硕士生《数理统计》例题
研究生数理统计第三章习题答案
习 题 三1.正常情况下，某炼铁炉的铁水含碳量()24.55,0.108XN .现在测试了5炉铁水，其含碳量分别为4.28,4.40,4.42,4.35,4.37.如果方差没有改变，问总体的均值有无显著变化？如果均值没有改变，问总体方差是否有显著变化()0.05α=？ 解 由题意知，()24.55,0.108XN ，5n =，511 4.3645i i x x ===∑，0.05α=，()5220110.095265i i s x μ==-=∑.1)当00.108σ=时，①设统计假设0010: 4.55,: 4.55H H μμμμ==≠=. ②当0.05α=时，0.975121.96uu α-==，临界值121.960.0947c α-===， 拒绝域为000{}{0.0947}K x c x μμ=->=->.③004.364 4.550.186x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为当方差没有改变时，总体的均值有显著变化.2)当0 4.55μ=时，①设统计假设2222220010:0.108,:0.108H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111150.1662,5 2.566655c n c n n n ααχχχχ-======， 拒绝域为222202122220000{}{2.56660.1662}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③202200.095268.16700.108sK σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即均值没有改变时，总体方差有显著变化.2.一种电子元件，要求其寿命不得低于1000h .现抽取25件，得其均值950x h =.该种元件寿命()2,100XN μ，问这批元件是否合格()0.05α=？解 由题意知，()2,100XN μ，25n =，950x =，0.05α=，0100σ=.①设统计假设0010:1000,:1000H H μμμμ≥=<=. ②当0.05α=时，0.05 1.65u u α==-，临界值()1.6533c α==-=-， 拒绝域为000{}{33}K x c x μμ=-<=-<-.③00950100050x K μ-=-=-∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为这批元件不合格. 3.某食品厂用自动装罐机装罐头食品，每罐标准质量为500g ，现从某天生产的罐头中随机抽测9罐，其质量分别为510,505,498,503,492,502,497,506,495〔单位：g1)机器工作是否正常()0.05α=？2)能否认为这批罐头质量的方差为25.5()0.05α=？解 设X 表示用自动装罐机装罐头食品每罐的质量〔单位：g 〕.由题意知()2500,XN σ，方差2σ未知. 9n =，911500.88899i i x x ===∑，0.05α=，()()222111133.6111118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑，()52201130.66679i i s x μ==-=∑1)①设统计假设0010:500,:500H H μμμμ==≠=.②()()0.9751218 2.306tn t α--==，临界值()121 2.306 4.4564c n α-=-==，拒绝域为000{}{ 4.4564}K x c x μμ=->=->.③00500.88895000.8889x K μ-=-=∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即认为机器工作正常.2)当0500μ=时，①设统计假设2222220010: 5.5,: 5.5H H σσσσ==≠=. ②当0.05α=时，临界值()()()()222210.02520.975122111190.3,9 2.113399c n c n n n ααχχχχ-======，拒绝域为222202122220000{}{2.11330.3}ssssK c c σσσσ=><=><或或.③2022030.66671.013785.5sK σ==∉，所以接受0H ，拒绝1H ，即为这批罐头质量的方差为25.5.4.某部门对当前市场的鸡蛋价格情况进行调查，抽查某市20个集市上鸡蛋的平均售价为()3.399元/500克，标准差为()0.269元/500克.往年的平均售价一直稳定 ()3.25元/500克左右，问该市场当前的鸡蛋售价是否明显高于往年()0.05α=？解 由题意知，()23.25,XN σ，20n =， 3.399x =，0.05α=，0.269s =.①设统计假设0010: 3.25,: 3.25H H μμμμ≤=>=. ②当0.05α=时，()()10.95119 1.729t n t α--==，临界值()11 1.7290.1067c n α-=-==， 拒绝域为000{}{0.1067}K x c x μμ=->=->③003.399 3.250.149x K μ-=-=∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即认为市场当前的鸡蛋售价是明显高于往年. 5.某厂生产的维尼纶纤度()2,0.048XN μ，某日抽测8根纤维，其纤度分别为1.32,1.41,1.55,1.36,1.40,,1.50,1.44,1.39，问这天生产的维尼纶纤度的方差2σ是否明显变大了()0.05α=？ 解 由题意知()2,0.048XN μ，8n =，811 1.421258i i x x ===∑，0.05α=，()()22211110.0122118nni i i i s x x x x n ===-=-=-∑∑.①设统计假设2222220010:0.048,:0.048H H σσσσ==>=. ②当0.05α=时，临界值()()2210.951117 2.0117c n n αχχ-=-==-，拒绝域为2202200{}{ 2.01}s s K c σσ=>=>.③202200.012215.29950.048s K σ==∈，所以拒绝0H ，接受1H ，即这天生产的维尼纶纤度的方差2σ明显变大了.6.某种电子元件，要求平均寿命不得低于2000h ，标准差不得超过130h .现从一批该种元件中抽取25个，测得寿命均值为1950h ，标准差148s h =.设元件寿命服从正态分布。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、选择题1. 在一次试验中，事件A和事件B是互斥事件，概率分别为0.4和0.3。
则事件“A或B”发生的概率是多少？A. 0.1B. 0.2C. 0.3D. 0.7答案：D. 0.72. 一批产品的重量服从正态分布，均值为100g，标准差为5g。
若随机抽取一件产品，其重量大于105g的概率是多少？A. 0.6827B. 0.1587C. 0.3413D. 0.0228答案：B. 0.15873. 一家量化投资公司共有1000名员工，调查结果显示，有700人拥有股票，400人拥有债券，300人既拥有股票又拥有债券。
随机选择一名员工，问其既拥有股票又拥有债券的概率是多少？A. 0.3B. 0.4C. 0.2D. 0.15答案：A. 0.34. 设X和Y为两个随机变量，已知X的期望为2，方差为4；Y的期望为5，方差为9，且X与Y的协方差为6。
则X + Y的期望为多少？A. 5B. 7C. 6D. 9答案：B. 7二、计算题1. 一箱产品中有10个次品，从中随机抽取3个，求抽到1个次品的概率。
解答：总共的可能抽取组合数为C(10,3) = 120。
抽取到1个次品的组合数为C(10,1) * C(90,2) = 4005。
所以，抽到1个次品的概率为4005/120 = 33.375%。
2. 已知某城市的男性身高服从正态分布，均值为172cm，标准差为5cm；女性身高也服从正态分布，均值为160cm，标准差为4cm。
问男性身高高于女性身高的概率是多少？解答：需要计算男性身高大于女性身高的概率，可以转化为计算两个正态分布随机变量之差的概率。
设随机变量X表示男性身高，Y表示女性身高，则X - Y服从正态分布，其均值为172cm - 160cm = 12cm，方差为5cm^2 + 4cm^2 =41cm^2。
要计算男性身高高于女性身高的概率，即计算P(X - Y > 0)。
