2矩形、菱形、正方形
矩形、菱形、正方形的性质及判定(四边形)
矩形、菱形、正方形的性质及判定一、知识提要1.矩形定义有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；性质①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等.判定①有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形.2.直角三角形斜边的中线等于斜边长的一半.3.菱形定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.性质①菱形的四条边都相等；②菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.判定①有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四边相等的四边形是菱形.4.菱形的面积等于对角线乘积的一半.5.正方形定义四条边都相等、四个角都是直角的四边形是正方形.性质正方形拥有平行四边形、矩形、菱形的所有性质；判定①由一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形.二、精讲精练1.矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，则边与对角线组成的直角三角形的个数是________.2.（2011浙江）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC=16，则图中长度为8的线段有( ) A．2条B．4条ODC BA60°C ．5条D ．6条3. 矩形ABCD 中，AB =2BC ，E 为CD 上一点，且AE =AB ，则∠BEC = ___.4. 已知矩形ABCD ，若它的宽扩大2倍，且它的长缩小四分之一，那么新矩形的面积等于原矩形ABCD 面积的__________．5. （2011四川）下列关于矩形的说法中正确的是（ ）A ．对角线相等的四边形是矩形B ．对角线互相平分的四边形是矩形C ．矩形的对角线互相垂直且平分D ．矩形的对角线相等且互相平分6. （2011江苏）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是_______________(写出一种即可) 7. （2011山东）如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线分别交AC 、AB 于点D 、F ，BE ⊥DF 交DF 的延长线于点E ，已知∠A =30°，BC =2，AF =BF ，则四边形BCDE 的面积是（ ）A ．23B ．33C ．4D ．438. 如图，将□ABCD 的边DC 延长到点E ，使CE =DC ，连接AE ，交BC 于点F ．（1）求证：△ABF ≌△ECF（2）若∠AFC =2∠D ，连接AC 、BE ．求证：四边形ABEC 是矩形．9. （2011江苏）在菱形ABCD 中，AB=5cm ，则此菱形的周长为（ ）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm10. （2011河北）如图，已知菱形ABCD ，其顶点A ，B 在数轴对应的数分别为-4和1，则BC =_______．EFDCBAD CBAHFGE ADBC11. 菱形的一边与两条对角线夹角的差是20°，则菱形的各角的度数为___________．12. (2011重庆)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC =8，BD =6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH =_________．13. 已知菱形周长是24cm ，一个内角为60°，则菱形的面积为＿_____.14. 菱形ABCD 中，AE ⊥BC 于E ，若S 菱形ABCD =24cm 2，则AE =6cm ，则菱形ABCD的边长为_______.15. （2011山东）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4:3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2 16. 菱形有____条对称轴，对称轴之间具有________的位置关系． 17. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )A ．两组对边分别平行B ．两组对边分别相等C ．一组邻边相等D ．对角线相互平分18. （2011四川）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足__________条件时，四边形EFGH 是菱形.19. （2011浙江）如图，在□ABCD 中，E 、F 分别为边AB 、CD 的中点，BD 是对角线，过点A 作AG ∥DB 交CB 的延长线于点G ． （1）求证：DE ∥BF ；（2）若∠G =90°，求证：四边形DEBF 是菱形．F E B C A D 20. （2011湖州）如图，已知E 、F 分别是□ABCD 的边BC 、AD 上的点，且BE =DF . （1）求证：四边形AECF 是平行四边形；（2）若BC =10， BAC =90，且四边形AECF 是菱形，求BE 的长.21. （2011湖南）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是（ ） A.平行四边形 B.正方形 C.等腰梯形 D.矩形22. 有一组邻边_______并且有一个角是________的平行四边形，叫做正方形． 23. （2010湖北）已知正方形ABCD ，以CD 为边作等边△CDE ，则∠AED 的度数是 .24. 已知正方形ABCD 中，AC ，BD 交于点O ，OE ⊥BC 于E ，若OE =2，则正方形的面积为____．25. 如图，已知，正方形ABCD 的对角线交于O ，过O 点作OE ⊥OF ，分别交AB 、BC 于E 、F ，若AE =4，CF =3，则EF 等于（ ）A ．7B ．5C ．4D ．326. （2011贵州）如图，点E 是正方形ABCD 内一点，△CDE 是等边三角形，连接EB 、EA ，延长BE 交边AD 于点F . （1）求证: △ADE ≌△BCE ； （2）求∠AFB 的度数.FED CBA FE ODCBA三、测试提高【板块一】菱形的性质1. 若菱形两邻角的比为1:2，周长为24 cm ，则较短对角线的长为_____． 【板块二】菱形的判定2. （2011湖南）如图，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是（ ） A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形 3. （2011湖北）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是（ ） A.菱形 B.对角线互相垂直的四边形C.矩形D.对角线相等的四边形【板块三】菱形余矩形的性质4. （2011江苏）菱形具有而矩形不一定具有的性质是（ ）A ．对角线互相垂直B ．对角线相等C ．对角线互相平分D ．对角互补 【板块四】特殊四边形的判定5. 下列命题中，正确命题是( )A ．两条对角线相等的四边形是平行四边形；B ．两条对角线相等且互相垂直的四边形是矩形；C ．两条对角线互相垂直平分的四边形是菱形；D ．两条对角线平分且相等的四边形是正方形；四、课后作业1. 矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠AOB =60°，若BD =10 cm ，则AD =_____．2. 矩形周长为72cm ，一边中点与对边两个端点连线的夹角为直角，此矩形的长边为_______.3. 