《平面向量》综合测试题
平面向量专题练习(带答案详解)
平面向量专题练习(带答案详解) 平面向量专题练（附答案详解）一、单选题1.已知向量 $a=(-1,2)$，$b=(1,1)$，则 $a\cdot b$ 等于（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
02.已知向量 $a=(1,-2)$，$b=(2,x)$，若 $a//b$，则 $x$ 的值是（）A。
-4 B。
-1 C。
1 D。
43.已知向量 $a=(1,1,0)$，$b=(-1,0,2)$，且 $ka+b$ 与 $2a-b$ 互相垂直，则 $k$ 的值是（）A。
1 B。
5/3 C。
3/5 D。
7/54.等腰直角三角形 $ABC$ 中，$\angle ACB=\frac{\pi}{2}$，$AC=BC=2$，点 $P$ 是斜边 $AB$ 上一点，且 $BP=2PA$，那么 $CP\cdot CA+CP\cdot CB$ 等于（）A。
-4 B。
-2 C。
2 D。
45.设 $a,b$ 是非零向量，则 $a=2b$ 是成立的（）A。
充分必要条件 B。
必要不充分条件 C。
充分不必要条件 D。
既不充分也不必要条件6.在 $\triangle ABC$ 中 $A=\frac{\pi}{3}$，$b+c=4$，$E,F$ 为边 $BC$ 的三等分点，则 $AE\cdot AF$ 的最小值为（）A。
$\frac{8}{3}$ B。
$\frac{26}{9}$ C。
$\frac{2}{3}$ D。
$3$7.若 $a=2$，$b=2$，且 $a-b\perp a$，则 $a$ 与 $b$ 的夹角是（）A。
$\frac{\pi}{6}$ B。
$\frac{\pi}{4}$ C。
$\frac{\pi}{3}$ D。
$\frac{\pi}{2}$8.已知非零向量 $a,b$ 满足 $|a|=6|b|$，$a,b$ 的夹角的余弦值为 $\frac{1}{3}$，且 $a\perp (a-kb)$，则实数 $k$ 的值为（）A。
18 B。
《平面向量》测试题及答案
《平面向量》测试题一、选择题１．若三点P （1，1），Ａ(2,-4),B （x,-9）共线,则（ )Ａ．x=-1ﻩ ﻩＢ．ｘ=3ﻩ ﻩC.x=29ﻩﻩ D.ｘ=51２.与向量ａ＝(-5,4)平行的向量是( ）A.(-５k,４k)ﻩB.(－k 5,-k 4)ﻩ Ｃ.(-1０,2)ﻩ D ．（5k,４k)3．若点P 分AB 所成的比为43，则Ａ分BP 所成的比是( ) A.73ﻩ ﻩB. 37C.－ 37 ﻩﻩＤ.-734.已知向量a 、b ，ａ·b=-40，|a|＝10，|b|=8，则向量a 与ｂ的夹角为( )A.6０°ﻩﻩﻩＢ．-６0°ﻩﻩﻩC ．１２0° D.-１20°5.若|a-b|=32041 ，|a|＝４,|b|＝５,则向量a ·ｂ=( )A.１03 ﻩB.－103 ﻩ C ．１02 ﻩ D.１06.(浙江)已知向量a =(1,2)，b =(２，－3)．若向量c 满足（ｃ+ａ)∥b ，c ⊥(a +b )，则c ＝（ )A ．错误! B.错误! C ．错误! D ．错误!7．已知向量a ＝(3,4）,b=(2,-１）,如果向量(ａ+ｘ)·b 与b 垂直，则x 的值为( )Ａ.323ﻩﻩﻩB.233ﻩ Ｃ.2 D.-52８.设点P 分有向线段21P P 的比是λ,且点Ｐ在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是(） A.（-∞,-１) B.(－1，０）ﻩ C.(－∞，０)ﻩ D.（-∞,-21)9．设四边形ABCD 中,有=21，且||=||，则这个四边形是（ )A.平行四边形ﻩ Ｂ．矩形 Ｃ.等腰梯形 D ．菱形１0．将ｙ=x+2的图像C 按a=（６,-２)平移后得Ｃ′的解析式为（ ）A ．y ＝x+10 B.ｙ=x-6 C.y=x+6 D.y=x －101１.将函数y ＝x ２+4x+５的图像按向量a 经过一次平移后,得到y ＝x 2的图像,则a 等于( )A ．(2,-1)ﻩﻩﻩB.(-2,１)ﻩﻩ C.（-2,－１)ﻩ D.（2,1)１２.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(－b,a),Ｃ（0,０)，则它的第4个顶点Ｄ的坐标是（）A.(2a,b)ﻩﻩﻩB.(a-b,a+b)ﻩﻩC ．（a+b,b －a) D ．(a-b,b-a ）二、填空题13.设向量a=(2,-1),向量b 与a 共线且ｂ与ａ同向，ｂ的模为25，则b= 。
(完整word版)《平面向量》综合测试题
《平面向量》综合测试题一、选择题1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( ) A.（1，2） B.（-3，4） C. （3，-4） D. 以上都不对2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( ) A.（-5k ,4k ） B. (-10，2） C. (54,k k-) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( ) A.a+b B.-(a+b ) C.a-b D.b-a 4.化简52(a －b )－31(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －51b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为4π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( )A.15B.15C. 16D.146.