函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
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新课标人教版必修一函数的奇偶性课件(共14张PPT)
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型三：奇偶性与单调性的联系：
例：已知函数 y f ( x)(x 0)为奇函数，在 x 0,
上为单调增函数，且 f (1) 0 ，则不等式 f (2 x 1) 0 解集为__________.
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：定义在 R 上的函数 f ( x), 对任意 x, y R都有
f ( x y) f ( x) f ( y) 1, 且x 0时，f ( x) 1, f (1) 2
(1)求证：f ( x)是R上的增函数； (2)解不等式： f (3x 1) 7; (3)求证：g ( x) f ( x) 1是奇函数。
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
课堂总结：
1：函数奇偶性的定义：
“数”与“形”的特征
2：利用函数的奇偶性求值、求解析式
3：函数奇偶性与单调性的联系： “模拟图像”
-2 -1 0
1 2
x
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
题型二：利用奇偶性求解析式： 例：已知函数
f ( x) ax2 bx c(2a 3 x 1)
b _________ . 是偶函数，则 a _____,
2a 3 1 解：由题意可得：
a 1 解得：
高中数学必修1同步辅导课程——函数的奇偶性
变式2：已知函数 f ( x)为奇函数，且当 x
f ( x) x3 2 x 2 1,
0时，
则 f (2) _______
则 f (a) _______
在原点处有定义的 f (0) 0 奇函数：
则 f ( x) _______
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
函数的奇偶性第一课时课件-高一数学人教A版(2019)必修第一册
A.－7
B.－5
C.－3
D.3
解析 ∵f(2 020)＝a×2 0203＋b×2 020－2＝3， ∴a×2 0203＋b×2 020＝5， ∴f(－2 020)＝－a×2 0203－b×2 020－2 ＝－5－2＝－7. 答案 A
一个函数的部分可能 具有奇偶性，注意要 善于观察利用。
课堂精讲
已知 f(a)求 f(－a)，判断 f(x)的奇偶性或构造已知奇偶性 的函数，利用奇偶性找出 f(a)与 f(－a)的关系即可.
判断函数是非奇非偶函数 ，只需找一适当的不符合 奇偶函数定义的特例即可
解 对任意 x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)， f(－x)＝(－x)2＝x2＝f(x)， 则函数 f(x)为偶函数；
则 f(－1)＋f(1)＝2≠0，f(－1)－f(1)＝－2a≠0， 即 f(－1)≠－f(1)，f(－1)≠f(1)， 则函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数.
②当 a≠0 时，f(x)＝x2＋ax(x≠0)， 取 x＝1，得 f(1)＝1＋a，取 x＝－1， 得 f(－1)＝1－a，
综上所述，当 a≠0 时， 函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数； 当 a＝0 时，函数 f(x)为偶函数.
课堂精讲
角度 4 含参函数奇偶性的判断 【例 1－4】 判断下列函数的奇偶性：
求证：f(x)为偶函数；
(3)若函数 f(x)的定义域为(－l，l)(l>0)，证明：f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数.
(3)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，
又 F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，
可见 f(－x)的定义域也是(－l，l).
G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]
高中数学人教A版 必修1《3.2.2函数的奇偶性》课件（16张PPT）
一看
二找
三判断
看定义域 是否关于 原点对称
找 f x与
f x的
下结
关系
论
函数奇偶性的判断
变式训练1 判断下列函数的奇偶性：——定义法
（1）f x 4 x2 （2）f x x2x 1
x 1
（3）f x 0
按照奇偶性将函数分类为：
①奇函数 ②偶函数 ③非奇非偶函数 ④既奇又偶函数
函数奇偶性的判断 ——图象直观感知
利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以 及复合函数的奇偶性判断.
f x
偶
偶
奇
奇
gx
偶
奇
奇
偶
f x gx
f x gx
f x gx
f g(x)
研究题 借助几何画板绘制大量函数图象并归纳函数的单调
性与函数的奇偶性的关系。来自f(-x)=f(x)f(-x)=-f(x)
不同点
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
补充：奇偶性是函数在其定义域上的整体性质
函数奇偶性的判断
例6 判断下列函数的奇偶性： ——定义法
（1）f x x4
偶函数 （2） f x x5 奇函数
（3）f x x 1
x
奇函数
（4）
f
x
1 x2
偶函数
归纳： 根据定义判断函数的奇偶性的步骤：
f x x2
…
9
4
1
0
14
…
9
gx 2 | x | … -1
0
1
2
1
0
…
-1
f 3 9 f 3 f 2 4 f 2 f 1 1 f 1
几何画板
当自变量取一对相反数时， 相应的两个函数值相等
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A版高中数学必修第一册课件
y
f(x)
O
x
y
g(x)
O
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第16页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
例6、判断下列函数的奇偶性：
(1) f ( x) x4
(2) f ( x) x5
1
1
(3) f ( x) x x
(4)
y f(x)=5
x
(5)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
(6)
(7)
(8)
第15页，共22页。
y f(x)=0 x
(9)
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
P85 1.已知f(x)是偶函数，g(x)是奇函数，试将下图补充完整.