矩形的边长为10和15，其中一个内角平分线分长边为两部分，这两部分的长度分别为_________.4. 过矩形ABCD 的顶点D ，作对角线AC 的平行线交BA 的延长线于E ，则△DEB 是( ).A ． 不等边三角形B ． 等腰三角形C ． 等边三角形D ． 等腰直角三角形BACD5. 矩形ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD ，BC 分别交于E ，F ，则四边形AFCE 是___________．6. 菱形一个内角为120°，平分这个内角的一条对角线长12 cm ，则菱形的周长为_____．7. 若菱形两条对角线长分别为6 cm 和8 cm ，则它的周长是________，面积是_______．8. 菱形的一个角是60°，边长是8 cm ，那么菱形的两条对角线的长分别是_________．9. 已知菱形的一条对角线与边长相等，则菱形的邻角度数分别为_____. 10. 在菱形ABCD 中，AE ⊥BC ， AF ⊥CD ，且BE =EC ， CF =FD ，则∠AEF 等于_______.11. 如图，小华剪了两条宽为2的纸条，交叉叠放在一起，且它们交角为45°，则它们重叠部分的面积为（ ）. A.22 B.1 C.332 D.2 12. （2011广东）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂A 、B 、D ，已知AB =BC =CD =DA =5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是（ ）. A ．3公里 B ．4公里C ．5公里D ．6公里13. 正方形的对角线__________且_________，每条对角线平分_____． 14. 如图，AC 是菱形ABCD 的对角线，点E 、F 分别在边AB 、AD 上，且AE =AF ． 求证：△ACE ≌△ACF ．FE BCDA15. （2011山东）如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，过点O 作直线EF ⊥BD ，分别交AD 、BC 于点E 和点F ，求证：四边形BEDF 是菱形．OFEDCBA。
矩形、菱形和正方形的相互关系
矩形、菱形和正方形的相互关系简介矩形、菱形和正方形是几何学中常见的形状。
它们具有一些相似之处，但也有一些区别。
了解它们之间的关系可以帮助我们更好地理解它们的特点和性质。
矩形矩形是一个具有四条边和四个角的四边形。
矩形的对边长度相等且平行，且相邻两边的角度为90度。
矩形的特点是面积容易计算，即面积等于长度乘以宽度。
我们可以使用公式A = l * w来计算矩形的面积。
菱形菱形也是一个具有四条边和四个角的四边形。
与矩形不同的是，菱形的对边长度相等，但相邻两边的角度不一定为90度。
菱形的特点是它的对角线相互垂直且相等。
我们可以使用公式A = (d1 *d2) / 2来计算菱形的面积，其中d1和d2是菱形的对角线长度。
正方形正方形是一个特殊的矩形，它的四条边长度相等且每个角度都为90度。
正方形的特点是它的对角线长度相等且相互垂直。
正方形的面积计算也非常简单，即面积等于边长的平方。
我们可以使用公式A = s^2来计算正方形的面积，其中s是正方形的边长。
相互关系矩形和正方形是有关系的，可以说正方形是矩形的一种特殊情况。
正方形是一种特殊的矩形，其边长相等。
因此，矩形的特性同样适用于正方形。
菱形和矩形之间也有一些关系。
由于菱形的对角线相互垂直，因此它可以划分成四个直角三角形。
这些三角形的特性也适用于菱形。
总结一下，矩形和菱形可以有一些共同的特点和性质，而正方形则是矩形的一种特殊形式。
结论矩形、菱形和正方形之间有一些相似之处，但也有一些区别。
矩形和正方形之间的关系是正方形是矩形的一种特殊情况。
菱形则具有特殊的对角线性质，可以划分成四个直角三角形。
了解这些形状的特性和相互关系可以帮助我们更好地理解几何学的基础概念。
第22讲 菱形、矩形、正方形
一半.
菱形的性质和判别
◆中考指数:★★☆☆☆
1.菱形的性质： (1)菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形，可将 菱形的问题转化为直角三角形去解决. (2)有一个内角为60°(或120°)的菱形，连结对角线可构成 等边三角形，可将菱形问题转化到等边三角形中去解决. (3)巧用菱形的对称性可解决一些求线段和最小值的问题. 2.菱形的判别的两个思路： (1)若四边形为(或可证明为)平行四边形，则再证一组邻边 相等或对角线互相垂直. (2)若相等的边较多(或容易证出)时，可证四条边相等.
形的对角线相等且互相平分．
6.(2012·盐城中考)如图,在四边形ABCD中,已知AB∥DC,AB=DC. 在不添加任何辅助线的前提下,要想该四边形成为矩形,只需再
加上的一个条件是_______.(填上你认为正确的一个答案即可)
【解析】由题知四边形ABCD为平行四边形，再根据有一角为 90°的平行四边形为矩形可得结论. 答案：∠A=90°(或∠A=∠B或∠A+∠C=180°，答案不惟一)
1.(2012·长沙中考)如图，菱形ABCD中， 对角线AC与BD相交于点O，OE∥DC且交 BC于E，AD=6 cm,则OE的长为( (A)6 cm (C)3 cm (B)4 cm (D)2 cm )
【解析】选C.由于四边形ABCD为菱形， 所以AD=AB=6 cm, OC 1 .
AC 2 由于OE∥AB，所以 OC OE ， AC AB
知 识 点 睛
特 别 提 醒
当已知中出现对角线的相关条件时，常用“对角线相等且
互相垂直平分的四边形是正方形”来证.
【例3】(2012·黄冈中考)如图，在 正方形ABCD中，对角线AC,BD相交于 点O,E,F分别在OD,OC上,且DE=CF， 连结DF,AE，AE的延长线交DF于点M. 求证:AM⊥DF. 【思路点拨】正方形的性质→△AOE≌△DOF→
菱形、矩形、正方形
C
∠AOB=∠DOC=∠AOD=∠BOC =90°
∠5=∠6=∠7=∠8
等腰三角形有： △ABC △ DBC △ACD △ABD 直角三角形有：Rt△AOB Rt△BOC Rt△COD Rt△DOA
全等三角形有： Rt△AOB ≌ Rt△BOC≌ Rt△COD ≌ Rt△DOA △ABD≌△BCD △ABC≌△ACD
A
解：∵ ∴∠BAC＝600 又∵ AB ＝B C ∴ △ BAC是等边三角形 B ∴ AC ＝ 4cm ∴B O ＝ 2 √ 3 ∴B D ＝ 4√ 3 1 S AC BD＝ 8√ 3 2
∠BAD＝1200
D O C
变式：已知菱形ABCD中，E是BC的中点，且 AE⊥BC，AB＝4．
求：⑴∠ABC的度数 ⑵对角线AC的长
∴ ∠AOB=Rt∠， ∴AC⊥BD.
B
（2）∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∵AC⊥BD ∴四边形ABCD是菱形.
例题解析：
例3、已知: ABCD的对角线AC的垂直平分线 与边AD 、BC分别交于E、F E A 求证：四边形AFCE是菱形。
O
D
分析: （1）利用定义判定 （2） 由已知可知
B
OA=OC,EF⊥AC.
X X X
（7）对角线相等，且有一个角是直角的四边形是矩形； X
（8）一组对角互补的平行四边形是矩形；
（9）对角线相等且互相垂直的四边形是矩形； （10）一组邻边垂直，一组对边平行且相等的四边形是 矩形；
例2、谁正确？ 一位很有名望的木工师傅，招收了两名徒弟。一 天，师傅有事外出，两徒弟就自已在家练习用两块四 边形的废料各做了一扇矩形式的门，完事之后，两人 都说对方的门不是矩形，而自已的是矩形。 甲的理由是：“我用角尺量我的门任意三个角， 发现它们都是直角。所以我这个四边形门就是矩形” 乙的理由是：“我用直尺量这个门的两条对角线， 发现它们的长度相等，所以我这个四边形门就是矩 形”。 根据它们的对话，你能肯定谁的门一定是矩形。
人教版中考数学复习《第21讲：矩形、菱形、正方形》课件
x=
10
,所以
5
3 10
,即
5
3x=
BF=
3 10
.
