小升初数学拔高题解题方法-同分子法
小升初数学十种巧算方法
（若要计算可是很麻烦的一件事 不妨将原式分析一下， 设A=19941994 B=19941993）
则原式=A×B-(A+1)×(B-1)
=A×B-AB+A-B+1
= A-B+1
=19941994-19941993+1
=2
九、代换法
2、计算（1+0.23+0.34）× （0.23+0.34+0.56）
-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）
（根据题中给出的数据，设1+0.23+0.34=a，0.23+0.34=b ，）
a×（b+0.56）-（a+0.56）×b
=ab+0.56a-ab-0.56b
=0.56a-0.56b
=0.56（a-b）
=0.56×1
=0.56
十、扩缩法 在解决求整数部分的问题时，常用的方法是把它扩
大或缩小，求出这个数的范围，最后确定它的整数部 分。 1、
例如： 要是先计算出正确的结果，再回答整数部分 是多少，那可不是简单的计算。观察这个式子中的除 数，
十、扩缩法
假设除数中的每个分数都是20分之1，那么除数是 再假设除数中的每个分数都是39分之1，那么除数是
= 7800000
一、凑整法
4、补充数“凑整”。末尾是一个或几个0的数 ，运算起来比较简便。若数末尾不是0，而是98、 51等，我们可以用（100-2）、（50＋1）等来代替 ，使运算变得比较简便、快速。一般地我们把100 叫做98的“大约强数”，2叫做98的“补充数”； 50叫做51的“大约弱数”，1叫做51的“补充数” 。把一个数先写成它的大约强（弱）数与补充数的 差（和），然后再进行运算，例如：
小升初数学拔高题
小升初数学拔高题一、工程问题类1. 一项工程，甲单独做要20天完成，乙单独做要30天完成。
现在甲先做了若干天，然后乙接着做，从开始到完工共用了25天。
问甲、乙各做了多少天？嘿呀，这题就像是两个人接力干活儿一样。
咱可以设甲做了x天，那乙就做了（25 - x）天。
甲一天能干这工程的1/20，乙一天能干1/30。
那甲干的活加上乙干的活就等于整个工程，也就是1。
所以就有方程：1/20 x+1/30 （25 - x） = 1。
先把括号展开，1/20 x+25/30 - 1/30 x = 1。
通分一下，3x/60+50/60 - 2x/60 = 1，(3x - 2x)/60 = 1 - 50/60，x/60 = 10/60，x = 10。
所以甲做了10天，乙做了25 - 10 = 15天。
2. 有两个同样的仓库A和B，搬运一个仓库里的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时。
甲和丙在A仓库，乙在B仓库，同时开始搬运。
中途丙又转向帮助乙搬运。
两个仓库同时搬完，丙帮助甲、乙各多少时间？这就好比三个人在两个战场干活儿呢。
设搬运一个仓库的工作量为1，总共完成两个仓库的工作量就是2。
三人的工作效率分别是甲1/10，乙1/12，丙1/15。
三人自始至终都在工作，所以总共花费的时间是：2÷(1/10 + 1/12+1/15)=8（小时）。
甲8小时的工作量是1/10×8 = 4/5，A仓库剩下的工作量1 - 4/5 = 1/5就是丙帮甲做的，丙帮甲的时间就是1/5÷1/15 = 3小时。
丙帮乙的时间就是8 - 3 = 5小时。
二、行程问题类1. 甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，速度比是7:4，两人相遇后继续前进，甲到达B地，乙到达A地后立即返回，第二次相遇点距A地有10千米，求A、B两地的距离。
想象一下甲和乙就像两个跑步的人，速度不一样。
设A、B两地的距离为x千米。
甲乙速度比是7:4，那相遇时甲乙所走路程比也是7:4。
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题
分式化简技巧使用分式化简技巧解决问题在数学中，分式是一种表达形式，由分子和分母组成，中间有一个分割线。
在解决数学问题时，我们经常会遇到需要化简分式的情况。
本文将介绍一些常用的分式化简技巧，以帮助读者更好地解决问题。
一、约分法约分法是最基本的分式化简技巧之一。
当分子和分母有公因子时，可以约去它们的公因子，从而化简分式。
下面以一个例子来说明这个技巧。
例子：将分式$\frac{12}{18}$化简。
解析：12和18都可以被2整除，因此它们的公因子是2。
我们可以将分子和分母都除以2，得到$\frac{6}{9}$。
接着，6和9都可以被3整除，所以它们的公因子是3。
将分子和分母都除以3，最终得到化简后的分式$\frac{2}{3}$。
二、分子因式分解法当分子可以因式分解时，我们可以将分子分解后进行化简。
下面以一个例子来展示这个技巧。
例子：将分式$\frac{x^2-4}{x^2-2x}$化简。
解析：首先，我们可以因式分解分子的二次多项式$x^2-4$，得到$(x-2)(x+2)$。
对于分母$x^2-2x$，我们可以提取公因子$x$，得到$x(x-2)$。
因此，将分子分母带入分式，得到$\frac{(x-2)(x+2)}{x(x-2)}$。
可以看出，分子和分母都含有因式$(x-2)$，我们可以约去这个因式，最终化简得到$\frac{x+2}{x}$。
三、通分法通分法是化简带有分子和分母的分式的常用技巧。
这种情况通常发生在两个或多个分式相加或相减的时候。
下面以一个例子来说明通分法的使用。
例子：将分式$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}$化简。
解析：首先，将两个分式通分，得到$\frac{1}{x}+\frac{x}{1}=\frac{1}{x}+\frac{x^2}{x}$。
接下来，我们需要将分子化为相同的形式。
因此，将分子$x^2$化为$\frac{x^2}{x}$。
最后，我们可以将这两个分式合并，并进行化简，得到$\frac{1+x^2}{x}$。
小升初数学奥数知识点分数大小的比较素材
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分数大小的比拟
根本方法：
①通分分子法：使所有分数的分子一样，根据同分子分数大小和分母的关系比拟。
②通分分母法：使所有分数的分母一样，根据同分母分数大小和分子的关系比拟。
③基准数法：确定一个标准，使所有的分数都和它进展比拟。
④分子和分母大小比拟法：当分子和分母的差一定时，分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比拟法：当比拟两个分子或分母同时变化时分数的大小，除了运用以上方法外，可以用同倍率的变化关系比拟分数的大小。
〔具体运用见同倍率变化规律〕
⑥转化比拟方法：把所有分数转化成小数〔求出分数的值〕后进展比拟。
⑦倍数比拟法：用一个数除以另一个数，结果得数和1进展比拟。
⑧大小比拟法：用一个分数减去另一个分数，得出的数和0比拟。
⑨倒数比拟法：利用倒数比拟大小，然后确定原数的大小。
⑩基准数比拟法：确定一个基准数，每一个数与基准数比拟。
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小升初数学解题的10种方法
小升初数学解题的10种方法（实用版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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比拟分数大小常用的几种方法
比较分数大小常用的几种方法江苏省泗阳县李口中学沈正中比较分数大小的方法有很多，通常采用的方法是先通分再比较它们的大小，这种方法叫“同分母法”。
比较分数大小最基本的方法就是“同分母法”和“同分子法”。
下面介绍几种比较分数大小的常用方法。
一、同分母法先把分母不同的两个分数化成分母相同的两个分数，然后再根据“分母相同的两个分数，分子大的分数较大”进行比较。
【题1】【解析】把原来两个分数的分母4和11的最小公倍数44作为两个新分数的分母，根据分数的基本性质可得：由此可知：二、同分子法先把分子不同的两个分数化成分子相同的两个分数，然后再根据“分子相同的两个分数，分母小的分数较大”进行比较。
【题2】【解析】把原来两个分数的分子3和5的最小公倍数15作为两个新分数的分子，根据分数的基本性质可得：，，因为，所以。
二、化为小数法先把两个分数化成小数，再进行比较。
【题3】【解析】先把这两个分数化成小数，即由此可知：。
四、中间分数法在要比较的两个分数之间，找一个中间分数，根据这两个分数和中间分数的大小关系，比较这两个分数的大小。
【题4】【解析】根据两个分数的分子和分母的大小关系，把作为中间分数。
可以很容易看出：所以。
五、差等法根据两个分数特点，利用“若两个真分数的分子与分母的差相等，则分子与分母和较大的分数较大（或分母较大的分数较大）；若两个假分数的分子与分母的差相等，则分子与分母和较大的分数较小（或分母较大的分数较小）”比较两个分数的大小。
【题5】【解析】这两个真分数的分子与分母的差都是1，因为，所以。
【题6】【解析】这两个假分数的分子与分母的差都是4，因为六、交叉相乘法根据“若第一个分数的分子乘以第二个分数的分母相的积大于第一个分数的分母乘以第二个分数的分子的积，则第一个分数较大。
否则第一个分数较小。
”比较两个分数的大小。
【题7】【解析】因为7×9 >12×5，所以。
七、比较倒数法根据“倒数较小的分数较大，倒数较大的分数较小。
2021-2022年六年级数学小升初专题复习训练—拓展与提高：分数问题(1)(通用版含答案)