4
3 2
g(x) 1 x
1
12 345
函数
g(x) 1 x
的定义域为{x|x≠0},
o
x
–1
–2
–3
它关于原点对称,
–4
–5
且 g(x) 1 1 g(x)
即
g
(
x)
1
xx
是奇函数.
x
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
第12页，共22页。
3.2.2函数的奇偶性【新教材】人教A 版（） 高中数 学必修 第一册 课件
y
4
3
f (x) x
2
–3 –2 –1
1 123
o
人教A版高中数学必修一函数的奇偶性课件
f (x) x
y 3
f (x) 1 (x 0) x
y
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
-x0 O P '(x0, f (x0 ))
P(x0 , f (x0 ))
x0
x
f(-x0)=-f(x0)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
(2) 定义域关于原点对称是函数具有奇偶性 的先决条件。
（3）奇、偶函数定义的逆命题也成立， 即：若函数f(x)为奇函数, 则f(-x)=－f(x)成立。 若函数f(x)为偶函数, 则f(-x)= f(x) 成立。
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
练习: 说出下列函数的奇偶性:
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考1:我们把具有上述特征的函数叫做偶函数， 那么怎样定义偶函数？
定义：一般地，如果对于函数f(x)定义域 内的任意一个x，都有f(-x)=f(x)成立， 则称函数f(x)为偶函数.
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考5:等式f(-x)=-f(x)用文字语言怎样 表述？
自变量相反时对应的函数值相反
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
人教A版高中数学必修一1.3.2函数的 奇偶性 课件(共 28张PP T)
思考6:函数
是奇函数
吗？奇函数的定义域有什么特征？
奇函数的定义域关于原点对称
【新教材】新人教A版 高中数学必修一 函数的奇偶性 课件
1．函数的奇偶性
奇偶性 偶函数
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有_f_(－ ___x_)＝__f_(x_)_，那么 关于_y_轴__对称 函数f(x)就叫做偶函数
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x，都有__f(_－__x_)_＝__－__f(_x_)， 关于原 __点 __对称
常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．
Thank you for watching !
(1)定义法
[谨记通法] 判定函数奇偶性的3种常用方法
(2)图象法
考点三 函数性质的综合应用 [锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在
高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调 性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求 函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
考点一 函数奇偶性的判断 [题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； 解：∵由x12－－x12≥ ≥00， ， 得 x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
那么函数f(x)就叫做奇函数
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0) ＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)．
奇偶性 偶函数
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任意 一个x，都有_f_(－ ___x_)＝__f_(x_)_，那么 关于_y_轴__对称 函数f(x)就叫做偶函数
奇偶性
定义
图象特点
如果对于函数f(x)的定义域内任 奇函数 意一个x，都有__f(_－__x_)_＝__－__f(_x_)， 关于原 __点 __对称
常见的命题角度有： (1)奇偶性的应用； (2)单调性与奇偶性结合； (3)周期性与奇偶性结合； (4)单调性、奇偶性与周期性结合．
Thank you for watching !
(1)定义法
[谨记通法] 判定函数奇偶性的3种常用方法
(2)图象法
考点三 函数性质的综合应用 [锁定考向] 函数的奇偶性、周期性以及单调性是函数的三大性质，在
高考中常常将它们综合在一起命制试题，其中奇偶性多与单调 性相结合，而周期性常与抽象函数相结合，并以结合奇偶性求 函数值为主．多以选择题、填空题形式出现．
3．分段函数奇偶性判定时，误用函数在定义域某一区间上不 是奇偶函数去否定函数在整个定义域上的奇偶性．
考点一 函数奇偶性的判断 [题组练透]
判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)＝ 1－x2＋ x2－1； 解：∵由x12－－x12≥ ≥00， ， 得 x＝±1， ∴f(x)的定义域为{－1,1}． 又 f(1)＋f(－1)＝0，f(1)－f(－1)＝0，即 f(x)＝±f(－x)． ∴f(x)既是奇函数又是偶函数．
那么函数f(x)就叫做奇函数
1．判断函数的奇偶性，易忽视判断函数定义域是否关于原点 对称．定义域)的奇偶性时，必须对定义域内的每一个 x，均 有 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)，而不能说存在 x0 使 f(－x0) ＝－f(x0)或 f(－x0)＝f(x0)．
函数的奇偶性(课件)高一数学(人教A版2019必修第一册)
答案：(1) 偶 ;
(2) 奇 ;
(5) 非奇非偶 ;
(3) 奇 ;
(4) 偶.3 函数的奇偶性
思维篇
知识篇
素养篇
1.已知f(x)=ax3-bx+4(a,b∈R), f(m)=5, 则
f(-m)=
.