5
18
考点梳理自清
考法1
考法2
考题体验感悟
考法互动研析
考法3
3.(2017·江苏徐州)如图,在平行四边形ABCD中,点O是边BC的中点,
连接DO并延长,交AB延长线于点E连接EC.
一半
5
考点梳理自清
考点一
考点二
考点三
考题体验感悟
考法互动研析
考点四
考点三正方形(高频)
正方形
的定义
正方形
的性质
正方形
的判定
有一组邻边相等,且有一个角是直角的平行四边形叫
做正方形
(1)正方形的对边平行
(2)正方形的四条边相等
(3)正方形的四个角都是直角
(4)正方形的对角线相等,互相垂直平分 ,每条对角线
( C )
A.2 5
B.3 5
C.5
D.6
10
考点梳理自清
命题点1
命题点2
考题体验感悟
考法互动研析
命题点3
解析 如图,连接EF交AC于点O,根据菱形性质有FE⊥AC,OG=OH,
易证OA=OC.由四边形ABCD是矩形,得∠B=90°,根据勾股定理得
AC=
4 5
42
+
82 =4
5,OA=2 5,易证△AOE∽△ABC,则
考法3
考法1矩形的相关证明与计算
例1(2017·山东潍坊)如图,将一张矩形纸片ABCD的边BC斜着向
第20讲-矩形、菱形、正方形
图 20－6 第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
解： (1)证明：将矩形 ABCD 沿直线 EF 折叠，使点 C 与点 A 重合，折痕交 AD 于点 E，交 BC 于点 F， ∴ AE＝ CE，∠ AEF＝∠ CEF，AF＝ CF. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD∥ BC， ∴∠ AEF＝∠CFE， ∴∠ CEF＝∠CFE， ∴ CE＝ CF， ∴ AE＝ CE＝CF＝ AF， ∴四边形 AFCE 为菱形． (2)b2＋c2＝ a2.
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
考点2
菱形
1. 在菱形 ABCD 中，∠ B＝ 60°， AB＝ 5，则对角线 AC＝ 5 ________ ．
图 20－ 1 2．已知一个菱形的周长为 20 cm，其中较长的一条对角线 长为 8 cm，则这个菱形的面积是 ___________ 24 cm2 ．
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
[中考点金] 解决这类问题的关键是利用正方形的性质及旋转 的不变性找到相等的线段和角，再通过推理论证解决 问题．
第20讲┃ 矩形、菱形、正方形
变式题 [2012· 珠海 ] 如图 20－ 8，把正方形 ABCD 绕 点 C 按顺时针方向旋转 45°得到正方形 A′ B′CD′ (此时， 点 B′落在对角线 AC 上，点 A′落在 CD 的延长线上 )， A′ B′ 交 AD 于点 E，连接 AA′， CE. 求证： (1)△ ADA′≌△ CDE； (2)直线 CE 是线段 AA′的垂直平分线．
3．如图 20－ 2 所示，平行四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点 O，试添加一个条件：AD ____________________ ＝DC或AC⊥BD等 ， 使得平行四边形 ABCD 为菱形．
菱形矩形正方形的判定
问题：
判断矩形、菱形、正方形有 什么作用？
Байду номын сангаас
1、一组对边相等的四边形是平行四边形. 2、有两个角是直角的四边形是矩形.
3、有一个角是直角的菱形是正方形.
4、有一个角是60º 的平行四边形是菱形.
5、有两边相等的矩形是菱形.
6、有一组邻边相等的四边形是菱形. 7、两条对角线相等的四边形是矩形. 8、两条对角线相等的平行四边形是正方形. 9、有三个角相等的四边形是正方形.
的四边形是矩形. 的四边形是矩形.
菱形的判定 一、平行四边形 1、 2、 菱形 的平行四边形是菱形. 的平行四边形是菱形.
二、四边形
1、 2、
菱形
的四边形是菱形. 的四边形是菱形.
正方形的判定
一、矩形 二、菱形
三、平行四边形 四、四边形
正方形 正方形
正方形 正方形
特殊四边形的判定应注意层次
判断
特殊四边形的判定
正方形
矩形
菱形
平行四边形
四边形
一般到特殊的演变
矩形
有一个角 是直角
有一组 邻边相等
平行四边形
有一个角是直角 且有一组邻边相等 正方形
有一组 邻边相等
菱形
有一个 角是直角
矩形的判定 一、平行四边形 1、 2、 矩形 的平行四边形是矩形. 的平行四边形是矩形.
二、四边形
1、 2、
矩形
判断
10、一条对角线平分另一条对角线的四边形是 平行四边形.
11、两条对角线互相垂直的四边形是菱形.
12、一组对边平行、一组对角相等的四边形是 平行四边形. 13、有两条边相等的平行四边形是菱形. 14、一组对角的两边分别垂直的四边形是 平行四边形. 15、一组邻边相等、另一组邻边也相等的四边形 是菱形.
2021年中考数学一轮复习课件-第二十讲 矩形 菱形 正方形(29PPT)
【自我诊断】
1.正方形是轴对称图形,它的对称轴共有 ( D )
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
2.若菱形的两条对角线分别为2和3,则此菱形的面积是___3___.
3.如图,四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形.AC为正方形ABCD的对角线,
则∠EAC=___1_0_5___度.
高频考点·疑难突破 考点一 矩形的性质与判定 【示范题1】(2020·安徽中考)如图1,已知四边形ABCD是矩形,点E在BA的延长 线上,AE=AD.EC与BD相交于点G,与AD相交于点F,AF=AB. (1)求证:BD⊥EC; (2)若AB=1,求AE的长; (3)如图2,连接AG,求证:EG-DG= 2 AG.
【答题关键指导】矩形的判定方法 (1)若四边形(或可证)为平行四边形,则再证一个角为直角或对角线相等. (2)若直角较多,可证三个角为直角.
