26.1二次函数及其图像

课题名称26.1二次函数及其图像教材版本人教版教学目标同步教学知识内容1、二次函数的概念2y ax=kaxy+=22、二次函数的基本形式及其性质()2y a x h=-()2y a x h k=-+2y ax bx c=++ 3、用待定系数法求二次函数的解析式个性化学习问题解决利用数形结合的思想解决二次函数问题教学重点二次函数的图像及其性质教学难点二次函数的图像及其性质教学过程教学活动一、二次函数的概念：（一）、复习：什么是正比例函数、一次函数、反比例函数？它们的一般形式是怎样的？（二）．自主探究、合作交流：问题1：正方体的六个面是全等的正方形，如果正方形的棱长为x，表面积为y，写出y与x的关系。

问题2：n边形的对角线数d与边数n之间有怎样的关系？问题3：某工厂一种产品现在的年产量是20件，计划今后两年增加产量。

如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的数量y将随计划所定的x的值而定,y与x之间的关系怎样表示？问题4：观察以上三个问题所写出来的三个函数关系式有什么特点？结论：经化简后都具有的形式。

小结：1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c=++（a b c，，是常数，0a≠）的函数，叫做二次函数。

这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a≠，而b c，可以为零．二次函数的定义域是全体实数．2. 二次函数2y ax bx c=++的结构特征：⑴等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2．⑵ a b c ，，是常数，a 是 ，b 是 ，c 是 ． 【跟踪练习】1)．观察：①26y x =；②235y x =-+；③y ＝200x 2＋400x ＋200；④32y x x =-；⑤213y x x=-+；⑥()221y x x =+-．这六个式子中二次函数有 。

（只填序号）2).若2(1)31m my m x x -=+-+ 是二次函数，则m 的值为______________； 若2(1)31mmy m x x -=+-+ 是一次函数，则m 的值为______________．3)．写出下列二次函数的a ，b ，c ． (1)23x x y -=a ＝______，b ＝______，c ＝______． (2)y ＝ x 2a ＝______，b ＝______，c ＝______．(3)105212-+=x x y a ＝______，b ＝______，c ＝______． (4)2316x y --= a ＝______，b ＝______，c ＝______．（5）()2231y x =-- a ＝______，b ＝______，c ＝______．二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。

在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2、y=2x 2、y=-x 2与y=-2x 2的图像，观察并比较这两个函数的图像 列表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2…… y= 2x 2 … … y=-x 2…… y=-2x 2 ……描点与连线请观察所画图像填表：【跟踪练习】1).函数273x y =的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______，当x ＝___________时，有最_________值是_________．2）.函数26x y -=的图象顶点是__________，对称轴是________，开口向_______， 当x ＝___________时，有最_________值是_________． 3）. 二次函数()23x m y -=的图象开口向下，则m___________． 4）. 二次函数y ＝mx22-m 有最高点，则m ＝___________．5）. 二次函数y ＝(k ＋1)x 2的图象如图所示，则k 的取值范围为___________． 6）．若二次函数2ax y =的图象过点（1，－2），则a 的值是___________． 2.k ax y +=2 的性质：上加下减。

在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2，y ＝x 2＋1与y ＝x 2－1的图像，观察并比较这三个a 的符号 开口方向顶点坐标 对称轴 性质0a >0x >时，y 随x 的增大而 ；0x <时，y随x 的增大而 ；0x =时，y 有最小值0．0a <0x >时，y 随x 的增大而 ；0x <时，y 随x 的增大而 ；0x =时，y 有最大值0．函数的图像 解:列表描点与连线请观察所画图像填表：注意：二次函数图像在上下平移过程中，a 的值保持不变。

【跟踪练习】1）.抛物线22x y =向上平移3个单位，就得到抛物线__________________；x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2…… y ＝x 2＋1 … … y ＝x 2－1 ……a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >0x >时，y 随x 的增大而 ；0x <时，y随x 的增大而 ；0x =时，y 有最小值c ． 0a <0x >时，y 随x 的增大而 ；0x <时，y 随x 的增大而 ；0x =时，y 有最大值c ．抛物线22x y =向下平移4个单位，就得到抛物线__________________．2）．抛物线232+-=x y 向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状 __________，当x = 时，y 有最 值是 。