解：令g(x)=ax2-bx，易知
g(-x)=-g(x)
又 g(m)= f(m)-4=1,
x
例如，函数 f(x)=x3就是奇函数.
练一练
1.奇函数f(x)的定义域是(2t-3, t)，则t=
答案：t = 1
.
练一练
2.判断下列函数的奇偶性：
(1)f(x)=x4;
(2)f(x)=x5;
1
(3)f(x)=x+ ;
1
(4)f(x)= 2;
(5)f(x)=x-1;
(6)f(x)=x2 , x∈[-3, 7].
所以 f(-x)=(-x-5)2-4=(x+5)2-4=f(x)
当x>1时，-x<-1, 由
所以f(-x)=(-x+5)2-4=(x-5)2-4=f(x)
从而对于定义域内任意x，都有f(-x)=f(x) ；
故函数是偶函数.
6.判断下列函数的奇偶性：
( + 5)2 − 4 , ( < −1)
(1) f(x)=
( − 5)2 − 4 , ( > 1)
(2) f(x)= + − − (a∈R)
分
类
讨
论
解：(2)定义域为R，
当a≠0时，f(-x)=-f(x)
函数f(x)= + − − 是奇函数；
函数的奇偶性-高一数学教材配套教学课件(人教A版必修第一册)
(3) f (x)在[2,4]上单调递减, f (x)min f (4), f (x)max f (2). 令x y 1得f (2) 2 f (1) 4;令x y 2得f (4) 2 f (2) 2 f (2) 8.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
f (x)在[2,4]上的最大值为4,最小值为 8.
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
x2 2x 3, x 0 f (x)的解析式为f (x) 0, x 0
x2 2x 3, x 0
6.抽象函数的求值、奇偶性、单调性
[例5]若f (x)是定义在R上的函数,且x, y R, f (xy) f (x) f ( y).
(1)求f (1)和f (1)的值.
∀x, y∈R, f(x)+f(y)=f(x+y)
一看定义域
不关于原点对称
关于原点对称
非奇非偶函数
二看关系式or图象
f(x)=f(﹣x)
﹣f(x)=f(﹣x)
图象关于y轴对称 图象关于原点对称
偶函数 既奇又偶函数 奇函数
f (x) 0, x D(D关于原点对称)
3.由奇偶性求参数
[例2]若f (x) (x a)( x 4)为偶函数,则实数a __4__.
备注
定义
图象特点 等价条件
设f(x)的定义域为I
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)=f (x) 则函数f(x)叫做偶函数
关于y轴对称 f(x)－f(-x)=0
∀x∈I , 都有-x∈I，都有f (-x)= - f (x) 则函数f(x)叫做奇函数
关于原点对称
f(x)＋f(-x)=0
①具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称
x2
(4) f (x) 0 解 : x R,x R,且f (x) 0 f (x), f (x) 0 f (x) f (x) 0, x [2,2] f (x)是既奇又偶函数.
高中数学人教A版 必修第一册 奇偶性 课件
练一练
2.设函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则实数 a ( ) x
√A.-1
B.1
C.0
D.-2
根据题意，函数 f (x) x2 (a 1)x a 为奇函数，则有 f (x) f (x) 0 ，即 x
x2 (a 1)x a x2 (a 1)x a 0 ，变形可得 (a 1)x 0 ，则有 a 1.故选 A.
练一练
1
4. f (x) 是定义在 R 上的奇函数，当 x 0 时， f (x) x3 1 ，则 f (8) ( )
√A.-1
B.0
C.1
D.2
本题考查根据函数的奇偶性求值.因为 f (x) 是定义在 R 上的奇函数，所以
f
(8)
f
(8)
1 83
1
1 .故选
A.