小升初数学专题复习训练—拓展与提高分数问题（1）知识点复习一．分数的大小比较【知识点归纳】分数的大小比较常用方法：（1）通分母：分子小的分数小．（2）通分子：分母小的分数大．（3）比倒数：倒数大的分数小．（4）与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）（5）重要结论：①对于两个真分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都大的分数比较大；②对于两个假分数，如果分子和分母相差相同的数，则分子和分母都小的分数比较大．（6）放缩法．【命题方向】故选：B．【命题方向】【知识点归纳】两个数的最大公约数与最小公倍数是有联系的，这种联系是通过规律来体现的，这个规律如果用字母公式表示为：一般地，a×b=（a，b）×[a，b]依据这个规律，在求两个数的最大公约数和最小公倍数时，可以推导出新的公式．【命题方向】大扫除的人数有（）人．解答．解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只答：没参加大扫除的有1或2人．故选：D．点评：解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是2、4、5的公倍数，据此再根据分数乘法的意义即可解答．四．循环小数与分数【知识点归纳】无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为--等比数列、求出前n项和、取极限、化简．【命题方向】分析：一个最简分数，如果分母中除了2和5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2和5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此即可解故选：D．同步测试一．选择题（共10小题）1．下面各组中的两个分数都是最简真分数，你能否在“○”里填上“＞”或“＜”（a和b表示被墨汁盖掉了数字）○○（）A．＞，＞B．＞，＜C．＜，＜D．无法确定2．一个班不足50人，现大扫除，其中扫地，摆桌椅，擦玻璃，这个班没有参加大扫除的人数有（）人．A．1B．2C．3D．1或23．我们知道，无限小数可以转化为分数，例如：将0.转化为分数时，可设x＝0.，则10x＝3＝3+0.，所以10x＝3+x，解得x＝，即：0.＝．仿此方法，将0.化为分数是（）A．B．C．D．4．小华做语文作业用了小时，比做数学作业多用小时．她做完这两种作业一共用了多少小时？正确的列式是（）A．+B．﹣C．+﹣D．++5．六（1）班的学生数在30～60人之间，其中的喜爱跳绳，的同学喜爱跳皮筋，六（1）班有（）人．A．35B．42C．60D．486．三个连续奇数倒数的和为，那么这三个数的和为（）A．105B．15C．217．某种商品，去年的价格比前年比下降了20%，今年的价格比去年上涨了30%．照这样计算，今年的价格比前年上涨了（）%．A．4B．5C．10D．无法确定8．下面各题计算正确的是（）A．B．C．9．已知a、b、c三个数均大于0，且a＞b＞c，下列式子正确的是（）A．＞1B．＞1C．＜1D．＜110．一个奇怪的动物庄园里住着猫和狗，狗比猫多180只，有20%的狗错认为自己是猫；有20%的猫错认为自己是狗．在所有的猫和狗中，有32%认为自己是猫，那么狗有（）只A．240B．248C．420D．842二．填空题（共8小题）11．青蛙与小兔进行跳跃比赛，每秒都跳一次，青蛙每次跳2分米，小兔每次跳2分米．从起点开始，每隔2分米在地面上画一个白色标记，哪只动物先踩上白色标记就赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了分米．12．循环小数8.8989…用简便方法写作：，把它保留两位小数约是．13．计算：﹣﹣﹣﹣＝．14．设A、B为自然数，并且满足+＝，A+B＝．15．淘气和笑笑每人都有33本书．如果淘气给笑笑若干本书后，笑笑的书的本数恰好比淘气多20%，淘气给笑笑本书．16．把化为小数，则小数点后的第100个数字是，小数点后100个数字的和是．17．有五个分数依次相差，它们的比是：1：3：5：7：9，则这五个数的和是．18．若a＝，b＝，c＝，则a、b、c中最大的是，最小的是．三．判断题（共5小题）19．一瓶纯牛奶，亮亮第一次喝了30%，然后在瓶里兑满水，又接着喝去30%．亮亮第一次喝的纯奶多．．（判断对错）20．+＝，++＝，则C＝3（判断对错）21．3.12525…的循环节是25．（判断对错）22．x+＝y+＝z+，那么x、y、z的关系是x＞y＞z．（判断对错）23．一个真分数，分子分母同时加上m（m不为0），所得的新分数一定比原数大（判断对错）四．应用题（共5小题）24．快乐提升比较、、的大小．25．小红收集了一些画片，不到30张，她2张2张地数多1张，3张3张地数也多1张，4张4张地数还是多1张．小红收集了多少张画片？26．五年级三个班举行数学竞赛，一班参加比赛的人数占全年级参赛人数的，二班与三班参加比赛的人数比是11：13，二班比三班少8人．五年级三个班有多少人参加了数学竞赛？27．老师布置作业，当小高做了全部的时，小新还剩下97道；当小高完成剩下的时，小新还有没有完成，问：老师一共布置了多少道题？28．六（1）班有学生若干名，如果男生人数增加，那么全班人数就增加到50人；如果女生人数减少，那么全班人数就减少到41人．六（1）班有学生多少人？参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．【分析】两个分数都是最简真分数，那么ab都是非0的自然数，然后根据异分母分数比较大小，先依据分数的基本性质化成同分母分数或者同分子的分数，再比较大小即可．【解答】解：（1）＝＝a是非0的自然数，所以9＜10a，那么那么；（2）＝＝因为是最简真分数，所以b≥4，4×4＝16，4b最小是16，16＞15，所以4b＞15即：．故选：C．【点评】此题主要考查分数大小的比较方法的灵活应用．2．【分析】、、都是最简形式，所以这个班的人数是2、4和5的最小公倍数的倍数，2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，据此把总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1﹣﹣﹣，再根据分数乘法的意义即可解答．【解答】解：根据题干分析可得：2、4和5的最小公倍数是20，而且这个班不足50人，所以这个班只能是20人或40，总人数看做单位“1”，即可得出没参加大扫除的是1﹣﹣﹣＝，当总人数是20时：没参加大扫除的有：20×＝1（人），当总人数是40时：没参加大扫除的有：40×＝2（人），答：没参加大扫除的有1或2人．故选：D．【点评】解答此题的关键是明确这个班的总人数必定是2、4、5的公倍数，据此再根据分数乘法的意义即可解答．3．【分析】设x＝0.，则x＝0.4545…①，根据等数的性质得，100x＝45.4545…②，再由②﹣①得方程100x﹣x＝45，解方程求解即可．【解答】解：设x＝0.，则x＝0.4545…①，100x＝45.4545…②，由②﹣①得方程：100x﹣x＝4599x＝4599x÷99＝45÷99x＝；答：0.化为分数是．故选：D．【点评】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是根据给定的例子列出关于x的一元一次方程解答即可．4．【分析】完成作业的总时间是语文作业用的时间加上数学作业用的时间，数学作业用的时间可以用语文作业的时间减去．【解答】解：做数学作业用的时间是：，那么做作业用的总时间就是：；故选：C．【点评】本题要先分清楚数量之间的关系，先求什么再求什么，找清列式的顺序，列出算式．5．【分析】因为六（1）班的学生数在30～60人之间，且其中的喜爱跳绳，的同学喜爱跳皮筋，说明这个班的人数必须是3和8的公倍数，3和8是互质数，最小公倍数是3×8＝24，24的倍数也是3和8的公倍数，24×2＝48，24×3＝72就不符合要求了．【解答】解：3和8的最小公倍数是：3×8＝24，在30～60人之间且是3和8的倍数的只能是24×2＝48，所以这个班的人数是48人．故选：D．【点评】本题考查的是公倍数问题，且公倍数是有条件的，做题时要兼顾条件．6．【分析】要求这三个数的和是多少，首先应求出这三个数分别是多少，由三个数的倒数的和是，所以先把105分解质因数，然后变成三个连续奇数的乘积的形式，求出这三个连续奇数，再求和即可．【解答】解：105＝3×5×73、5、7是三个连续奇数，3+5+7＝15即，++＝答：这三个数的和为15．故选：B．【点评】此题考查学生对分数拆分的方法，同时考查了分解质因数以及倒数等知识．7．【分析】先把前年的价格看成单位“1”，去年降价后的价格是原价的（1﹣20%）；再把去年降价后的价格看成单位“1”，那么现价就是它的（1+30%）；根据分数乘法的意义：今年的价格就是前年的（1﹣20%）×（1+30%），则（1﹣20%）×（1+30%）﹣1，即为某种商品今年的价格比前年上涨了百分之几，据此解答即可．【解答】解：1﹣（1﹣20%）×（1+30%）＝1﹣0.8×1.3＝1.04﹣1＝0.04＝4%答：今年的价格比前年上涨了4%．故选：A．【点评】解答此题的关键是分清两个不同的单位“1”，已知单位“1”的量，求它的百分之几是多少用乘法计算．8．【分析】解答此题首先应知道同分母分数相加减和异分母分数相加减的运算法则；同分母分数相加减，只把分子相加减，分母不变；异分母分数相加减，应先把异分母分数化成同分母分数后，再加减．【解答】解：（1）A、B错误，错误的原因在于，、是异分母分数，不能把分母直接相加减，应化成同分母分数后再相加减；（2）C正确．因为、和是同分母分数，只把分子相加减，分母不变．故选：C．【点评】此题重点考查学生同分母分数相加减和异分母分数相加减的运算法则，以及学生的运算能力．9．【分析】观察选项，发现是一些分数与1比较大小，如果是一个分子大于分母的假分数，那么这个数就大于1，如果是分子小于分母的真分数这个数就小于1，所以只要比较每个分数的分子与分母的大小关系即可判断．【解答】解：因为只知道a＞b＞c，所以无法比较a与b+c的大小；即：选项A、D中与1的大小关系无法比较；同理也无法得出a与b×c的大小关系；选项C中与1的大小关系无法比较；a最大，那么a一定大于b﹣c的差；即：的分子大于分母，＞1是正确的．故选：B．【点评】解决本题把分数与1大小关系的比较，转化成分子与分母大小关系的比较，再根据字母表示数的大小关系解决问题．10．【分析】仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有20%的狗认为自己是猫，由“有20%的猫认为它们是狗”，那么有80%的猫认为自己是猫，而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有32%的认为自己是猫．那么根据浓度问题，狗和猫的数量之比是：（80%﹣32%）：（32%﹣20%）＝4：1，而狗比猫多180只，所以狗的数量为：180÷（4﹣1）×4，解决问题．