解三角形(二轮专题复习)教学设计
高三数学《解三角形》教学设计
《解三角形》教学设计崇明中学汤杰【教学目标】1、掌握正弦、余弦定理的内容，灵活运用正、余弦定理解三角形问题。
2、学会分析问题，合理选用定理解决三角形问题，提升合情推理探索数学规律的数学思维能力。
3、在学习过程中激发学生学习兴趣，激发学生的探索精神。
【教学重点】正、余弦定理的灵活运用、解三角形中边角互化问题。
【教学难点】解三角形中的综合问题。
【教学过程】120，运用，学生课前完成，教师边角互化多向思维应用研究综合提升考点3、解三角形的实际问题研究例题2、如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径。
一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C。
现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为min/50m。
在甲出发min2后,乙从A乘缆车到B,再从B匀速步行到C。
假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m,山路AC长为m1260,经测量：1312cos=A,53cos=C。
1）求索道AB的长；2）问乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?考点3例题教师引导学生审清题意，要求学生先独立思考，然后请学生讲解自己的想法与做法。
教师板书解答过程。
旨在通过本例题让学生学会建立数学模型解决实际问题，让学生在解决问题过程中体验学习数学的乐趣，与此同时也提升了学生的分析解题的能力。
课堂小结通过本节课的学习，你有哪些收获？请让学生思考和总结，然后派代表回答。
及时进行总结，同时检查学生本节课的【教学设计说明】1、教材内容分析:解三角形是高考考察的重点考察内容，由近几年高考可以看出，解三角形是高考必考内容，选择、填空、解答题都有出现，所以本节课的重点就是如何解三角形，而正弦定理和余弦定理又是解三角形的工具。
所以通过本章学习，学生应该能够通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理解三角形，能够运用正弦定理、余弦定理及变形等知识解答有关三角形的综合问题。
高2013届高三二轮专题复习专题设置及教学建议
(2)由余弦定理可得，a2＝b2＋c2－2bccosA，即16＝b2＋ 16 2 c ＋bc≥3bc(当且仅当b＝c时取等号)，故bc≤ .(8分) 3 1 3 4 3 故△ABC的面积为S＝ bcsinA＝ bc≤ ，当且仅当b 2 4 3 4 3 4 3 ＝c＝ 时，△ABC的面积取得最大值 .(12分) 3 3
二轮专题复习专题设置及教学建议
目录 ※专题复习的目的和任务3-6 ※专题设置
专题一：三角函数、三角变换，解三角形与平面向量 专题二：数列 专题三：概率与统计 专题四：立几与空间向量 专题五：解析几何 专题六：函数、导数与不等式
专题七：新增内容
专题八：数学思想方法 专题九：选择题、填空题的解答技巧 专题十：解答题的答题规范 专题十一：易错易混梳理
专题二：数列
※本专题设计2课时 第一讲：等差数列与等比数列 第二讲：数列综合 第三讲：推理
第一讲：等差数列与等比数列
本讲主要涉及等差数列、等比数列的定义；会用定义法判定数列类型；会 求数列的通项公式；会利用等差、等比数列的性质解题；会求等差、等比 数列的前n项和，会通过通项公式与前n项和公式识别等差、等比数列，并 能从中提取出相关的基本量；会用下标和性质与片段和性质解题。
典型例题
π 函数 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|< ) 2 的一段图象(如图所示)，求其解析式．
思维启迪 先由图象求出函数的周期，从而求得 ω 的值， 再由关键点求 φ，最后将(0， 2)代入求 A 的值．
解 设函数的周期为 T， 3 7π π 3 则4T＝ 8 －8＝4π， 2π ∴T＝π，∴ω＝ ＝2. T π π π 又∵2×8＋φ＝2kπ＋2 (k∈Z)，∴φ＝2kπ＋4 (k∈Z)， π π 又∵|φ|< ，∴φ＝ . 2 4
《解三角形》教学设计-优秀教案
45,C∠.求边长能够很好地激发学生的求知欲望。
在新的问题产生时这个时候也正是产生知识缺陷, 急需新知识的时候教师活动2探究一: 直角三角形边角关系如图：在中, 是最大的角, 所对的斜边是最大的边, 探究边角关系。
探究二: 斜三角形边角关系实验1: 如图, 在等边中, ,对应边的边长, 验证是否成立？实验2: 如图, 在等腰中, , , 对应边的边长, 验证是否成立？实验3：借助多媒体演示, 发现随着三角形的任意变换, 的值相等。
