第十一章 第八节 二项分布及其应用(理)
二项分布及其应用教案定稿
二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 教学目标了解二项分布的背景和意义，理解二项分布的概念及其在实际问题中的应用。
1.2 教学内容1.2.1 二项分布的定义通过具体案例引入二项分布的概念，讲解二项分布的基本性质。
1.2.2 二项分布的概率质量函数推导二项分布的概率质量函数，讲解影响二项分布概率的因素。
1.3 教学方法采用案例分析法，通过具体案例引导学生理解二项分布的概念及其应用。
1.4 教学评估通过小组讨论和课堂练习，检查学生对二项分布的理解程度。
第二章：二项分布的概率质量函数2.1 教学目标掌握二项分布的概率质量函数的推导和运用。
2.2 教学内容2.2.1 二项分布的概率质量函数推导讲解二项分布的概率质量函数的推导过程，引导学生理解各个参数的含义。
2.2.2 二项分布的概率质量函数的应用通过具体案例，讲解如何运用二项分布的概率质量函数解决实际问题。
2.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的概率质量函数。
2.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布概率质量函数的掌握程度。
第三章：二项分布的期望和方差3.1 教学目标掌握二项分布的期望和方差的计算方法及其应用。
3.2 教学内容3.2.1 二项分布的期望讲解二项分布的期望的计算方法，引导学生理解期望的含义。
3.2.2 二项分布的方差讲解二项分布的方差的计算方法，引导学生理解方差的概念。
3.3 教学方法采用讲解法，结合具体案例，引导学生理解和运用二项分布的期望和方差。
3.4 教学评估通过课堂练习和小组讨论，检查学生对二项分布的期望和方差的掌握程度。
第四章：二项分布的应用4.1 教学目标了解二项分布在不同领域的应用，提高学生解决实际问题的能力。
4.2 教学内容4.2.1 生物学领域的应用讲解二项分布在生物学领域的应用，如基因遗传等。
4.2.2 医学领域的应用讲解二项分布在医学领域的应用，如药物疗效等。
4.2.3 社会科学领域的应用讲解二项分布在社会科学领域的应用，如民意调查等。
高三理科数学一轮复习讲义：第十一章计数原理概率随机变量及其分布11.8条件概率n次独立重复试验与二项分布
§11.8 条件概率、n 次独立重复试验与二项分布考纲展示►1.了解条件概率和两个事件相互独立的概念．2．理解n 次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．考点1 条件概率条件概率 (1)定义设A ，B 为两个事件，且P (A )>0，称P (B |A )＝P ABP A为在事件A 发生条件下，事件B 发生的条件概率．(2)性质①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．条件概率的性质．(1)有界性：0≤P (B |A )≤1.( )(2)可加性：如果B 和C 为互斥事件，则P ((B ∪C )|A )＝P (B |A )＋P (C |A )．( )[典题1] (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ：“取到的2个数之和为偶数”，事件B ：“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )＝( )A.18B.14C.25D.12(2)1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则两次都取到红球的概率是( )A.1127B.1124C.827D.924[点石成金] 条件概率的两种求解方法 (1)定义法：先求P (A )和P (AB )，再由P (B |A )＝P ABP A求P (B |A )．(2)基本事件法：借助古典概型概率公式，先求事件A 包含的基本事件数n (A )，再求事件AB 所包含的基本事件数n (AB )，得P (B |A )＝n ABn A.考点2 事件的相互独立性(1)定义：设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝________，则称事件A 与事件B 相互独立． (2)性质：若事件A 与B 相互独立，则A 与B 、A 与B 、A 与B 也都相互独立，P (B |A )＝________，P (A |B )＝________.[典题2] 为了分流地铁高峰的压力，某市发改委通过听众会，决定实施低峰优惠票价制度．不超过22千米的地铁票价如下表：的概率分别为14，13，甲、乙乘车超过6千米且不超过12千米的概率分别为12，13.(1)求甲、乙两人所付乘车费用不相同的概率；(2)设甲、乙两人所付乘车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列．[点石成金] 1.利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；2．正面计算较繁或难以入手时，可从其对立事件入手计算.在一块耕地上种植一种作物，每季种植成本为 1 000元，此作物的市场价格和这块地上的产量均具有随机性，且互不影响，其具体情况如下表：(1)设X(2)若在这块地上连续3季种植此作物，求这3季中至少有2季的利润不少于2 000元的概率．考点3 独立重复试验与二项分布独立重复试验与二项分布(1)[教材习题改编]某人抛掷一枚硬币，出现正反的概率都是12，构造数列{a n }，使得a n＝⎩⎪⎨⎪⎧第n 次出现正面，－第n 次出现反面， 记S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n (n ∈N *)，则S 4＝2的概率为________．(2)[教材习题改编]小王通过英语听力测试的概率是13，他连续测试3次，那么其中恰有1次获得通过的概率是________．二项分布：P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k(k ＝0,1,2，…，n )．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12，则P (X ＝3)的值是________．[典题3] [2019·湖南长沙模拟]博彩公司对2019年NBA 总决赛做了大胆地预测和分析，预测西部冠军是老辣的马刺队，东部冠军是拥有詹姆斯的年轻的骑士队，总决赛采取7场4胜制，每场必须分出胜负，场与场之间的结果互不影响，只要有一队获胜4场就结束比赛．前4场，马刺队胜利的概率为12，第5,6场马刺队因为平均年龄大，体能下降厉害，所以胜利的概率降为25，第7场，马刺队因为有多次打第7场的经验，所以胜利的概率为35.(1)分别求马刺队以4∶0,4∶1,4∶2,4∶3胜利的概率及总决赛马刺队获得冠军的概率； (2)随机变量X 为分出总冠军时比赛的场数，求随机变量X 的分布列．[点石成金] 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查该概率模型是否满足公式P (X ＝k )＝C k n p k(1－p )n －k的三个条件：(1)在一次试验中某事件A 发生的概率是一个常数p ；(2)n 次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n 次试验中事件A 恰好发生了k 次的概率.某市为了调查学校“阳光体育活动”在高三年级的实施情况，从本市某校高三男生中随机抽取一个班的男生进行投掷实心铅球(重3 kg)测试，成绩在6.9米以上的为合格．把所得数据进行整理后，分成5组画出频率分布直方图的一部分(如图所示)，已知成绩在[9.9,11.4)的频数是4.(1)求这次铅球测试成绩合格的人数；(2)若从今年该市高中毕业男生中随机抽取两名，记ξ表示两人中成绩不合格的人数，利用样本估计总体，求ξ的分布列．[方法技巧] 1.古典概型中，A 发生的条件下B 发生的条件概率公式为P (B |A )＝P ABP A＝n AB n A ，其中，在实际应用中P (B |A )＝n ABn A是一种重要的求条件概率的方法．2．判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有二：其一是独立性，即一次试验中，事件发生与不发生二者必居其一；其二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．3．n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次可看作是C k n个互斥事件的和，其中每一个事件都可看作是k个A事件与n－k个A事件同时发生，只是发生的次序不同，其发生的概率都是p k(1－p)n－k.因此n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率为C k n p k(1－p)n－k.[易错防范] 1.相互独立事件是指两个事件发生的概率互不影响，计算公式为P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一试验中，两个事件不会同时发生，计算公式为P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．2．运用公式P(AB)＝P(A)P(B)时一定要注意公式成立的条件，只有当事件A，B相互独立时，公式才成立．真题演练集训1．[2018·重庆模拟]投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试．已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( )A．0.648 B．0.432C．0.36 D．0.3122．[2018·天津模拟]某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是( )A．0.8 B．0.75C．0.6 D．0.45课外拓展阅读误用“二项分布与超几何分布”二项分布和超几何分布是两类重要的概率分布模型，这两种分布存在着很多的相似之处，在应用时应注意各自的适用条件和情境，以免混用出错．[典例1] 某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．现在在总共8小块地中，随机选4小块地种植品种甲，另外4小块地种植品种乙．种植完成后若随机选出4块地，其中种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望．[思路分析]判断分布的类型→确定X的取值及其概率→列出分布列并求数学期望易错提示本题容易错误地得到X 服从二项分布，每块地种植甲的概率为12，故X ～B (4,0.5)．错误的根源在于每块地种植甲或乙不是相互独立的，它们之间是相互制约的，无论怎么种植都要保证8块地中有4块种植甲，4块种植乙，事实上X 应服从超几何分布．如果将题目改为：在8块地中，每块地要么种植甲，要么种植乙，那么在选出的4块地中种植甲的数目为X ，则这时X ～B (4,0.5)(这时这8块地种植的方法总数为28，会出现所有地都种植一种作物的情况，而题目要求4块地种植甲，4块地种植乙，其方法总数为C 48)．[典例2] 某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作．规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过．已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是23，且每题正确完成与否互不影响．(1)分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；(2)试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．易错提示本题容易错误地得到甲、乙两考生正确完成的题数均服从二项分布，实际上题目中已知甲、乙两考生按照题目要求独立完成全部实验操作，甲考生正确完成的题数服从超几何分布，乙考生正确完成的题数服从二项分布．。
二项分布及其应用
14．在高三的一个班中，有的学生数学成绩优秀，若从班中随机找出5名学生，那么数学成绩优秀的学生数ξ～B，则P(ξ＝k)取最大值时k的值为()
A．0B．1C．2D．3
15．某篮球决赛在广东队与山东队之间进行，比赛采用7局4胜制，即若有一队先胜4场，则此队获胜，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为.据以往资料统计，第一场比赛组织者可获得门票收入40万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加10万元，则组织者在此次决赛中要获得的门票收入不少于390万元的概率为________．
A.B.C.D.