首先，标准化X - Y，得到标准正态分布的随机变量Z：Z = (X - Y - 12) / sqrt(41)所以，P(X - Y > 0) = P(Z > (0 - 12) / sqrt(41)) = P(Z > -2.464)查标准正态分布表可知，P(Z > -2.464) ≈ 0.9937所以，男性身高高于女性身高的概率约为99.37%。
考研数学三(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)
考研数学三（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编5(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(03年)将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则事件【】A．A1，A2，A3相互独立．B．A2，A3，A4相互独立．C．A1，A2，A3两两独立．D．A2，A3，A4两两独立．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计2．(07年)某人向同一目标独立重复射击，每次射击命中目标的概率为p(0＜P＜1)，则此人第4次射击恰好第2次命中目标的概率为【】A．3p(1－p)2．B．6p(1－p)2．C．3p2(1－p)2．D．6p2(1－p)2．正确答案：C解析：P{第4次射击恰好第2次命中目标}＝P{前3次射击恰中1枪，第4次射击命中目标} ＝P{前3次射击恰中1枪}.P{第4次射击命中目标}＝C31p(1－p)2.P＝3p2(1－p)2 知识模块：概率论与数理统计3．(09年)设事件A与事件B互不相容，则【】A．P()＝0．B．P(AB)＝P(A)P(B)．C．P(A)＝1－P(B)．D．P()－1．正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计4．(14年)设随机事件A与B相互独立，且P(B)＝0．5，P(A－B)＝0．3，则P(B－A)＝【】A．0．1B．0．2C．0．3D．0．4正确答案：B解析：∵A与B独立，∴P(AB)＝P(A)P(B)．故0．3＝P(A－B)＝P(A)－P(AB)＝P(A)－P(A)P(B) ＝P(A)[1－P(B)]＝P(A)(1－0．5)＝0．5(P(A) 得P(A)＝＝06，P(B－A)＝P(B)－P(AB)＝P(B)－P(A)P(B)＝0．5－0．6×0．5＝0．2．知识模块：概率论与数理统计5．(15年)若A，B为任意两个随机事件，则【】A．P(AB)≤P(A)P(B)．B．P(AB)≥P(A)P(B)．C．P(AB)≤．D．P(AB)≥．正确答案：C解析：由ABA，ABB得P(AB)≤P(A)，P(AB)≤P(B)，两式相加即得：P(AB)≤．知识模块：概率论与数理统计6．(16年)设A，B为两个随机事件，且0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，如果P(A｜B)＝1，则【】A．P()＝1．B．P(A｜)＝0．C．P(A∪B)＝1．D．P(B｜A)＝1．正确答案：A解析：由1＝P(A｜B)＝，有P(B)＝P(AB) 于是知识模块：概率论与数理统计7．(90年)设随机变量X和Y相互独立，其概率分布为则下列式子正确的是：【】A．X－YB．P{X－Y}＝0C．P{X－Y}＝D．P{X＝Y}＝1正确答案：C解析：P(X＝Y)＝P(X＝－1，Y＝－1)＋P(X＝1，Y＝1) ＝P(X＝－1)P(Y ＝－1)＋P(X＝1)P(Y＝1) ＝知识模块：概率论与数理统计8．(93年)设随机变量X的密度函数为φ(χ)，且φ(－χ)－φ(χ)，F(χ)为X的分布函数，则对任意实数a，有【】A．F(－a)＝1－∫0aφ(χ)dχB．F(－a)＝－∫0aφ(χ)dχC．F(－a)＝F(a)D．F(－a)＝2F(a)－1正确答案：B解析：由概率密度的性质和已知，可得故选B．知识模块：概率论与数理统计9．(95年)设随机变量X～N(μ，σ2)，则随着σ的增大，概率P(｜X－μ｜＜σ) 【】A．单调增大．B．单调减小．C．保持不变．D．增减不定．正确答案：C解析：由已知X～N(μ，σ)，得～N(0，1) 故P{｜X－μ｜＜σ}＝＝(1)Ф－Ф(－1) 故选C．知识模块：概率论与数理统计填空题10．(89年)设随机变量X的分布函数为则A＝_______，P{｜X｜＜}＝_______．正确答案：1；解析：∵分布函数是右连续的，故得1＝Asin ∴A＝1 这时，F(χ)在(－∞，＋∞)上都连续，于是知识模块：概率论与数理统计11．(91年)设随机变最X的分布函数为则X的概率分布为_______．正确答案：解析：F(χ)为一阶梯状函数，则X可能取的值为F(χ)的跳跃点：－1，1，3．P(X＝－1)＝F(－1)－F(－1－0)＝0．4 P(X＝1)＝F(1)－F(1－0)＝0．8－0．4＝0．4 P(X＝3)＝F(3)－F(3－0)＝1－0．8＝0．2 知识模块：概率论与数理统计12．(94年)设随机变量X的概率密度为以Y表示对X的三次独立重复观察中事件{X≤}出现的次数P{Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，Y～B(3，p)．其中p＝故知识模块：概率论与数理统计13．(00年)设随机变量X的概率密度为若k使得P{X≥k}＝，则k的取值范围是_______．正确答案：[1，3]解析：∵P(X≥k)＝∫k＋∞f(χ)dχ．可见：若k≤0，则P(X≥k)＝1 若0＜k＜1，则P(X≥k)＝若k＞6，则P(X≥k)＝0 若3＜k≤6，则P(X ≥k)＝若1≤k≤3，则P(X≥k)＝综上，可知K∈[1，3]．知识模块：概率论与数理统计14．(05年)从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P(Y＝2}＝_______．正确答案：解析：由题意，X的概率分布为而P(Y＝2｜X＝1)＝0，P(Y＝2｜X＝2)＝，P(Y＝2｜X＝3)＝，P(Y＝2｜X＝4)＝，故由全概率公式得知识模块：概率论与数理统计15．(05年)设二维随机变量(X，Y)的概率分布为若随机事件{X＝0}与{X＋Y＝1}相互独立，则a＝_______，b＝_______．正确答案：0．4；0．1．解析：由题意知0．4＋a＋b＋0．1＝1，∴a＋b＝0．5 而P{X＝0}＝0．4＋a，P{X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝1，Y＝0}＝a＋b＝0．5，P{X ＝0，X＋Y＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＝a 由P{X＝0，X＋Y＝1)＝P{X＝0)P{X ＋Y＝1} ∴a＝(0．4＋a)0．5，得a＝0．4，从而b＝0．1．知识模块：概率论与数理统计16．(06年)设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间[0，3]上的均匀分布，则P{max(X，Y)≤1}＝_______．正确答案：解析：由题意知X与Y的概率密度均为：则P(X≤1}＝P{Y≤1}＝∫－∞1f(χ)dχ＝故P{max(X，Y)≤1}＝P{X≤1，y≤1}＝P{X≤1}P{y≤1}＝知识模块：概率论与数理统计17．(99年)设随机变量Xij(i＝1，2，…，n；n≥2)独立同分布，Eij＝2，则行列式Y＝的数学期望EY＝_______．正确答案：0解析：由n阶行列式的定义知Y＝，P1，…，Pn为(1，…，n)的排列，τ(p1p2…pn)为排列p1p2…pn的逆序数．而Xij(i，j＝1，2，…，n)独立同分布且EXij＝2，故知识模块：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
数理统计考研复试题库及答案
数理统计考研复试题库及答案一、选择题1、设随机变量 X 的概率密度为 f(x) ＝ 2x, 0 ＜ x ＜ 1，则 P{02 ＜X ＜ 08} ＝（）A 06B 04C 032D 016答案：C解析：P{02 ＜ X ＜ 08} ＝∫02,08 2x dx ＝ x^2|02,08 ＝ 064 004 ＝062、设 X₁, X₂,， Xₙ 是来自正态总体 N(μ, σ²) 的样本，样本均值为X，样本方差为 S²，则（）A Xμ ～ N(0, 1)B n(Xμ) ／σ ～ N(0, 1)C （Xμ) ／（S ／√n) ～ t(n 1)D （n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)答案：D解析：根据抽样分布的性质，（n 1)S²／σ² ～χ²(n 1)3、设总体 X 服从参数为λ 的泊松分布，X₁, X₂,， Xₙ 是来自总体 X 的样本，则λ 的矩估计量为（）A XB S²C 2XD 1 ／X答案：A解析：由 E(X) ＝λ ，且样本矩等于总体矩，可得λ 的矩估计量为X。