通过这样的一些实验, 我们可以猜想。
学生活动2探究一: 在中, 设, 根据正弦函数定义可得:cbBcaA==∴sin;sincBbAa==∴sinsin又1sin=CCcBbAasinsinsin==∴探究二: 学生通过计算验证结论是否正确探究二：学生通过计算验证结论是否正确活动意图说明从已有的知识结构出发, 不让学生在思维上出现跳跃, 逐层递进, 通过已经熟悉的直角三角形的边角关系的探究作为切入点, 再对特殊的斜三角形进行验证, 过渡到一般的斜三角形边角关系的探究。
让学亲自体验数学实验探究的过程, 逐层递进, 激发学生的求知欲和好奇心, 体会到数学实验的归纳和演绎推理两个侧面。
多媒体技术的引入演示, 让学生更加直观感受到变换, 加深理解。
环节三:教的活动3证明猜想, 得到定理学的活动3分组讨论证明方法并展示活动意图说明经历猜想到证明的过程, 让学生体会到数学新知识得获得仅仅靠猜想和演绎推理是不够的,必须经过严密的数学推导进行证明才可以。
在这个过程中, 也进一步促进学生数学思维思维品质的提升。
7.板书设计（板书完整呈现教与学活动的过程, 最好能呈现建构知识结构与思维发展的路径与关键点。
使用PPT应注意呈现学生学习过程的完整性）课题一、正弦定理定理: 例题练习。
李文学(解三角形2--运用转化与化归思想解三角形)教学设计
[海淀区高三数学复习--空中课堂]运用转化与化归思想解三角形——高三复习课 北京理工大学附属中学 李文学 2020-02-10一、教学目标：通过正余弦定理，实现三角形中边与角的相互转化。
在分析问题、解决问题的过程中让学生认识到事物间的相互关系，渗透转化与化归数学思想，进而培养学生综合分析问题、解决问题的能力。
二、教学重点和难点重点：运用正（余）弦定理实现三角形中边与角的相互转化.难点：利用正（余）弦定理实现三角形中边与角的相互转化，并化归为单一的边或角的关系，利用方程解三角形。
三、教学过程：（一）解三角形知识体系回顾（略）（二）利用转化与化归思想解三角形【例1】在△ABC 中，a =3，b −c =2，cos B =12-． （Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）求sin （B –C ）的值．解答：（Ⅰ）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得 22213232b c c ⎛⎫=+-⨯⨯⨯- ⎪⎝⎭. 。
*1 因为2b c =+， 所以2221(2)3232c c c ⎛⎫+=+-⨯⨯⨯-⎪⎝⎭. 解得5c =.所以7b =. 。
*2（Ⅱ）由1cos 2B =-得sin 2B =.由正弦定理得sin sin c C B b == 。
*3在ABC △中，∠B 是钝角，所以∠C 为锐角.所以11cos 14C ==.所以sin()sin cos cos sin B C B C B C -=-=. 【设计意图】关注点1、余弦定理可帮助我们实现“边与角余弦间的转化” ----*1关注点2、方程思想 ----*2关注点3、正弦定理可帮助我们实现“边与角正弦间的转化” ----*3关注点4、“边角互化”是解三角形问题的常见方法 ----*4【规律总结】1、在高三数学复习中，常遇到一些数学问题直接求解较为困难，然而通过观察、分析等思维过程，可以将原问题转化为一个新问题，通过新问题的求解达到解决原问题的目的。
高中数学教学课例《解三角形的应用(高三复习课)》课程思政核心素养教学设计及总结反思
线，三角形外角和问题，在两个三角形中，两两使用正
弦定理、余弦定理。
在关注学生发展核心素养的今天，对于教师而言，
课例研究综 这无疑是个巨大挑战，挑战源于教师要从“学科教学”
述
转向“学科教育”，从“知识核心时代”走向“核心素
养时代”，提升数学课堂的思维含量，构建“让学生爱
思考、会思考、享受思考”的情境教学课堂，为发展学 生的心智而教，这是必然要求，更是我们努力的方向。 本节课以高考试题为背景，通过师生互动，发现问题， 寻找解决问题的方法，我在编写三个题，让学生突破、 提升。1.在中，角的对边分别为，已知
高中数学教学课例《解三角形的应用（高三复习课）》教学 设计及总结反思
学科
高中数学
教学课例名
《解三角形的应用（高三复习课）》
称
解三角形的应用是高考考查的重点内容，主要考查 教材分析
正弦定理、余弦定理的应用。
掌握正弦定理、余弦定理，能运用正弦定理、余弦
教学目标 定理解三角形的相关问题。教学难点：利用正弦定理、
(1)求的值；（2）若,求面积的最大值. 2.如图中，已知点在边上，且，，， （1）求的长； （2）求 3.已知中，是边上的中线，且。 （1）求；（2）若，求的长。