3．设两个正态分布N(μ1，σ)(σ1＞0)和N(μ2，σ)(σ2＞0)的密度函数图象如图所示．则有()
A．μ1＜μ2，σ1＜σ2B．μ1＜μ2，σ1＞σ2C．μ1＞μ2，σ1＜σ2D．μ1＞μ2，σ1＞σ2
4．在三次独立重复试验中，事件A在每次试验中发生的概率相同，若事件A至少发生一次的概率为，则事件A恰好发生一次的概率为()
10．甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A1，A2和A3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．
8．在国庆期间，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为、.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有一人去北京旅游的概率为________．
9．某种品牌摄像头的使用寿命ξ(单位：年)服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为________．
二项分布及其应用
二项分布及其应用二项分布及其应用◇条件概率◇一、条件概率的定义与性质如果事件A发生与否，会影响到事件B的发生，在知道事件A发生的条件下去研究事件B时，基本事件空间发生了变化，从而B发生的概率也随之改变，这就条件概率要研究的问题。
1.定义：一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．2.性质：（1）条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．（2）如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝二、典型例题1、利用定义求条件概率例1：抛掷两颗均匀的骰子，问（1）至少有一颗是6点的概率是多少？（2）在已知两颗骰子点数不同的条件下，至少有一颗是6点的概率是多少？例2:抛掷红蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”。
（1）求P(A),P(B),P(AB);(2)在已知蓝色骰子的点数为3或6时，求两颗骰子的点数之和大于8的概率。
2、利用缩小基本事件空间的方法求条件概率例1：一个口袋内装有4个白球和2个黑球，若不放回地抽取3次，每次抽一个小球，求（1）第一次摸出一个白球的情况下，第二次与第三次均是白球的概率。
（2）第一次和第二次均是白球的情况下，第三次是白球的概率。
例2：设10件产品中有4件次品，从中任取2件，那么（1）在所取得产品中发现是一件次品，求另一件也是次品的概率。
（2）若每次取一件，在所得的产品中第一次取出的是次品，那么求第二件也是次品的概率。
3、条件概率的性质及应用例1：在某次考试中，要从20道中随机地抽出6道题，若考试至少答对其中4道即可通过；若至少答对其中5道就获得优秀，已知某生能答对其中10道题目，且知道他在这次考试中已经通过，求他获得优秀的概率。
例2：把一副扑克牌（不含大小王）随机均分给赵、钱、孙、李四家，A={赵家得到6张梅花}，B={孙家得到3张梅花} （1）求P(B|A)(2)求P(AB)三、课堂练习1、把一颗骰子连续抛掷两次，已知在第一次抛出偶数点的情况下，第二次抛出的也是偶数点的概率是多少？2、一个盒子中装有6件合格产品和4件次品，不放回地任取两次，每次取一件。
二项分布及其应用(讲课适用)
p
1
n
（理论值）
sp p(1 p) n （实际值）
（二）二项分布的累计概率
从阳性率为
的总体中随机抽取n个观察单位，则
（1）最多有k例阳性的概率为
P(X k) P(0) P(1) P(k)
（2）最少有k例阳性的概率为
P(X k) P(k) P(k 1) P(n) 1 P(X k 1)
一、二项分布的概念及应用条件
1、概念：若试验 E 只有两种相互对立的结果(A及 A ),
并且 P(A) ，
， 把 E 独立地重复 n
次的试验称为 n 重贝努里试验（Bernoulli trial）。
n 重贝努里试验中事件A发生的次数 x 所服从的分布
即为二项分布（binomial distribution），记为 x ~
二项分布及其应用
内容提纲
二项分布的概念及应用条件 二项分布的性质 二项分布的特点 二项分布的应用
一、二项分布的概念及应用条件
举例：设小白鼠接受一定剂量的某种 毒物染毒后死亡率为80%。若每组各 用3只小白鼠（甲、乙、丙）接受该 种毒物染毒，观察各组小白鼠的存亡 情况。
死亡数 x
(1) 0
B( , n ）。
例 抛硬币（正/反），患者治疗后的结局（治愈/未愈），实验 动物染毒后结局（生存/死亡），……。
一、二项分布的概念及应用条件
2、应用条件：
① n次试验相互独立 （ n 个观察单位相互独立）。 ② 每次试验只有两种可能结果中的某一种（适用
于二分类资料）。
③ 每次试验发生某一种结果的概率 固定不变
1
2
3 合计
表 1 3 只小白鼠染毒后的死亡只数的概率分布
二项分布及其应用教案定稿
二项分布及其应用教案定稿第一章：二项分布的概念及性质1.1 二项分布的定义引导学生回顾概率论的基础知识，引入随机变量的概念。
解释二项分布的定义，即在固定次数n的独立实验中，每次实验成功或失败的概率为p的随机变量的分布。
1.2 二项分布的性质引导学生了解二项分布的概率质量函数（PMF）及其表达式。
解释二项分布的期望、方差等统计量，并引导学生理解其含义。
第二章：二项分布的概率计算2.1 概率质量函数的推导引导学生使用二项分布的概率质量函数公式进行计算。
解释公式中各项的物理意义，如n次实验中成功k次的概率。
2.2 特定概率下的成功次数的计算引导学生使用概率质量函数计算特定概率下的成功次数。
举例说明如何计算概率质量函数的积分。
第三章：二项分布的应用3.1 抛硬币实验引导学生进行抛硬币实验，观察并记录实验结果。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析实验结果的概率分布。
3.2 药物有效性测试引导学生了解药物有效性测试的背景和目的。
引导学生使用二项分布的概念和概率计算方法，分析药物有效性测试的结果。
第四章：二项分布的参数估计4.1 参数估计的概念引导学生了解参数估计的概念和方法。
解释使用样本数据来估计总体参数的过程。
4.2 二项分布的参数估计方法引导学生使用样本均值和样本方差来估计二项分布的参数np和n(1-p)。
解释估计的准确性和可靠性，并引导学生了解置信区间的概念。
第五章：二项分布的假设检验5.1 假设检验的概念引导学生了解假设检验的概念和方法。
解释使用样本数据来对总体分布的假设进行检验的过程。
5.2 二项分布的假设检验方法引导学生使用二项分布的检验统计量进行假设检验。
解释检验的显著性水平和拒绝域的概念，并引导学生了解p值的计算方法。
第六章：二项分布与正态分布的关系6.1 正态分布的概念引导学生回顾正态分布的定义和性质。
解释正态分布与二项分布的关系，即当n足够大时，二项分布近似正态分布。
6.2 二项分布到正态分布的转换引导学生了解二项分布到正态分布的转换方法。
《二项分布及其应》课件
• 改进方向： a. 引入其他分布：对于样本量较小的情况，可以考虑使用泊松分布等其他分布来近似二项分布。 b. 利 用贝叶斯推断：贝叶斯推断可以用于估计未知的分布参数，提高二项分布在实际应用中的精确度。 c. 考虑其他模型： 对于某些特定问题，可以考虑使用其他模型来描述实际数据，如正态分布、泊松分布等。
贝叶斯估计法的定义和原理 贝叶斯估计法在二项分布参数估计中的应用 贝叶斯估计法的优缺点分析 贝叶斯估计法与其他参数估计方法的比较
最小二乘估计法
定义：最小二乘法是一种数学统计方法，通过最小化误差的平方和来估计参数
原理：最小二乘法通过最小化预测值与实际值之间的误差平方和来估计参数，从而得到最佳的 参数估计值
假设检验的步骤和实例
提出假设
构造检验统计量
确定临界值
做出推断
实例演示
06
二项分布在实际应用中的案例分析
实验设计和数据分析
实验设计：确 定实验目的、 设计实验方案、 选择实验样本
数据分析：对 实验数据进行 整理、分析和 解释，得出结
论
实验结果：展 示实验结果， 包括数据表格、
图表等
结论与讨论： 对实验结果进 行讨论，提出 改进意见和建
议
二项分布在实际应用中的案例介绍
案例一：医学研究计学中的 二项分布
案例四：计算机科学中的 二项分布
二项分布在实际应用中的优缺点分析
优点：适用于独立 重复试验，可以快 速准确地计算概率
缺点：不适用于连 续性随机变量，需 要满足独立同分布 的条件
高考数学第一轮章节复习课件 第八节 二项分布及其应用(理)
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个 白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱， 然后从2号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是 多少？
本题可分为两种互斥的情况：一是从1号箱取出 红球；二是从1号箱取出白球.然后利用条件概率 知识来解决.