4、对于假设检验问题 H₀: μ ＝μ₀，H₁: μ ≠ μ₀，给定显著水平α ，若检验拒绝域为｜Z| ＞zα/2 ，其中 Z 为检验统计量，当 H₀成立时，犯第一类错误的概率为（）A αB 1 αC α/2D 1 α/2答案：A解析：第一类错误是指 H₀为真时拒绝 H₀，犯第一类错误的概率即为显著水平α 。
5、设随机变量 X 和 Y 相互独立，且都服从标准正态分布 N(0, 1) ，则 Z ＝ X²＋ Y²服从（）A 正态分布B 自由度为 2 的χ² 分布C 自由度为 1 的χ² 分布D 均匀分布答案：B解析：因为 X 和 Y 相互独立且都服从标准正态分布，所以 Z ＝ X²＋ Y²服从自由度为 2 的χ² 分布。
考研数学一(概率论与数理统计)历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)
考研数学一（概率论与数理统计）历年真题试卷汇编2(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．(16年)设随机变量X～N(μ，σ2)(σ＞0)，记p=P{X≤μ+σ2}，则A．p随着μ的增加而增加．B．p随着σ的增加而增加．C．p随着μ的增加而减少．D．p随着σ的增加而减少．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计2．(97年)设两个相互独立的随机变量X和Y的方差分别为4和2，则随机变量3X一2Y的方差是A．8B．16C．28D．44正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计3．(00年)设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，则随机变量ξ=X+Y 与η=X—Y不相关的充分必要条件为A．E(X)=E(Y)B．E(X2)一[E(X)]2=E(Y2)一[E(Y)]2C．E(X2)=E(Y2)D．E(X2)+[E(X)]2=E(Y2)+[E(Y)]2正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计4．(01年)将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A．一1B．0C．D．1正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计5．(04年)设随机变量X1，X2，…，Xn(n＞1)独立同分布，且其方差σ2＞0，令Y=，则A．B．C．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计6．(07年)设随机变N(X，Y)服从二维正态分布，且X与Y不相关，fX(x)，fY(y)分别表示X,Y的概率密度，则在Y=y的条件下，X的条件概率密度fX Y(x|y)为A．fX(x)．B．fY(y)．C．fX(x)fY(y)．D．正确答案：A 涉及知识点：概率论与数理统计7．(08年)设随机变量X～N(0，1)，Y～N(1，4)，且相关系数ρXY=1，则A．P{Y=一2X—1}=1B．P{Y=2X一1}=1C．P{Y=一2X+1}=1D．P{Y=2X+1}=1正确答案：D 涉及知识点：概率论与数理统计8．(09年)设随机变量X的分布函数为F(x)=0．3φ(x)+其中φ(x)为标准正态分布的分布函数，则EX=A．0．B．0．3．C．0．7．D．1．正确答案：C 涉及知识点：概率论与数理统计9．(11年)设随机变量X与Y相互独立，且EX与EY存在，记U=max{X，Y)，V=min{X，Y)，则E(UV)=A．EU.EV．B．EX.EY．C．EU.EY．D．EX.EV．正确答案：B 涉及知识点：概率论与数理统计填空题10．(87年)已知连续型随机变量X的概率密度为则EX=______，DX=________．正确答案：1；涉及知识点：概率论与数理统计11．(90年)已知随机变量X服从参数为2的泊松分布，且随机变量Z=3X 一2，则EZ=______．正确答案：4．涉及知识点：概率论与数理统计12．(91年)设随机变量X服从均值为2、方差为σ2的正态分布，且P{2＜X＜4}=0．3，则P{X＜0}=_______．正确答案：0．2．涉及知识点：概率论与数理统计13．(92年)设随机变量X服从参数为1的指数分布，则E(X+e-2X)=__________．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计14．(95年)设X表示10次独立重复射击命中目标的次数，每次射中目标的概率为0．4，则E(X2)=_______正确答案：18．4．涉及知识点：概率论与数理统计15．(96年)设ξ和η是两个相互独立且均服从正态分布N(0，)的随机变量，则E(|ξ-η|)=________正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计16．(04年)设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则=_______．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计17．(08年)设随机变量服从参数为1的泊松分布，则P{X=EX2}=_____．正确答案：涉及知识点：概率论与数理统计18．(10年)设随机变量X的概率分布为P{X=k}=k=0，1，2，…，则EX2=_________．正确答案：2 涉及知识点：概率论与数理统计19．(11年)设二维随机变量(X，Y)服从正态分布N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则E(XY2)=______．正确答案：μ3+μσ2．涉及知识点：概率论与数理统计解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
河南理工大学硕士研究生数理统计复习题
H 0 : 5, H1 : 5 ，（1）在显著性水平 0.05 下求拒绝域；（2）若 =6，求上述检验所犯
的第二类错误的概率 。
解：(1)
拒绝域为 z
x 5 4/ 4
5.0, 2.0, 4.0, 5.0, 5.0, 3.0 ,3.0
在 0.05 检验两块林地胸径的方差是否相等？胸径的均值是否相等？
解：（1）检验
H0
: 12
2 2
，
H1
: 12
2 2
n1
10
， n2
8 ， s12
3.544
， s22
1.357
，
s12 s22
3.544 2.612 1.357
2分
i 1
八、（10 分）设有甲、乙两块 10 年生人工马尾松林，用重复抽样方式分别独立地从两块林
地中抽出若干林木，测得胸径数据如下: （假定胸径服从正态分布） F0.025(9, 7) 4.82 , F0.975(9, 7) 0.23, t0.05(16) 2.12 。甲∶4.5, 8.0, 5.0, 2.0, 3.5, 5.5, 5.0, 7.5, 5.5, 7.5；乙∶3.0,
x 5 2
z0.025 1.96 ;
（2）由(1)解得接受域为（1.08，8.92），当 =6 时，接受 H0 的概率为
P{1.08 X 8.92} 8.92 6 1.08 6 0.921。 2 2
5．设
X1，X2，…，Xn
来自密度为
p(x; , )
1
x
e
,x
硕士生《数理统计》例题
《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法 由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;(其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22SXββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ； （2）用极大似然法估计其未知参数θ。
研究生数理统计复习题
λ e − λ x , x > 0, f ( x) = 0 , x ≤ 0. 于是样本 ( X 1 , X 2 ,L , X n ) 的密度为
f ( x1 , x2 ,K , xn ) = ∏ λe − λ xi
i =1 n
− λ ∑ xi n = λ e i=1 , xi > 0 0 , 其它.