余弦定理，结合三角恒等变换，均值不等式求解。
熟练使用正弦定理、余弦定理解三角形是学生必须
掌握的，对于ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ单的问题，求角、求边，求面积，一般
学生学习能 的学生都会，但是把它综合在三角形中，涉及到三角形
力分析 的角平分线，中线，三角形外角和的应用，学生感到比
较棘手。本内容的复习采用师生互动、自主学习的研究
教学过程
用多媒体出示近三年高考解三角形的试题，：
高考数学二轮复习专题篇素养提升 专题1三角函数三角恒等变换与解三角形第2讲三角恒等变换与解三角形文理
②由 f(x)＝12sin2x－π6＝ 63，
得 sin2x－π6＝ 33，
∵x∈0，π4，∴－π6≤2x－π6≤π3，
∴cos2x－π6＝
6 3.
∴cos 2x＝cos2x－π6＋π6 ＝cos2x－π6× 23－sin2x－π6×21 ＝ 36× 23－ 33×12＝ 22－ 63.
三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换, 1＝sin2θ＋cos2θ＝tan 45°等． (2)项的拆分与角的配凑： 如sin2α＋2cos2α＝(sin2α＋cos2α)＋cos2α,α＝(α－β)＋β等． (3)降次与升次：正用二倍角公式升次,逆用二倍角公式降次． (4)弦、切互化：一般是切化弦．
分值 10 12 10
年份 卷别 Ⅰ卷
2019 Ⅱ卷 Ⅲ卷 Ⅰ卷
2018 Ⅱ卷 Ⅲ卷
题号
考查角度
分值
17 正余弦定理
12
二倍角公式、基本关系式、余弦定理、
15
5
三角形面积公式
18
正余弦定理、三角形面积公式
12
17
正余弦定理、解三角形
12
二倍角、辅助角公式、基本关系式、
10、15 和的正弦公式、余弦定理
10°＝
典例1
A．34
(1)(2020·全国Ⅱ卷模拟)cos2 40°＋2sin 35°sin 55°sin
( A)
B．14
C．12＋
3 2
D．3
3 4
(2)(2020·宜宾模拟)已知 α∈0，π2，且 3sin2α－5cos2α＋sin 2α＝0，则
sin 2α＋cos 2α＝
( A)
A．1
B．－2137
解三角形中的范围(最值)问题教案-2022届高三数学二轮复习微专题复习
微专题：解三角形中的范围(最值)问题教学设计一、教学内容分析在高中数学知识体系中，解三角形是一个基础知识点，也是高考的一个必考点。
在解三角形的题型中，考查正弦定理和余弦定理的应用，涉及最值和范围的问题相对较难，综合性也较强。
解三角形问题是高考高频考点，在解三角形中的求最值或范围问题是高三复习中的难点，这类问题常常在知识的交汇点处命题，其涵盖及关联三角函数、平面向量、平面几何、基本不等式、导数等多领域的知识。
近几年的高考突出以能力立意，加强对知识综合性的考查，故常常在知识的交汇处设计问题。
主要考查“三基”（基本知识、基本技能、基本思想和方法）以及综合能力，对正弦定理和余弦定理的考查较为灵活，题型多变，以选择题、填空题、解答题体现。
试题难度多为容易题和中档题，主要考查灵活变式求解计算能力，推理论证能力，数学应用意识，数形结合思想等。
而在解三角形中求解某个量（式子）最值或范围是命题的热点，又是一个重点，本节课通过近几年高考试题及模拟试题进行分析，对解三角形的范围(最值)进行优化归纳，并给出针对性巩固练习，以期求得热点难点的突破。
二、学情诊断分析授课对象为高三平行班学生。
本节课之前，学生已经学习了正余弦定理、基本不等式、三角函数、导数等有关内容，但是对于知识前后间联系、理解、应用综合性强的题有一定难度，学习起来比较吃力。
题目稍作变形就不会，独立分析、解决问题的能力有限。
但对一些简单数学规律和基本数学方法的学习，具有一定的基础。
本节课是针对他们在做此类型题目中能做但不能得全对的情形下做的一个探究归纳，使学生对此类问题有一个更高更深刻的认识掌握，解题能力有一个提升。
三、教学目标分析1.巩固正弦、余弦定理的应用，学会利用均值不等式、三角函数有界性和导数在处理范围问题中的应用；2.强化转化与化归的数学思想以及数形结合的数学思想，提高学生研究问题，分析问题与解决问题的能力。
四．教学重难点分析重点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的运用，能运用正弦余弦和差角公式进行简单的三角函数的恒等变换，理解基本不等式、三角函数的图像与性质和导数简单应用。
2024届高考数学二轮复习专题1三角函数与解三角形课件
即 cos A＝－12，
由 A 为三角形内角得 A＝23π，
△ABC
面积
S＝12bcsin
A＝12×1×
23＝
3 4.