【解答】解：狗和猫的数量之比是：（1﹣20%﹣32%）：（32%﹣20%）＝48%：12%＝4：1狗的数目为：180÷（4﹣1）×4＝180÷3×4＝60×4＝240（只）答：狗有240只．故选：A．【点评】此题也可用方程解答，设猫的数量为X只，则狗的数量为X+180，有20%的狗认为他是猫，所以：20%（X+180）+（1﹣20%）X＝32%[X+（X+180）]，得出：X＝60．所以猫有60只，狗是240只．二．填空题（共8小题）11．【分析】青蛙踩到白色标记时已跳的行程应该是2与2的“最小公倍数”＝60，即跳了÷2＝27次踩到白色标记，小兔踩到气球时已跳的行程应该是2和2的“最小公倍数”＝75，即跳了÷2＝33次踩到白色标记．经过比较可知，青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是2×27＝25分米．【解答】解：青蛙：2与2的“最小公倍数”60，即跳了60÷2＝27次踩到白色标记，小兔：2和2的“最小公倍数”75，即跳了75÷2＝33次白色标记．因为60＜75，所以青蛙先踩到白色标记，这时小兔已跳的行程是2×27＝25（分米）答：青蛙先踩上白色标记赢了本次比赛，当一个赢了本次比赛时，另一个跳了25分米．故答案为：25．【点评】此题做题时应认真审题，根据题中给出的条件，根据最小公倍数和最大公约数的含义，进行分析，比较，进而得出结论．12．【分析】循环小数8.8989…的循环节是89，用简便方法写的时候，在89上打上小圆点即可，即8.；把它保留两位小数，就要看第三位数字，第三位数字是8，向前一位进1，前一位变成9+1＝10，10要向它的前一位进1，于是记作8.90．【解答】解：循环小数8.8989…用简便方法写作：（8.），把它保留两位小数约是（8.90）．故答案为：8.，8.90．【点评】小数点后面保留几位小数的法则是比要求的多保留一位，然后根据四舍五入的规则．求出结果．13．【分析】根据拆项公式＝﹣拆项后通过加减相互抵消即可简算．【解答】解：﹣﹣﹣﹣＝﹣+﹣+﹣+﹣+＝故答案为：．【点评】本题考查了分数拆项公式＝﹣的灵活应用．14．【分析】由+＝，推出3A+11B＝17，又A，B均为自然数，所以只有当A＝2，B＝1时成立，故A+B＝3．【解答】解：＝+＝＝，所以3A+11B＝17，因为AB都是自然数，所以A＝2，B＝1，因此A+B＝2+1＝3；故答案为：3．【点评】此题考查了学生的对分数的拆分以及推理能力．15．【分析】笑笑的书的本数恰好比淘气多20%，是把后来淘气的本数看成单位“1”，那么后来笑笑的本数是淘气的（1+20%），那么总本数就是淘气本数的（1+20%+1），它对应的数量是（33+33）本，由此用除法求出后来淘气的本数，再用原来淘气的本数减去后来的本数，即可求出淘气给笑笑的本数．【解答】解：（33+33）÷（1+20%+1）＝66÷220%＝30（本）33﹣30＝3（本）答：淘气给笑笑3本书．故答案为：3．【点评】本题的关键是找出单位“1”，并找出数量对应了单位“1”的百分之几，用除法就可以求出单位“1”的量．16．【分析】化为小数是一个循环小数，循环节是142857，因为100÷6＝16…4，所以循环节的第四个数是第100个数字，即8．小数点后100个数字的和，即16个循环节的和，加上循环节的前四个数的和．即16×（1+4+2+8+5+7）+1+4+2+8．【解答】解：化为小数是0.4285，因为有6位循环小数，所以由周期性可得，（1）100＝16×6+4，所以小数点后第100个数字与小数点后第4个数字一样即为8；（2）小数点后前100个数字的和是：16×（1+4+2+8+5+7）+1+4+2+8＝447．答案：8；447．【点评】做这道题关键是求出分数的循环小数，然后用除法找出余数，余几就是循环小数的第几个．求和时要注意加上后面的几位数．17．【分析】已知这五个数的比为1：3：5：7：9，因此可设第一个数为x，则第二个数为3x；又它们依次相差，据此可行方程：3x﹣＝x，解此方程得出第一个数之后，就能据它们的差或比求出其它四个数，进而求出它们的和是多少．【解答】解：设第一个数为x，则第二个数为3x，则；3x﹣＝x2x＝，x＝；它们的和为：+×3+×5×7+×9＝×（1+3+5+7+9），＝25，＝；故答案为：．【点评】完成本题主要是根据数据之间的比与之间的差进行分析解答的．18．【分析】求出这三个数的倒数，然后比较这三个数的倒数，倒数越大，原来分数就越小，由此求解．【解答】解：的倒数是30的倒数是30的倒数是3030＞30＞30，那么＜＜，即最大数是c，最小的数是a．故答案为：c，a．【点评】一个分数越小，它的倒数就越大，所以本题可通过分析它们倒数的大小，来判断它们的大小．三．判断题（共5小题）19．【分析】亮亮第一次喝了30%，然后在瓶里兑满水，则此时瓶中水占30%，牛奶占1﹣30%，又接着喝去30%，根据分数乘法的意义，此时喝下的奶占总量的（1﹣30%）×30%＝21%，30%＞21%，所以第一次喝下的纯奶多．【解答】解：（1﹣30%）×30%＝70%×30%＝21%30%＞21%答：第一次喝下的纯奶多．故答案为：√．【点评】完成本题要注意前后两个30%的单位“1”是不同的．20．【分析】把+＝代入++＝中，可得+＝，所以＝﹣＝，所以C＝3．【解答】解：因为+＝，++＝，所以+＝，所以＝﹣＝，所以C＝3．故答案为：√．【点评】运用代入法求得的值，是解答此题的关键．21．【分析】小数3.12525…从小数点后第四位重复出现与25数字相同的数字，故3.12525…的循环节是25．【解答】解：一个循环小数的小数部分依次不断地重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节．小数3.12525…中，小数部分数字25依次不断地重复出现，所以这个小数的循环节是25．故答案为：正确．【点评】此题重点考查循环节的概念，并用它找出某一个小数的循环节．22．【分析】已知x+＝y+＝z+，由它们的和相等，一个加数大另一个加数就小，比较加数的大小，即可得出另一个加数的大小，再判断即可．【解答】解：，所以所以x＜y＜z；故答案为：×．【点评】此题考查了两个加数与和之间的关系．23．【分析】一个真分数的分子和分母同时加上一个大于0的数，相当于分子、分母扩大了不同的倍数．由于原分数是真分数，分子小于分母，如同时加上5，分子要比分母扩大的倍数大．【解答】解：若这个分数是真分数，则分子分母分别加上5，得到＝，所以结果比原来分数大；答：一个真分数，分子分母同时加上m（m不为0），所得的新分数一定比原数大，说法正确．故答案为：√．【点评】本题考查了分数的大小比较．可以通过举例来解答．四．应用题（共5小题）24．【分析】观察、、这三个数，它们的分子和分母相差1，只要用1减去这三个分数，求出差，差越大，那么这个数就越小，由此求解，【解答】解：1﹣＝1﹣＝1﹣＝＞＞所以：＜＜．【点评】本题采用与1相减比较法：分别与1相减，差大的分数小．（适用于真分数）25．【分析】求小红收集了多少张画片，就相当于求2、3、4的公倍数加上1；据此解答即可．【解答】解：4是2的倍数，所以，4×3＝12（张）12+1＝13（张），符合要求，12×2+1＝25（张），符合要求；答：小红收集了12张或25张画片．【点评】本题考查了公倍数应用题，解答本题关键是转化为求2、3、4的公倍数加上1．26．【分析】根据题意可知：“二班与三班参加比赛的人数比是11：13，二班比三班少8人”，根据按比分配原则，计算二班和三班的人数：8÷（13﹣11）＝4（人），4×11＝44（人），4×13＝52（人）．把五年级三个班参加数学竞赛的人数看作单位“1”，则二、三班人数和＝三个班总人数×（1﹣），求单位“1”，用除法计算．把数代入计算即可．【解答】解：8÷（13﹣11）＝8÷2＝4（人）4×11＝44（人）4×13＝52（人）（44+52）÷（1﹣）＝96＝144（人）答：五年级三个班有144人参加了数学竞赛．【点评】本题主要考查分数与百分数的应用，关键利用二、三班人数的比与二、三班人数的差求两个班的人数．27．【分析】把总题道数看作单位“1”．小高第一次完成了，还剩下（1﹣），第二次完成了剩下的时，即总题量的（1﹣）×＝，这样当小高完成总题量的+＝时，小新完成了总题量的1﹣＝．因此即可求出小高做题速度是小新的÷＝．当小高完成总题量的时，小新完成了总题量的÷＝，则剩下总题量的1﹣＝．根据分数除法的意义，用小新没做的题数除以没做的题数所占的分率就是总题量．【解答】解：（1﹣）×＝×＝（小高完成剩下题量的时，完成总题量的分率）+＝（小高共完成总题量的分率）1﹣＝（小新没做部分所占的分率）÷＝97÷（1﹣）＝97÷＝117（道）答：老师一共布置了117道题．【点评】完成本题要细心分析所给数量之间的关系，根据题意求出97题占总题数的分率是完成本题的关键．28．【分析】设原来男生x人，则增加后的男生是（1+）x人，原来女生是[50﹣（1+）x]人，女生人数减少，则减少后的女生是[50﹣（1+）x]×（1﹣）人，再用原来男生人数加上减少后的女生人数等于41人，据此列出方程即可解答．【解答】解：设原来男生x人，[50﹣（1+）x]×（1﹣）+x＝41[50﹣x]×+x＝4140﹣x+x＝41x＝1x＝2550﹣（1+）x＝50﹣×25＝50﹣30＝20（人）25+20＝45（人）爱永远宝贝答：六（1）班有学生45人．【点评】本题考查了复杂的分数问题，关键是找出单位“1”和数量关系．爱永远宝贝。
分数大小比较方法口诀
分数大小比较方法口诀在学习数学的过程中，我们经常会遇到分数的大小比较问题。
分数的大小比较是数学中的一个基础知识点，也是我们学习数学的重要内容之一。
下面，我将为大家介绍一些分数大小比较的方法口诀，希望能够帮助大家更好地掌握这一知识点。
一、同分母比较。
1. 同分母比较大小，分子大，分数大。
当两个分数的分母相等时，我们只需要比较它们的分子大小即可。
分子大的分数就是大的分数。
例如，比较1/4和3/4的大小，由于它们的分母相等，所以只需要比较它们的分子大小，3/4大于1/4，所以3/4大于1/4。
二、同分子比较。
1. 同分子比较大小，分母大，分数小。
当两个分数的分子相等时，我们只需要比较它们的分母大小即可。
分母大的分数就是小的分数。
例如，比较2/5和2/7的大小，由于它们的分子相等，所以只需要比较它们的分母大小，2/5小于2/7，所以2/5小于2/7。
三、异分母比较。
1. 通分后比较大小，分子大，分数大。
当两个分数的分母不相等时，我们需要先将它们通分，然后再比较它们的分子大小。
分子大的分数就是大的分数。