2 DX i2 = EX i4 − ( EX i2 )2 = α 4 − α 2 ，由独立同分布下的中心极限定理（列维一林德贝格定
理） ，当 n 充分大时
1 n 2 1 n 2 X − nα 2 n ∑ X i − α 2 ∑ ∑ X i − α2 n i =1 n i =1 i =1 = = 2 α 4 − α 22 n α 4 − α 22 n (α 4 − α 2 )/n
Σ
以组距 4 为底，以 ni / 4n 为高作矩形即得 X 的直方图
ϕ n ( x)
0
14.5
22.5
30.5
38.5
46.5
5．某射手独立重复地进行 20 次打靶试验，击中靶子的环数如下： 环数 频数 10 2 9 3 8 0 7 9 6 4 5 0 4 2
用 X 表示此射手对靶射击一次所命中的环数，求 X 的经验分布函数，并画出其图像。 解 设 X 的经验分布函数为 Fn ( x) 则
2
X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ，求常数 a, b ，使得 X ~ χ 2 (2) .
X1 − 2 X 2 1 ~ N (0,1), ( X1 − 2 X 2 )2 ~ χ 2 (1), 20 2 5 3X 3 − 4 X 4 1 3X3 − 4 X4 ~ N(0,102 ), ~ N(0,1), (3X3 − 4 X 4 )2 ~ χ 2 (1), 10 100 1 1 所以当 a = , b= 时 20 100 X = a ( X 1 − 2 X 2 ) 2 + b(3 X 3 − 4 X 4 ) 2 ~ χ 2 (2)
考研数学一(数理统计的基本概念)模拟试卷1(题后含答案及解析)
考研数学一（数理统计的基本概念）模拟试卷1(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。
1．设随机变量X服从F(3，4)分布，对给定的α(0＜α＜1)，数Fα(3，4)满足P{X＞Fα(3，4)}=α，若P{X≤x}=1一α，则x=A．B．C．Fα(4，3)．D．F1－α(4，3)．正确答案：A解析：因X～F(3，4)，故～F(4，3)．又1一α=P{X≤x}=P{X＜x}=P所以．因此选(A)．知识模块：数理统计的基本概念2．设X1，X2，X3，X4是来自正态总体N(0，22)的简单随机样本，记Y=a(X1一2X2)2+b(3X3—4X4)2，其中a，b为常数．已知Y～χ2(n)，则A．n必为2．B．n必为4．C．n为1或2．D．n为2或4．正确答案：C解析：依题意Xi～N(0，22)且相互独立，所以X1一2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，故～N(0，1)且它们相互独立．由χ2分布的典型模式及性质知(1)当a=时，Y～χ2(2)；(2)当a=，b=0，或a=0，b=时，Y～χ2(1)．由上可知，n=1或2，即应选(C)．知识模块：数理统计的基本概念3．设X1，X2，…，Xn是来自标准正态总体的简单随机样本，和S2为样本均值和样本方差，则A．服从标准正态分布．B．服从自由度为n一1的χ2分布．C．服从标准正态分布．D．(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布．正确答案：D解析：显然，(n一1)S2服从自由度为n一1的χ2分布，故应选(D)．其余选项不成立是明显的：对于服从标准正态分布的总体，～N(0，n)，由于X1，X2，…，Xn相互独立并且都服从标准正态分布，可见服从自由度为n的χ2分布．知识模块：数理统计的基本概念4．设随机变量X服从n个自由度的t分布，定义tα满足P{X≤tα}=1一α(0＜α＜1)．若已知P{｜X｜＞x}=b(b＞0)，则x等于A．t1－b．B．．C．tb．D．．正确答案：D解析：根据t分布的对称性及b＞0，可知x＞0．从而P{X≤x}=1一P{X＞x}=1一P{｜X｜＞x}=1一根据题设定义P{X≤tα}=1一α，可知x=．应选(D)．知识模块：数理统计的基本概念5．设X1，X2，…，Xn是取自正态总体N(0，σ2)的简单随机样本，与S2分别是样本均值与样本方差．则A．～χ2(1)．B．～χ2(n一1)．C．～t(n一1)．D．～F(n一1，1)．正确答案：D解析：根据正态总体抽样分布公式知应选(D)．知识模块：数理统计的基本概念6．假设两个正态分布总体X～N(μ1，1)，Y～N(μ2，1)，X1，X2，…，Xm与Y1，Y2，…，Yn分别是取自总体X和Y的相互独立的简单随机样本．分别是其样本均值，分别是其样本方差，则A．一(μ1一μ2)～N(0，1)．B．～χ2(m+n一2)．C．～F(m一1，n一1)．D．～t(m+n－2)．正确答案：C解析：因相互独立，所以应选(C)．知识模块：数理统计的基本概念填空题7．设总体X～E(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的联合概率密度f(x1，x2，…，xn)=_________．正确答案：解析：总体X的概率密度f(x)=由于X1，X2，…，Xn相互独立，且与总体X服从同一指数分布，因此f(x1，x2，…，xn)= 知识模块：数理统计的基本概念8．设总体X～P(λ)，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的样本均值的概率分布为___________．正确答案：解析：由泊松分布的可加性可知，当X1，X2独立时，X1+X2～P(2λ)，继而有X1，X2，…，Xn独立同为P(λ)分布时，～P(nλ)．于是，对任意n＞2，n的概率分布为知识模块：数理统计的基本概念9．已知χ2～χ2(n)，则E(χ2)=__________．正确答案：n解析：由χ2分布的典型模式χ2=，而Xi～N(0，1)，且Xi相互独立，由于E()=D(Xi)+[E(Xi)]2=1+0=1，所以知识模块：数理统计的基本概念10．已知X1，X2，X3相互独立且服从N(0，σ2)，则服从的分布及参数为_________．正确答案：t，解析：记Y1=X2+X3，Y2=X2一X3，则Y1～(0，2σ2)，Y2～N(0，2σ2)．由于Cov(Y1，Y2)=E(Y1Y2)一E(Y1)E(Y2)=E[(X2+X3)(X2一X3)]==σ2一σ2=0．所以Y1与Y2相互独立，且与X1独立．又由X1+X2+X3=X1+y1～N(0，3σ2)，可知～χ2(1)，且X1+X2+X3与X2～X3相互独立，于是按t分布定义有知识模块：数理统计的基本概念11．已知(X，Y)的联合概率密度为则服从参数为___________的___________分布．正确答案： F解析：由题设知(X，Y)服从二维正态分布且密度函数为故X～N(0，22)，Y～N(1，32)，X与Y相关系数ρ=0，所以X与Y独立，～N(0，1)，根据F分布典型模式知知识模块：数理统计的基本概念12．设总体X的密度函数f(x)=，S2分别为取自总体X容量为n的样本的均值和方差，则=___________；ES2=___________．