图像变换

三角函数图像变换
对函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)＋k (A ．＞．0, ．．ω＞．．0, ．．ϕ．≠．0,．． k ．≠．0)．．
,其图象的基本变换有： (1)振幅变换（纵向伸缩变换）：是由A 的变化引起的．A ＞1,伸长；A ＜1,缩短．
(2)周期变换(横向伸缩变换)：是由ω的变化引起的．ω＞1，缩短；ω＜1,伸长．
(3)相位变换(横向平移变换)：是由φ的变化引起的．ϕ＞0,左移；ϕ＜0，右移．
(4)上下平移(纵向平移变换): 是由k 的变化引起的．k ＞0, 上移；k ＜0,下移
例题：
（1）函数f (x )=sin(2x ＋π6)＋32
的图象可以由函数y ＝sin 2x (x ∈R )的图象经过怎样的变换得到？
（2）已知函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω＞0，0＜φ≤π2
)，且此函数的图象如图所示，则点(ω，φ)的坐标是________．
练习：
1．为了得到函数y ＝2sin(x 3＋π4
)，x ∈R 的图象，只需把函数y ＝2sin x ，x ∈R 的图象上所有的点：
①向左平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变)； ②向右平移π4个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的13
倍(纵坐标不变)； ③向左平移π4
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)； ④向右平移π4
个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍(纵坐标不变)． 其中正确的是________．
2．已知函数y ＝f (x )，f (x )图象上每个点的纵坐标保持不变，将横坐标伸长到原来的2
倍，然后再将整个图象沿x 轴向左平移π2个单位，得到的曲线与y ＝12
sin x 的图象相同，则y ＝f (x )的函数表达式为________．
3. 在同一平面直角坐标系中，画出三个函数f (x )＝2sin(2x ＋π4)，g (x )＝sin(2x ＋π3
)，h (x )
＝cos(x －π6
)的部分图象(如图)，则a ，b ，c 对应的函数依次是________．
4．作出函数y ＝3sin(2x ＋π3
)，x ∈R 的简图，并说明它与y ＝sin x 的图象之间的关系． 5．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(ω>0，φ>0)的图象的一个最高点为(2，2)，它到相邻的最低点之间的图象与x 轴交于点(6，0)，则这个函数的解析式为________．
解析：由题知A ＝2，且有⎩⎪⎨⎪⎧2ω＋φ＝π2，6ω＋φ＝π，得⎩⎨⎧ω＝π8，φ＝π4
， 所以函数的解析式为y ＝2sin(π8x ＋π4
)． 答案：y ＝2sin(π8x ＋π4
) 6．若函数y ＝f (x )同时具有下列三个性质：(1)最小正周期为π；(2)在x ＝π3
时取得最大值1；(3)在区间[－π6，π3
]上是增函数．则y ＝f (x )的解析式可以是________(填序号)． ①y ＝sin(x 2＋π6)； ②y ＝cos(2x ＋π3
)； ③y ＝sin(2x －π6)； ④y ＝cos(2x －π6
)． 7．已知曲线y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)上的一个最高点的坐标为(π2，2)，由此点到相邻最低点间的曲线与x 轴交于点(32π，0)，φ∈(－π2，π2
)． (1)试求这条曲线的函数解析式；
(2)写出函数的单调区间．
作业：
8．函数y ＝3sin(－2x －π6
)(x ∈[0，π])的增区间是________． 9．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ＞0，ω＞0，|φ|＜π2
)的图象在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0，2)和(x 0＋3π，－2)．
(1)求f (x )的解析式；
(2)将y ＝f (x )图象上所有点的横坐标缩短到原来的13
，然后再将所得到的图象向x 轴正方向平移π3
个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，写出g (x )的解析式，并作出在长度为一个周期上的图象．。