例如，比较1/3和2/5的大小，我们先将它们通分为5分之15和6分之15，然后再比较它们的分子大小，6分之15大于5分之15，所以2/5大于1/3。
2. 通分后比较大小，分子小，分数小。
同样是异分母比较，如果分子小的话，那么分数就小。
例如，比较2/7和3/8的大小，我们先将它们通分为16分之112和14分之112，然后再比较它们的分子大小，14分之112小于16分之112，所以3/8小于2/7。
以上就是关于分数大小比较的方法口诀，希望对大家有所帮助。
通过掌握这些方法口诀，我们可以更快地比较分数的大小，提高解题效率。
在学习数学的过程中，我们还需要多做练习，加深对分数大小比较的理解，从而更好地掌握这一知识点。
希望大家能够认真学习，取得更好的成绩。
小升初数学热点题型 【数的运算】
小升初数学热点题型二数的运算一、要点归纳：重点：四则运算的计算方法1.加减法的计算方法：都是把相同位数上的数相加减。
2.乘法的计算方法：计算小数乘法时，先按着整数乘法的计算方法算出积，再看两个因数中共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。
如果小数的数位不够，就在前面用“0”补足。
计算分数乘法时，用分子相乘的积作分子，分母相乘的积作分母，能约分的要约分。
3.除法的计算方法：除数是整数时，按着整数除法进行计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐；除数是小数时，先移动小数点变成整数，被除数的小数点同时移动相同位数(位数不够时，用“0补足”)，然后按着整数除法计算。
难点：四则混合运算的计算顺序的掌握。
（一）复杂的分数、百分数应用题重点：难点：如何找出标准量与比较量（二）复合应用题的类型及解题步骤重点：1.行程问题--类型及数量关系如表类型数量关系式同时异地相向而行两地路程=速度和×相遇时间同时同地背向而行路程=速度和×时间同时异地同向而行(速度慢前、快后)追及路程=速度差×追及时间同时同地同向而行相差路程=速度差×时间基本类型已知甲、乙两数，求甲数比乙数多百分之几？已知甲、乙两数，求乙数比甲数少百分之几？已知一个数，求比这个数多(少)几(百)分之几的数是多少？已知比一个数多(少)几(百)分之几的数是多少，求这个数。
基本公式(甲数-乙数)÷乙数(甲数-乙数)÷甲数标准量×[1±几(百)分之几]比较量÷[1±几(百)分之几]2.工程问题的基本数量关系式如下：工作总量=工作效率×工作时间工作效率=工作总量÷工作时间工作时间=工作总量÷工作效率1”。
难点：如果把工作总量看作单位“1”，那么工作效率可以表示为“工作时间3.倍数应用题：已知各数量间的倍数关系及其他条件,求各个数量大小的问题,叫倍数问题。
小升初数学十种巧算方法
小升初数学十种巧算方法一、平方巧算法平方巧算法可以用来计算一些数的平方。
当个位数是5，十位数是偶数时，可以通过直接在个位数前面乘上十位数加1再加上25，即可得到平方的结果。
例如，计算35的平方：3×(3+1)25=1225二、倍数巧算法倍数巧算法可以用来快速求解一些数的倍数。
当需要计算一个数的2倍时，只需将这个数的个位数翻倍，如果个位数大于等于5，则十位数加1；如果个位数小于5，则不变。
同样的方法，可以求解其他倍数。
例如，计算97的5倍：将个位数7翻倍得到14，十位数是9，所以结果是485三、除法巧算法对于一些较为简单的除法，可以使用除法巧算法迅速求解。
当数字的各位数之和可以被9整除时，这个数字也能被9整除。
例如，判断972是否能被9整除：9+7+2=18，18能被9整除，所以972能被9整除。
四、乘法巧算法乘法巧算法可以用来在进行乘法运算时更加快速和准确。
当两个数的末尾数字相同，而且这个数的十位数之和也相同，那么这两个数的乘积也会具有相同的末尾和十位数之和。
例如，计算43×87：4+3=7，8+7=15，所以43和87的乘积的个位数是7，十位数是15五、分数化简巧算法在计算分数的加减乘除时，经常需要对分数进行化简。
分数化简是将分数的分子和分母进行约分，使得分数的值保持不变。
若分子和分母有公因数，可以通过将分子分母都除以公因数化简。
六、凑整法凑整法是用来粗略计算数值大小和估算结果的一种方法。
通过将数字凑整到最接近的整数或一些特定的数字，可以在保持结果大致正确的前提下简化计算。
例如，计算95÷4：将95近似凑整到最接近的10的倍数100，然后再进行计算，100÷4=25七、零的范围法零的范围法是用来判断数值是否接近于零的一种方法。
当数值绝对值小于一些特定的范围时，可以将其视作零或近似于零。
八、单位换算法单位换算法是将不同的单位之间进行转换，例如，将分数转换为小数，将米转换为千米，将时、分、秒之间进行转换等。
分数比较大小的简便方法
分数比较大小的简便方法
1、化同分子法。
先把分子不同的两个分数化成分子相同的两个分数，然后再根据“分子相同的两个分数，分母小的分数比较大”进行比较。
2、搭桥法。
在要比较的两个分数之间，找一个中间分数，根据这两个分数和中间分数的大小关系，比较这两个分数的大小。
3、差等规律法。
根据“分子与分母的差相等的两个真分数，分子加分母得到的和较大的分数比较大；分子与分母的差相等的两个假分数，分子加分母得到的和较大的分数比较小”比较两个分数的大小。
4、交叉相乘法。
把第一个分数的分子与第二个分数的分母相乘的积当作第一个分数的相对值；把第二个分数的分子与第一个分数的分母相乘的积当作第二个分数的相对值，相对值比较大的分数比较大。
1。
初中数学竞赛精品标准教程及练习33：同一法
初中数学竞赛精品标准教程及练习<33）同一法一、内容提要1. “同一法”是一种间接的证明方法。
它是根据符合“同一法则”的两个互逆命题必等效的原理，当一个命题不易证明时，釆取证明它的逆命题。
CLySHxwYTR2. 同一法则的定义是：如果一个命题的题设和结论都是唯一的事项时，那么它和它的逆命题同时有效。
这称为同一法则。
CLySHxwYTR互逆两个命题一般是不等价的。
例如原命题：福建是中国的一个省<真命题）逆命题：中国的一个省是福建<假命题）但当一命题的题设和结论都是唯一的事项时，则它们是等效的。
例如原命题：中国的首都是北京<真命题）逆命题：北京是中国的首都<真命题）因为世界上只有一个中国，而且中国只有一个首都，所以互逆的两个命题是等效的。
又如原命题：等腰三角形顶角平分线是底边上的高。
<真命题）逆命题：等腰三角形底边上的高是顶角平分线。
<真命题）因为在等腰三角形这一前提下，顶角平分线和底边上的高都是唯一的，所以互逆的两个命题是等效的。
3. 釆用同一法证明的步骤：如果一个命题直接证明有困难，而它与逆命题符合同一法则，则可釆用同一法，证明它的逆命题，其步骤是：CLySHxwYTR 作出符合命题结论的图形<即假设命题的结论成立）证明这一图形与命题题设相同<即证明它符合原题设）二、例题 求证三角形的三条中线相交于一点已知：△ABC 中，AD ，BE ，CF 都是中线求证：AD ，BE ，CF 相交于同一点分析：在证明AD 和BE 相交于点G 之后，本应再证明CF 经过点G ，这要证明三点共线，直接证明不易，我们釆用同一法：连结并延长CG 交AB 于F ，，证明CF ，就是第三条中线<即证明AF ，＝F ，B ）CLySHxwYTR 证明：∵∠DAB ＋∠EBA ＜180∴AD 和BE 相交，设交点为G 连结并延长CG 交AB 于F ， 连结DE 交CF ，于M∵DE ∥AB∴F A ME '＝F B MD '＝F C CM '， 即F A F B ''＝MEMD F B ME '＝F A MD '＝F G MG '， 即F B F A ''＝MEMD F ,G A B CEF∴F A F B ''＝F B F A ''， ∴AF ，＝BF ，，AF ，是BC 边上的中线，∵BC 边上的中线只有一条， ∴AF ，和AD 是同一条中线∴AD ，BE ，CF 相交于一点G 。
分子相同分数比较大小的口诀
分子相同分数比较大小的口诀“嘿，大家知道不？分子相同分数比较大小，那可有个超棒的口诀呢！分母大的反而小，分母小的反而大。
就像分苹果，同样是三个苹果，要是分给五个人，每个人分到的就少；要是分给两个人，每个人分到的就多。
咱在做数学题的时候，可一定要记住这个口诀哦！”“哎呀，你看嘛！比如说有四分之一和四分之三，分子都是四，那肯定是分母小的四分之三大呀！这就跟跑步比赛一样，同样的距离，跑的圈数少的那个速度不就快嘛！咱比较分子相同的分数就得这么想。
”“嘿，我跟你们说哦，分子相同看分母，这就跟挑水果似的。
同样数量的水果，装在大箱子里看着就少，装在小箱子里就显得多。
像三分之二和三分之一，很明显三分之二大嘛！”“你们想想看，分子一样的时候，不就看分母来决定大小嘛！就像同样的钱，花的次数多了，每次花的就少；花的次数少了，每次花的就多。
比如说五分之三和五分之二，肯定五分之三大呀！”“哇哦，分子相同分数比大小，真的超简单呢！就好比同样的糖果分给不同的人。
分给人多的，每人得的少；分给人少的，每人得的多。
像六分之一和六分之五，当然是六分之五大啦！”“哎呀呀，记住这个口诀，做题就容易多啦！分子相同的时候，咱就看分母。
这跟分蛋糕一个道理呀，同样大小的蛋糕，分的份数多了，每份就小；分的份数少了，每份就大。
比如七分之四和七分之三，肯定七分之四大嘛！”“哼，分子相同分数比大小，一点都不难。
就像玩游戏，同样的分数，难度大的关卡得分少，难度小的关卡得分多。
像四分之二和四分之三，很明显四分之三大呀！”“哇，这个口诀超好用的。
分子相同看分母，这就跟排队伍一样。
同样的人数，排的队越长，每个人占的地方就小；排的队越短，每个人占的地方就大。
比如八分之三和八分之五，肯定八分之五大呀！”“嘿嘿，记住这个口诀，数学题轻松搞定。
分子相同的时候，分母决定大小。
这跟分铅笔一样，同样的铅笔数，分给的人多了，每人得的少；分给的人少了，每人得的多。
像九分之四和九分之七，当然是九分之七大啦！”“哇塞，这个口诀太棒啦！分子相同看分母，就像分气球。
分子分母同拆-概述说明以及解释
分子分母同拆-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以从以下角度进行展开：在数学中，我们经常会遇到分数的运算和化简问题。
而要解决这些问题，我们需要对分数进行拆分，即将分子和分母分别进行因式分解或分解成更简单的形式。
本文将探讨分子和分母的拆分对于解决问题的影响以及它们之间的关系。
首先，我们将探讨分子的拆分。
拆分分子有助于我们找到分数的真实含义，更好地理解和运用。