【跟踪训练】
1.(2019·桂林中考)将矩形ABCD按如图所示的方式折叠,BE,EG,FG为折痕,若顶
点A,C,D都落在点O处,且点B,O,G在同一条直线上,同时点E,O,F在另一条直线上, 则 AD 的值为 ( B )
考点三正方形的性质与判定 【示范题3】(2019·北部湾中考)如图,在正方形ABCD中,点E是AB边上的一个动 点(点E与点A,B不重合),连接CE,过点B作BF⊥CE于点G,交AD于点F. (1)求证:△ABF≌△BCE. (2)如图2,当点E运动到AB中点时,连接DG,求证:DC=DG. (3)如图3,在(2)的条件下,过点C作CM⊥DG于点H,分别交AD,BF于点M,N,求 MN
AE AF,
∴△ABE≌△ADF(SAS).
(2)连接BD,如图: ∵四边形ABCD是菱形, ∴AB=AD,∠A=∠C=60°, ∴△ABD是等边三角形, ∵点E是边AD的中点, ∴BE⊥AD,∴∠ABE=30°, ∴AE= 3BE=1,AB=2AE=2,∴AD=AB=2,
矩形、菱形、正方形教案
第四中学集体备课教案主备人：杨朝勇授课人：八年级班学科：数学课题18.2.1矩形（第一课时）授课时间年月日教学目标知识与技能掌握矩形的定义，知道矩形与平行四边形的关系。
掌握矩形的性质定理。
过程与方法能根据定义探索并掌握矩形的对边相等、对角相等的性质并运用性质进行简单的计算和证明。
情感态度与价值观培养学生发现问题、解决问题的能力及逻辑推理能力。
教学重点矩形的性质及其推论．教学难点矩形的本质属性及性质定理的综合应用．教具准备教具（一个活动的平行四边形），教学过程设计个性修改四、教学过程及设计：（一）矩形的定义1．展示生活中一些平行四边形的实际应用图片（推拉门，活动衣架，篱笆、井架等），想一想：这里面应用了平行四边形的什么性质？平行四边形的性质：①平行四边形的对边平行且相等.②平行四边形的对角相等，邻角互补.③平行四边形的对角线互相平分.2.思考：拿一个活动的平行四边形教具，轻轻拉动一个点，观察不管怎么拉，它还是一个平行四边形吗？为什么？（动画演示拉动过程如图）矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形(通常也叫长方形)．（二）矩形的性质1.一般性质：具备平行四边形所有的性质2.【探究】在一个平行四边形活动框架上，用两根橡皮筋分别套在相对的两个顶点上（作出对角线），拉动一对不相邻的顶点，改变平行四边形的形状．①随着∠α的变化，两条对角线的长度分别是怎样变化的？②当∠α是直角时，平行四边形变成矩形，此时它的其他内角是什么样的角？它的两条对角线的长度有什么关系？操作，思考、交流、归纳后得到矩形的性质．猜想1：矩形的四个角都是直角．（推导过程省略）猜想2：矩形的对角线相等．（推导过程省略）练习：如图：AB＝6，BC=8，那么AC＝？BD=? OC=?解：在矩形ABCD中，∠ABC=90 °∴在Rt△ABC中， AB² +BC² =AC²解得：AC=10又矩形的对角线相等，∴ BD=AC=10，OC=1/2AC =5（四）例题探究例: 如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，∠AOB=60°,AB=4㎝,求矩形对角线的长？解：∵四边形ABCD是矩形∴AC与BD相等且互相平分∴ OA=OB∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形∴ OA=AB=4(㎝)∴矩形的对角线长 AC=BD=2OA=8(㎝)方法小结: 如果矩形两对角线的夹角是60°或120°，则其中必有等边三角形. 课堂小结：矩形的性质定理1：矩形的四个角都是直角.矩形的性质定理2：矩形的对角线相等.直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.作业1． P53 练习第2题2． P60 习题18.2 第4题。
中考复习之矩形、菱形、正方形
图 26－ 1
第26讲┃ 归类示例
[解析] (1)利用A.A.S.可得出三角形 ABE与三角形FCE 全等； (2)利用对角线相等的平行四边形为矩形可得出四边形 ABFC为矩形．
证明：(1)∵E是BC中点， ∴BE＝CE. ∵四边形 ABCD是平行四边形． ∴ AB∥DF，∴∠BAE＝∠CFE . 在△ABE与△FCE中， ∠BAE＝∠CFE， ∠AEB＝∠FEC， ∴△ABE≌△FCE(A.A.S.)． BE＝CE，
第26讲┃矩形、菱形、正方形
第26讲┃ 考点聚焦
考点聚焦
考点1
矩形 定义
矩形
直角 的平行四边形叫做矩形 有一个角是 ________
对称性 矩形是一个轴对称图形，它有两条对称 轴 矩形是中心对称图形，它的对称中心就 是对角线的交点 (1)矩形的四个角都是 ______ 直 角； (2)矩形的对角线互相平分并且 ______ 相等 在直角三角形中，斜边上的中线等于 斜边 的一半 ________
第26讲┃ 归类示例
解：(1)∵四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB∥ CD， BC＝ CD. ∴∠1＝∠ACD， 又∵∠1＝∠2， ∴∠ACD＝∠ 2， ∴ MC＝ MD. 又∵ME⊥CD， 1 ∴ CE＝ ED＝ CD， 2 ∴ BC＝ CD＝ 2CE＝ 2.
第26讲┃ 归类示例
(2)证明： 延长 DF、 AB交于点 N， ∵四边形 ABCD是菱形，∴∠ FCM＝∠ ECM. 1 又∵ F为边 BC的中点，∴ CF＝ BF＝ BC. 2 1 由 (1) 可知 CE＝ ED＝ CD， 2 ∴ CF＝ CE.∴△ CMF≌△ CME，∴ MF＝ ME. ∵ AB∥ CD，∴∠ 2＝∠ N，∠ NBF＝∠ DCF. 又∵ BF＝ CF，∴△ CDF≌△ BNF.∴ NF＝ DF. 又∵∠ 1＝∠ 2，∴∠ N＝∠ 1. ∴ AM＝ MN＝ NF＋ MF＝ DF＋ ME.
矩形菱形正方形
我思,我进步
1
四边形之间的关系
四边形之间有何关系？ 特殊的平行四边形之间呢 还记得它们与平行四边形的关系吗? ？ 能用一张图来表示它们之间的关系吗?