正确答案：0解析：由于，ES2=DX，由题设有所以知识模块：数理统计的基本概念13．假设X1，X2，…，X16是来自正态总体N(μ，σ2)的简单随机样本，为其均值，S为其标准差，如果P{＞μ+aS}=0．95，则参数a=_________．(t0．05(15)=1．7531)正确答案：－0．4383解析：由于总体X～N(μ，σ2)，故与S2独立，由t分布典型模式得：t=～t(15)，所以由此知4a为t(15)分布上0．95分位数，即4a=t0．95(15)=－t1－0．95(15)=－t0．05(15)=－1．7531，a=－0．4383．知识模块：数理统计的基本概念14．设X1，X2，…，X9是来自总体X一N(μ，4)的简单随机样本，而是样本均值，则满足p{｜－μ｜＜μ}=0．95的常数μ=__________．(Ф(1．96)=0．975)正确答案：1．3067解析：由条件知，一μ)～N(0，1)，从而知识模块：数理统计的基本概念15．设总体X服从参数为P的0-1分布，则来自总体X的简单随机样本X1，X2，…，Xn的概率分布为____________．正确答案：解析：总体X的概率分布为，此概率分布也可以表示为于是样本X1，X2，…，Xn的概率分布为如果记，则样本X1，X2，…，Xn的概率分布为知识模块：数理统计的基本概念16．假设总体X服从标准正态分布，X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，则统计量Y1=都服从____________分布，其分布参数分别为____________和____________．正确答案：t 2 n一1解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，Xn相互独立同服从分布N(0，1)，所以X1－X2与也相互独立，且有即Y1与Y2都服从t分布，分布参数分别为2和n一1．知识模块：数理统计的基本概念17．设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从____________分布，分布参数为____________．正确答案：F (10，5)解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立且都服从分布N(0，σ2)，所以+…+～N(0，1)，因此知识模块：数理统计的基本概念18．设总体X与Y独立且都服从正态分布N(0，σ2)，已知X1， (X)与Y1，…，Yn是分别来自总体X与Y的简单随机样本，统计量T=服从t(n)分布，则=____________．正确答案：解析：依题意Xi～N(0，σ2)，Yi～N(0，σ2)且相互独立，所以U与V相互独立，由t分布典型模式知根据题设知识模块：数理统计的基本概念解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
北京交通大学数理统计硕士试题
北京交通⼤学数理统计硕⼠试题北京交通⼤学硕⼠研究⽣《数理统计》试题⼀、 (10分) 设总体X ～,0(N 1),nX XX 221,,, 为其样本, 求统计量∑∑=-=+=ni ii n i i X X X Y 121221221的概率分布，并给出证明。
解:212121212212221∑∑∑--=-=??+=+=ni i i n i i i n i i X X X X X Y因为),(~102212N X X ii +- 且相互独⽴,所以)(~n Y 2χ.⼆、(15分) 设总体X 的密度函数为<≥=--θθθθx x e x f x ,,1为X 的⼀个样本。
（1）求未知参数θ的矩估计量1θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（2）求未知参数θ的极⼤似然估计量2θ?，并讨论其是否为⽆偏估计量；（3）将21θθ?,?修正为43θθ?,?使其为θ的⽆偏估计，并⽐较43θθ?,?的有效性。
解：（1）因为θθθ+==+∞--2122dx e x EX x )(令X =+θ21，解得θ的矩估计量为211-=X θ?。
θθ=-=211X E E ?， 11的似然函数为=≥?+-==∑∏==其它02122211ni x n x x f L i n i i n ni i ,,,,,exp ),()( θθθθ≥+-=∑=其它022211θθ)(,exp x n x ni i n由于)(θL 是θ的单调增函数，所以θ的极⼤似然估计量)(?12X =θ。
总体X 的分布函数为<≥-=--θθθx x e x F x 012)()( 故2θ?的密度函数为 ?<≥=-=---θθθx x ne x f x F n x f x n n ,,)()]θ≠+===?+∞--ndx ne x EX E x n 21 2212)()(?所以，2θ?不是θ的⽆偏估计量。
（3）由上⾯的讨论可知 n X X 2121143-=-=)(?,θθ因为4122=-=)(EX EX DX ，22121141n EX EX DX =-=)()()()(，则，nn DX D 413==θ?， nn DX D 4141214<==)(?θ所以4三、(15分)设,,(21X X …,)nX 是来⾃正态总体),(2σµN 的样本,µ已知，求2σ的极⼤似然估计量，并证明它是UMVUE 和相合估计量。
研究生数理统计期末考试
数理统计学复习题1．设总体(0,1)X N ，125,,,X X X 是来自总体X 的简单随机样本，试确定C 使统计量1212222345()()C X X Y X X X +=++服从t 分布。
2．设12,,,n X X X 是来自总体2(0,)X N σ 的简单随机样本，问统计量2221(1)nii X U n X ==-∑服从什么分布？试说明你的理由。
3．求总体(20,3)N 的容量分别为10、15的两独立样本的均值差的绝对值大于0.3的概率。
4．设12,,,n X X X 为取自总体2(,)X N μσ 的简单随机样本，求常数C ，使得12111()n i i i X X C-+=-∑为2σ的无偏估计量。
5．设总体X 服从参数为θ的指数分布，其分布密度函数为11,0()0,0x ex f x x θθ-⎧>⎪=⎨⎪≤⎩12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
6．设总体X 的密度函数为22(),0xxf x ex θθ-=>，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数θ的极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
7．设总体X 服从参数为λ的泊松分布，12,,,n X X X 为取自总体X 的样本，试求参数λ的矩估计、极大似然估计，并讨论估计的无偏性、有效性、相合性和充分性。
8．设总体X 的密度函数为111()(01)f x x x θθ-=<<，12,,,n X X X 为取自总体X 的简单随机样本，求参数θ的矩估计和极大似然估计量，并讨论极大似然估计量的无偏性、有效性、相合性和充分性。
