江西省南昌市十所省重点中学命制届高三第二次模拟突破冲刺数学(文)试题(四)Word版含答案

南昌市十所省重点中学2017年二模突破冲刺交流卷（03）高三理科数学一.选择题(60分)1．设集合()22{,|1}416x y A x y =+=，{(,)|3}x B x y y ==，则A B ⋂的子集的个数是：（ ）A ．4B ．3C ．2D ．1 2．已知复数z =z 是z 的共轭复数，则z z ∙=（ ）A.14 B.12C.1D.2 3. 下列结论正确的．．．是（ ）A ．命题“如果222p q +=，则2p q +≤”的否命题是“如果2p q +>，则222p q +≠”；B ．命题:[0,1],1x p x e ∀∈≥，命题2:,10,q x R x x ∃∈++<则p q ∨为假; C ．“若22,am bm <则a b <”的逆命题为真命题; D.若n 的展开式中第四项为常数项，则n =54. 已知{}2,0,1,3a ∈-，{}1,2b ∈，则曲线221ax by +=为椭圆的概率是（ ） A.37 B.47 C.12 D. 385.定义22⨯矩阵12142334=a a a a a a a a ⎡⎤-⎢⎥⎦⎣，若c o s s i n ()cos(2)cos sin 2x x f x x x x π⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥++⎢⎥⎣⎦，则()f x A. 图象关于(),0π中心对称 B. 图象关于直线2x π=对称C.在区间[,0]6π-上单调递增 D. 周期为π的奇函数6.如图所示的流程图,若输出的结果是9，则判断 框中的横线上可以填入的最大整数为（ ）A ．17B ．16C ．15D ．14 7.如图为某几何体的三视图，求该几何体的内切球的 表面积为( )第6题图334侧视图正视图A ．14π B ．3π C ． 4π D ．43π8.为防止部分学生考试时用搜题软件作弊，命题组指派5名教师对数学卷的选择题、填空题和解答题这3种题型进行改编，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A ．150 B ． 180 C ．200 D ．2809.已知(),()f x g x 都是定义在R 上的函数，()0g x ≠，()()()()f x g x f x g x ''>，且 ()()x f x a g x =(0a >，且1)a ≠，(1)(1)5(1)(1)2f f g g -+=-．若数列(){}()f ng n 的前n 项和大于62，则n 的最小值为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．810.对定义在[0,1]上，并且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为优函数，① 对任意[0,1]x ∈，恒有()0f x ≥；② 当12120,0,1x x x x ≥≥+≤时，总有1212()()()f x x f x f x +≥+成立，则下列函数不是优函数的是（ ）A ．2()f x x = B ． ()21xf x =- C ．2()ln(1)f x x =+ D ．2()1f x x =+11. 已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>与函数0)y x =≥的图象交于点P，若函数y =P 处的切线过双曲线左焦点(1,0)F -，则双曲线的离心率是（ ）A ．12B ．32C．12D ．3212. 已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≤--->+=+-=02401)(,23)(223x x x x xx x g x x x f ，则方程[]0)(=-a x f g 的根的个数不可能为（ ）A ．6个B ．5个C ．4个D ．3个二、填空题（20分）13．已知数列{}n a 的前n 项和为2n S n =，某三角形三边之比为234::a a a ，则该三角形最大角为_____________. 14. 设函数ln ,0()21,0x x f x x x >⎧=⎨--≤⎩，D 是由x 轴和曲线()y f x =及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域，则2222z x y x y =+++在D 上的最小值为 .15．已知直线1)y x =-与抛物线:C x y 42=交于B A ,两点，点),1(m M -，若0=⋅，则=m _______.16．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，对任意N n +∈，1(1)32nn n n S a n =-++-且 1()()0n n t a t a +--<恒成立，则实数t 的取值范围是 ．三、解答题（70分）17．(12分)已知ABC ∆中，c b a ,,为角,,A B C 所对的边，且(3)cos b b c A -CA CB =⋅. （Ⅰ）求A cos 的值；（Ⅱ）若ABC ∆的面积为22，并且边AB 上的中线CM 的长为217，求,b c 的长.18．(12分)时下，租车已经成为新一代的流行词，租车自驾游也慢慢流行起来，某小车租车点的收费标准是，不超过2天按照300元计算；超过两天的部分每天收费标准为100元（不足1天的部分按1天计算）．有甲乙两人相互独立来该租车点租车自驾游（各租一车一次），设甲、乙不超过2天还车的概率分别为11,32；2天以上且不超过3天还车的概率分别11,23；两人租车时间都不会超过4天．（1）求甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率；（2）设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列与数学期望()E ξ．19．