矩形 平行四边形 正方形 菱形 四边形
等腰梯形
梯形 直角梯形
驶向胜利 的彼岸
类型一 矩形的性质与判定
(1)如图， 已知矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠， 记点 C 的对应点为 C′， 若∠ADC′ ＝20° ，则∠BDC 的度数为________．
解：(1)四边形 EFGH 为平行四边形，连结 AC. 1 ∵E、F 分别是 AB、BC 的中点，EF∥AC，EF＝ AC. 2 1 同理 HG∥AC，HG＝ AC. 2 ∴EF∥HG，EF＝HG. ∴四边形 EFGH 是平行四边形 (2)四边形 ABCD 的对角线垂直且相等．
一、选择题 1．菱形的周长为 8 cm，高为 1 cm，则菱形两邻角度数比为( A．3∶1 B．4∶1 C．5∶1 D．6∶1
第 2 讲 矩形 菱形 正方形
①矩形；②菱形；③正方形．
知识点一 矩形的定义、性质和判定
1．定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 2．性质：(1)矩形的四个角都是直角；(2)矩形的对角线互相平分且相等；(3)矩形既是轴 对称图形，又是中心对称图形，它有两个对称轴；它的对称中心是对角线的交点． 3．判定：(1)有一个角是直角的平行四边形是矩形；(2)有三个角是直角的四边形是矩形； (3)对角线相等的平行四边形是矩形．
2 010 解析：机器人每走 8 米为一循环， 余数为 2，则最终停在 C 点． 8
答案：C
11．如图，将矩形纸片 ABCD 折叠，使点 D 与点 B 重合，点 C 落在 C′处，折痕为 EF， 若∠ABE＝20° ，那么∠EFC′的度数为________度．
矩形,菱形,正方形的联系与区别
第2版：矩形，菱形，正方形的联系与区别一、矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，理清它们的区别与联系是本节的重点，也是本章的难点。
看下面的从属关系并完成列表，可以帮你理清它们的区别与联系。
（1）从属关系：（2）列表比较边角对角线对称性面积公式矩形菱形正方形二、例题剖析：[例1]已知矩形的两条对角线的一个交角为120°，一条对角线与较短边的和为12cm，求对角线的长。
提示：利用矩形的对角线的性质以及∠AOD是△AOB的一个外角，得到△AOB 是等边三角形等知识。
分析与解：∵四边形ABCD为矩形∴AC=BD AO=DO=OC=OB∠BAD=90°（矩形的对角线互相平分且相等）∵∠AOD=120°∴∠OAB=∠ABO=60°∴△AOB是等边三角形∴AB=OA=OB∵AB+BD=12 ∴AB+OA+OB=12 ∴OA=OB=AB=4∴BD=AC=8（cm）答：对角线长为8cm。
点拨：（1）找到BD与AB的关系是解决问题的关键（2）在特殊四边形中，相关的计算问题可放到特殊三角形中。
[例2]已知：如图矩形ABCD中，AC、BD相交于O，AE∥BD，DE∥AC 求证：四边形AODE是菱形提示：结合条件，要想证明四边形AODE是菱形，先证明四边形AODE是平行四边形，再证明有两条线段相等。
分析与解：证明：∵矩形ABCD 中对角线AC 、BD 交于O∴AC=BD 即AO=DO又∵AE ∥BD 、DE ∥AC ，∴四边形AODE 是平行四边形∴四边形AODE 是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）点拨：（1）菱形判定方法要牢记。
（2）特殊四边形的对角线所具有的性质异同点要很明确。
[例3] 如图，P 是对角线为4的正方形ABCD 的边AD 上的一点，且P E ⊥AC ，PF ⊥BD ，则PE+PF= 。
提示：只要将△AOD 分割成两个△AOP 和△DOP ，利用面积去做。
分析与解：因为四边形ABCD 是正方形,所以OA=OB=OC=OD=2,且OA ⊥OD, 因为S △AOD =S △AOP +S △POD,所以×2×2=(AO ×PE+DO ×PF 2= ×2 ×PE+ ×2×PF, 所以PE+PF=2点拨:本题用到了分割法算面积,掌握这点是解决此题的关键.本题也可以通过证明四边形PEOF 是矩形,得到PE=OF,再证明△PFD 是等腰三角形,得到PF=FD,所以就把PE+PF 转化成了线段OD 的长了,所以PE+PF=2思维总结：学习矩形、菱形、正方形的区别和联系应注意把握以下两个方面：（1）转化的思想：在矩形、菱形、正方形中有许多相等的角，相等的边，要关注边、角的等量关系的相互转化。
中考复习——矩形
矩形、菱形、正方形考点一矩形1、矩形的定义：有一个角等于直角的平行四边形叫作矩形。
2、矩形的性质：除具有平行四边形的性质外还有以下性质：（1）矩形的四个角都为直角。
（2）矩形的对角线互相平分且相等。
（3）矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，对称轴是对边中点的连线所在的直线，有两条。
3、矩形的判定：（1）有一个角为直角的平行四边形是矩形。
（2）有三个角为直角（四个角都是直角）的四边形是矩形。
（3）对角线互相平分且相等的四边形是矩形或对角线相等的平行四边形是矩形。
考点二菱形1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫作菱形。
2、菱形的性质：菱形除具平行四边形的所有性质外还有以下性质：（1）菱形的四条边都相等。
（2）菱形的对角线互相平分且垂直，并且每一条对角线平分每一组对角。
（3）菱形是既是中心对称图形又是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，有两条。
（4）菱形的面积等于对角线长乘积的一半。
3、菱形的判定：（1）有一组邻边相等的平行四边形是菱形。
（2）四条边相等的四边形是菱形。
（3）对角线互相平分且垂直的四边形是菱形或对角线互相垂直的平行四边形是菱形。
考点三正方形1、正方形的定义：①有一组邻边相等的矩形叫作正方形。
②有一个角为直角的菱形叫作正方形。
2、正方形的性质：四条边都相等，四个角都是直角，对角线互相平分、垂直且相等，正方形既是中心对称图形，又是轴对称图形，对边中点的连线所在直线、对角线所在的直线是对称轴，有4条。
3、正方形的判定：（1）有一角为直角的菱形是正方形。
（2）有一组邻边相等的矩形是正方形。
（3）对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形。
注意：。
正方形既是菱形又是矩形.例题：1、对角线_____的平行四边形是菱形。