专题一 三角函数与平面向量
类型四 平面向量及其应用
1．(2023·新课标Ⅰ卷)已知向量 a＝(1，1)，b＝(1，－1)．若(a＋λb)⊥(a＋μb)，
则( )
A．λ＋μ＝1
B．λ＋μ＝－1
A．79 解析：因为
sin
B．19 (α－β)＝sin
αcos
C．－19 β－sin βcos
α＝13，
cos αsin β＝16，
所以 sin αcos β＝12，
所以 sin(α＋β)＝sin αcos β＋sin βcos α＝12＋16＝23，
则 cos(2α＋2β)＝1－2sin2(α＋β)＝1－2×49＝19.
答案：－
3 2
专题一 三角函数与平面向量
3．(2023·全国甲卷)函数 y＝f(x)的图象由函数 y＝cos (2x＋π6)的图象向左平移π6个
单位长度得到，则 y＝f(x)的图象与直线 y＝12x－12的交点个数为( )
A．1
B．2
C．3
D．4
解析：把函数 y＝cos(2x＋π6)向左平移π6个单位可得 函数 f(x)＝cos(2x＋π2)＝－sin 2x 的图象， 而直线 y＝12x－12＝12(x－1)经过点(1，0)，且斜率为12，
Bcos Bcos
AA－ssiinn
CB＝1，所以ssiinn
（（AA－＋BB））－
sin sin
CB＝sin
（A－sinBC）－sinB＝1，
专题一 三角函数与平面向量
高中数学解三角形教案
高中数学解三角形教案
一、教学目标：
1. 了解三角形的定义和性质；
2. 掌握解三角形的方法；
3. 能够运用解三角形的知识解决实际问题。
二、教学重点：
1. 三角形的定义和性质；
2. 解三角形的方法。
三、教学内容：
1. 三角形的定义和性质
2. 解三角形的方法
3. 实例分析
四、教学步骤：
1. 师生互动导入：通过实际例子引入三角形的定义和性质，例如让学生观察周围的物体，
找到其中的三角形并进行分类，引导学生讨论三角形的定义和性质。
2. 教学讲解：讲解三角形的定义和性质，包括三角形的内角和为180度、三边之和大于第三边等性质，引导学生理解三角形的基本概念。
3. 解三角形的方法：介绍解三角形的方法，包括余角、角平分线、作图等方法，讲解每种
方法的应用场景和步骤。
4. 实例分析：通过实际例子进行分析和讨论，引导学生运用解三角形的方法解决实际问题，加深对知识的理解和应用能力。
五、教学评价：
教师可通过课堂练习、作业和小测验等方式进行教学评价，检验学生对三角形的理解和解
题能力。
六、拓展延伸：
师生可通过课外探究、实验等方式拓展三角形的相关知识，激发学生的学习兴趣，提高学
生的综合能力。
七、教学反思：
教师应及时总结本节课的教学效果，结合学生的表现和反馈，不断优化教学方法，提高教学质量。
2023新教材高考数学二轮专题复习：三角函数与解三角形课件
技法领悟
1．若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题， 一般利用S＝12ab sinC型面积公式及基本不等式求解．
2．若求与三角形边长有关的表达式的最值或取值范围时，一般把边
用三角形的一个角表示，利用角的范围求解．
巩固训练1 1.[2022·河北沧州二模]在△ABC中；内角A，B，C的对边分别为a， b，c，已知b(2sin A－ 3cos A)＝a sin B. (1)求A；
2，则sin B＝ 22且π>B>0，可得B＝π4或B＝34π，
(2)若a＝2，求△ABC的面积．
解析：由题设，a＝2，则b＝ 3，又B＝π4，
所以cos B＝a2+c2−b2＝1+c2＝ 2，整理得c2－2 2c＋1＝0，解得c＝ 2±1，满足
2ac
4c 2
题设．
由S△ABC＝12ac sin B＝ 22c， 所以，当c＝ 2＋1时S△ABC＝1＋ 22；当c＝ 2－1时S△ABC＝1－ 22.