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109-B.109C.1019-D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是 ( )A. P 在△ABC 的内部B. P 在△ABC 的外部C. P 是AB 边上的一个三等分点D. P 是AC 边上的一个三等分点 8.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( ) A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形 B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形 C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形 D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+10.若|a |=1,|b a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( )A.300B.450C.600D.750二、填空题11.在△ABC,4=且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 .12.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .13. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= . 14.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线; ⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 . 三、解答题15.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB ,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN16设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2) ⑴求证:A 、B 、D 共线;⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.17.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.18.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,21),ABNMDCc =(cos2x ,1),d =(1,2)。
高中数学(平面向量)综合练习含解析
高中数学(平面向量)综合练习含解析1．在△ABC 中，AB c ，AC b ．若点 D 满足BD 2DC ，则AD （）A．2 1b c B．3 35 2c b C．3 32 1b c D．3 31 2b c3 32．已知OA 1, OB 3 ，OA OB 0 ，点 C 在AOB 内，且AOC 30 ，OC mOA nOB m,n R ，则mn等于（）A．3 B．13C．33D． 33．若向量a,b,c 满足a∥b，且a c，则c a 2b （）A．4 B．3 C．2 D．04．已知向量m (a, 2), n (1,1 a) ，且m∥n，则实数a （）A． 1 B．2 或 1 C．2 D． 25．已知向量a (1,2) ，向量b (x, 2) ，且a(a b) ，则实数x等于A． 4 B．4 C．0 D． 96．已知| a| ＝1，| b | ＝ 2 ，且a (a b)，则向量a与向量b 的夹角为（）A． B ． C ． D ．6 4 3 2 37．已知平面向量a，b 满足a a b 3 ，且 a 2 ，b 1，则向量a与b 夹角的正弦值为（）A．12B ．32C ．12D ．328．在平行四边形ABCD 中，AD 2 ，BAD 60 ，E为CD 的中点．若AD BE 1，则AB 的长为( )A． 6 B ．4 C ．5 D ．69 ．O 为平面上的定点， A ， B ， C 是平面上不共线的三点，若(OB OC ) (OB OC 2OA) 0，则ABC 是（）A．以AB为底面的等腰三角形B．以BC为底面的等腰三角形C．以AB为斜边的直角三角形D．以BC为斜边的直角三角形试卷第 1 页，总 4 页10．在ABC 中，则有（）1MB AB ，且对AB边上任意一点N，恒有NB NC MB MC ，4A．AB BC B ．AB ACC．AB AC D ．AC BC11．点P是ABC 所在平面内的一点，若CB PA PB( R) ，则点P在（）A．ABC 内部B．AC边所在的直线上C．AB边所在的直线上D．BC边所在的直线上12．在ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b ，c，c b 6，c b a 2 ，且O 为此三角形的内心，则AO CB （）A．4 B ．5 C ．6 D ．713．在ABC 中，BC a, AC b,| a|2,| b| 3,a b 3则∠C的大小为（）A．30 B ．60 C ．120 D ．15014．在ABC 中，A、B 、C 的对边分别为a、b 、c，且b c o s C 3 a c o s B c o s B ，BA BC 2，则ABC 的面积为（）A． 2 B ．32C ．2 2D ．4 215．若非零向量a, b满足| a b | | a b | 2 | a |，则向量b与a b 的夹角为.16．在平面直角坐标系中，设M , N,T 是圆C : 2 2(x 1) y 4上不同三点，若存在正实数a,b，使得CT aCM bCN ，则3 2 2 1a ab ab ba的取值范围为．17．已知向量a (1, 3) ，向量a,c 的夹角是3 ，a c 2，则|c|等于．