(12分)如图（1），在等腰梯形CDEF 中，,CB DA 是梯形的高，2AE BF ==，AB =, 现将梯形沿,CB DA 折起，使EF ∥AB 且2EF AB =，得一简单组合体ABCDEF 如图（2）示，已知,M N 分别为,AF BD 的中点．（Ⅰ）求证：//MN 平面BCF ； （Ⅱ）若直线DE 与平面ABFE 所成角的正切值为22，则求平面CDEF 与平面ADE 所成的锐二面角大小.20．(12分)已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，直线12x y +=经过E 的右顶点和上顶点.（1）求椭圆E 的方程；（2）设椭圆E 的右焦点为F ，过点()2,0G 作斜率不为0的 直线交椭圆E 于,M N 两点. 设直线FM 和FN 的斜率为12,k k . ①求证: 12k k +为定值；②求FMN ∆的面积S 的最大值.第19题图（1）ABEFDC第19题图（2）21．(12分)已知函数22()en nxx x af x --=，其中,,N R n a *∈∈e 是自然对数的底数. （1）求函数12()()()g x f x f x =-的零点；（2）若对任意,N n *∈()n f x 均有两个极值点，一个在区间(1,4)内，另一个在区间[]1,4外，求a 的取值范围；请考生在第(22)、(23)二题中任选一题做答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，做答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑． 22．(10分)在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=ϕϕsin cos 1y x （ϕ为参数），以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求圆C 的极坐标方程；（2）直线l 的极坐标方程是33)3sin(2=+πθρ，射线OM ：3πθ=与圆C 的交点为P O ,，与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长.23．(10分)已知函数()1f x x =-. （1）解不等式()(4)8f x f x ++≥；（2）若1a <，1b <，且0a ≠，求证：()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭.理数答 案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案ACDDCBCABDAD二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13.23π 14. 65- 15．216.311,44-⎛⎫⎪⎝⎭17．解：（Ⅰ）由题意得： (3)cos cos b b c A ab C -=．．．．．．．．．．．．2分由正弦定理得：sin (3sin sin )cos sin sin cos B B C A A B C -=sin 0,3sin cos sin cos sin cos sin B B A A C C A B ≠∴=+=．．．．．．．4分 1cos 3A ∴=．．．．．．．．．．．．6分（Ⅱ）由题意得：1sin 2ABC S bc A ∆==6bc =．．．．．．．．．．．．8分 由余弦定理得：2217144cos 322c b A c b +-==⋅， 即：22425b c +=．．．．．．．．．10分 联立上述两式,解得：2,3b c ==或3,42b c ==.．．．．．．．．．．．．12分 18．【答案】（1）718；（2）分布列见解析，()750E ξ=． 【解析】（1）因为甲所付租车费用大于乙所付租车费用， 当乙租车2天内时，则甲租车3或4天，其概率为11111233P ⎛⎫=⨯-= ⎪⎝⎭； 当乙租车3天时，则甲租车4天，其概率为21111133218P ⎛⎫=⨯--= ⎪⎝⎭； 则甲所付租车费用大于乙所付租车费用的概率为1211731818P P P =+=+=．．．．．．．．．．．．5分（2）设甲，乙两个所付的费用之和为,ξξ可为600，700，800，900，1000，．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分()()()()111111113600,7003263322361111111111800111233232323611111159001122333236P P P P ξξξξ==⨯===⨯+⨯=⎛⎫⎛⎫==⨯+⨯--+⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫⎛⎫==⨯--+⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()11111100011233236P ξ⎛⎫⎛⎫==--⨯--=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 8分 故ξ的分布列为．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 故ξ的期望为()11311516007008009001000750636363636E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．．．．．12 19. （Ⅰ）证明：连AC ，∵四边形ABCD 是矩形，N 为BD 中点，∴N 为AC 中点.在ACF ∆中，M 为AF 中点，故//MN CF .∵CF ⊂平面BCF ，MN ⊄平面BCF ，//MN ∴平面BCF . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．4分 （Ⅱ）依题意知,DA AB DA AE ⊥⊥ 且ABAE A =∴AD ⊥平面ABFE ，DE ∴在面ABFE 上的射影是AE .DEA ∴∠就是DE 与平面ABFE 所成的角.