(2)将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，再把各点的横坐标缩小 为原来的12(纵坐标不变)，得到函数y＝g(x)的图象，当x∈[－1π2，π6]时， 求函数g(x)的值域．
解析：将函数f(x)的图象向右平移π6个单位长度，可得y＝2sin (2x－π3)的图象． 再把横坐标缩小为原来的12，得到函数y＝g(x)＝2sin (4x－π3)的图象． 当当当x44∈xx－－[－ππ33＝＝1π2－π3，时π2时，π6]时，函，函数4数gx(－xg)(取π3x∈)取得[－得最2最大3π 小值，值，π3]，最，最 大小值值为为3－，2， 故函数g(x)的值域为[－2， 3].
1.已知函数f(x)＝ 称轴间的距离为π2.
二轮专题复习(二)：三角函数与解三角形
二轮专题复习（二）：三角函数与解三角形•应知已会——熟练 •会而不对——巩固 •对而不全——强化 •全而不优——指导三角函数二轮复习的目标和方向（1）注重任意角三角函数的定义，深化公式的理解记忆 （2）二倍角公式和两角和差公式是化简的核心工具 （3）三角函数的图象与性质是核心（4）解三角形问题要充分利用正、余弦定理以及两角和与差的三角公式 典型例题：一.三角函数的概念、诱导公式与三角恒等变换例1.已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos2θ=( )A ．45-B ．35-C ．35D ．45变式1.已知角α的顶点为坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有两点(1,)A a ，(2,)B b ，且2cos23α=，则||(a b -= )A ．15B CD ．1变式2.已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点34(,)55P --．(1)求sin()απ+的值； (2)若角β满足5sin()13αβ+=，求cos β的值．例2.若角α的终边在第二象限，则下列三角函数值中大于零的是( )（A ）πsin()2α+ （B ）πcos()2α+（C ）sin(π)α+ （D ）cos(π)α+变式1.若tan 0α>，则( )A. sin 20α>B. cos 0α>C. sin 0α>D. cos20α>例3.已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=( )A ． BCD变式1．若 ，则( ) A ．B ．C ．1D ． 变式2．若，则tan2α=（ ） A ．−B ．C ．−D ． 变式3．已知，则（ ） A ．B ．C ．D ．变式4．设(0,)2πα∈，(0,)2πβ∈，且1sin tan cos βαβ+=，则（ ） A .32παβ-=B .22παβ-=C .32παβ+=D .22παβ+=变式5．已知sin cos 1αβ+=，cos sin 0αβ+=，则sin()αβ+= ． 变式6. 已知4sin cos 3αα-=，则sin 2α=_________ 二. 三角函数的图象与性质例 1.动点(),A x y 在圆422=+y x 上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转,12秒旋转一周,已知时间0t =时,点A 的坐标是)3,1(,则动点A 的纵坐标y 关于t （秒）的函数的解析式为 .例2.若()cos sin =-f x x x 在[,]-a a 是减函数，则a 的最大值是( )A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π变式1. 已知0>ω，函数)4sin()(πω+=x x f 在),2(ππ单调递减，则ω的取值范围是（ ） 2π155353tan 4α=2cos 2sin 2αα+=642548251625sin cos 1sin cos 2αααα+=-34344343210cos 2sin ,=+∈αααR =α2tan 344343-34-A ．]45,21[B ．]43,21[C ．]21,0(D ．]2,0(变式2.函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）．A ．13(,)44k k ππ-+，k Z ∈ B ．13(2,2)44k k ππ-+，k Z ∈ C ．13(,)44k k -+，k Z ∈ D ．13(2,2)44k k -+，k Z ∈ 变式3.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈ 恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是_________________ 例3.函数3()sin(2)3cos 2f x x x π=+-的最小值为 ______ ． 变式1.若x ∈(0,)则2tanx+tan(-x)的最小值为 . 变式2.若，则函数的最大值为 .变式3. 函数xxy cos 3sin 1--=的值域___________.变式4.当时，函数的最小值为__________.例4.函数图像可由函数图像至少向右平移____个单位长度得到．变式1.函数cos(2)()y x ϕπϕπ=+-≤≤的图象向右平移则ϕ=_________。
