概率论与数理统计-朱开永--同济大学出版社习题一答案

习 题 一

1．下列随机试验各包含几个基本事件？

（1）将有记号b a ,的两只球随机放入编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 的盒子里（每个盒子可容纳两个球） 解：用乘法原理，三个盒子编号为Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ看作不动物，。两个球看作是可动物，一个

一个地放入盒中；a 球可放入的任一个，其放法有 313=C 种，b 球也可放入三个盒子的

任一个，其放法有313=C 种,由乘法原理知：这件事共有的方法数为11339C C ⨯=种。

（2）观察三粒不同种子的发芽情况。

解：用乘法原理，三粒种子，每一粒种子按发芽与否是两种不同情况（方法）。三粒种子发芽共有81

21212=⨯⨯C C C 种不同情况。

（3）从五人中任选两名参加某项活动。

解：从五人中任选两名参加某项活动，可不考虑任选的两人的次序，

所以此试验的基本事件个数 1025==C n 。 （4）某人参加一次考试，观察得分（按百分制定分）情况。

解：此随机试验是把从0到100 任一种分看作一个基本事件，101=∴n 。

（5）将c b a ,,三只球装入三只盒子中，使每只盒子各装一只球。

解：可用乘法原理：三只盒子视为不动物，可编号Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，三只球可视为可动物，一

个一个放入盒子内（按要求）。a 球可放入三个盒子中的任一个有313=C 种方法。b 球因

为试验要求每只盒子只装一个球，所以a 球放入的盒子不能再放入b 球，b 球只能放入其余（无a 球 的盒子）两个中任一个，其放法有21

2=C 个。c 只能放入剩下的空盒中，其放法只有一个。三个球任放入三个盒中保证每个盒只有一个球，完成这件事共有方法为 611213=⨯⨯C C 种。 2． 事件A 表示“五件产品中至少有一件不合格品”,事件B 表示“五件产品都是合格品”，则,A B AB U 各表示什么事件？B A 、之间有什么关系？

解： 设k A =“五件中有k 件是不合格品” =B “五件都是合格品”。此随机试验E 的样

本空间可以写成：{}12345,,,,,S A A A A A B = 而

12345A A A A A A =U U U U ,A B S ∴=U φ=AB ，A 与B 是互为对立事件。

3. 随机抽验三件产品，设A 表示“三件中至少有一件是废品”，设B 表示“三件中至少有两件是废品”，C 表示“三件都是正品”，问 ,,,,A B C A B AC U 各表示什么事件？

解： =A “三件都是正品”，=B “三件中至多有一件废品”，

=C “三件中至少有一件废品”， ,A B A AC φ==U .

4. 对飞机进行两次射击，每次射一弹，设1A 表示“第一次射击击中飞机”，2A 表示“第二次射击击中飞机”，试用21,A A 及它们的对立事件表示下列各事件:

=B “两弹都击中飞机”； =C “两弹都没击中飞机” =D “恰有一弹击中飞机”； =E “至少有一弹击中飞机”。并指出E D C B ,,,中哪些是互不相容，哪些是对立的。 解： 1212121212,,,B A A C A A D A A A A E A A ====U U ，B 与C , B 与D , D 与C , C 与E 是互不相容的，C 与E 是相互对立的.

5． 在某班任选一名学生。记A =“选出的是男生”;B =“选出的是运动员”; C =“选出的是北方人”。问：（1） C B A C B A ,各表示什么事件？

（2）C B A B C ⊂⊂, 各表示什么意义。（3）在什么条件下，A ABC =.

解： （1）C B A =“选出的是南方的不是运动员的男生”。

（2） B C ⊂表示该班选出北方的学生一定是运动员。

C B A ⊂ 表示选出的不是运动员的男生是南方的。（3） 当 BC A ⊂ 时 A ABC =.

6、设 4321,,,A A A A 是四个随机事件，试用这几个事件表示下列事件：

（1） 这四个事件都发生； （2） 这四个事件都不发生；

（3） 这四个事件至少有一个发生； （4）21,A A 都发生，而43,A A 都不发生；

（5） 这四个事件至多一个发生。 （6） 这四个事件恰有一个发生。

解：（1）4321A A A A ; （2）4321A A A A ; （3）1234A A A A U U U ;

（4）4321A A A A ; （5）234A A A U 134A A A U 124A A A U 123A A A ; (6) 1234A A A A U 1234A A A A U 1234A A A A U 4321A A A A

. 7． 从一副扑克牌（52张，不计大小王）中任取4张，求取得4张花色都不相同的概率。 解： 从52张牌中任取4张共有情况4

52C 种，每一种情况看作每一种基本事件，所以此试验

的样本空间中基本事件的个数452C n =。设事件 =A “任取的4张花色都不相同”，

A 中包含的基本事件个数K 可以用乘法原理求， 事件A 完成要从四种花色中各取一张，

故 4

13k =, 4

45213()0.1055k P A n C ==≈. 8． 某房间里有4个人，设每个人出生于1月至12月中每一个月是等可能的。求至少有1人生日在10月的概率。

解：设事件=A “至少有1人生日在10月” =A “4个人生日都不在10月”

3.07.0112111)(1)(4=-≈⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-=A P A P . 9． 袋中有10只形状相同的球，其中4只红球，6只白球，现从袋中一个接一个地任意取球抛掷出去，求第3次抛掷的是红球的概率。

解：此随机试验E 为：从袋中每次任取一球，不放回地连取三次，相当于从10只球中任取3只排列在三个不同的位置上，其不同的排列数为310P ,即其基本事件共有310P n =个, 设事件 “第三次抛掷的是红球”所包含的基本事件个数k 求法如下：首先事件A 表示第三次抛掷的是红球，即第三个位置应放红球，可从4个红球中任取一个放入，共有1

4C 种放法；前两个位置任从剩下的9个球中取两个放在不同的位置，其放法有29P 种。由乘法原理可知

2914P C k = 52)(3102914===∴P P C n k A P . 10． 将一枚硬币连续抛掷10次，求至少有一次出现正面的概率。

解：设事件 =A “至少出现一次正面” ， =A “全不出现正面”

若一枚硬币连续——10次，每次有正、反两种情况，所以随机试验E 的基本事件个数 102=n ，A 所包含的基本事件个数 1=k . 则999.02

111)(1)(10≈-=-=-=n k A P A P . 11． 盒中有10个乒乓球，其中6只新球，4只旧球。今从盒中任取5只，求正好取得3只新球2只旧球的概率。

解：从盒中10只球任取5只的取法共有5

10C 种，即为此随机试验的基本事件的个数，

510C n =∴. 设事件=A “正好取得3只新球2只旧球” 事件A 所包含的基本事件的个数k 的考虑方法：先从6只新球中任取3只，其取法有3

6C 种；