3）．由抛物线352-=x y 平移，且经过（1,7）点的抛物线的解析式是 ，是把原抛物线向 平移 个单位得到的。

3. ()2y a x h =-的性质：左加右减。

在同一直角坐标系中，画出函数y=x 2，y ＝(x+1)2与y ＝(x-1)2的图象，观察并比较这三个函数的图像解:列表、描点与连线请观察所画图像填表：x … －3 －2 －1 0 1 2 3 … y ＝x 2…… y ＝(x+1)2 … … y ＝(x-1)2 ……a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >直线X=x h >时，y 随x 的增大而 ；x h <时，y 随x 的增大而 ；x h =时，y 有最小值0．注意：二次函数图像在左右平移过程中，a 的值保持不变。

【跟踪练习】1)．抛物线()223y x =+的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

2). 抛物线22(1)y x =--的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是直线_______；当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大。

3). 抛物线221y x =-的开口_______；顶点坐标为_________；对称轴是_______； 4).抛物线25y x =向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为______________． 5). 抛物线24y x =-向 平移 个单位后，得到的抛物线y=-4(x+3)2． 4. ()2y a x h k =-+的性质：【跟踪练习】1).二次函数2)1(212+-=x y 的图象可由221x y =的图象（ ） A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到 C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到0a <直线X=x h >时，y 随x 的增大而 ；x h <时，y随x 的增大而 ；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >直线X=x h >时，y 随x 的增大而 ；x h <时，y随x 的增大而 ；x h =时，y 有最小值k ．0a <直线X=x h >时，y 随x 的增大而 ；x h <时，y随x 的增大而 ；x h =时，y 有最大值k ．2).抛物线()21653y x =--+开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

3).填表：4).函数()2231y x =--的图象可由函数22y x =的图象沿x 轴向 平移 个单位，再沿y 轴向 平移 个单位得到。

5).若把函数()2523y x =-+的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。

三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤：方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下： 方法二：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）2. 平移规律：“左加右减，上加下减”．23y x = 23y x =-- 22(3)y x =+ 24(5)3y x =---开口方向顶点 对称轴向右(h >0)【或左(h <0)】平移 |k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向右(h >0)【或左(h <0)】平移|k|个单位向上(k >0)【或下(k <0)】平移|k |个单位向上(k >0)【或向下(k <0)】平移|k |个单位y=a (x-h )2+ky=a (x-h )2y=ax 2+ky=ax 2【跟踪练习】1).抛物线22(+1)3y x =--开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x ＝ 时，y 有最 值为 。

当x 时，y 随x 的增大而增大. 2). 抛物线22(+1)3y x =--是由22y x =-如何平移得到的？答： 。

四、二次函数2y ax bx c =++的性质1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2bx a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，． 当2b x a <-时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2bx a=-时，y 有最小值244ac b a-． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b aa ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，．当2bx a <-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小；当2bx a=-时，y 有最大值244ac b a-． 【跟踪练习】1)．抛物线y ＝2x 2－3x －5的顶点坐标为______．当x ＝______时，y 有最______值是______，与x 轴的交点是______，与y 轴的交点是______，当x ______时，y 随x 增大而减小，当x ______时，y 随x 增大而增大．2)．抛物线y ＝3－2x －x 2的顶点坐标是______，它与x 轴的交点坐标是______，与y 轴的交点坐标是______．3)．把二次函数y ＝x 2－4x ＋5配方成y ＝a (x －h )2＋k 的形式，得______，这个函数的图象有最______点，这个点的坐标为______．4)．已知二次函数y ＝x 2＋4x －3，当x ＝______时，函数y 有最值______，当x ______时，函数y 随x 的增大而增大，当x ＝______时，y ＝0． 5)．抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y ＝3－2x 2的形状完全相同，只是位置不同，则a ＝______． 五、二次函数()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较从解析式上看，()2y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者，即22424b ac b y a x a a -⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 【跟踪练习】用配方法把下列二次函数化成顶点式：①222+-=x x y ②52212++=x x y六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：2y ax bx c =++（a ，b ，c 为常数，0a ≠）；2. 顶点式：2()y a x h k =-+（a ，h ，k 为常数，0a ≠）；3. 两根式：12()()y a x x x x =--（0a ≠，1x ，2x 是抛物线与x 轴两交点的横坐标）.注意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式，但并非所有的二次函数都可以写成交点式，只有抛物线与x 轴有交点，即240b ac -≥时，抛物线的解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式的这三种形式可以互化. 【跟踪练习】1）.已知二次函数m x x y ++=2的图象过点（1，2），则m 的值为________________． 2)．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－1），求这个二次函数的解析式．3).一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。