解三角形单元教学设计
《解三角形》单元教学设计一、单元整体目标分析本单元教学目标：本章的中心内容是解三角形，正弦定理和余弦定理是解三角形的工具，最后落实在解三角形的应用上。
通过本章学习，学生应当达到以下学习目标:1.知识与技能目标:①掌握正弦定理、余弦定理及面积公式，并能正确应用定理解三角形。
②初步运用正弦定理、余弦定理解决测量距离、物体高度等有关的实际问题。
③通过解三角形培养学生的方程思想、化归思想、函数思想，并培养学生解题的优化意识。
2过程与方法：①通过对任意三角形边角关系的探索，掌握正弦定理、余弦定理，并能解决些简单的三角形度量问题。
②能应用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些测量与几何计算有关的实际问题。
③通过解三角形在实际中的一些应用, 开放多种思路，引导学生发现问题，培养学生分析问题、解决问题的能力。
3.情感与价值观：①培养和发展学生数学应用意识，渗透励志教育。
②在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，体方程思想、建模思想，并体会方程的应用价值。
③通过学习培养自己学习数学的兴趣和信心；提高学习能力，增强和他人合作的意识，同时培养学生运用图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力。
二、要素分析1、数学视角的分析解三角形一章是在初中“解直角三角形”和前面的“向量”相关内容基础上构建起来的，定理本身的应用十分广泛。
解三角形是三角函数知识和平面向量知识在三角形中的具体运用，是将生产、生活实际问题转化为解三角形计算问题的重要工具，具有广泛的应用价值。
解三角形问题和大量需要用解三角形为工具的实际问题的存在，以及数学本身和实际问题都在促使正弦定理，余弦定理的产生。
在实际工作中经常遇到很多测量问题，如：在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离；测量底部不可到达的建筑物的高度；在水平飞行中的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度；测量海上航行的轮船航速和航向等。
本章知识的介绍将很好的解决这些问题，从而提高学生解决实际问题的能力。
专题 解三角形之求边的比值的取值范围问题(教案)-高考数学二轮复习
解三角形之求边的比值的取值范围问题教学设计一、设计思路解三角形是高考中的重点题型，对正弦定理和余弦定理的考查比较灵活，题型多变，多与三角形周长，面积有关；有时也会与平面向量，三角恒等变换，不等式等结合考查。
而三角形中的最值问题又是一个重点，其中最典型的就是对面积、周长的最值问题考查，但是近年来的题型一直在不断地创新，其中2018年北京卷文科卷、2022年全国一卷、2022年全国甲卷理科卷都考查了三角形中边的比值的取值范围问题，处理这个最值问题解决方法主要是通过消元建立目标函数后，可以利用重要不等式解决，也可以利用三角函数的有界性解决。
这种方法对学生的思维训练而言是很有价值的，所以笔者设计了这样一节微课，总结出解决此类问题的基本步骤和数学思想方法，希望对同学们有所帮助。
二、教学目标1、能运用正弦定理，消元等方法将边的比值问题转化为一元函数的值域问题；2、通过对此类问题的分析，对数学思想方法有更深的理解，培养严谨的数学逻辑思维。
三、核心素养数学运算、逻辑推理、直观想象、数学抽象四、教学重难点重点：将三角形边的比值转化为对角的正弦之比。
难点：掌握解三角形中处理范围问题的方法：转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值）五、教学过程（一）解三角形公式回顾1.正弦定理及其应用：，其中为外接圆的半径 C B A c b a sin :sin :sin ::=CB A c b a 222222sin :sin :sin ::=2sin sin sin a b c R A B C===R ABCB C A b c a sin sin sin +=+2. 面积公式： S =12ab sinC =12bcsinA =12ac sinB3. 三角形中其他常用结论均为锐角。