通过将分子进行因式分解，我们可以将一个复杂的分数表示为更简单的形式，这为我们的运算提供了便利。
分子的拆分还可以帮助我们发现分数中的模式和规律，从而更好地理解数学概念。
接下来，我们将研究分母的拆分。
与分子的拆分类似，拆分分母也能使我们更好地理解分数和进行运算。
通过将分母进行因式分解或拆分成更简单的形式，我们可以将一个复杂的分数化简为更为简洁的形式，这在数学运算中具有重要的作用。
分母的拆分还可以帮助我们找到更有效解决问题的方法，从而提高我们的计算速度和准确性。
最后，我们将探讨分子和分母的关系以及拆分对问题的影响。
分子和分母作为分数的两个要素，其拆分对于分数的性质和运算具有重要影响。
分子和分母的关系决定了分数的大小和性质，而拆分则可以使我们更好地理解和运用分数。
分子和分母的拆分对于解决问题具有指导意义，它们为我们寻找解决问题的方法提供了线索。
因此，深入研究分子和分母的拆分对于数学学习和问题解决具有重要意义。
通过本文的探讨，我们将更好地理解分子和分母的拆分，在数学运算中更灵活地运用分数，并提高解决问题的能力。
同时，我们也将认识到拆分对于数学学习的重要性，提高我们的数学素养和思维能力。
接下来，我们将具体介绍和讨论分子和分母的拆分方法，以及它们对于问题解决的实际应用。
1.2 文章结构文章结构部分的内容可以如下编写：文章结构部分旨在介绍本篇长文的组织结构和各个部分的内容安排，帮助读者更好地理解文章的整体框架。
本篇长文共分为引言、正文和结论三个部分。
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小升初数学知识点解析：同分子法
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小升初数学知识点解析：同分子法
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小学数学常用解题技巧：解概念题技巧
小学数学常用解题技巧：解概念题技巧解概念题技巧1.数的大小概念【比较分数大小】用常规方法比较分数大小，有时候速度很慢。
采用下述办法，往往可大大提高解题的速度。
（1）交叉相乘。
把要比较大小的两个分数的分子分母交叉相乘，然后2×5＝10，3×3=9，3×8=24，5×5=25，之所以能这样比较，是由于它们通分时，公分母是分母的乘积。
这时，分数的大小就只取决于分子的大小了。
（2）用“1”比较。
当两个分数都接近1，又不容易确定它们的大小（4）化相同分子。
把分子不同的分数化成同分子分数比较大小。
有时序排列起来：（5）两分数相除。
用两个分数相除，看它们的商是大于1还是小于1，往往能快速地找出它们的大小关系。
由于这样做，省略了通分的过程，所以显然，将它们反过来相除，也是可以的：【巧比两数大小】若甲、乙两数间的关系未直接给出，比较它们的大小，有一定难度。
这时，可按下面的办法去做：（1）先看分子是1的情况。
例如下题：第一种方法是直观比较。
先画线段图（图4.4）：由对线段图的直观比较可知，乙数大于甲数。
数。
可知（2）再看分子不是1的情况。
例如下题：它同样也可以用四种方法比较大小。
比方用直观比较方法，可画线段图如下（图4.5）：由图可知，甲数大于乙数。
用统一分子的方法，也可比较它们的大小。
因为用图表示就是图4.6：这就是说，把甲数分为9份，乙数分为8份，它们的6份相等。
所以，它们每一份也相等。
而甲数有9份，乙数只有8份，故甲数大于乙数。
去，即可知道甲数大于乙数。
如果用转化关系式比较。
由题意可知根据一个因数等于积除以另一个因数，可得2.判断题的解答【用筛去（消倍）法判断】一个数能否被3整除，本来是不太难的问题。
但当一个数比较大时，用各数位上的数相加，速度很慢，而且容易出现口算错误。
若用“筛去（消倍）法”来判断，情况就大不一样了。
例如（1）判断76935能否被3整除。
先直接筛去能被3整除的6、9、3，剩下的7与5，和为3的倍数，所以3|76935（3能整除76935，或76935能被3整除）。
数学解题方法指导：同构法
(4)e xx=e x-ln x，x-ln x=ln e xx(6)xe x=e ln x-x，ln x-x=ln xe x再结合常用的切线不等式：e x≥x+1，e x≥ex，ln x≤x+1，ln x≤x e等可以得到更多的结论(7)xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，x+ln x=ln xe x≤xe x-1．xe x=e x+ln x≥e x+ln x，x+ln x=ln xe x≤xe xe=xe x-1．(8)e xx=e x-ln x≥x-ln x+1，x-ln x=ln e xx≤e xx-1e x x =e x-ln x≥e x-ln x，x-ln x=lne xx≤e x-1x(9)xe x=e ln x-x≥ln x-x+1，ln x-x=ln xe x≤xe x-1x e x =e ln x-x≥e ln x-x，ln x-x=lnxe x≤xe x+1专题阐述：同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的．考法一：部分同构携手放缩法(同构放缩需有方，切放同构一起上)[规律方法]在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a>0且a≠1时，有x=a log a x(2)当a>0且a≠1时，有x=log a a x再结合指数与对数运算法则可以得到下述结论(其中x>0)(“ex”三兄弟与“ln x”三姐妹)(3)xe x=e x+ln x，x+ln x=ln xe x数学解题方法指导：同构法1已知f x =ln x+x-xe x+1，则函数f x 的最大值为．2已知函数f x =x b e x-a ln x-x-1x>1，其中b>0，若f x ≥0恒成立，则实数a与b的大小关系是．3已知函数f x =ln x+ax+1．(1)若函数f x 有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若f x ≤xe x恒成立，求实数a的取值范围．【针对训练】f x =x2e x-2ln xx+1的最小值是．f x =ae x-ln x-1，若f x ≥0恒成立，则实数a的取值范围是．f x =xe x-a x+ln x有两个零点，则实数a的取值范围是．(1考法二：整体同构携手脱衣法[规律方法]在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数)，无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F x ≥0能等价变形为f g x ≥f h x ，然后利用f x 的单调性，如递增，再转化为g x ≥h x ，这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法．1.地位同等同构(主要针对双变量，合二为一泰山移))f x 1 -f x 2x 1-x 2>k x 1<x 2 ⇔f x 1 -f x 2 <kx 1-kx 2⇔f x 1 -kx 1<f x 2 -kx 2⇔y =f x -kx为增函数(2)f x 1 -f x 2 x 1-x 2<k x 1x 2x 1<x 2 ⇔f x 1 -f x 2 >k x 1-x 2 x 1x 2=k x 2-k x 1⇔f x 1 +kx 1>f x 2 +k x 2⇔y =f x +kx为减函数含有地位同等的两个变量x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)(1)积型：ae a ≤b ln b →三种同构方式同左ae a ≤ln b e ln b→构造函数f x =xe x 同右e a ln e a ≤b ln b→构造函数f x =x ln x 取对a +ln a ≤ln b +ln ln b→构造函数f x =x +ln x如2x 3ln x ≥me m x⇔x 2ln x 2≥m xe m x ⇔x 2ln x 2≥e m xln e mx后面的转化同(1)说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，(2)商型：e a a <b ln b →三种同构方式同左e a a <e ln b ln b →构造函数f x =e xx同右e a ln e a <b ln b →构造函数f x =xln x取对a -ln a <ln b -ln ln b →构造函数f x =x -ln x(3)和差：e a±a >b ±ln b→两种同构方式同左e a ±a >e ln b±ln b→构造函数f x =e x ±x 同右e a ±ln e a >b ±ln b→构造函数f x =x ±ln x如e ax +ax >ln x +1 +x +1⇔e ax +ax >e ln x +1+ln x +1 ⇔ax >ln x +1 ．3.无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键)(1)ae ax >ln x 同乘x 无中生有axe ax >x ln x 后面的转化同2(1)(2)e x >a ln ax -a -a ⇔1ae x>ln a x -1 -1⇔e x -ln a -ln a >ln x -1 -1同加x 无中生有 e x -ln a +x -ln a >ln x -1 +x -1=e ln x -1+ln x -1 ⇔x -ln a >ln x -1(3)a x >log a x ⇔e x ln a >ln xln a⇔x ln a e x lna >x ln x ．后面的转化同2(1)4已知f x =a ln x +1 -x 2，在区间1,2 内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f p +1 -f q +1p -q<1恒成立，则实数a 的取值范围为．5对任意x >0，不等式a e ax +1 ≥2x +1xln x 恒成立，则实数a 的最小值为．【针对训练】>0，不等式a x >log a x (a >0，且a ≠1)恒成立，则a 的取值范围是．f x =e x -a ln ax -a +a a >0 ，若关于x 的不等式f x >0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,e 2B.0,e 2C.1,e 2D.1,e 2x+a ln x+1e x≥x a对x∈1，+∞恒成立，则实数a的最小值为()A.