2、如图，在菱形ABCD 中，AB ＝3，∠ABC ＝60°，则对角线AC ＝______.3、季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥．若荷塘周长为280m ，且桥．宽忽略．．．不计．．，则小桥总长为 ．4、如图，矩形ABCD 中，E 是BC 中点，矩形ABCD 的周长是20cm ，AE = 5cm ，则AB 的长为__________cm ．图 1A B C DE5、如图，在四边形ABCD 中，对角线AC⊥BD，垂足为O，点E、F、G、H 分别为边AD、AB、BC、CD 的中点.若AC =8，BD= 6，则四边形EFGH 的面积为.6、如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，试添加一个条件：，使得平行四边形ABCD为菱形．7、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E、F分别是AO、AD 的中点，若AB=6cm，BC=8cm，则△AEF 的周长=cm．8、矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOD=120°，AC=8，则△ABO 的周长为（ ）A.16B.12C.24D.209、如图，在ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ,过点O 作EF ⊥AC 交BC 于点E ，交AD 于点F ，连接AE 、CF .则四边形AECF 是（ ）A ．梯形B ．矩形C ．菱形D ．正方形EF OB A CD9、如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结BD 并延长交EG 于点T ，交FG 于点P ，则GT = ( ) A ．2 B ．22C ．2D ．110、如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°．已知△ABC的周长是15，则菱形ABCD的周长是（）AB DCA．25 B．20 C．15 D．10练一练：1、对角线_____的四边形是矩形。
初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点
初中数学矩形、菱形、正方形的5大考点一、矩形、菱形、正方形的性质1.矩形的性质①具有平行四边形的一切性质；②矩形的四个角都是直角；③矩形的对角线相等；④矩形是轴对称图形，它有两条对称轴；⑤直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
2.菱形的性质①具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，每条对角线所在的直线都是它的对称轴；⑤菱形的面积＝底×高＝对角线乘积的一半。
3.正方形的性质正方形具有平行四边形，矩形，菱形的一切性质①边：四边相等，对边平行；②角：四个角都是直角；③对角线：互相平分；相等；且垂直；每一条对角线平分一组对角，即正方形的对角线与边的夹角为45度；④正方形是轴对称图形，有四条对称轴。
例1 矩形ABCD中，DE⊥AC于E，且∠ADE：∠EDC=3：2，则∠BDE的度数为（）A．360 B．90C．270 D．180例2 如图，矩形ABCD中，AE⊥BD于点E，对角线AC与BD相交于点O，BE：ED＝1：3，AB＝6cm，求AC的长。
例3 如图， O是矩形ABCD 对角线的交点， AE平分∠BAD，∠AOD=120° ，求∠AEO 的度数。
例4 菱形的周长为40cm，两邻角的比为1:2，则较短对角线的长________ 。
例5 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点，连接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究线段AF、BF、EF三者之间的数量关系，并说明理由．二、矩形、菱形、正方形的判定1.矩形的判定①有一个内角是直角的平行四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有三个角是直角的四边形是矩形；④还有对角线相等且互相平分的四边形是矩形。
2.菱形的判定方法①有一组邻边相等的平行四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③四条边都相等四边形是菱形；④对角线垂直平分的四边形是菱形。
第一轮复习—22矩形、菱形、正方形
矩形、菱形、正方形1. 特殊的平行四边形的之间的关系2. 特殊的平行四边形的判别条件要使□ABCD 成为矩形，需增加的条件是_______ _____ ；要使□ABCD 成为菱形，需增加的条件是_______ _____ ；要使矩形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ ；要使菱形ABCD 成为正方形，需增加的条件是______ ____ .3. 特殊的平行四边形的性质练习题一、选择题1.如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为60︒ 的菱形，剪口与折痕所成的角α 的度数应为（ ）A ．15︒或30︒B ．30︒或45︒C ．45︒或60︒D ．30︒或60︒2．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB ＝6，则BC 的长为( ) A ．1 B ．2 2 C ．2 3 D ．12平行四边形矩形菱形正方形二、填空题1.如图，在矩形ABCD 中，AD =4，DC =3，将△ADC 绕点A 按逆时针方向旋转到△AEF （点A 、B 、E 在同一直线上），则C 点运动的路线的长度为 .2.如图所示，把一个长方形纸片沿EF 折叠后，点D ，C 分别落在D′，C′的位置．若∠EFB＝65°，则∠AED′等于 °.3.如图正方形ABCD ，其边长为4．P 是射线AB 上的点，且AP=x ．将△APD 沿过点D 的折痕PD 折叠，点A的落点记为A /，若△A /DP 与正方形ABCD 的重叠面积记为S ，（1）若x=6, 则S=（2）12≤S ≤1时，则x 的取值范围为（用含x 的不等式表示）___ ______．E D BC′ F CD ′ A。
第2课时 矩形、菱形、正方形
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中考考点梳理
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(1)求证：∠ APE＝∠ CFP； S1 (2)设四边形 CMPF 的面积为 S2， CF＝ x， y＝ . S2 ①求 y 关于 x 的函数解析式和自变量 x 的取值范 围，并求出 y 的最大值； ②当图中两块阴影部分图形关于点 P 成中心对称 时，求 y 的值．
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又∵ BF＝ BF，∴ Rt△ BOF≌ Rt△ BCF(HL)． ∴∠ OBF＝∠ CBF.∴∠ CBF＝∠ FBO＝∠ OBE. ∵∠ ABC＝ 90° ，∴∠ OBE＝ 30° . ∴∠ BEO＝60° ，∴∠ BAC＝ 30° . ∴ 在 Rt△ BAC 中 ， AC ＝ 2BC ＝ 4 3 ， AB ＝ AC － BC ＝ 6.