、、是锐角三角形，则若，，C B A ABC C B A C B A C B A C B A C B A ∆=+=+-=+=+=++)3(2sin 2cos 2cos 2sin cos )cos(,sin )sin()2()1(π （二）例题精讲例题：在锐角ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设()1,m a =，()3sin ,cos n C b a C =-，//m n . (1)求角A ；(2)求bc 的取值范围. [设计意图]： 本题将引导学生利用正弦定理和消元思想将比值转变为一个一元的函数，从而将问题转化为求函数的值域（最值），但是要注意函数的定义域，即“元”的取值范围。
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解三角形（二轮专题复习）教学设计
教学目标：
1、知道正弦定理、余弦定理是解三角形的核心知识，会用正余弦定理进行边角转换；
2、掌握“已知一角及其对边，求相关边角的最值问题”的两种基本思路：
（1）运用正弦定理化边为角，转化为三角函数最值问题；
（2）运用余弦定理化角为边，利用基本不等式、判别式法等手段构造不等式进而解不等式；
3、能运用过去解三角形所积累的解题经验解决与解三角形相关的拓展问题，并获得、积累新的数学基本活动经验。
教学重点：
1、与学生一起探究例题的基本解法，并总结归纳出解这类问题的两类基本思路；
2、解决函数、不等式问题时所获得的一些数学基本活动经验在解决“已知一角及其对边，求相关边角的最值问题”时的运用、积累与升华。
教学难点：
变式2中用余弦定理寻求与错误!未找到引用源。
相关的不等式、求解、验证的过程
授课类型：高三第二轮专题复习课
教学过程：
一、热点分析，把握方向
近五年全国卷Ⅰ解三角形考题题号及分值统计：
通过此表，我们发现解三角形是高考的必考点，一般属于中档题，是我们的一个主要得分点，因此也是第二轮复习的重点内容.
二、小试牛刀，回顾经验
引例：（2015广东改编）设错误!未找到引用源。
的内角错误!未找到引用源。
的对边分别为错误!未找到引用源。
，若错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
.
1、给2分钟时间，让学生独立完成，请同学回答，同时板书两种方法的主要过程；
2、解法一：（余弦定理）错误!未找到引用源。
，化简为错误!未找到引用源。
解法二：（正弦定理）由正弦定理得错误!未找到引用源。
，
A
C B 又错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
，或错误!未找到引用源。
.
3、小结：通过这个题我们可以感受到正弦定理、余弦定理在解三角形中的具体应用.
4、问：如果在引例中去掉条件“错误!未找到引用源。
”，这时会是什么结果呢？显然就不能求解错误!未找到引用源。
的具体数值了，但能不能求 错误!未找到引用源。
的范围呢？请试解如下变式。
变式：设错误!未找到引用源。
的内角错误!未找到引用源。
的对边分别为错误!未找到引用源。
，若错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
的范围.
略解： 错误!未找到引用源。
同理有错误!未找到引用源。
.
（有错误!未找到引用源。
的范围了，我们进一步想想错误!未找到引用源。
的范围为（留白，请一个同学回答说错误!未找到引用源。
，（同时板书）这个范围正确吗？质疑大于0吗？（引导）学生回答两边之和大于第三边，所以错误!未找到引用源。
，继续质疑，能不能等于8？我们反过来想，假设最大值为8，那么应该是错误!未找到引用源。
，这时这个三角形就有四个条件了，可以选用其中三个条件来检验第四个条件.比如我们利用余弦定理求错误!未找到引用源。
. 显然8不是错误!未找到引用源。
的最大值，那么错误!未找到引用源。
的最大值是多少？）
为研究的方便，我们把数据稍作改变，通过例题来研究这类问题.
三、例题探究，获取经验
例 在 错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
，
求错误!未找到引用源。
的最大值.
1、请学生思考讨论后试解2分钟，再请同学回答思路，同时板书关键点；
2、解法一（正弦定理）由正弦定理得 错误!未找到引用源。
，整理有：错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
（到这里后，问学生最大值是多少？为什么？意在引导学生注意：求函数的最值应考定义域）
因为错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
，故错误!未找到引用源。
教师评价：这位同学采用正弦定理，将边的问题转化为角的问题，进而利用和差角公式转化为三角函数求最值的问题，充分体现了函数的思想，非常不错！值得同学们注意的是函数的定义域，即角错误!未找到引用源。
的取值范围.