9．设铅的比重近似服从正态分布，今测量比重16次，得 2.705x =，0.029s =，试求铅的比重的均值μ和标准差σ的置信水平为0.95的置信区间。
已知0.025(15) 2.1315t =，20.025(15)27.488χ=，20.975(15) 6.262χ=。
数理统计答案(研究生)
设子样值x1,x2,…,xn的平均数 x为和方差为sx2
作变换
yi
xi
a c
，得到y1,y2,…,yn,它的平均
数为 y 和方差为
。试证： 。 yi
xi
a c
x a c y, sx2 c2sy2
解：由变换
yi
xi
c
as，y2 即xi
E(xi1 )(xi ) 0
n1
n1
E (xi1 xi )2 E (xi1 )2 2 E(xi1 )(xi ) E (xi )2
i
i 1
i
i 1
(n 1) 2 0 (n 1) 2 2(n 1) 2
(xi1 xi )2
E[ i
] 2,c
1
2(n 1)
2(n 1)
2
12
用
得
X
和
X
aS22b分别估计EX＾a和 XDX
3S
S 2 (b a)2
＾b X 3S
12
14.设母体X的分布密度为
x 1, 0 x 1
f(x)=
0,
其他
其中 0
(1) 求 的最大似然估计量;
(2)用矩法求 的估计量.
解: x
f (x)
x 1, 0 x 1
0, 其他
解：X N (0,1), Z1 X1 X 2 X 3 N (0, 3),
Z1 3
N (0,1), Z12 3
12 (1)
Z2 X 4 X5 X 6亦服从N(0,3)且与Z1相互独立
Z2
N
(0,1),
Z
2 2
2 (1)
某大学研究生考试《数理统计》试卷
数理统计试题（工程硕士，2008）一、填空题（每空4分，共32分）1.母体是指: .2.简单随机样本: .3.无偏估计量是指 .4.假设检验的基本思想: .5.如何检验一元线性回归模型成立否： .6. 设母体2(,)X N μσ ,12(,,,)n X X X分布, 分布, 2211()ni i Xμσ=-∑ 分布,三、（8分）设总体X 的概率密度为()()0x e x f x x θθθ--⎧≥=⎨<⎩ 其中0θ>是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的最大似然估计量．四、（8分）设总体X 的概率密度为⎩⎨⎧<<+=其它010)1()(x x x f θθ其中1->θ是未知参数，n X X X ,,,21 是来自总体的一个样本，求：参数θ 的矩估计量．五、（8分）某工厂某日生产的某种零件中随机地抽取9个测得长度(单位:毫米)如下:14.6、14.7、15.1、14.9、14.8、15.0、15.1、15.2、14.8，如果该零件长度服从正态分布，且已知标准差为0.15毫米，求零件长度均值的置信水平为0.95的置信区间.六、（8分）统计两个文学家马克.吐温的8篇小说以及斯诺特格拉斯的10篇小说中由3个字母组成的词的比例得:马克.吐温: 10.231875x = *210.000212s =斯诺特格拉斯: 20.2097x = *220.000093344s = 设两组数据分别来自正态总体,且两总体方差相等,两样本相互独立.问: 两个作家小说中由3个字母组成的词的比例是否有显著差异.2(0.05, (16) 2.1199)t αα==.七、（12分）检查一本书的100页,记录各页中的印刷错误的个数,其结果如下:错误个数X 0 1 2≥3 含X 个错误的页数36 40 19 5问:能否认为一页的印刷错误的个数服从泊松分布{}, 1,2,3,!kP X k e k k λλ-=== . 2(0.05, () 5.991)ααχα==. 提示: (0)(1)(2)(3)1p X p X p X p X =+=+=+≥=.七、（12分）下表给出在三台搅拌机中采用两种不同搅拌速度获得的混凝土强度数据。
研究生数理统计习题
1.设随机变量12,X X 独立，且具有相同的指数分布,0(x)0,0x e x f x -⎧>=⎨≤⎩，试求112212,/Y X X Y X X =+=的密度12(y ,y )g ？ 2.设12(,,...,)n X X X 来自于正态总体2(0,)N σ，求下列统计量的密度函数：(1) 211ni i Y X ==∑ (2) 2211n i i Y X n ==∑ (3) 231()n i i Y X ==∑ (4) 2411()n i i Y X n ==∑ 3. 12(,,...,)n X X X 来自(1,)b p ,证明：1ni i T X ==∑是充分统计量。
4.证明：泊松分布族为指数型分布族。
5.随机抽取某食品厂生产的听装饮料5个，其净重如下：351 347 355 344 351求该组样本的经验分布函数。
6.设总体X 的方差2DX σ=，样本方差211(X X)1n i i S n ==--∑，证明：22()E S σ=。
7.设总体服从正态密度函数221/22211(;,)(2)exp((ln )),02f x x x x μσπσμσ-=--> 其中2,0μσ-∞<<+∞>是未知参数，12(,,...,)n X X X 是一样本，求μ和2σ的矩估计。
8. 2(0,)X N σ ，密度函数为2(;,)f x μσ，对于大小为n 的样本，求使得2(;,)0.05A f x dx μσ∞=⎰成立的点A 的极大似然估计。
9.设总体X 满足2(),()E X E X μ=<∞<∞，12(,,...,)n X X X 是来自该总体的一个样本，验证：1212(,,...,)(1)n n i i T X X X iX n n ==+∑是μ的相合估计。
10.简述：(1)特征函数，充分统计量，指数分布族，经验分布函数，统计学中三大抽样分布的定义。
数理统计试题及答案
数理统计试题及答案一、单项选择题（每题3分，共30分）1. 在概率论中，随机变量X的数学期望E(X)表示的是（）。
A. X的众数B. X的中位数C. X的均值D. X的方差答案：C2. 以下哪项是描述性统计中常用的数据集中趋势的度量方法？（）。
A. 极差B. 方差C. 标准差D. 偏度答案：A3. 假设检验中，原假设H0通常表示的是（）。
A. 研究者想要证明的假设B. 研究者想要否定的假设C. 研究者认为正确的假设D. 研究者认为错误的假设答案：C4. 在回归分析中，如果自变量X与因变量Y之间存在线性关系，则回归系数β1表示的是（）。
A. X每增加一个单位，Y平均增加β1个单位B. X每增加一个单位，Y平均减少β1个单位C. X每减少一个单位，Y平均增加β1个单位D. X每减少一个单位，Y平均减少β1个单位答案：A5. 以下哪项是统计学中用于衡量数据离散程度的指标？（）。
A. 均值B. 中位数C. 众数D. 方差答案：D6. 抽样分布是指（）。
A. 总体数据的分布B. 样本数据的分布C. 样本统计量的分布D. 总体统计量的分布答案：C7. 在统计学中，置信区间是用来估计（）。
A. 总体均值B. 总体方差C. 总体标准差D. 以上都是答案：D8. 以下哪项是统计学中用于衡量数据分布形态的指标？（）。