1.偶函数的定义 2.奇函数的定义
x
1 x
x
1 x
f
(x)
，
所以，函数 f (x) x 1 为奇函数.
x
(4)函数
f
(x)
1 x2
的定义域为 {x∣x
0} .因为 x {x∣x
0} ，
都有 x {x∣x
0} ，且
f (x)
1 (x)2
1 x2
f
(x) ，
所以，函数 f (x) 1 为偶函数.
x2
练一练
1.设函数 f (x) 的定义域为 R，且 f (x 2) 为偶函数， f (2x 1) 为奇函数，则( )
x
3
g(2) 1 g(2), g(1) 1 g(1). 2
实际上， xR 且 x 0 ，都有 g(x) 1 g(x) .
人教A版高中数学必修一.2《函数的奇偶性》课件(共19张ppt)
偶函数定义：
如果对于函数定义域内的任意一 个x ,都有f(-x）=f(x)。那么f(x)就叫偶函 数。
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
再观察下列函数的图象，它们又有什么相的特点
规律呢？
y
0
x
fx = x3
f (x)1(x0) x
x -3 -2 -1 0 1
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT) 人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
根据奇偶性, 函数可划分为四类:
奇函数 偶函数 既奇又偶函数 非奇非偶函数
奇函数定义：
如果对于函数定义域内的任意一 个x ,都有f(-x）=-f(x)。那么f(x)就叫奇函 数。
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
对于奇、偶函数定义的几点说明:
（1） 如果一个函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就
∴ f(-x) ≠ - f(x)且f(-x) ≠ f(x)
2
0
-1 1
x
∴f(x)既不是奇函数也不是偶函 数。（也称为非奇非偶函数）
如右图所示：图像既不关于原点 对称也不关于y轴对称。
思考2：完成课36本页的练习
思 考：
人教A版高中数学PPT)
小结：
人教A版高中数学必修一1.3.2《函数 的奇偶 性》课 件(共19 张PPT)
两个函数的图像都关于y轴对称
人教A版高中数学必修1函数的奇偶性PPT课件
解析：由于奇函数图象关于原点对称，在图象上我 们可以画出f(x)在区间[-5,0)的图象，如图所示
结合图象可知：f(x)>0的x的取值集合为 ｛x|-5<x<-2或2<x<5}
点评：注意数形结 合思想的运用
人教A版高中数学必修1函数的奇偶性P PT课件
人教A版高中数学必修1函数的奇偶性P PT课件
(3)∵f(x)的定义域为R，关 于原点对称 f(-x)= (x)4 (x)2 1 x4 x2 1 =f(x) ∴f(x) 是偶函数
人教A版高中数学必修1函数的奇偶性P PT课件
解析：（1）非奇非偶函数 （2）偶函数 （3）既是奇函数又是偶函数
人教A版高中数学必修1函数的奇偶性P PT课件
点评：在奇函数与偶函数的定义中，都要求 x∈D，－x∈D，这就是说，一个函数不论是奇 函数还是偶函数，它的定义域都一定关于坐标原 点对称．如果一个函数的定义域关于坐标原点不 对称，那么这个函数就失去了是奇函数或是偶函 数的前提条件，即这个函数既不是奇函数也不是 偶函数．
偶函数：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(-x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。
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观察：
1 观察函数f(x)=x和f(x)= x 的图象，并完成下面的两个函数值对应表，你
能发现这两个函数有什么共同特征吗？
(5)函数的奇偶性是函数在定义域上的性质是“整体”性质，而函数的单调 性是函数在定义域的子集上的性质是“局部”性质．
因此，判断函数f(x) 的奇偶性的步骤： （1）先判断定义 域是否关于原点对 称 （2）再求f(-x), 若f(-x)=f(x),则为偶 函数； 若f(-x)=-f(x),则为 奇函数
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性质：偶函数的定义域关于原点对称
例：
y=x2
性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
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3.2.2奇偶性
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• 从生活 中这些 图片中 你感受 到了什 么
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。
（A）
（B）
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（C）
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观察下面两个函数填写表格
y 3
2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f(x)=x
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y
3 2 1
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
2、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域为D。 如果对任意一个x∈D，都有
f(-x)=- f(x)， 那么称函数f(x)是奇函数 。
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非奇非偶函数
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y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y…4 1 0 1 4…
O
x
f (x)=|x|
y
问题：
1、对定义域中的每一个x， -x是否也在定义域内？ 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？
O
x
x … -2 -1 0 1 2 … y…2 1 0 1 2…
判断函数奇偶性
奇、偶函数定义的反过来也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
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若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
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y
x 0
例4 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
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1 2
f(-3)= 1 =-f(3)
…… 3
f(-x) = -f(x)
y 3
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f (x) 1 x
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函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
2、都有f(x)=f(-x)
如果对于函数f(x)的定义域为D。 如果对任意的x∈D，都有
f(-x)= f(x)， 那么称函数y=f(x)是偶函数。
性质：奇函数的定义域关于原点对称。
性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
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如果一个函数f(x)是奇函数或偶函 数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶 性.