问：请同学们想想这个题还有没有其它的思路？
解法二（余弦定理）由余弦定理得错误!未找到引用源。
，整理为：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，（这个过程中要及时追问为什么这么转化，暴露学生的思维过程）设错误!未找到引用源。
，则：错误!未找到引用源。
，即错误!未找到引用源。
（取等条件）教师评价：这个同学讲得非常好！抓住了两个关键点：第一点是将错误!未找到引用源。
转化为错误!未找到引用源。
；第二点是利用均值不等式将错误!未找到引用源。
转化为错误!未找到引用源。
.通过两次转化，构造出关于错误!未找到引用源。
的不等式.这个转化的过程，充分体现了强烈的解题目标意识，因为本题就是要求错误!未找到引用源。
最大值.
3、经验总结：求两边之和的最值问题，我们通常借助正弦定理转化为函数的最值，或利用余弦定理构造不等式来求解，这是我们解决这类问题的基本经验.
四、变式训练，升华经验
变式1在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
的最大值.
1、学生独立试解，教师巡查并予以启发，而后请两位同学上台板演；
2、解法一：由正弦定理得错误!未找到引用源。
，
整理有：错误!未找到引用源。
，所以
错误!未找到引用源。
因为错误!未找到引用源。
，所以错误!未找到引用源。
，故错误!未找到引用源。
解法二：由余弦定理得错误!未找到引用源。
，化简为：错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，
所以错误!未找到引用源。
（取等条件）
变式2（2011全国Ⅰ理16）错误!未找到引用源。
的内角错误!未找到引用源。
的对边分别为错误!未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，求错误!未找到引用源。
的最大值．
1、请学生对比例题及变式1，回答解题思路，而后分组作答.
2、解法一：由正弦定理得错误!未找到引用源。
，整理有：
错误!未找到引用源。
，所以
错误!未找到引用源。
其中错误!未找到引用源。
所以错误!未找到引用源。
的最大值为错误!未找到引用源。
.
教师启发：像错误!未找到引用源。
这样的问题，我们接触的比较多的是1:1型或1：错误!未找到引用源。
型，是可以转化为特殊角的，显然这个不行，那么怎么处理呢？
在错误!未找到引用源。
中，错误!未找到引用源。
是确定的锐角，又因为错误!未找到引
用源。
，
所以错误!未找到引用源。
可以取到最大值1的.
解法二（余弦定理）由余弦定理得错误!未找到引用源。
，化简为：错误!未找到引用源。
(*)
设错误!未找到引用源。
，则错误!未找到引用源。
，代入(*)式整理得：错误!未找到引用源。
，
启发：可以将上式看成是关于a的一元二次方程，有解吗？那么我们看a表示什么，a 表示的是三角形的边长，这样的a是存在的，即这个关于a的一元二次方程是有解的.
由错误!未找到引用源。
得：错误!未找到引用源。
由于求的是最大值，因此最关注的是等号能否取到. 检验：当错误!未找到引用源。
时，代入方程可以解出错误!未找到引用源。
，而错误!未找到引用源。
，这说明t可以取到.
即错误!未找到引用源。
的最大值为错误!未找到引用源。
教师：这个题我们既可以用正弦定理转化为函数解决，也可以用余弦定理构造不等式解决，但我们发现用余弦定理是思维难度较大，需要通过换元构造方程求解，相对来说用正弦定理比较顺畅. 通过例题及两个变式的探究，我想同学们一定能够解决引例变式追问中的错误!未找到引用源。
的范围问题了，留给同学们课后去思考解决.
五、总结反思，提炼经验
教师：本节课我们着重复习了解三角形的问题，通过这节课的学习，我们有哪些收获？并在学生总结基础上归纳出如下要点：
1、正弦定理、余弦定理是解三角形的核心知识点；
2、解三角形最值问题一般有两条途径：第一，用正弦定理将边化为角，最终转化为函数的最值问题；第二，利用余弦定理将角化为边，再利用均值不等式、判别式法等相关知识构造不等式求解.这就是通过这节课的学习获得的基本活动经验.
六、课外练习，巩固经验
1、（2015湖南）错误!未找到引用源。
的内角错误!未找到引用源。
的对边分别为错误!
未找到引用源。
，错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
为钝角.
(I)证明：错误!未找到引用源。
；(II)求错误!未找到引用源。
的取值范围.
2、(2014全国Ⅰ)错误!未找到引用源。
，分别为错误!未找到引用源。
三个内角错误!未找到引用源。
的对边，错误!未找到引用源。
，且错误!未找到引用源。
，则△ABC面积的最大值
为________．。