A. 均值B. 方差C. 偏度D. 峰度答案：C9. 假设检验中，如果p值小于显著性水平α，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A10. 在方差分析中，如果F统计量大于临界值，则（）。
A. 拒绝原假设B. 接受原假设C. 无法做出决策D. 需要更多的数据答案：A二、多项选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪些是统计学中常用的数据收集方法？（）。
A. 观察法B. 实验法C. 调查法D. 抽样法答案：ABCD2. 描述性统计中，以下哪些是数据的集中趋势的度量方法？（）。
数理统计与随机过程 研究生 练习题
一、随机抽取某班28名学生的英语考试成绩，算得平均分数为80=x 分，样本标准差8=s 分，若全年级的英语成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，问：能否认为该班的英语成绩与全年级学生的英语平均成绩有显著差异（取显著性水平050.=α）？解：这是单个正态总体),(~2σμN X ，方差2σ未知时关于均值μ的假设检验问题，用T 检验法.解 85:0=μH ，85:1≠μH选统计量n s x T /0μ-= 已知80=x ，8=s ，n ＝28，850=μ， 计算得n s x T /0μ-=31.328/88580=-=查t 分布表，05.0=α，自由度27，临界值052.2)27(025.0=t . 由于052.2>T 2622.2>，故拒绝0H ，即在显著水平05.0=α下不能认为该班的英语成绩为85分.试检验每分钟内借出的图书数是否服从泊松分布? （取显著性水平050.=α）解：由极大似然估计得.2ˆ==x λ在X 服从泊松分布的假设下，X 的所有可能的取值对应分成两两不相交的子集A 0, A 1,…, A 8。
则}{k XP =有估计 i p ˆ ,7,0,!2}{ˆ2===-k k e k X P k=0ˆp三、某公司在为期10年内的年利润表如下：(1)求该公司年利润对年份的线性回归方程;(2)对回归方程进行显著性检验：（取05.0=α）；(3)解释回归系数的意义；（4）求第11年利润的预测区间（取050.=α）。
四、用三种不同材料的小球测定引力常数，实验结果如下：在单因素试验方差分析模型下，检验材料对引力常数的测定是否有显著影响？取显著性水平05.0=α, 计算结果保留三位小数。
五、某大型设备在任何长度为t 的时间区间内发生故障的次数{}+∞<≤t t N 0),(是强度λ的Poisson 过程，记设备无故障运行时间为T 。
（1）求})(|)({4365==N N P ； （2）求自相关函数),(t s R N ，写出推导过程；（3）求T 的概率分布函数； （4）已知设备已经无故障运行了10小时，求再无故障运行8小时的概率。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
《数理统计》例题1.设总体X 的概率密度函数为： 221)(ββx ex f -=)0(>β试用矩法和极大似然法估计其中的未知参数β。
解：（1）矩法 由于EX 为0，πββββββββββββ2002222221][)()2(2)()2(212)(222222222=+-=-=--===⎰⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+--∞+-∞++∞∞-dx exeed xx d xedxex dxx f x EX x x x x xπβ22221=-=X E EX DX 令2S DX =得：S πβ2ˆ=（2）极大似然法∑===-=-∏ni i i x nni x eeL 122221111ββββ∑=--=ni ixn L 1221ln ln ββ231ln 2n i i d L n x d βββ==-+∑ 令0ln =βd L d 得∑==n i i x n 122ˆβ2. 设总体X 的概率密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧<≥--=ααβαββαφx x x x ,0),/)(exp(1),;(其中β>0，现从总体X 中抽取一组样本，其观测值为（2.21，2.23，2.25，2.16，2.14，2.25，2.22，2.12，2.05，2.13）。
试分别用矩法和极大似然法估计其未知参数βα和。
解：（1）矩法经统计得：063.0,176.2==S Xβαβαβφαβααβααβαβααβαα+=-=+-=-===∞+--∞+--∞+----∞+--∞+∞+∞-⎰⎰⎰⎰x x x x x edx exeexd dx ex dx x x EX ][)(1)()(222][)(1222222βαβαβαββαααβαβααβαα++=+=+-=-==--∞+∞+----∞+--∞+⎰⎰⎰EX dx ex ex ed x dx ex EX x x x x222)(β=-=EX EX DX令⎩⎨⎧==2S DX X EX 即⎩⎨⎧==+22SXββα 故063.0ˆ,116.2ˆ===-=S S X βα（2）极大似然法 )(111),;(αββαβββα----===∏X nnX ni eex L i)(ln ln αββ---=X nn L)(ln ,0ln 2αββββα-+-=∂∂>=∂∂X nn L n L 因为lnL 是L 的增函数，又12,,,n X X X α≥L所以05.2ˆ)1(==X α令0ln =∂∂βL 得126.0ˆ)1(=-=X X β 3.已知总体ξ的分布密度函数为：⎪⎩⎪⎨⎧+≤≤-=其它,011,21);(θθθx x f（1）用矩法估计其未知参数θ； （2）用极大似然法估计其未知参数θ。
解：（1）θξ=E 令ξξ=E得：ξθ=ˆ （2）12111(,,,;)()22nn n i L ξξξθ===∏L0=θd dL，故L 的单调性与θ无关 又1,,,121+≤≤-θξξξθnθˆ可以取]1,1[)1()(+-ξξn 中的任何值。
4.10个病人服用甲、乙两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间（小时）见下表：假定病人服用两种安眠药后增加（或减少）的睡眠时间分别服从正态分布),(211σa N 和),(222σa N ，试求21a a -的α-1置信下限（10.0=α）。
解：依题意设),(~),,(~22222111σξσξa N a N经计算得：0994.2,62.1,7641.0,47.1222211====S S ξξ先做方差齐性检验：2221122210:;:σσσσ≠=H H3640.02*22*10==SS F查表得：18.3)9,9(95.0=F 因为0121212121(1,1)(1,1)F F n n F n n αα--<<----所以接受0H ，即认为两个总体的方差相等。