【解】 记事件A：最后从2号箱中取出的是红球； 事件B：从1号箱中取出的是红球． 则P(B)＝
(2009·辽宁高考)某人向一目标射击4次，每次击 中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、 二、三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何 一部分的概率与其面积成正比. (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列； (2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中1 次或第二部分被击中2次”，求P(A)．
∴P(B|A)＝
答案：A
4．在4次独立重复试验中事件A出现的概率相同，若事件A
至少发生一次的概率为 ，则事件A在1次试验中出现
的概率为________．
解析：A至少发生一次的概率为 ，则A的对立事件：事
件A都不发生的概率为1-
，所以，A在一
次试验中出现的概率为
答案：
5．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率 为a，第2道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品 是彼此无关的，那么产品的合格率是________． 解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1. 答案：ab－a－b＋1
3．甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 假设 两人射击是否击中目标相互之间没有影响，每人 各次射击是否击中目标相互之间也没有影响．求两人各 射击4次，甲恰好击中目标2次且乙恰好击中目标3次的 概率．
解：记“甲射击4次，恰有2次击中目标”为事件A， “乙射击4次，恰有3次击中目标”为事件B.
二项分布及其应用(答案)
二项分布及其应用【知识要点】一、条件概率及其性质1、条件概率一般地，设A ，B 为两个事件，且0)(>A P ，称)()()(A P AB P A B P =为在事件A 发生的条件下，事件B 发生的条件概率。
2、性质（1）任何事件的条件概率都在0和1之间，即1)(0≤≤A B P .（2）如果B 和C 是两个互斥事件，则)()()(A C P A B P A C B P ==Y 。
【例题1—1】从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A 为“取到的2个数之和为偶数”，事件B 为“取到的2个数均为偶数”，则=)(A B P （ B ） A 、81 B 、41 C 、52 D 、21 【例题1—2】在一次考试的5道题中，有3道理科题和2道文科题，如果不放回地依次抽取2道题，则在第一次抽到理科题的条件下，第二次抽到理科题的概率为 21 。
【例题1—3】某地区空气质量监测表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ A ）A 、0.8B 、0.75C 、0.6D 、0.45【例题1—4】从混有5张假钞的20张一百元钞票中任意抽取2张，将其中一张在验钞机上检验发现是假钞，则这两张都是假钞的概率为（ A ）A 、172B 、152C 、51D 、103 【例题1—5】把一枚硬币连续抛掷两次，事件A=“第一次出现正面”，事件B=“第二次出现正面”，则=)(A B P （ A ）A 、21B 、41 C 、61 D 、81 【例题1—6】1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2号箱随机取出一球，则在从1号箱中取出的是红球的条件下，从2号箱取出红球的概率是94 。
二、相互独立事件及n 次独立重复事件1、相互独立事件同时发生的概率(1)相互独立事件的定义：如果事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响,这样的两个事件叫做相互独立事件。
二项分布及其应用-研(精)
P(X ≥9)＝0.023257）
21
(2)正态近似法：
(n>50、np和n(1-p)均大于5)
p 0 u 0 (1 0 ) / n
例：某疾病采用常规治疗，其治愈率为45％。 现随机抽取180名该疾病的患者，并改用新的 治疗方法对其治疗，治愈117人。问新治疗方 法是否比常规疗法的效果好
p
p＝ (1 )
n
p(1 p) s p＝ n
12
2、二项分布的累计概率
最多有k例阳性的概率： P(X ≤k)=P(0)+ P(1)+ …+ P(k)
最少有k例阳性的概率： P(X ≥k)=P(k)+ P(k+1)+ …+ P(n) X=0,1,2,…,k,…,n
13
例(补充)：据报道，输卵管结扎的育龄妇女经 壶腹部－壶腹部吻合术后，其受孕率为0 .55， 问对10名输卵管结扎的育龄妇女实施该吻合 术后最多有2人不受孕的概率
总体率的CI:
p±uα/2Sp
p u / 2 p(1 p) / n
19
例3.7 P38 ←P31
20
2、样本率与总体率的比较
(1)直接计算法 例：据报道，输卵管结扎的育龄妇女经壶腹部壶腹部吻合术后，其受孕率为0 .55，今对10名 输卵管结扎的育龄妇女实施峡部-峡部吻合术， 结果有9人受孕，问其受孕率是否高于壶腹部壶腹部吻合术？ （假设检验：…
分布的图形 见P37
15
二项分布的图形形状（ n,π ）：
(1)当π＝0.5时，分布对称；当π ≠0.5时分布 是偏态的
(2) 固定π时，随着n的增大，分布趋于对称
(3)当n→∞、π不太靠近0或1时，二项分布接 近正态分布
二项分布及应用
10．7 二项分布及其应用班级姓名一、学习目标：了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．二、学习建议：1．把握基本题型；2．强化方法选择．三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题）1．甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率．知识链接1．条件概率的定义与性质(1)定义一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．(2)性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝2．甲、乙、丙打靶，射击命中的概率分别为0.5、0.6、0.7 ，若他们各人射击及各次射击之间相互独立．求：（1）三人各射击一次，恰有一人命中的概率；（2）甲射击三次，恰有一次命中的概率；（3）乙射击三次，恰有一次命中的概率；（4）丙射击三次，恰有一次命中的概率；（5）乙射击三次，求射击次数§的分布列．知识链接2．2．事件的相互独立性设A，B为两个事件，如果，则称事件A与事件B相互独立；如果事件A与B相互独立，那么A 与 B ，A 与B ，A 与 B ．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2…，n )表示第i 次试验的结果，则P (A 1A 2…A n )＝ ．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝ (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作 ，并称p 为成功概率．四、课堂互助区例1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次取一件．试求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．[点评] 条件概率P (B |A )与概率P (B )，它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是 在 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．例2．[2010·北京卷] 某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1求a ，b 的值．类题演练 [2010·四川卷] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[点评] 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则A 、B 中至少有一个发生的事件为 ；A 、B 都发生的事件为 ；A 、B 都不发生的事件为 ；A 、B 恰有一个发生的事件为 ；A 、B 至多有一个发生的事件为 .对于求“至少”“至多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率. 有时也可以从对立事件入手求解．例3．某单位举办2010年广州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”5张或“乐羊羊”(亚运会吉祥物)图案4张；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“乐羊羊”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．求4位参加者进行现场抽奖中奖的人数．类题演练：在2010年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点．就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”．面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．六、课堂小结：1．“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．2．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B 包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A)＝.3．相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．4．独立重复试验独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．10．7 二项分布及其应用班级姓名一、学习目标：了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题．二、学习建议：1．把握基本题型；2．强化方法选择．三、自主预习：（请用7分钟左右的时间完成，如若困难可先解决知识链接再解题）1．甲、乙两市位于长江下游，根据一百多年的记录知道，一年中雨天的比例，甲市为20%，乙市为18%，两市同时下雨的天数占12%.求：(1)乙市下雨时甲市也下雨的概率；(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率．[解答] 记“甲市下雨”为事件A，“乙市下雨”为事件B.按照题意有，P(A)＝20%，P(B)＝18%，P(AB)＝12%.(1)乙市下雨时甲市也下雨概率为P(A|B)＝P(AB)P(B)＝23.(2)甲市下雨时乙市也下雨的概率为P(B|A)＝P(AB)P(A)＝35.知识链接1．