故在Rt DAE ∆中tan 2DA DA DEA AE∠===AD DE ∴==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分 设P EF ∈且AP EF ⊥，分别以,,AB AP AD 所在的直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系则(0,0,0),(A D E F(0,0,2),(2,2,0),(2,2,2),(22,0,0)AD AE DE DC ==-=--=设(,,),(,,)m x y z n r s t ==分别是平面ADE 与平面CDFE 的法向量令00,00m AD n DC m AE n DE ⎧⎧==⎪⎪⎨⎨==⎪⎪⎩⎩，即0,0⎧==⎪⎨+==⎪⎪⎩⎩ 取(1,1,0),(0,1,1)m n == 则1cos ,2m n m n m n<>==．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分 ∴平面ADE 与平面CDFE 所成锐二面角的大小为π3.．．．．．．．．．．．．．．．．12分20.答案：2212x y +=；(2)①见解析；②4． 【解析】(1) 在方程12x y +=中，令0x =，则1y =，所以上顶点的坐标为()0,1，所以1b =；令0y =，则x =)，所以a =所以，椭圆E 的方程为2212x y +=.．．．．．．．．．．4分 (2) ①设直线MN 的方程为()()20y k x k =-≠.代入椭圆方程得()2222128820k xk x k +-+-=.设()()1122,,,M x y N x y ，则22121212122212882,,121211y y k k x x x x k k k k x x -+==+=+++--()()()()221212221212228222221220828111112121k k x k x x x k k k k k x x x x k k ⎡⎤-⎢⎥⎡⎤--+-+=+=-=-=⎢⎥⎢⎥-----⎢⎥⎣⎦-+⎢⎥++⎣⎦， 所以120k k +=为定值．.．．．．．．．．．．8分②因为MN 直线过点()2,0G ，设直线MN 的方程为()2y k x =-，即20kx y k --=代入椭圆方程得()2222128820k xk x k +-+-=.由判别式()()()22228421820k k k ∆=--+->解得212k <. 点()1,0F 到直线MN的距离为h，则()22121221114221k h S MN h k x x x xk ====++-+()()22222882421121k k k k k k -=-+++12==令212t k =+，则S ==216k =时，S 的最大值为4..．．．．．．．．．．12分 21. 【解析】：（1）222122222(2)(e 1)()()()e e ex x x xx x a x x a x x a g x f x f x -------=-=-=， 44a ∆=+..．．．．．．．．．．2分① 当1a <-时，0,∆<函数()g x 有1个零点：10.x = ..．．．．．．．．．．3分 ② 当1a =-时，0,∆=函数()g x 有2个零点：120, 1.x x == ..．．．．．．．．．．4分③ 当0a =时，0,∆>函数()g x 有两个零点：120, 2.x x == ..．．．．．．．．．．5分 ④ 当1,0a a >-≠时，0,∆>函数()g x 有三个零点：1230,11x x x === ..．．．．．．．．．．6分 （2）222(22)e (2)e 2(1)2().e e nx nx n nx nxx n x x a nx n x a n f x -----+++⋅-'== 设2()2(1)2n g x nx n x a n =-+++⋅-，()n g x 的图像是开口向下的抛物线. 由题意对任意,N n *∈()0n g x =有两个不等实数根12,x x ， 且()[]121,4,1,4.x x ∈∉则对任意,N n *∈(1)(4)0n n g g <,即6(1)(8)0n a n a n ⎡⎤⋅+⋅⋅--<⎢⎥⎣⎦, ..．．．．．．．．．．9分又任意,N n *∈68n -关于n 递增,681n->-, 故min 61(8),186 2.a a n-<<--<<-=所以a 的取值范围是()1,2.- ..．．．．．．．．．．12分 22.【答案】（1）θρcos 2=；（2）2||=PQ .【解析】（1）圆C 的普通方程为1)1(22=+-y x ，又θρcos =x ，θρsin =y ， ∴圆C 的极坐标方程为θρcos 2=. ..．．．．．．．．．．4分（2）设),(11θρP ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==3cos 2πθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3111πθρ.设),(22θρQ ，则由⎪⎩⎪⎨⎧==+333)cos 3(sin πθθθρ解得⎪⎩⎪⎨⎧==3322πθρ. ∴2||=PQ . ..．．．．．．．．．．10分23.【答案】（1）{}|53x x x ≤-≥或；（2）证明见解析.【解析】（1）22,3,()(4)134,31,22, 1.x x f x f x x x x x x --<-⎧⎪++=-++=-≤≤⎨⎪+>⎩当3x <-时，则228x --≥，解得5x ≤-； 当31x -≤≤时，则()8f x ≥不成立； 当1x >时，由228x +≥，解得3x ≥.所以原不等式的解集为{}|53x x x ≤-≥或. ..．．．．．．．．．．5分（2）()b f ab a f a ⎛⎫>⎪⎝⎭即1ab a b ->-. 因为1a <,1b <,所以()()()()222222*********ab a b a b ab a ab b a b ---=-+--+=-->, 所以1ab a b ->-.故所证不等式成立. ..．．．．．．．．．．10分．。