-eB.-e2C.-eD.-2e 【强化训练】f x =xe x-ln xx+1的最小值为．f x =ae x-ln x-1，若f x ≥0恒成立，则实数a的取值范围是．，b分别满足ae a=e2，b ln b-1=e3，则ab=．x0是函数f x =x2e x-2+ln x-2的零点，则e2-x0+ln x0=．f x =e x+m ln x m∈R，若对任意正数x1,x2，当x1>x2时，都有f x1-f x2>x1 -x2成立，则实数m的取值范围是．λ>0，若对于任意x∈0,+∞，不等式eλx-ln xλ≥0恒成立，则λ的最小值为．a<0，不等式x a+1⋅e x+a ln x≥0对任意的实数x>1恒成立，则实数a的最小值为()A.-12e B.-2e C.-1eD.-ef(x)=2x3ln x-(m-x)e mx-1，当x≥e时，f(x)≥0恒成立，则实数m的取值范围为()A.(-∞,4e]B.(-∞,3e]C.(-∞,2e]D.-∞,3e2数学解题方法指导：同构法答案专题阐述：同构法是将不同的代数式(或不等式、方程)通过变形，转化为形式结构相同或者相近的式子，通过整体思想或换元等将问题转化的方法，这体现了转化思想．此方法常用于求解具有对数、指数等混合式子结构的等式或不等式问题．当然，用同构法解题，除了要有同构法的思想意识外，对观察能力，对代数式的变形能力的要求也是比较高的．考法一：部分同构携手放缩法(同构放缩需有方，切放同构一起上)[规律方法]在学习指对数的运算时，曾经提到过两个这样的恒等式：(1)当a>0且a≠1时，有x=a log a x(2)当a>0且a≠1时，有x=log a a x再结合指数与对数运算法则可以得到下述结论(其中x>0)(“ex”三兄弟与“ln x”三姐妹)(3)xe x=e x+ln x，x+ln x=ln xe x(4)e xx=e x-ln x，x-ln x=ln e xx(6)xe x=e ln x-x，ln x-x=ln xe x再结合常用的切线不等式：e x≥x+1，e x≥ex，ln x≤x+1，ln x≤x e等可以得到更多的结论(7)xe x=e x+ln x≥x+ln x+1，x+ln x=ln xe x≤xe x-1．xe x=e x+ln x≥e x+ln x，x+ln x=ln xe x≤xe xe=xe x-1．(8)e xx=e x-ln x≥x-ln x+1，x-ln x=ln e xx≤e xx-1e x x =e x-ln x≥e x-ln x，x-ln x=lne xx≤e x-1x(9)xe x=e ln x-x≥ln x-x+1，ln x-x=ln xe x≤xe x-1x e x =e ln x-x≥e ln x-x，ln x-x=lnxe x≤xe x+11已知f x =ln x+x-xe x+1，则函数f x 的最大值为．解析：f x =ln x+x-xe x+1=x+ln x-e x+ln x+1≤x+ln x-x+ln x+2=-2(当且仅当x+ln x+1=0取等号)．2已知函数f x =x b e x-a ln x-x-1x>1，其中b>0，若f x ≥0恒成立，则实数a与b的大小关系是．解析：f x ≥0⇔x b e x≥a ln x+x+1⇔e x+b ln x-x-1≥a ln x⇔a≤e x+b ln x-x-1ln x由于e x+b ln x-x-1ln x≥x+b ln x+1-x-1ln x=b当且仅当x+b ln x=0等号成立，所以a≤b．3已知函数f x =ln x+ax+1．(1)若函数f x 有两个零点，求实数a的取值范围；(2)若f x ≤xe x恒成立，求实数a的取值范围．解析：(1)f x 定义域是0,+∞，f x =1x+a①当a≥0时，f x >0，f x 在定义域上单调递增，不可能有两个零点②当a<0时，由f x =1x+a=0，得x=-1a>0当x∈0,-1 a时，f x >0，f x 在定义域上单调递增当x∈-1a,+∞时，f x <0，f x 在定义域上单调递减所以当x=-1a时，f x 取得极大值．当x→0时，f x →-∞，当x→+∞时，f x →-∞因为f x 有两个零点，所以f-1 a>0解得-1<a<0．(2)要使f x ≤xe x恒成立，只要ln x+ax+1≤xe x恒成立只要a≤xe x-ln x-1x恒成立，令g x =xe x-ln x-1x，则xe x-ln x-1x=e x+ln x-ln x-1x≥x+ln x+1-ln x-1x=1当且仅当x+ln x=0时取等号，所以f x ≤xe x恒成立，实数a的取值范围为a≤1．【点睛】本题难点在第2问，由所求不等式出发，经参变分离将问题转化为a≤xe x-ln x-1x恒成立，引入函数g x =xe x-ln x-1x，通过结论xex=e x+ln x≥x+ln x+1的放缩，巧妙地得出g(x)的最小值，进而求出参数a的取值范围.【针对训练】f x =x2e x-2ln xx+1的最小值是．【答案】1【分析】先利用导数证明e x≥x+1在R上恒成立，再构造函数f x =e x+2ln x-2ln xx+1，结合放缩法即可求出函数的最小值.【详解】令g(x)=e x-(x+1)，则g (x)=e x-1，令g (x)<0⇒x<0，令g (x)>0⇒x>0，所以函数g(x)在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递增，所以g(x)min=g(0)=0，即e x-(x+1)≥0在R上恒成立，所以e x≥x+1，故f x =x2e x-2ln xx+1=e x+2ln x-2ln xx+1≥x+2ln x+1-2ln xx+1=1当且仅当x+2ln x=0取等号.故答案为：1.f x =ae x-ln x-1，若f x ≥0恒成立，则实数a的取值范围是．可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】ae x-ln x-1≥0⇔a≥ln x+1 e x由于ln x+1≤x，e x≥ex，两者都是当且仅当x=1等号成立，则ln x+1e x≤xex=1e所以a≥1 e．故答案为：a≥1 e．已知函数f x =xe x-a x+ln x有两个零点，则实数a的取值范围是．【答案】a>e【分析】通过同构简化函数形式，然后再转化成两个函数，画图确定参数范围.【详解】f x =xe x-a x+ln x=e x+ln x-a x+ln x，令t=x+ln x，t∈R，显然该函数单调递增，即e t -at=0有两个根，即e t=at有两个根，如下图，作出函数y=e t的图像及其过原点的切线y=et，可知当a>e时有两个交点即e t=at有两个根．故答案为：a >e.考法二：整体同构携手脱衣法[规律方法]在能成立或恒成立命题中，很有一部分题是命题者利用函数单调性构造出来的，如果我们能找到这个函数模型(即不等式两边对应的同一个函数)，无疑大大加快解决问题的速度，找到这个函数模型的方法，我们就称为整体同构法．如，若F x ≥0能等价变形为f g x ≥f h x ，然后利用f x 的单调性，如递增，再转化为g x ≥h x ，这种方法我们就可以称为同构不等式(等号成立时，称为同构方程)，简称同构法．1.地位同等同构(主要针对双变量，合二为一泰山移)(1)f x 1 -f x 2x 1-x 2>k x 1<x 2 ⇔f x 1 -f x 2 <kx 1-kx 2⇔f x 1 -kx 1<f x 2 -kx 2⇔y =f x -kx为增函数(2)f x 1 -f x 2 x 1-x 2<k x 1x 2x 1<x 2 ⇔f x 1 -f x 2 >k x 1-x 2 x 1x 2=k x 2-k x 1⇔f x 1 +kx 1>f x 2 +k x 2⇔y =f x +kx为减函数含有地位同等的两个变量x 1，x 2或p ，q 等的不等式，进行“尘化尘，土化土”式的整理，是一种常见变形，如果整理(即同构)后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性(需要预先设定两个变量的大小)2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)(1)积型：ae a≤b ln b →三种同构方式同左ae a ≤ln b e ln b→构造函数f x =xe x 同右e a ln e a ≤b ln b→构造函数f x =x ln x 取对a +ln a ≤ln b +ln ln b→构造函数f x =x +ln x如2x 3ln x ≥me m x⇔x 2ln x 2≥m xe m x ⇔x 2ln x 2≥e m xln e mx后面的转化同(1)说明：在对“积型”进行同构时，取对数是最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知，(2)商型：e a a <b ln b →三种同构方式同左e a a <e ln b ln b →构造函数f x =e xx同右e a ln e a <b ln b →构造函数f x =xln x取对a -ln a <ln b -ln ln b →构造函数f x =x -ln x(3)和差：e a±a >b ±ln b→两种同构方式同左e a ±a >e ln b±ln b→构造函数f x =e x ±x 同右e a ±ln e a >b ±ln b→构造函数f x =x ±ln x如e ax +ax >ln x +1 +x +1⇔e ax +ax >e ln x +1+ln x +1 ⇔ax >ln x +1 ．3.无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键)(1)ae ax >ln x 同乘x 无中生有axe ax >x ln x 后面的转化同2(1)(2)e x >a ln ax -a -a ⇔1ae x>ln a x -1 -1⇔e x -ln a -ln a >ln x -1 -1同加x 无中生有 e x -ln a +x -ln a >ln x -1 +x -1=e ln x -1+ln x -1 ⇔x -ln a >ln x -1(3)a x >log a x ⇔e x ln a >ln xln a⇔x ln a e x ln a >x ln x ．