条件概率的定义与性质(1)定义一般地，设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝P ABP A为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，一般把P(B|A)读作A发生的条件下B的概率．(2)性质条件概率具有概率的性质，任何事件的条件概率都在0和1之间，即0≤P(B|A)≤1．如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝0≤P(B|A)≤12．甲、乙、丙打靶，射击命中的概率分别为0.5、0.6、0.7 ，若他们各人射击及各次射击之间相互独立．求：（1）三人各射击一次，恰有一人命中的概率；（2）甲射击三次，恰有一次命中的概率；（3）乙射击三次，恰有一次命中的概率；（4）丙射击三次，恰有一次命中的概率；（5）乙射击三次，求射击次数§的分布列．（1）0.5×（1-0.6）×（1-0.7）+（1-0.5）×0.6×（1-0.7）+（1-0.5）×（1-0.6）×0.7=0.29 （2）0.5×（1-0.5）×（1-0.5）+（1-0.5）×0.5×（1-0.5）+（1-0.5）×（1-0.5）×0.5=0.375（3）0.6×（1-0.6）×（1-0.6）+（1-0.6）×0.6×（1-0.6）+（1-0.6）×（1-0.6）×0.6=0.288（4）0.7×（1-0.7）×（1-0.7）+（1-0.7）×0.7×（1-0.7）+（1-0.7）×（1-0.7）×0.7=0.189（5）§~B （3，0.6）30034.06.0C ，21134.06.0C ，4.06.0223C ，03334.06.0C知识链接2．2．事件的相互独立性设A ，B 为两个事件，如果P (AB )＝P (A )P (B )，则称事件A 与事件B 相互独立；如果事件A 与B 相互独立，那么A 与 B ，A 与B ，A 与 B 也都相互独立．3．独立重复试验与二项分布 (1)独立重复试验在相同条件下重复做的n 次试验称为n 次独立重复试验，即若用A i (i ＝1,2…，n )表示第i 次试验的结果，则P (A 1A 2…A n )P (A 1)P (A 2)…P (A n )．(2)二项分布一般地，在n 次独立重复试验中，设事件A 发生的次数为X ，在每次试验中事件A 发生的概率为p ，则在n 次独立重复试验中，事件A 恰好发生k 次的概率为P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n -k (k ＝0,1,2，…，n )．此时称随机变量X 服从二项分布，记作X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．四、课堂互助区例1．在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次取一件．试求在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率．[解答] 方法一：设事件A 为第一次取到不合格品，事件B 为第二次取到不合格品．根据条件概率的定义计算，需要先求出事件AB 的概率：P (AB )＝5100×499＝1495，所以有P (B |A )＝P AB P A ＝5100×4995100＝499.方法二：第一次取到不合格品后，样本空间的个数变为99，还有不合格品4件，所以概率为499.[点评] 条件概率P (B |A )与概率P (B )，它们都以样本空间Ω为总样本，但它们取概率的前提是不相同的，概率P (B )是指在整个样本空间Ω的条件下事件B 发生的可能性大小，而条件概率P (B |A )是在事件A 发生的条件下，事件B 发生的可能性大小．例2．[2010·北京卷] 某同学参加3门课程的考试，假设该同学第一门课程取得优秀成绩的概率为45，第二、第三门课程取得优秀成绩的概率分别为p ，q (p >q )，且不同课程是否取得优秀成绩相互独立．记ξ为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为(1)求该生至少有1求a ，b 的值． [思路] (1)“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，利用对立事件求解；(2)利用P (ξ＝0)＝6125，P (ξ＝3)＝24125，通过解方程组求解；(3)利用a ＝P (ξ＝1)，b ＝P (ξ＝2)求解． [解答] 事件A i 表示“该生第i 门课程取得优秀成绩”，i ＝1,2,3.由题意知P (A 1)＝45，P (A 2)＝p ，P (A 3)＝q .(1)由于事件“该生至少有1门课程取得优秀成绩”与事件“ξ＝0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1－P (ξ＝0)＝1－6125＝119125. (2)由题意知，P (ξ＝0)＝P (A 1A2A 3)＝15(1－p )(1－q )＝6125，P (ξ＝3)＝P (A 1A 2A 3)＝45pq ＝24125，整理得pq ＝625，p ＋q ＝1，由p >q ，可得p ＝35，q ＝25. (3)由题意知a ＝p (ξ＝1)＝p (A 1A2A 3)＋P (A 1A 2A 3)＋P (A1A 2A 3)＝45(1－p )(1－q )＋15p (1－q )＋15(1－p )q ＝37125，b ＝P (ξ＝2)＝1－P (ξ＝0)－P (ξ＝1)－P (ξ＝3)＝58125.类题演练[2010·四川卷] 某种有奖销售的饮料，瓶盖内印有“奖励一瓶”或“谢谢购买”字样，购买一瓶若其瓶盖内印有“奖励一瓶”字样即为中奖，中奖概率为16.甲、乙、丙三位同学每人购买了一瓶该饮料．(1)求三位同学都没有中奖概率；(2)求三位同学中至少有两位没有中奖的概率．[思路] 三位同学是否中奖是相互独立的，使用P (AB )＝P (A )P (B )进行计算．本小题主要考查相互独立事件、互斥事件等概率计算，考查运用所学知识与方法解决实际问题的能力．[解答] (1)设甲、乙、丙中奖的事件分别为A 、B 、C ，那么P (A )＝P (B )＝P (C )＝16. P (A ·B ·C )＝P (A )P (B )P (C )＝⎝⎛⎭⎫563＝125216. 答：三位同学都没有中奖的概率是125216.(2)1－P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝1－3×⎝⎛⎭⎫162×56－⎝⎛⎭⎫163＝2527， 或P (A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C ＋A ·B ·C )＝2527.答：三位同学中至少有两位没有中奖的概率为2527.[点评] 在解题过程中，要明确事件中的“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“都不发生”“不都发生”等词语的意义．已知两个事件A 、B ，它们的概率分别为P (A )、P (B )，则A 、B 中至少有一个发生的事件为A ∪B ；A 、B 都发生的事件为AB ；A 、B 都不发生的事件为A B ；A 、B 恰有一个发生的事件为A B ∪A B ；A 、B 至多有一个发生的事件为AB ∪A B ∪A B .对于求“至少”“至多”有关的事件时，常常先求其对立事件的概率. 有时也可以从对立事件入手求解．例3．某单位举办2010年广州亚运会知识宣传活动，进行现场抽奖．盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“亚运会会徽”5张或“乐羊羊”(亚运会吉祥物)图案4张；抽奖规则是：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张都是“乐羊羊”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．求4位参加者进行现场抽奖中奖的人数．ξ～B ⎝⎛⎭⎫4，16的分布列为P (ξ＝k )＝C k4⎝⎛⎭⎫16k⎝⎛⎭⎫564－k(k ＝0,1,2,3,4)；P (ξ＝0)＝C 04160564＝6251296， P (ξ＝1)＝C 1416563＝125324，P (ξ＝2)＝C 24162562＝25216，P (ξ＝3)＝C 3416356＝5324， P (ξ＝4)＝C 44164＝11296类题演练：在2010年“两会”期间，保就业成为代表委员以及公众关注的焦点．就业不仅被致公党中央提交为今年政协的“一号提案”，而且在温家宝总理与网民交流时也指出，“就业不仅关系一个人的生计，而且关系一个人的尊严”．面对新形势，某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力．每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%.假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记ξ为3人中参加过培训的人数，求ξ的分布列．[解答] 任选1名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件A ，“该人参加过计算机培训”为事件B ，由题设知，事件A 与B 相互独立，且P (A ) ＝0.6，P (B )＝0.75.(1)解法一：任选1名下岗人员，该人没有参加过培训的概率是P 1＝P (A ·B )＝P (A )·P (B ) ＝0.4×0.25＝0.1，所以该人参加过培训的概率是P 2＝1－P 1＝1－0.1＝0.9.解法二：任选1名下岗人员，该人只参加过一项培训的概率是P 3＝P (A ·B )＋P (A ·B )＝0.6×0.25＋0.4×0.75＝0.45，该人参加过两项培训的概率是P 4＝P (A ·B )＝0.6×0.75＝0.45.所以该人参加过培训的概率是P 5＝P 3＋P 4＝0.45＋0.45＝0.9.(2)因为每个人的选择是相互独立的，所以3人中参加过培训的人数ξ服从二项分布B (3,0.9)，P (ξ＝k )＝C k3×0.9k ×0.13－k ，k ＝0,1,2,3，即ξ的分布列是六、课堂小结：1．“相互独立”与“事件互斥”的区别两事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件发生的概率没有影响(如有放回的抽取模型)．两事件相互独立不一定互斥．2．条件概率的求法(1)利用定义，分别求出P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝P ABP A；(2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基本事件数n(AB)，即P(B|A)＝n ABn A.3．相互独立事件同时发生的概率的求法(1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2)正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．4．独立重复试验独立重复试验是在同样的条件下重复地、各次之间相互独立地进行的一种试验．在这种试验中，每一次试验只有两种结果，即某事件要么发生，要么不发生，并且任何一次试验中发生的概率都是一样的．。
高三总复习数学课件 二项分布及其应用、正态分布
解析：根据n重伯努利试验公式得，该同学通过测试的概率为C×0.62×0.4＋ 0.63＝0.648.