判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: ∈ 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
-2 -1 0 -1 -2
1 2 3x
-3
f (x) 1 x
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x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
表（3）
f(-1)= -1=-f(1)
-f(2)
f(-3)= -3 =-f(3)
……
f(-x) = -f(x)
如：
y
3
y=3x+1
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
y
y=x2+2x
3
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
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偶函数的图像特征
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如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
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函数的奇偶性【新教材】人教A版高中 数学必 修第一 册课件
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（1）下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
（2）下列函数是否为偶函数，为什么？
y 3
2 1
-2 -1 0
-x
-1
-2
-3
1 2 x3 x
f(x)=x
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x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1 x
1 3
1 2
-1
11
1 23
表（4）
f(-1)= -1 =-f(1)
例：
y=x2
性质：偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反。
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3.2.2奇偶性
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。
（A）
（B）
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（C）
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观察下面两个函数填写表格
y 3
2 1
-3 -2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f(x)=x
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y
3 2 1
函数y=f(x)的图象 关于原点对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
2、都有f(-x)=-f(x)
如果对于函数f(x)的定义域为D。 如果对任意一个x∈D，都有
f(-x)=- f(x)， 那么称函数f(x)是奇函数 。
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非奇非偶函数
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y
f (x)=x2
x … -2 -1 0 1 2 …
y…4 1 0 1 4…
O
x
f (x)=|x|
y
问题：
1、对定义域中的每一个x， -x是否也在定义域内？ 2、f(x)与f(-x)的值有什么 关系？
O
x
x … -2 -1 0 1 2 … y…2 1 0 1 2…
判断函数奇偶性
奇、偶函数定义的反过来也成立，即
若f(x)为奇函数，则f(-x)=-f(x)有成立.
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若f(x)为偶函数，则f(-x)=f(x)有成立.
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y
x 0
例4 已知y=f(x)是R上的奇函数，当x>0时， f(x)=x2 +2x-1 ，求函数的表达式。
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1 2
f(-3)= 1 =-f(3)
…… 3
f(-x) = -f(x)
y 3
2 1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
f (x) 1 x
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函数y=f(x)的图象 关于y轴对称
1、对定义域中的每一 个x，-x是也在定义 域内；
2、都有f(x)=f(-x)
如果对于函数f(x)的定义域为D。 如果对任意的x∈D，都有
f(-x)= f(x)， 那么称函数y=f(x)是偶函数。
性质：奇函数的定义域关于原点对称。
性质：奇函数在关于原点对称的区间上单调性一致．
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如果一个函数f(x)是奇函数或偶函 数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶 性.
判定函数奇偶性基本方法: ①定义法: ∈ 先看定义域是否关于原点对称, 再看f(-x)与f(x)的关系. ②图象法: 看图象是否关于原点或y轴对称.
-2 -1 0 -1 -2
1 2 3x
-3
f (x) 1 x
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x
f(x)=x
-3 -2 -1 0 1 2 3 -3 -2 -1 0 1 2 3
表（3）
f(-1)= -1=-f(1)
-f(2)
f(-3)= -3 =-f(3)
……
f(-x) = -f(x)
如：
y
3
y=3x+1
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
y
y=x2+2x
3
2
1
-2 -1 0 -1 -2
-3
1 2 3x
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偶函数的图像特征
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如果一个函数是偶 函数,则它的图象 关于y轴对称。
y=x2
反过来， 如果一个函数的图 象关于y轴对称， 则这个函数为偶函 数。
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（1）下列说法是否正确，为什么？
（1）若f (－2) = f (2)，则函数 f (x)是偶函数．
（2）若f (－2) ≠ f (2)，则函数 f (x)不是偶函数．
（2）下列函数是否为偶函数，为什么？
y 3
2 1
-2 -1 0
-x
-1
-2
-3
1 2 x3 x
f(x)=x
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x
-3 -2 -1 0 1 2 3
f (x) 1 x
1 3
1 2
-1
11
1 23
表（4）
f(-1)= -1 =-f(1)