后面的转化同2(1)4已知f x =a ln x +1 -x 2，在区间1,2 内任取两实数p ，q ，且p ≠q ，不等式f p +1 -f q +1p -q<1恒成立，则实数a 的取值范围为．解析：①当p >q 时，f p +1 -f q +1 <p +1 -q +1 即f p +1 -p +1 <f q +1 -q +1令g x =f x +1 -x +1 ，则g p +1 <g q +1∴g x 在1,2 递减，即g x =a ln x +2 -x +1 2-x +1 ∴g x ≤0在1,2 上恒成立∴g x =ax +2-2x +1 -1≤0在1,2 上恒成立∴a ≤2x 2+7x +6在1,2 上恒成立∴a ≤2x 2+7x +6 min =15．②当p <q 时，同理可得出a ≥28，综上所述a ∈-∞,15 ∪28,+∞ 5对任意x >0，不等式a e ax +1 ≥2x +1xln x 恒成立，则实数a 的最小值为．解析：a e ax +1 ≥2x +1xln x ⇔ax e ax +1 ≥x 2+1 ln x 2⇔e ax +1 ln e ax ≥x 2+1 ln x 2(积型同构)令f x =x +1 ln x ，则f x =ln x +x +1x ，f x =1x -1x 2=x -1x 2易知f x 在0,1 上递减，在1,+∞ 上递增所以f x >f 1 =2>0，所以f x 在0,+∞ 上单调递增则e ax +1 ln e ax ≥x 2+1 ln x 2⇔f e ax ≥f x 2 ⇔e ax ≥x 2，⇔ax ≥2ln x ⇔a ≥2ln x x由导数法易证2ln x x ≤2e ，所以a ≥2e．例6．已知函数f x =ln x +1x．(1)判断f x 在0,+∞ 上的单调性；(2)若x >0，证明：e x -1 ln x +1 >x 2．解析：(1)fx =xx +1-ln x +1 x 2令g x =x x +1-ln x +1 ，g x =-xx +12<0∴g x 在0,+∞ 上单调递减，∴g x <g 0 =0，即f x <0∴f x 在0,+∞ 上单调递减．(2)要证e x-1 ln x +1 >x 2，即证：ln x +1 >x 2e x-1即证：ln x +1 x >x e x -1，即证：ln x +1 x >ln e x -1+1 e x -1令h x =ln x +1x，即证：h x >h e x -1由(1)，h x 在0,+∞ 上单调递减，即证：x <e x -1令s x =e x -x -1，s x =e x -1>0∴s x 在0,+∞ 上单调递增，∴s x >s 0 =0∴e x -x -1>0，即x <e x -1．【点睛】本题利用分析法将所证不等式转化为ln x +1 x >xe x -1，通过同构变形，构造函数h x =ln x +1x，借助(1)问中h x 在0,+∞ 上单调递减，将命题转证为x <e x -1，简化所证命题.【针对训练】>0，不等式a x >log a x (a >0，且a ≠1)恒成立，则a 的取值范围是．【答案】e 1e,+∞【分析】由题意可得x ln a e x ln a >x ln x ，a >1，即x ln a +ln (x ln a )>ln x +ln (ln x )，构造函数f (x )=x +ln x ，由其在(0,+∞)上为增函数，x ln a >ln x ，则ln a >ln x x ，再构造函数g (x )=ln xx(x >0)，利用导数求出其最大值即可【详解】因为a x >log a x (a >0,a ≠1)，对∀x ∈0，+∞ 恒成立，所以e x ln a >ln xln a，a >1，所以x ln a e x ln a >x ln x ，所以x ln a e x ln a >ln xe ln x ，所以x ln a +ln (x ln a )>ln x +ln (ln x )，令f (x )=x +ln x ，则f (x ln a )>f (ln x )因为f (x )在(0,+∞)上为增函数，所以x ln a >ln x ，所以ln a >ln xx ，令g (x )=ln x x (x >0)，则g (x )=1-ln xx 2(x >0)，当0<x <e 时，g (x )>0，当x >e 时，g (x )<0，所以当x =e 时，g (x )取得最大值，即g (x )max =g (e )=ln e e =1e，所以ln a >1e，所以a >e 1e，所以a 的取值范围是e 1e,+∞ 故答案为：e 1e,+∞f x =e x -a ln ax -a +a a >0 ，若关于x 的不等式f x >0恒成立，则实数a 的取值范围是()A.0,e 2B.0,e 2C.1,e 2D.1,e 2【答案】B【分析】依题意可得e x -ln a +x -ln a >eln x -1+ln x -1 ，令g x =e x +x ，则问题等价于g x -ln a >g ln x -1 ，即ln a <x -ln x -1 ，再由ln x ≤x -1 ，即可得到ln a <2，即可得到参数的取值范围；【详解】解：f x =e x -a ln ax -a +a >0⇔1ae x>ln a x -1 -1，⇔e x -ln a -ln a >ln x -1 -1⇔e x-ln a+x-ln a>e ln x-1+ln x-1，令g x =e x+x，显然g x 为增函数，则原命题等价于g x-ln a>g ln x-1⇔x-ln a>ln x-1⇔ln a<x-ln x-1，又令g x =ln x-x-1，则g x =1x-1=1-xx，所以0<x<1时g x >0，当x>1时g x <0，即g x 在0,1上单调递增，在1,+∞上单调递减，所以g x max=g1 =0，即ln x≤x-1恒成立，所以x-ln x-1≥x-x-2，所以ln a<2，即得0<a<e2．故选：Bx+a ln x+1e x≥x a对x∈1，+∞恒成立，则实数a的最小值为()A.-eB.-e2C.-eD.-2e 【答案】C【分析】先利用同构变形得到1e x-ln1e x≥x a-ln x a，构造函数f x =x-ln x，x>0，结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.【详解】因为x+a ln x+1e x≥x a，所以x+1e x≥x a-a ln x=x a-ln x a，即1e x-ln1e x≥x a-ln x a，构造函数f x =x-ln x，x>0所以f1e x≥f x af x =1-1x =x-1x，令f x >0，解得：x>1，令f x <0，解得：0<x<1，故f x 在0，1上单调递减，在1,+∞上单调递增，当x>1时，0<1e x<1，x a与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时0<x a<1因为当0<x<1时，f x 单调递减，故1e x≤x a，两边取对数得：-x≤a ln x x>1∴a≥-xln x，令g x =-xln x，则gx =1-ln xln x2，令g x >0得：1<x<e，令g x <0得：x>e，所以g x 在1，e单调递增，在e,+∞单调递减，所以g x ≤g e =-e故a的最小值是-e．故选：C【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.【强化训练】f x =xe x-ln xx+1的最小值为．【答案】1【分析】先证明出e t≥t+1成立，对原函数进行同构构造后直接求解.【详解】记y=e t-t-1.因为y =e t-1.令y >0，解得：t>0；令y <0，解得：t<0；所以y=e t-t-1在-∞,0上单减，在0,+∞上单增，所以y min=e0-0-1=0.所以y=e t-t-1≥0，即e t≥t+1.所以f x =xe x-ln xx+1=e x+ln x-ln xx+1≥x+ln x+1-ln xx+1=1，当且仅当x+ln x=0时等号成立．记g x =x+ln x,x>0.因为y=x在0,+∞上单增，y=ln x在0,+∞上单增，所以g x =x+ln x在0,+∞上单增.又g1e=1e+ln1e=1e-1<0，g1 =1+ln1=1>0，所以g x =x+ln x有且只有一个实根.而存在唯一一个x0∈0,1使得g x0=x0+ln x0=0.即存在唯一一个x0∈0,1使得f x0=1.所以函数f x =xe x-ln xx+1的最小值为1.故答案为：1f x =ae x-ln x-1，若f x ≥0恒成立，则实数a的取值范围是．【答案】a ≥1e【分析】恒成立问题，可以用参变分离求最值的方法，结合放缩即可得答案.【详解】f x =ae x -ln x -1⇔a ≥ln x +1e x由于ln x +1≤x ，e x ≥ex 两者都是当且仅当x =1等号成立则ln x +1e x≥x ex =1e 所以a ≥1e．故答案为：a ≥1e ．，b 分别满足ae a =e 2，b ln b -1 =e 3，则ab =．【答案】e 3【分析】同构化处理，构造函数并利用函数的单调性确定答案．【详解】ae a=e 2b ln b -1 =e 3 ⇔ae a =e 2b e ln b e =e 2⇔ae a =e 2ln b ee ln b e =e 2ae a=ln b e e ln be ，且a >1,be>1，令f x =xe x ，f x =(x +1)e x ，该函数在0,+∞ 单调递增，可得f a =f lnb e ，即a =ln b e ，则ab =b ln be=e 3．故答案为：e 3.x 0是函数f x =x 2e x -2+ln x -2的零点，则e 2-x 0+ln x 0=．【答案】2【分析】根据零点定义可得x 02ex 0-2+ln x 0-2=0，整理可得x 0e x 0=lne2x 0⋅e ln e 2x，根据此时可得x 0=e2-x 0成立，代入化简即可得解.【详解】根据题意可得x 02ex 0-2+ln x 0-2=0，整理可得x 0ex 0-2=2-ln x 0x 0，x 0e x 0=e 2x 0ln e 2x 0=ln e 2x 0⋅eln e2x 0可得当x 0=ln e 2x 0，即x 0=e 2-x 0成立，又ln x 0=2-x 02ex 0-2，代入可得e2-x 0+ln x 0=x 0+2-x 02⋅1x 0=2.