答案：A
2．第六届世界互联网大会发布了 15 项“世界互联网领先科技成果”，其中有 5
项成果均属于芯片领域．现有 3 名学生从这 15 项“世界互联网领先科技成
果”中分别任选 1 项进行了解，且学生之间的选择互不影响，则恰好有 1 名
答案：B
2．(人教A版选择性必修第三册P77·T2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感
染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率
约为
()
A．0.33 B．0.66 C．0.5 D．0.45
答案：A
3．(湘教版选择性必修第二册 P130 ·例 4 改编)甲、乙两人进行乒乓球比赛，比
赛采取五局三胜制，无论哪一方先胜三局则比赛结束，假定甲每局比赛获胜
的概率均为23，则甲以 3∶1 的比分获胜的三册P87·习题T1改编)某学校高二年级数学学业质量 检测考试成绩X～N(80,25)，如果规定大于或等于85分为A等，那么在参加考 试的学生中随机选择一名，他的成绩为A等的概率是________．(附：若X～ N(μ，σ2)，则P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7) 解析：P(X≥85)＝12[1－P(75≤ X< 85)]≈1－02.682 7≈0.158 7.
n重伯努利试验 ②特征：同一个伯努利试验重复做n次；各次试验的结
果_相__互__独__立___
2.二项分布 (1)二项分布的定义： 一般地，在 n 重伯努利试验中，设每次试验中事件 A 发生的概率为 p(0<p<1)， 用 X 表示事件 A 发生的次数，则 X 的分布列为 P(X＝k)＝_C_kn_p_k_(_1_－__p_)n_－_k_，k＝ 0,1,2，…，n.如果随机变量 X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量 X 服从 二项分布，记作 X～B(n，p) ． (2)二项分布的均值与方差： 如果 X～B(n，p)，那么 E(X)＝ np ，D(X)＝ np(1－p) ．
二项分布及其应用教案定稿
二项分布及其应用教案定稿第一章：引言1.1 课程背景概率论与统计学的重要性二项分布的实际应用场景1.2 二项分布的定义概念引入：随机试验与二元结果二项分布的数学描述1.3 教学目标了解二项分布的概念及其数学表达掌握二项分布的概率质量函数和累积分布函数能够应用二项分布解决实际问题第二章：二项分布的概率质量函数2.1 二项分布的概率质量函数公式概率质量函数的定义二项分布的概率质量函数公式推导2.2 参数n和p对概率质量函数的影响参数n的增大对概率质量函数的影响参数p的增大对概率成功概率质量函数的影响2.3 概率质量函数的应用计算特定成功次数的概率绘制概率质量函数的图形第三章：二项分布的累积分布函数3.1 二项分布的累积分布函数公式累积分布函数的定义二项分布的累积分布函数公式推导3.2 参数n和p对累积分布函数的影响参数n的增大对累积分布函数的影响参数p的增大对累积成功概率分布函数的影响3.3 累积分布函数的应用计算随机变量X小于等于某个值的概率绘制累积分布函数的图形第四章：二项分布的应用4.1 实际问题引入硬币抛掷问题问卷调查问题4.2 二项分布的应用步骤确定随机试验的类型和参数n、p计算二项分布的概率质量函数或累积分布函数得出结论并解释实际问题4.3 案例分析硬币抛掷案例问卷调查案例5.1 本章要点回顾二项分布的概率质量函数和累积分布函数的定义及推导二项分布的应用步骤及案例分析5.2 拓展内容多项分布与二项分布的关系其他离散概率分布的学习5.3 作业布置习题一：计算特定成功次数的概率习题二：绘制概率质量函数和累积分布函数的图形习题三：应用二项分布解决实际问题第六章：多项分布与二项分布的关系6.1 多项分布的定义多项分布的概念引入多项分布的数学描述6.2 多项分布与二项分布的联系理解二项分布是多项分布的特殊情况掌握从二项分布到多项分布的推广6.3 应用案例分析分析多项分布在一个实际问题中的应用对比二项分布和多项分布的解决方法第七章：其他离散概率分布的学习7.1 几何分布几何分布的定义和性质几何分布的概率质量函数和累积分布函数7.2 泊松分布泊松分布的定义和性质泊松分布的概率质量函数和累积分布函数7.3 负二项分布负二项分布的定义和性质负二项分布的概率质量函数和累积分布函数7.4 应用案例分析运用几何分布解决实际问题使用泊松分布和负二项分布解决实际问题第八章：二项分布的估计与假设检验8.1 参数估计最大似然估计法点估计与区间估计8.2 假设检验拟合优度检验参数假设检验（如z检验、t检验）8.3 应用案例分析使用参数估计方法估计二项分布参数运用假设检验对二项分布进行检验第九章：计算机模拟与实验设计9.1 计算机模拟二项分布使用计算机软件（如R、Python）模拟二项分布实验分析模拟结果与理论分布的差异9.2 实验设计理解实验设计的重要性应用二项分布进行实验设计9.3 应用案例分析通过计算机模拟验证二项分布的特性设计一个实验应用二项分布解决实际问题10.1 课程回顾二项分布的概率质量函数和累积分布函数二项分布的应用步骤及案例分析其他离散概率分布的学习二项分布的估计与假设检验计算机模拟与实验设计10.2 重点难点解答针对学生的疑问进行解答分析学生作业中出现的问题并提供解决策略10.3 复习题与思考题设计复习题巩固知识点提供思考题激发学生的深入思考和探究重点和难点解析一、二项分布的定义及其数学表达解析：理解二项分布的基本概念和数学形式是理解后续内容的基础。
第8节 二项分布及其应用(理)
[考题印证]
(2009· 辽宁高考)(12分)某人向一目标射击4次，每次击
中目标的概率为 .该目标分为3个不同的部分，第一、二、 三部分面积之比为1∶3∶6，击中目标时，击中任何一部分 的概率与其面积成正比． (1)设X表示目标被击中的次数，求X的分布列；
(2)若目标被击中2次，A表示事件“第一部分至少被击中
2．借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件 数n(A)，再在事件A发生的条件下求事件B包含的基
本事件数，即n(AB)，得P(B|A)＝
.
1号箱中有2个白球和4个红球，2号箱中有5个白球和3
个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入2号箱，然后从2 号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是多少？ [思路点拨]
P(A)P(A)P( )P( )＝ P( )P( )P(B)P(B)＝ .