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(2)①在△APE 与△CFP 中，∠PAE ＝∠PCF ， AP AE ∠APE＝∠CFP，∴△APE∽△CFP，∴CF＝ CP，得 8 AE＝ .∵点 F，E 分别在线段 BC，AB 上，∠EPF＝ x 1 8 8 1 45° ， ∴2≤x≤4.∴S△APE＝ · 2· ＝ ， S 2· x ＝ x ， △CFP＝ · 2 x x 2 8 8 S 四边形 PEBF＝S△ABC－ －x＝8－ －x(2≤x≤4)． x x
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∵两块阴影部分图形关于 AC 成轴对称，∴S1 ＝ 8 8－x－x S1 1 1 2S 四边形 PEBF，S2＝2S△CFP，∴y＝ ＝ ＝－8( 2－ ) x S2 x x 1 12 －1＝－8( － ) ＋1(2≤x≤4)．∴当 x＝2 时，y 取最大值 1. x 2
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结
平行四边形、矩形、菱形、正方形知识点总结一．正确理解定义（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．平行四边形的定义揭示了图形的最本质的属性，它既是平行四边形的一条性质，又是一个判定方法．（2”表示平行四边形，例如：平行四边形记作ABCD，读作“平行四边形ABCD”．2．熟练掌握性质平行四边形的有关性质和判定都是从边、角、对角线三个方面的特征进行简述的．（1）角：平行四边形的邻角互补，对角相等；（2）边：平行四边形两组对边分别平行且相等；（3）对角线：平行四边形的对角线互相平分；（4）面积：①S=底高ah；②平行四边形的对角线将四边形=⨯分成4个面积相等的三角形．3．平行四边形的判别方法①定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形②方法1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形③方法2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形④方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形⑤方法4：一组平行且相等的四边形是平行四边形二、．几种特殊四边形的有关概念（1）矩形：有一个角是直角的平行四边形是矩形，它是研究矩形的基础，它既可以看作是矩形的性质，也可以看作是矩形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一个角是直角，两者缺一不可．（2）菱形：有一组邻边相等的平行四边形是菱形，它是研究菱形的基础，它既可以看作是菱形的性质，也可以看作是菱形的判定方法，对于这个定义，要注意把握：①平行四边形；②一组邻边相等，两者缺一不可．（3）正方形：有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形叫做正方形，它是最特殊的平行四边形，它既是平行四边形，还是菱形，也是矩形，它兼有这三者的特征，是一种非常完美的图形．（4）梯形：一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫做梯形，对于这个定义，要注意把握：①一组对边平行；②一组对边不平行，同时要注意和平行四边形定义的区别，还要注意腰、底、高等概念以及梯形的分类等问题．（5）等腰梯形：是一种特殊的梯形，它是两腰相等的梯形，特殊梯形还有直角梯形．2．几种特殊四边形的有关性质（1）矩形：①边：对边平行且相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相平分且相等；④对称性：轴对称图形（对边中点连线所在直线，2条）．（2）菱形：①边：四条边都相等；②角：对角相等、邻角互补；③对角线：对角线互相垂直平分且每条对角线平分每组对角；④对称性：轴对称图形（对角线所在直线，2条）．（3）正方形：①边：四条边都相等；②角：四角相等；③对角线：对角线互相垂直平分且相等，对角线与边的夹角为450；④对称性：轴对称图形（4条）．3．几种特殊四边形的判定方法（1）矩形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一个角是直角的平行四边形；②对角线相等的平行四边形；③四个角都相等（2）菱形的判定：满足下列条件之一的四边形是矩形①有一组邻边相等的平行四边形；②对角线互相垂直的平行四边形；③四条边都相等．（3）正方形的判定：满足下列条件之一的四边形是正方形．①有一组邻边相等且有一个直角的平行四边形②有一组邻边相等的矩形；③对角线互相垂直的矩形．④有一个角是直角的菱形⑤对角线相等的菱形；（4）等腰梯形的判定：满足下列条件之一的梯形是等腰梯形①同一底两个底角相等的梯形；②对角线相等的梯形．4．几种特殊四边形的常用说理方法与解题思路分析（1）识别矩形的常用方法①先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的任意一个角为直角．②先说明四边形ABCD为平行四边形，再说明平行四边形ABCD的对角线相等．③ 说明四边形ABCD 的三个角是直角． （2）识别菱形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的任一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直． ③ 说明四边形ABCD 的四条相等． （3）识别正方形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明平行四边形ABCD 的一个角为直角且有一组邻边相等．② 先说明四边形ABCD 为平行四边形，再说明对角线互相垂直且相等． ③ 先说明四边形ABCD 为矩形，再说明矩形的一组邻边相等． ④ 先说明四边形ABCD 为菱形，再说明菱形ABCD 的一个角为直角． （4）识别等腰梯形的常用方法① 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明两腰相等．② 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明同一底上的两个内角相等． ③ 先说明四边形ABCD 为梯形，再说明对角线相等． 5．几种特殊四边形的面积问题① 设矩形ABCD 的两邻边长分别为a,b ，则S 矩形=ab ．② 设菱形ABCD 的一边长为a ，高为h ，则S 菱形=ah ；若菱形的两对角线的长分别为a,b ，则S 菱形=12ab ．③ 设正方形ABCD 的一边长为a ，则S 正方形=2a ；若正方形的对角线的长为a ，则S 正方形=212a ．④ 设梯形ABCD 的上底为a ，下底为b ，高为h ，则S 梯形=1()2a b h ． 平行四边形 矩形 菱形 正方形图形性质1．对边 且 ；2．对角 ； 邻角 ；3．对角线 ；1．对边 且； 2．对角 且四个角都是； 3．对角线 ；1． 对边 且四条边都 ；2．对角 ；3．对角线 且每条对角线；1．对边 且四条边都 ；2．对角 且四个角都是 ；3．对角线 且每条对角线 ；面积。
中考数学 考点系统复习 第五章 四边形 第二节 矩形、菱形、正方形
∵OB＝OD，EF∥AD，∴AE＝BE＝4， ∵FG⊥BE，∴EG＝BG＝2，
在 Rt△BGF 中，BF＝4，BG＝2， 根据勾股定理得，FG＝ 42－22＝2 3，
在 Rt△AGF 中，AG＝6， AF＝ AG2＋FG2＝ 62＋（2 3）2＝4 3. ∴AF 的长为 4 3.
15．(2020·德州)如图，在▱ABCD 中，对角线 BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，
的面积是 1，则 AB 的长为
( C)
A．1
B. 2
C．2
D．2 2
18．(2021·阜新)如图，折叠矩形纸片 ABCD，使点 B 的对应点 E 落在 CD
边上，GH 为折痕，已知 AB＝6，BC＝10.当折痕 GH 最长时，线段 BH 的长
为 6. ． 8
19．(2021·呼和浩特)如图，四边形 ABCD 是平行四边形，BE∥DF，且分 别交对角线 AC 于点 E，F. (1)求证： △ABE≌△CDF； (2)当四边形 ABCD 分别是矩形和菱形 时，请分别说出四边形 BEDF 的形状．(无 需说明理由)
坐标是 O(0，0)，点 B 的坐标是(0，1)，且 BC＝ 5，则点 A 的坐标是 ((22，，0)． 0)
11.(2021·中山区模拟)如图，正方形 ABCD 的边长为 4，点 E 在对角线 BD 上，且 DE＝DA，EF⊥AB，垂足为 F，则 EF 的长为 44－－22 2 .