21a a -的α-1置信下限为212122221121121112)2()(n n n n S n S n n n t +-++-+---αξξ 即-0.9004其中3304.1)18()2(9.0211==-+-t n n t α，15.021-=-ξξ2613.1221222211=-++n n S n S n ，4472.01121=+n n 5.设样本12(,,,)n X X X L 来自正态总体)5,(~21μN X ，样本均值为X ，样本12(,,,)n Y Y Y L 来自正态总体)3,(~22μN X ，样本均值为Y ，且两样本相互独立。
1μ、2μ为未知参数。
（1）已知8.7=X ，3.5=Y ，样本容量n=25，求21μμ-的置信水平为0.95的置信区间；（2）如果要求21μμ-的置信水平为0.95的置信区间长度不超过2，问样本容量n 至少应取多少？解：)25,(~1n N X μ，)25,(~2nN Y μ故)50,(~21n N Y X μμ--)1,0(~50)()(21N nY X μμ---所以，），）置信区间为（的（n u Y X n uY X 50501212121αααμμ--+----- （1）），）置信区间为（的（255096.13.58.7255096.13.58.7121+-----αμμ，即（-0.272，5.272）。
（2）依题意，有2nu5021α-≤2，即n 5096.1≤1，即n ≥1.962×50所以，n ≥192.08或n ≥193。
6.设总体),,,(,0),(~21 L n P ξξξλλξ>为其样本。
（1）证明：对一切21)1(),10(S n n--+≤≤αξααα都是λ的无偏估计量； （2）试求2λ的一个无偏估计量。
（1）证：因为λξξ==E E ，λξnn D n n S E 11)(2-=-=所以]1)1[()(]1)1([22S n n E E S n n E --+=--+αξααξα λλααλαξα=-+=--+=)1()(1)1(2S E n nE 所以对一切21)1(),10(S n n--+≤≤αξααα都是λ的无偏估计量。
（2）解：因为2222)()(λλξξξξξ+=+=+=nE n D E D E 所以222)(λλλλξξ=-+=-nnnE故nξξ-2是2λ的一个无偏估计量。
7.设总体ξ服从]1,[+θθ上的均匀分布，θ未知，(n ξξ,,1 )是来自此总体的一个样本，已知{}n ξξξ,,min 1)1( =，{}n n ξξξ,,max 1)( =。
（1）试计算)1(ξ、)(n ξ的数学期望；（2）试分别利用)1(ξ、)(n ξ构造θ的无偏估计量； （3）试比较（2）中的两个无偏估计量的有效性。
解：（1）X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧+∉+∈=时当时当]1,[,0]1,[,1)(θθθθx x x p因此)1(X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧+∉+∈--=-时当时当]1,[,0]1,[,)](1[)(1)1(θθθθθx x x n x p n X)(n X 的概率密度函数为：⎩⎨⎧+∉+∈-=-时当时当]1,[,0]1,[,)()(1)(θθθθθx x x n x p n X n 所以，dx x xp X E X ⎰+∞∞-=)(][)1()1(⎰+---⋅=11)](1[θθθdx x n x n11)1()(101++=-+=⎰-n dt t n t n θθ dx x xp X E n X n ⎰+∞∞-=)(][)()(⎰+--⋅=11)(θθθdx x n x n1)(101++=+=⎰-n n dt ntt n θθ （2）由（1）可知，11ˆ)1(1+-=n X θ，1ˆ)(2+-=n n X n θ都是θ的无偏估计量。
（3）dx x p x X E X ⎰+∞∞-=)()()1()1(22⎰+---⋅=112)](1[θθθdx x n x n21012)1()1(122)1()(θθθ++++-+=-+=⎰-n nn n dt t n t n )1()1(1]11[)ˆ(DX n X D D =+-=θ 2)1(2)1(][][EX X E -= 22)11(])1()1(122[++-++++-+=n n n n n θθθ 22)1(2+-+=n n n n dx x p x X E n n X ⎰+∞∞-=)()()()(22⎰+--⋅=112)(θθθdx x n x n2112122)(θθθ++++=+=⎰-n n n n dt nt t n)()(2]1[)ˆ(n n DX n n X D D =+-=θ 2)(2)(][][n n EX X E -=22)1(]122[++-++++=n n n n n n θθθ22)1(2+-+=n n n n因此，两个估计量的有效性一样。
8.用机床生产某种滚珠，现从中随机地抽取8只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.0，14.5，15.2，15.5，14.8，15.1，15.2，14.8。
现对机床进行维护保养后继续进行生产，从中随机地抽取9只滚珠，测得其直径（单位：mm ）为：15.1，15.0，14.8，15.2，14.9，15.0，14.9，15.1，14.8。
假设保养前后生产的滚珠直径都服从正态分布。
试问保养后机床的加工精度是否显著提高了（05.0=α）。
解：设保养前生产的滚珠直径服从正态分布),(211σa N ，保养后生产的滚珠直径服从正态分布),(222σa N 。
问题归结为检验假设2221122210:;:σσσσ>=H H 经统计得：0125.151=X ，09554.02*1=S 9778.142=X ，01944.02*2=S915.422*2*10==SS F查表得：50.3)8,7()1,1(95.0211==---F n n F α 因为)1,1(2110-->-n n F F α所以拒绝0H ，即可以认为保养后机床的加工精度是显著提高了。
9.从甲、乙两个分厂的铸铁中分别抽取样本容量为9和8的样本，分别计算后得到含碳量（%）的平均数及校正样本方差为：甲厂：9,1337.0,23.01*12===n s x 乙厂：8,1636.0,269.02*22===n s y 。
设甲、乙两个分厂铸铁的含碳量都服从正态分布且相互独立，问这两个分厂铸铁的含碳量的平均值可否看作一样（α=0.05）？解：假设甲、乙两厂的铸铁的含碳量分别服从),(),(222211σμσμN N 、问题归结为检验假设210μμ=：H ；211μμ≠：H因为方差未知，又不知方差是否相等，所以应先检验假设2221)1(0σσ=：H ；2221)1(1σσ≠：H 用F 检验法，)1(0H 的接受域为：22*2*1212)1,1(S S F n n F =<--α（因为22*2*1S S <） 现在8,921==n n ，817.01636.01337.022*2*1==S S查表得：2208.053.41)7,8()1,1(025.0212===--F n n F α因为0.817>0.2208，所以接受)1(0H ，即认为方差相等。