，
所以甲、乙两人各投球2次，共命中2次的概率为
1.独立重复试验的条件：第一，每次试验是在同样条件下 进行；第二，各次试验中的条件是相互独立的；第三，
每次试验都只有两种结果，即事件要么发生，要么不
发生． 2．关于P(X＝k)＝ pk(1－p)n－k，k＝0,1,2，…，n，它是
两次试跳中成功i次”为事件Ni(i＝0,1,2)，因为事件“甲、乙
各试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次”可表示为 M1N0＋M2N1，且M1N0、M2N1为互斥事件． 所以所求的概率为
P(M1N0＋M2N1)＝P(M1N0)＋P(M2N1) ＝P(M1)P(N0)＋P(M2)P(N1) ＝C×0.7×0.3×0.42＋0.72×C×0.6×0.4 ＝0.067 2＋0.235 2＝0.302 4. 即甲、乙每人试跳两次，甲比乙的成功次数恰好多一次 的概率为0.302 4.
专题：二项分布及其应用.doc
专题：二项分布及其应用1． 条件概率及其性质(1)对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做条件概率，用符号P (B |A )来表示，其公式为P (B |A )＝P (AB )P (A )(P (A )>0)． 在古典概型中，若用n (A )表示事件A 中基本事件的个数，则P (B |A )＝n (AB )n (A ). (2)条件概率具有的性质：①0≤P (B |A )≤1；②如果B 和C 是两个互斥事件，则P (B ∪C |A )＝P (B |A )＋P (C |A )．2． 相互独立事件(1)对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称A 、B 是相互独立事件．(2)若A 与B 相互独立，则P (B |A )＝P (B )，P (AB )＝P (B |A )P (A )＝P (A )P (B )．(3)若A 与B 相互独立，则A 与B ，A 与B ，A 与B 也都相互独立．(4)若P (AB )＝P (A )P (B )，则A 与B 相互独立．3． 二项分布(1)独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有__两__种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的．(2)在n 次独立重复试验中，用X 表示事件A 发生的次数，设每次试验中事件A 发生的概率为p ，则P (X ＝k )＝C k n p k (1－p )n －k (k ＝0,1,2，…，n )，此时称随机变量X 服从二项分布，记为X ～B (n ，p )，并称p 为成功概率．1. 如图所示的电路，有a ，b ，c 三个开关，每个开关开或关的概率都是12， 且是相互独立的，则灯泡甲亮的概率为_______________．2． 某次知识竞赛规则如下：在主办方预设的5个问题中，选手若能连续正确回答出两个问题，即停止答题，晋级下一轮．假设某选手正确回答每个问题的概率都是0.8，且每个问题的回答结果相互独立，则该选手恰好回答了4个问题就晋级下一轮的概率为________．3． 某一部件由三个电子元件按如图所示方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N (1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为________．—⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪—元件1——元件2——元件3— 4． 把一枚硬币连续抛两次，记“第一次出现正面”为事件A ，“第二次出现正面”为事件B ，则P (B |A )等于( ) A.12 B.14 C.16 D.185． 如果X ～B ⎝⎛⎭⎫15，14，则使P (X ＝k )取最大值的k 值为 ( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．3或4题型一 条件概率例1 在100件产品中有95件合格品，5件不合格品．现从中不放回地取两次，每次任取一件，则在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率为________．如图，EFGH 是以O 为圆心，半径为1的圆的内接正方形．将一颗豆子随机地扔到该圆内，用A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE (阴影部分)内”，则(1)P (A )＝________；(2)P (B |A )＝________.题型二 相互独立事件的概率例2 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球，命中率分别为12与p ，且乙投球2次均未命中的概率为116. (1)求乙投球的命中率p ；(2)求甲投球2次，至少命中1次的概率；(3)若甲、乙两人各投球2次，求共命中2次的概率．红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘．已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立．(1)求红队至少两名队员获胜的概率；(2)用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E (ξ)．题型三 独立重复试验与二项分布例3 某气象站天气预报的准确率为80%，计算：(结果保留到小数点后第2位)(1)5次预报中恰有2次准确的概率；(2)5次预报中至少有2次准确的概率；(3)5次预报中恰有2次准确，且其中第3次预报准确的概率．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗人员可以选择参加一项培训、参加两项培训或不参加培训，已知参加过财会培训的有60%，参加过计算机培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且各人的选择相互之间没有影响．(1)任选1名下岗人员，求该人参加过培训的概率；(2)任选3名下岗人员，记X 为3人中参加过培训的人数，求X 的分布列．典例：一名学生每天骑车上学，从他家到学校的途中有6个交通岗，假设他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是13. (1)设X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列； (2)设Y 为这名学生在首次停车前经过的路口数，求Y 的分布列．A 组 专项基础训练一、选择题1． 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A ＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B ＝“取到的2个数均为偶数”，则P (B |A )等于( ) A.18 B.14 C.25D.12 2． 如图，用K 、A 1、A 2三类不同的元件连接成一个系统．当K 正常工作且A 1、A 2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K 、A 1、A 2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为 ( )A ．0.960B ．0.864C ．0.720D ．0.5763． 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军，若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )A.12B.35C.23D.344． 已知随机变量X 服从二项分布X ～B (6，13)，则P (X ＝2)等于 ( ) A.1316B.4243C.13243D.80243二、填空题 5． 明天上午李明要参加奥运志愿者活动，为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率为0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．6． 某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为1625，则该队员每次罚球的命中率为________．7． 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂产品的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是________．三、解答题8． 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率．9． 某篮球队与其他6支篮球队依次进行6场比赛，每场均决出胜负，设这支篮球队与其他篮球队比赛胜场的事件是独立的，并且胜场的概率是13. (1)求这支篮球队首次胜场前已经负了两场的概率； (2)求这支篮球队在6场比赛中恰好胜了3场的概率．B 组 专项能力提升一、选择题1． 某种元件的使用寿命超过1年的概率为0.6，使用寿命超过2年的概率为0.3，则使用寿命超过1年的元件还能继续使用的概率为( ) A ．0.3 B ．0.5 C ．0.6 D ．12． 位于坐标原点的一个质点P 按下述规则移动：质点每次移动一个单位；移动的方向为向上或向右，并且向上、向右移动的概率都是12.质点P 移动五次后位于点(2,3)的概率是 ( )A.⎝⎛⎭⎫125 B ．C 25⎝⎛⎭⎫12 5 C ．C 35⎝⎛⎭⎫123 D ．C 25C 35⎝⎛⎭⎫125 3． 两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为( ) A.12B.512C.14D.16二、填空题4. 在一段线路中并联两个自动控制的常用开关，只要其中有一个开关能够闭合，线路就能正常工作．假定在某段时间内每个开关能够闭合的概率都是0.7，则这段时间内线路正常工作的概率为_______．5. 将一个半径适当的小球放入如图所示的容器最上方的入口处，小球将自由下落．小球在下落的过程中，将3次遇到黑色障碍物，最后落入A 袋或B 袋中．已知小球每次遇到黑色障碍物时，向左、右两边下落的概率都是12，则小球落入A 袋中的概率为________．6． 甲罐中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙罐中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲罐中随机取出一球放入乙罐，分别以A 1，A 2和A 3表示由甲罐取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙罐中随机取出一球，以B 表示由乙罐取出的球是红球的事件，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号)．①P (B )＝25；②P (B |A 1)＝511；③事件B 与事件A 1相互独立；④A 1，A 2，A 3是两两互斥的事件；⑤P (B )的值不能确定，因为它与A 1，A 2，A 3中究竟哪一个发生有关．三、解答题7． 某公司是否对某一项目投资，由甲、乙、丙三位决策人投票决定，他们三人都有“同意”、“中立”、“反对”三类票各一张，投票时，每人必须且只能投一张票，每人投三类票中的任何一类票的概率都为13，他们的投票相互没有影响，规定：若投票结果中至少有两张“同意”票，则决定对该项目投资；否则，放弃对该项目的投资．(1)求该公司决定对该项目投资的概率；(2)求该公司放弃对该项目投资且投票结果中最多有一张“中立”票的概率．P (C )＋P (D )＝1327.。
【高中数学】二项分布及其应用
2 0.0025
四、几何分布 1. 定义： 在独立重复试验中，某事件 A 第一次发生时所作的试验次数 ξ 也是一个取值为正整数的随机变量。“ξ =k”表示在第 k
次独立重复试验时事件 A 第一次发生。如果把第 k 次实验时事件 A 发生记为 Ak，p( Ak)=p，事件 A 不发生记为 Ak ，
P( Ak )=q (q=1-p)，那么：
P( k) Cnk pk qnk （其中 k=0,1, ... ,n，q=1-p ）
于是可得随机变量 ξ 的概率分布如下：
(ab) C a C a b C a b C b 由于 Cnk pk qnk 恰好是二项展开式
n
0 n
n
1 n1 1
n
r nr r
n
nn
n 中的第 k+1 项，
所以，称这样的随机变量 ξ 服从二项分布，记作 ξ～B(n,p)，其中 n,p 为参数，并记：
下概率不变，则为相互独立. (2)互斥事件是指不可能同时发生的两个事件. 相互独立事件是指一事件的发生与否对另一事件发生的概率没影响. (3)如果 A、B 是相互独立事件，则 A 的补集与 B 的补集、A 与 B 的补集、A 的补集与 B 也都相互独立.