12.(2020·遂宁)如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D，E 分别是线段 BC， AD 的中点，过点 A 作 BC 的平行线交 BE 的延长线于点 F，连接 CF. (1)求证：△BDE≌△FAE； (2)求证：四边形 ADCF 为矩形．
∵AB＝AC，∴AD⊥BC， ∴∠ADC＝90°，∴四边形 ADCF 为矩形．
初中平行四边形、菱形、矩形、正方形的判定及性质
一、平行四边形的判定:1. 两组对边分别平行的四边形是平行四边形;2. 两组对边分别相等的四边形是平行四边形;3. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形;4. 对角线互相平分的四边形是平行四边形;5. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形;6.一组对边平行一组对角相等的四边形是平行四边形。
二、平行四边形的性质:1. 平行四边形对边平行且相等;2. 平行四边形两条对角线互相平分;3. 平行四边形的对角相等,邻角互补;4. 平行四边形是中心对称图形,对称中心是两条对角线的交点;5. 过平行四边形对角线交点的直线,将平行四边形分成全等的两部分图形;6. 平行四边形对角线把平行四边形面积分成四个全等三角形;7. 平行四边形的面积等于底乘高或对角线积的一半。
三、菱形的判定:1. 一组邻边相等的平行四边形是菱形;2. 四条边都相等的四边形是菱形;3. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形;4. 对角线互相垂直平分的四边形是菱形。
四、菱形的性质:1. 菱形具备平行四边形的一切性质;2. 对角线互相垂直且平分;3. 四条边都相等;4. 每条对角线平分一组对角;5. 菱形是轴对称图形,对称轴是两条对角线。
五、矩形的判定:1. 有一个角是直角的平行四边形是矩形;2. 有三个角是直角的四边形是矩形;3. 四个角相等的四边形是矩形4. 对角线相等的平行四边形是矩形;5. 一组对角互补的平行四边形是矩形;6. 对角线互相平分且有一个内角是直角的四边形是矩形。
六、矩形的性质:1. 矩形具备平行四边形的一切性质;2. 矩形对角线相等;3. 矩形的四个内角都是90°;4. 矩形既是轴对称图形,也是中心对称图形。
七、正方形的判定:1. 有一个角是直角的菱形是正方形;2. 对角线相等的菱形是正方形;3. 有一组邻边相等的矩形是正方形;4. 对角线互相垂直的矩形是正方形;5. 四边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形;6. 一组邻边相等,有一个角是直角的平行四边形是正方形。
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教学重点
菱形、矩形、正方形的概念及其性质
教学难点
数学思想方法的体会及其运用。
教学媒体
学案
教学过程
一：【课前预习】
（一）：【知识梳理】
1.性质：
（1）矩形：①矩形的四个角都是直角．②矩形的对角线相等．③矩形具有平行四边形的所有性质．
（2）菱形：①菱形的四条边都相等．②菱形的对角线互相垂直，并且每条对角线平分一组对角．③具有平行四边形所有性质．
6.如图，在矩形AB CD中，AB=12cm，BC=6cm，点P沿AB边从点A开始向点B以2cm/秒的速度移动；点Q沿DA边从点D开始向点A以1cm/秒的速度移动，如果P对同时出发，用t(秒）表示移动的时间（0＜t＜6），那么：
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QAPC的面积，提出一个与计算结果有关的结论
A．两条对角线互相平分且相等的四边形是正方形
B．菱形的一条对角线平分一组对角
C．顺次连结四边形各边中点所得的四边形是平行四边形
D．等腰梯形的两条对角线相等
2.将矩形ABCD沿AE折叠，得到如图所示的图形，已知∠ =60°，则∠AED的大小是（）
A．60°. B．50°. C．75°. D．55°
3.正方形的对角线长为a，则它的对角线的交点到各边的距离为（）
（3）正方形：①有一个角是直角的柳是正方形．②有一组邻边相等的矩形是正方形．③对角线相等的菱形是正方形．④对角线互相垂直的矩形是正方形．
3.面积计算：
（1）矩形：S=长×宽；（2）菱形： （ 是对角线）
（3）正方形：S=边长2
4.平行四边形与特殊平行四边形的关系
（二）：【课前练习】
1.下列四个命题中，假命题是（）
2.如图，一张矩形纸片，要折叠出一个最大的正方形，小明把矩形
的一个角沿折痕AE翻折上去，使AB和AD边上的AF重合，则四
边形ABEF就是一个最大的正方形，他的判断方法是________-
3.如图，在菱形ABCD中，AC、BD相交于点O，且CA：BD=l：,若AB=2，求菱形ABCD的面积．
5.在一次数学兴趣小组活动中，组长将两条等宽的长纸条倾斜地重叠着，并问同学，重叠部分是一个什么样的四边形？同学说：这是一个平行四边形．乙同学说：这是一个菱形．请问：你同意谁的看法要解决此题，需建构数学模型，将实际问题转化成数学问题来解决，即已知：如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AD∥BC，边CD与边BC上的高相等，试判断四边形ABCD的形状．
章节
第五章
课题
矩形、菱形、正方形
课型
复习课
教法
讲练结合
教学目标（知识、能力、教育）
1.掌握菱形、矩形、正方形的概念，了解它们之间的关系．
2.掌握菱形、矩形、正方形、的有关性质和常用的判别方法．
3.进一步掌握综合法的证明方法，能够证明与矩形、菱形以及正方形等有关的性质定理及判定定理，并能够证明其他相关的结论．
2.周长为68的矩形ABCD被分成7个全等的矩形，则矩形ABCD的面积为（）
A．98 B．96 C．280 D．284
3.如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝80，AB的垂直平分线EF交
对角线A C于点F、E为垂足，连结DF，则∠等于（）
A．80°B．70°C．65°D．60°
4.如图，小明想把平面镜MN挂在墙上，要使小明能从镜子里看
（3）正方形：①正方形的四个角都是直角，四条边都相等．②正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角．
2.判定：
（1）矩形：①有一个角是直角的平行四边形是矩形．②对角线相等的平行四边形是矩形．③有三个角是直角的四边形是矩形．
（2）菱形：①对角线互相垂直的平行四边形是菱形．②一组邻边相等的平行四边形是菱形．③四条边都相等的四边形是菱形．
的形状是，根据的数学道理是____．
（3）将直角尺靠紧窗框的一个角(如图③)调整窗框的边框，当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时(如图④)说明窗框合格，这时窗框是_________，根据的数学道理是______________
二：【经典考题剖析】
1.下列四边形中，两条对角线一定不相等的是（）
A．正方形B．矩形C．等腰梯形D．直角梯形
A、a B、a C、D、2a
4.如图，是根据四边形的不稳定性制作的边长均为15㎝的可活动菱
形衣架．若墙上钉子间的距离AB＝BC＝15㎝，则∠1＝_____度
5.师傅做铝合金窗框，分下面三个步骤进行
（1）如图，先裁出两对符合规格的铝合金
窗料（如图①），使AB=CD，EF= GH；
（2）摆放成如图②的四边形，则这时窗框
四：【课后小结】
布置作业
地纲
教后记
见自己的脚？问平面镜至多离地面多高？（已知小明身高1．60米）
5.如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、
DA的中点，请添加一个条件，使四边形EFGH为菱形，并说明理由，
添加的条件__________，理由：
三：【课后训练】
1.正方形具有而矩形不一定具有的性质是（）
A．四个角都是直角；B．对角线相等；C．对角线互相平分；D．对角线互相垂直