变量的取值在一个数轴上表示出来，可行解就成为平面上的点，可行域就是平面上的一个共域，从而最优解必定是在这个平面区域内（包括边界上）的点。根据目标函数在这个平面区域内的取值找出使目标函数取得最优值的点（即最优解）。

图解法便于我们理解和了解线性规划问题的一些概念、理论及解的一些特性，也为我们进一步学习单纯方法提供一个直观图形。

例5.2 求解线性问题 12min 75S x x =+

A B C

D E

F 12750x x +

=

1275x x +=1275x x +