2. 相互独立事件同时发生的概率公式
两个相互独立事件同时发生的概率，等于每个事件发生的概率的积。则有： P( A • B) P( A) • P(B)
第2页
Cnk pk qnk B(k; n, p)
4. 解题步骤 例 3. 某厂生产电子元件，其产品的次品率为 5%。现从一批产品中任意地连续取出 2 件，写出其中次品数 ξ 的概率 分布。 解：依题意，随机变量 ξ～B(2，5%)
因此，次品数 ξ 的概率分布是： ξ p
二项分布及其应用
二项分布及其应用一、学习目标：1、了解条件概率的概念，了解两个事件相互独立的概念；2、理解n 次独立重复试验模型及二项分布，并能解决一些简单问题。
二、重点、难点：独立重复试验及二项分布三、导读、导思：1、条件概率及其性质（1）对于任何两个事件A 和B ，在已知事件A 发生的条件下，事件B 发生的概率叫做 ，用符号 来表示，其公式为()A B P 在古典概型中，若用)(A n 表示事件A 中基本事件的个数,则(P . （2）条件概率具有的性质：① ；②如果B 与C 是两互斥事件，则=⋃)(A C B P . 2、相互独立事件（1）对于事件A 、B ，若A 的发生与B 的发生互不影响，则称 （2）若A 与B 相互独立，则()=A B P ，=)(AB P = （3）若A 与B 相互独立，则 ， ， 也都相互独立。
（4）若()()()B P A P AB P =,则 。
3、二项分布（1）独立重复试验是指在相同条件下可重复进行的，各次之间相互独立的一种试验，在这种试验中每一次试验只有 种结果，即要么发生，要么不发生，且任何一次试验中发生的概率都是一样的。
（2）在n 次独立重复试验中，事件A 发生k 次的概率为 （p 为事件A 发生的概率），事件A 发生的次数是一个随机变量X ，其分布列为 ，记为 。
四、导练展示：1、在一次反恐演习中，我方三架武装直升机分布从不同方位对同一目标发动攻击（各放射一枚导弹），由于天气原因，三枚导弹命中目标的概率分别为,8.0,9.0,9.0若至少有两枚导弹命中目标方可将其摧毁，则目标被摧毁的概率为（ ） A 、0.998 B 、0.046 C 、0.002 D 、0.9542、在口袋中有不同编号的3个白球和2个黑球，如果不放回地依次取两个球，在第1次取到白球的条件下，第2次也取到白球的概率。
3、甲、乙两射击运动员分别对一目标射击1次，甲射中的概率为0.8，乙射中的概率为0.9，求：（1）2人都射中目标的概率；(2)2人中恰有1人射中目标的概率； （3）2人至少有1人射中目标的概率； （4）2人至多有1人射中目标的概率。
二项分布的应用
二项分布的应用二项分布是概率论中的一种离散概率分布，常用来描述二项试验中成功次数的分布情况。
在实际生活中，二项分布有着广泛的应用，涉及到多个领域，包括工程、医学、金融等。
本文将以几个典型的二项分布应用为例，介绍二项分布在实际问题中的作用。
我们来看一个简单的例子。
假设某电子产品的生产车间中有一台机器，每天生产的产品数量是固定的。
为了保证产品质量，该机器会以一定的概率产生不合格品。
现在我们想知道，在连续生产n个产品后，有多大的概率会出现m个不合格品。
这个问题可以用二项分布来解决。
二项分布的概率函数可以用来计算在n次独立重复试验中成功次数为m的概率。
在这个例子中，每次生产产品的结果都是独立的，且成功的概率是固定的。
因此，我们可以使用二项分布的概率函数来计算出在n次生产中出现m个不合格品的概率。
除了生产过程中的质量控制，二项分布还可以应用于一些金融问题。
例如，在股票市场中，我们常常关注某只股票在未来一段时间内的涨跌概率。
假设某只股票在每个交易日中以一定的概率上涨，以另一定的概率下跌。
我们可以用二项分布来模拟这个过程，并计算出在未来若干个交易日中，股票上涨次数超过某个特定值的概率。
这对于投资者来说是非常有价值的信息，可以帮助他们制定投资策略。
二项分布还可以应用于医学研究中。
例如，在进行药物临床试验时，研究人员常常需要知道某种药物对患者的治疗效果。
他们会将患者分为两组，一组服用药物，另一组不服用药物（作为对照组）。
然后，研究人员会记录每组患者的治疗结果，比较两组之间的差异。
这个比较过程可以用二项分布来描述。
假设治疗组中有一定比例的患者获得治愈，而对照组中的患者获得治愈的比例略低。
通过对两组患者进行统计分析，可以计算出治疗组的治愈率超过对照组的概率，从而判断该药物的疗效。
二项分布在实际生活中有着广泛的应用。
无论是质量控制、金融问题还是医学研究，二项分布都能提供有价值的信息。
通过对二项分布的应用，我们可以更好地理解和解决实际问题，为决策提供科学依据。
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5．某机械零件加工由2道工序组成，第1道工序的废品率 ．某机械零件加工由 道工序组成 道工序组成， 道工序的废品率 道工序的废品率为b，假定这2道工序出废品 为a，第2道工序的废品率为 ，假定这 道工序出废品 ， 道工序的废品率为 是彼此无关的，那么产品的合格率是 是彼此无关的，那么产品的合格率是________． ． 解析：合格率为 － 解析：合格率为(1－a)(1－b)＝ab－a－b＋1. － ＝ － － ＋ 答案： － － ＋ 答案：ab－a－b＋1
解析： 解析：
答案： 答案：A
3．甲、乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知， ． 乙两地都位于长江下游，根据天气预报的纪录知， 一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，两市同时下雨 ，乙市占 一年中下雨天甲市占 ， 则甲市为雨天， 占12%.则甲市为雨天，乙市也为雨天的概率为 ( 则甲市为雨天 A．0.6 ． C．0.8 ． 则P(A)＝0.2，P(B)＝0.18， ＝ ， ＝ ， P(AB)＝0.12， ＝ ， ∴P(B|A)＝ ＝ 答案： 答案：A B．0.7 ． D．0.66 ． )
1．甲射击命中目标的概率为0.75，乙射击命中目标的概率 ．甲射击命中目标的概率为 ， 为 率为 B.1 ，当两人同时射击同一目标时，该目标被击中的概 当两人同时射击同一目标时， ( )
解析： 解析： P= 答案： 答案：C
2．在4次独立重复试验中，随机事件 恰好发生 次的概率 ． 次独立重复试验中， 恰好发生1次的概率 次独立重复试验中 随机事件A恰好发生 不大于其恰好发生两次的概率，则事件 在一次试验中 不大于其恰好发生两次的概率，则事件A在一次试验中 发生的概率p的取值范围是 发生的概率 的取值范围是 A．[0.4,1] ． C．(0,0.6] ． B．(0,0.4] ． D．[0.6,1) ． ( )
解析：甲市为雨天记为 ，乙市为雨天记为B， 解析：甲市为雨天记为A，乙市为雨天记为 ，
4．在4次独立重复试验中事件 出现的概率相同，若事件 ． 次独立重复试验中事件A出现的概率相同 次独立重复试验中事件 出现的概率相同，若事件A 至少发生一次的概率为 的概率为________． ． 的概率为 解析： 至少发生一次的概率为 解析：A至少发生一次的概率为 都不发生的概率为1件A都不发生的概率为 都不发生的概率为 次试验中出现的概率为 答案： 答案： 的对立事件： ，则A的对立事件：事 的对立事件 ，所以，A在一 所以， 在一 ，则事件A在1次试验中出现 则事件 在 次试验中出现
1号箱中有 个白球和 个红球，2号箱中有 个 号箱中有2个白球和 个红球， 号箱中有 号箱中有5个 号箱中有 个白球和4个红球 白球和3个红球，现随机地从 号箱中取出一球放入 号箱， 号箱中取出一球放入2号箱 白球和 个红球，现随机地从1号箱中取出一球放入 号箱， 个红球 然后从2号箱随机取出一球，问从 号箱取出红球的概率是 然后从 号箱随机取出一球，问从2号箱取出红球的概率是 号箱随机取出一球 多少？ 多少？