故答案为：2.f x =e x +m ln x m ∈R ，若对任意正数x 1,x 2，当x 1>x 2时，都有f x 1 -f x 2 >x 1-x 2成立，则实数m 的取值范围是．【答案】0,+∞【分析】令g x =f x -x ，进而原题等价于g x 在0,+∞ 单调递增，从而转化为g x =e x +mx-1≥0，在0,+∞ 上恒成立，参变分离即可求出结果.【详解】由f x 1 -f x 2 >x 1-x 2得，f x 1 -x 1>f x 2 -x 2令g x =f x -x ，∴g x 1 >g x 2 ∴g x 在0,+∞ 单调递增，又∵g x =f x -x =e x +m ln x -x ∴g x =e x +mx-1≥0，在0,+∞ 上恒成立，即m ≥1-e x x 令h x =1-e x x ，则h x =-e x x +1 +1<0∴h x 在0,+∞ 单调递减，又因为h 0 =1-e 0 ×0=0，∴m ≥0．故答案为：0,+∞ .【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．λ>0，若对于任意x ∈0,+∞ ，不等式e λx -ln xλ≥0恒成立，则λ的最小值为．将给定的不等式作等价变形，按0<x ≤1,x >1分段讨论，并借助导数求出最值作答.【详解】λ>0，∀x ∈(0,+∞)，e λx -ln xλ≥0⇔λe λx ≥ln x ⇔λxe λx ≥x ln x ⇔e λx ln e λx ≥x ln x ，当0<x ≤1时，e λx ln e λx >0，而x ln x ≤0，即e λx -ln xλ≥0恒成立，因此∀x ∈(0,+∞)，e λx -ln xλ≥0恒成立，当且仅当x >1时，e λx ln e λx ≥x ln x 恒成立，令f (x )=x ln x ,x >1，求导得f (x )=1+ln x >1，即函数f (x )在(1,+∞)上单调递增，因此∀x >1，e λx ln e λx ≥x ln x ⇔f e λx ≥f x ⇔e λx ≥x ⇔λx ≥ln x ⇔λ≥ln xx，令g (x )=ln x x ,x >1，求导得g (x )=1-ln x x2，当1<x <e 时，g (x )>0，当x >e 时g(x )<0，即函数g (x )在(1,e )上单调递增，在(e ,+∞)上单调递减，当x =e 时，g (x )max =g (e )=1e ，则λ≥1e所以λ的最小值为1e.故答案为：1e【点睛】关键点睛：不等式恒成立问题，把恒成立问题转化为求解函数的最值是解答的关键.a <0，不等式x a +1⋅e x +a ln x ≥0对任意的实数x >1恒成立，则实数a 的最小值为()A.-12eB.-2eC.-1eD.-e【答案】D【分析】首先不等式变形为xe x ≥ln x -a ⋅e ln x -a，f x =xe x x >1 ，不等式等价于f x ≥f ln x -a ，然后利用函数的单调性可得x ≥-a ln x 对任意x >1恒成立，再利用参变分离-a ≤xln x恒成立，转化为求函数的最小值.【详解】不等式变形为xe x ≥x -a -a ln x ，即xe x ≥ln x -a ⋅e ln x -a，设f x =xe x x >1 ，则不等式x a +1⋅e x +a ln x ≥0对任意的实数x >1恒成立，等价于f x ≥f ln x -a 对任意x >1恒成立，f x =x +1 e x >0，则f x 在1,+∞ 上单调递增，∴x ≥ln x -a ，即x ≥-a ln x 对任意x >1恒成立，∴-a ≤x ln x恒成立，即-a ≤xln x min ，令g x =x ln x ，则g x =ln x -1ln x 2x >1 ，当1<x <e 时，g x <0，g x 在1,e 上单调递减，当x >e 时，g x >0，g x 在e ,+∞ 上单调递增，∴x =e 时，g x 取得最小值g e =e ，∴-a ≤e ，即a ≥-e ，∴a 的最小值是-e.故选：D【点睛】本题考查函数，导数，不等式恒成立的综合问题，意在考查转化与化归的思想，计算能力，本题的关键和难点是不等式的变形xe x ≥ln x -a ⋅e ln x -a，并能构造函数并转化为f x ≥f ln x -a 对任意x >1恒成立.f (x )=2x 3ln x -(m -x )e m x-1，当x ≥e 时，f (x )≥0恒成立，则实数m 的取值范围为()A.(-∞,4e ]B.(-∞,3e ]C.(-∞,2e ]D.-∞,3e 2【答案】B【分析】先分析m ≤0，易得f (x )≥0恒成立，再分析m >0，将问题转化为2ln xe2ln x≥mx-1e m x-1，x≥e恒成立，再构造函数g(x)=xe x，即g(2ln x)≥gmx-1，x≥e恒成立，可利用g(x)的单调性，转化为则2ln x≥mx-1,x≥e恒成立，再转化为得m≤2x ln x+x,x≥e恒成立，再构造函数u(x)=2x ln x+x,x≥e，利用导数得到u(x)min，则m≤u(x)min.【详解】当m≤0，x≥e时，f(x)≥0显然恒成立；当m>0时，由题，则2x3ln x≥(m-x)e mx-1恒成立，得2ln xe2ln x≥mx-1e m x-1，x≥e恒成立，令g(x)=xe x，则g(2ln x)≥gmx-1,x≥e恒成立，则g (x)=e x+xe x=(x+1)e x>0，故g(x)在(-1,+∞)递增，则2ln x≥mx-1>-1,x≥e恒成立，得m≤2x ln x+x,x≥e恒成立，令u(x)=2x ln x+x,x≥e，则u (x)=2ln x+3≥0，即u(x)在[e,+∞)递增，故u(x)min=u(e)=3e，故0<m≤3e，综合得m≤3e.故选：B.【点睛】本题考查了分析观察能力，利用导数研究函数的性质，反复构造函数利用函数的单调性转化恒成立问题是解决问题的关键.。
分子分母通分
分子分母通分分子分母通分在数学中是一个常见的操作，它是指将两个或多个分数的分子和分母按照一定的规则进行调整，使其分母相等，从而方便进行加减乘除等运算。
下面将详细介绍分子分母通分的方法和应用。
一、分子分母通分的方法1. 找到两个或多个分数的最小公倍数（简称最小公倍数），将其作为通分后的分母。
2. 分别将每个分数的分子乘以相应的倍数，使其分母变为最小公倍数。
以两个分数为例，假设要将1/2和2/3通分，首先找到它们的最小公倍数为6，然后将1/2的分子乘以3，分母乘以3，得到3/6；将2/3的分子乘以2，分母乘以2，得到4/6。
这样，两个分数的分母就相同了，分别为6，可以进行加减乘除等运算。
二、分子分母通分的应用1. 加减法运算：通分后，可以直接对分子进行加减运算，分母保持不变。
例如，将1/2和2/3通分后，得到3/6和4/6，可以直接进行加法运算，结果为7/6。
2. 乘除法运算：通分后，可以直接对分子进行乘除运算，分母保持不变。
例如，将1/2和2/3通分后，得到3/6和4/6，可以直接进行乘法运算，结果为3/6 * 4/6 = 12/36。
3. 比较大小：通分后，可以直接比较分子的大小，分母保持不变。
例如，将1/2和2/3通分后，得到3/6和4/6，可以直接比较3和4的大小，知道4/6大于3/6。
三、分子分母通分的意义1. 方便进行运算：通分后，分数的分母相同，可以直接进行加减乘除等运算，避免了分母不同的情况下的复杂计算。
2. 直观理解数值大小：通分后，分子的数值大小直接反映了分数的大小关系，方便比较和理解。
3. 约分和化简：通分后，可以更方便地进行约分和化简操作，得到最简形式的分数。
总结起来，分子分母通分是数学中常用的操作方法，通过将分数的分子和分母按照一定规则进行调整，使其分母相同，从而方便进行加减乘除等运算。
通分后的分数可以直观地比较大小，方便进行约分和化简。
分子分母通分在数学中有着广泛的应用，是数学运算和问题解决中的重要步骤。
鲁教版(五四制)初中数学八年级上册_通分技巧(一)
通分技巧（一）分式的运算，一要准确，二要迅速，其中起着关键作用的就是通分，但对于某些较复杂的题目，使用一般方法有时计算量太大，导致出错，有时甚至算不出来，对于分式的通分，要讲究技巧.下面介绍几种常用的通分技巧.一、逐步通分例1 计算：2121111x x x ++++-分析：本题若采用将各项一起通分后再相加的方法，计算量很大，注意到前后分母之间存在着平方差的关系，则可逐步通分来计算.解：原式=4221412-12x x x -=++. 说明：若一次通分计算量太大，利用分母间的递进关系逐步通分，避免了复杂的计算.依次通分构成平方差公式，可使问题简单化.二、整体通分例2 计算：112++a a －a+1. 分析：本题中既有分式又有整式，不相统一，同学们可以寻求作为整体的部分，那么计算起来就可以简便一些.解：原式=112++a a －121111)1)(122+=++-+=++-a a a a a a a （. 说明：本题是一个分式与多项式的和，若把整个多项式看作是分母为1的代数式，再通分相加，则可使问题的解法更简便.三、分裂整数法例3 计算：2312++-++x x x x . 分析：如果两个分式的分母不同，通分时可使用分裂整数法.解：原式=212111+++=+++x x x x ＝（1＋11+x ）－（1＋21+x ） ＝2111+-+x x ＝)2)(1(1)2)(1()1(2++=+++-+x x x x x x . 说明：当算式中各分式的分子次数与分母次数相同时，一般要先利用分裂整数法对分子降次后再通分.四、活用乘法分式例4 计算：（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）（x 2－1），（x ≠0且x ≠1）.分析：乍一看本题，同学们可能会感觉要求的式子很长，不知如何下手，仔细观察各式的特点，巧妙运用平方差公式逐步通分，可使运算简便.解：当x ≠0且x ≠1时，原式=[（x －x 1）（x +x 1）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]（x 2－1）÷（x －x1) ＝[(x 2 －21x ）（x 2+21x ）（x 4+41x ）（x 8+81x ）·（x 16+161x ）]·（x 2－1）÷(x －x1) ＝…＝(x 32－321x )·x ＝x 33－311x . 评注：在本题中，原式乘以一个代数式后再除以同一个代数式还原，就可连续运用平方差公式，在分式运算中，若能恰当地运用乘法公式，则可使计算简便.。