(2)X的可能取值为 的可能取值为2,3. 的可能取值为 由于各局比赛结果相互独立， 由于各局比赛结果相互独立，所以 P(X＝2)＝P(A3·A4＋B3·B4) ＝ ＝ ＝P(A3·A4)＋P(B3·B4) ＋ ＝P(A3)P(A4)＋P(B3)P(B4) ＋ ＝0.6×0.6＋0.4×0.4 × ＋ × ＝0.52， ， P(X＝3)＝1－P(X＝2)＝1－0.52＝0.48. ＝ ＝ － ＝ ＝ － ＝
2．求法： ．求法： (1)利用定义分别求 利用定义分别求P(A)，P(AB)，得P(B|A)＝ 利用定义分别求 ， ， ＝ (2)先求 含的基本事件数 先求A含的基本事件数 先求 含的基本事件数n(A)，再求在 发生的条件 ，再求在A发生的条件 包含的事件数即n(AB)，得P(B|A)＝ 下B包含的事件数即 包含的事件数即 ， ＝
“相互独立”与“事件互斥”有何不同？ 相互独立” 事件互斥”有何不同？ 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生， 提示：两事件互斥是指两个事件不可能同时发生， 两事件相互独立是指一个事件发生与否对另一事件 发生的概率没有影响.两事件相互独立不一定互斥 发生的概率没有影响 两事件相互独立不一定互斥. 两事件相互独立不一定互斥
1．判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点： ．判断某事件发生是否是独立重复试验，关键有两点： (1)在同样的条件下重复，相互独立进行； 在同样的条件下重复，相互独立进行； 在同样的条件下重复 (2)试验结果要么发生，要么不发生． 试验结果要么发生，要么不发生． 试验结果要么发生 2．在利用n次独立重复试验中，恰好发生 次的概率 ．在利用 次独立重复试验中 恰好发生k次的概率 次独立重复试验中， P(x＝k)＝ ＝ ＝ 的取值． 的取值． 3．遇到“至少”“至多”问题时，要考虑从对立事件入手 ．遇到“至少”“至多”问题时， ”“至多 计算． 计算． (1－p)n－k，k＝0,1,2….要注意 ，k，p － － ….要注意 ＝ ….要注意n， ，
X的分布列为 的分布列为 X P 2 0.52 3 0.48
E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝ E(X)＝2×P(X＝2)＋3×P(X＝3) ＝2×0.52＋3×0.48 × ＋ × ＝2.48.
2．(2010·济南模拟 在某社区举办的“2009全运会知识有奖 ． 济南模拟)在某社区举办的 济南模拟 在某社区举办的“ 全运会知识有奖 问答比赛” 问答比赛”中，甲、乙、丙三人同时回答一道有关奥运 知识的问题， 知识的问题，已知甲回答对这道题的概率是 丙两人都回答错的概率是 概率是 求乙、丙两人各自回答对这道题的概率 求乙、丙两人各自回答对这道题的概率. ，甲、
三、独立重复试验 次试验称为n次独立重复试验 在相同条件下 重复做 的n次试验称为 次独立重复试验 次试验称为 次独立重复试验. 四、二项分布 次独立重复试验中， 发生的次数为X， 在n次独立重复试验中，设事件 发生的次数为 ，在每 次独立重复试验中 设事件A发生的次数为 次试验中事件A发生的概率为 ，那么在 次独立重复试 次试验中事件 发生的概率为p，那么在n次独立重复试 发生的概率为 验中，事件 恰好发生 次的概率为P(X＝ ＝ 恰好发生k次的概率为 验中，事件A恰好发生 次的概率为 ＝k)＝ (k＝0,1,2，…，n)． ＝ ， ． ～ ， 此时称随机变量X服从二项分布， 此时称随机变量 服从二项分布，记作 X～B(n，p)，并 服从二项分布 为成功概率． 称 p 为成功概率． (1－p)n－k － －
P( A B) = 从而P(A)＝P(AB)＋P(A 从而 ＝ ＋
＝P(A|B)P(B)＋P(A| ＋
) )P( )
1．将本例中2号箱的球放入 号箱中，从1号箱中每次取一 ．将本例中 号箱的球放入 号箱中， 号箱的球放入1号箱中 号箱中每次取一 个球，不放回地抽取两次， 个球，不放回地抽取两次，则在第一次取到白球的条件 下，第二次取到白球的概率是多少？ 第二次取到白球的概率是多少？ 解：记A为第一次取到白球，B为第二次取到白球，AB为 为第一次取到白球， 为第二次取到白球 为第二次取到白球， 为 为第一次取到白球 两次都取到白球． 两次都取到白球． 1 Q P ( A) = , P ( AB ) = 2
(2009·全国卷Ⅰ)甲、乙二人进行一次围棋比赛， 全国卷Ⅰ 甲 乙二人进行一次围棋比赛， 全国卷 约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，比赛结束． 约定先胜 局者获得这次比赛的胜利，比赛结束．假设在一 局者获得这次比赛的胜利 局中，甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为0.4， 局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为 ，各局比赛 结果相互独立．已知前 局中 局中， 乙各胜1局 结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜 局． (1)求甲获得这次比赛胜利的概率； 求甲获得这次比赛胜利的概率； 求甲获得这次比赛胜利的概率 (2)设X表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数，求X的分 设 表示从第 局开始到比赛结束所进行的局数， 表示从第3局开始到比赛结束所进行的局数 的分 布列及数学期望． 布列及数学期望．
∴ P ( B A) =
1．相互独立事件是指两个试验中，两事件发生的概率互 ．相互独立事件是指两个试验中， 不影响；相互对立事件是指同一次试验中，两个事件 不影响；相互对立事件是指同一次试验中， 不会同时发生． 不会同时发生． 2．求用“至少”表述的事件的概率时，先求其对立事件 ．求用“至少”表述的事件的概率时， 的概率往往比较简便． 的概率往往比较简便．
，乙、丙两人都回答对的
解：记“甲回答对这道题”“乙回答对这道题”“丙回答对 甲回答对这道题”“乙回答对这道题”“丙回答对 ”“乙回答对这道题”“ 这道题”分别为事件A、B、C， 这道题”分别为事件 、 、 ，
则 P ( A) = 3 , 且有 4
则
3 2 ∴ P ( 题可分为两种互斥的情况：一是从 号箱取出 本题可分为两种互斥的情况：一是从1号箱取出 红球；二是从 号箱取出白球 号箱取出白球.然后利用条件概率 红球；二是从1号箱取出白球 然后利用条件概率 知识来解决. 知识来解决
记事件A：最后从2号箱中取出的是红球 号箱中取出的是红球； 【解】 记事件 ：最后从 号箱中取出的是红球； 事件B： 号箱中取出的是红球． 事件 ：从1号箱中取出的是红球． 号箱中取出的是红球 则P(B)＝ ＝
一、条件概率及其性质 1．条件概率的定义 ． 为两个事件， 设A、B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝ 、 为两个事件 ＞ ， ＝ 在事件A 发生的条件下，事件B发生的条件概率 发生的条件概率． 在事件 发生的条件下，事件 发生的条件概率． 为
2．条件概率的求法 ． 求条件概率除了可借助定义中的公式， 求条件概率除了可借助定义中的公式，还可以借助古典概 型概率公式， 型概率公式，即P(B|A)＝ ＝ 3．条件概率的性质 ． (1)条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1. 条件概率具有一般概率的性质， 条件概率具有一般概率的性质 (2)如果 和C是两个互斥事件，则 如果B和 是两个互斥事件 是两个互斥事件， 如果 ＋ P(B∪C|A)＝ P(B|A)＋P(C|A) ． ∪ ＝ .