18．已知正方形ABCD ，过正方形中心O的直线MN 分别交正方形的边AB ,CD 于点2MNM、N ，则最小值为_________________．2BN19．若a,b均为非零向量，且a 2b a, b 2a b ，则a,b的夹角为．120．在等腰梯形ABCD中，已知AB//DC，∠ABC=60°，BC=2AB=2，动点 E 和F 分别在线段BC和DC上，且BE = BC ，DF =12DC ，则AE ·BF 的最小值为．试卷第 2 页，总 4 页21．已知ABC 是边长为 1 的正三角形，动点M 在平面ABC内，若AM AB 0，|CM | 1，则CM AB的取值范围是．22．向量a (1,1)，且a与a b 的方向相反，则 a b的取值范围是．23．如图，在三棱锥中 D ABC 中，已知AB 2，AC BD 3，设AD a，BC b ，CD c ，则2cab 1的最小值为．24．已知 A 点坐标为( 1,0) ，B 点坐标为(1,0) ，且动点M 到A 点的距离是 4 ，线段MB 的垂直平分线l 交线段MA 于点P ．（1）求动点P 的轨迹C方程．（2）若P是曲线C上的点，，求k PA PB 的最大值和最小值．25．△ABC中，内角为A，B，C，所对的三边分别是a，b，c，已知 2b ac ，cos3 B ．4（1）求1 1 tan A tan C；（2）设BA·3BC , 求a c．226．已知函数 f x1x 1，点O为坐标原点, 点A n n, f n (n N *) ,向量i0,1 ，cos cos cosn 是向量OA n 与i的夹角，则 1 2 2016sin sin sin1 2 2016的值为．27．已知向量3a (sin x, ),b (cos x, 1).2试卷第 3 页，总 4 页（1）当a//b时，求22cos x sin2x的值；（2）求f(x)(a b)b在,02上的值域．2y2DX Ey F28．如图，在平面直角坐标系中，方程为x0的圆M的内接四边形ABCD的对角线AC和BD互相垂直，且AC和BD分别在x轴和y轴上．（1）若四边形ABCD的面积为40，对角线AC的长为8，AB AD0，且ADC为锐角，求圆的方程，并求出B,D的坐标；（2）设四边形ABCD的一条边CD的中点为G，OH AB，且垂足为H，试用平面解析几何的研究方法判断点O、G、H是否共线，并说明理由．29．在直角坐标系xOy中，已知点A(1,1),B(2,3),C(3,2)，点P(x,y)在ABC中三边围成的区域（含边界）上，且OP AB AC(,R)．（1）若23，求OP；（2）用x,y表示并求的最大值．30．已知椭圆22x yC:1(a b0)22a b,过左焦点F1(1,0)的直线与椭圆C交于M、N两点，且F2MN的周长为8；过点P(4,0)且不与x轴垂直的直线l与椭圆C相交于A、B两点．（1）求椭圆C的方程；（2）求OA OB的取值范围；（3）若B点关于x轴的对称点是E，证明：直线AE与x轴相交于定点．试卷第4页，总4页参考答案1．C【解析】试题分析：如图所示，在ABC 中，AD AB BD又BD 2DC ，2 2 2 2 1BD BC BC AC AB b c AD AB BC c b c b c3 3 3 3 3故选C．考点：向量加法2．A【解析】试题分析：如图所示，建立直角坐标系．则OA 1,0 ,OB 0, 3 ,．故选 B∴, 3 , tan 30 3n 3 m 3OC mOA nOB m nm 3 n考点：共线向量【名师点睛】本题主要考查了共线向量及向量的模等知识，属基础题．解题时对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果．3．D【解析】试题分析：设 a b ，则由已知可得c (a 2b) c a c (2b) c a c (2 b) 2 1 c a 0考点：向量的运算4．B【解析】试题分析：由已知m∥n，则a (1 a) 2 1 a2 a 2 0 a 1,a 2考点：共线向量5．D答案第 1 页，总13 页【解析】试题分析： a b 1 x,4 由a(a b) 1,2 1 x,4 1 x 8 0 x 9考点；向量垂直的充要条件6．B【解析】试题分析：由题意得 2 a b 2a (a b) 0 ab a 1 cos a,b| a | | b | 2r ，所以向量a与r向量b的夹角为 4 ，选Ｂ．考点：向量夹角7．D【解析】试题分析：2 1 2a ab 3 a a b 3 a b 1 cos a,b a,b .2 3选D．考点：向量夹角8．D【解析】试题分析：1 1AD BE AD（BA+ AD DE) AD（- AB +AD AB) AD（AD AB)2 21 14 2 AB cos 4 AB 12 3 2，因此AB 6. 选D．考点：向量数量积9．B【解析】试题分析：设BC 的中点为 D ，∵(OB OC) (OB OC 2OA) 0 ，∴CB (2OD 2OA )0，∴CB 2AD 0，∴C B AD ，故△A BC的B C边上的中线也是高线．故△ABC是以BC为底边的等腰三角形，故选B．考点：三角形的形状判断．10． D【解析】试题分析：以 A 为原点，AB 为x轴，建立直角坐标系，设B(4,0), C(a,b) ，N ( x,0) ，则M (3,0) ，MB MC (1,0) (a 3,b ) a 3 ，答案第 2 页，总13 页本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
（完整版）《平面向量》测试题及答案
（完整版）《平面向量》测试题及答案《平面向量》测试题一、选择题1.若三点P （1，1），A （2，-4），B （x,-9）共线，则（）A.x=-1B.x=3C.x=29D.x=512.与向量a=(-5,4)平行的向量是（）A.（-5k,4k ）B.(-k 5,-k 4)C.(-10,2)D.(5k,4k) 3.若点P 分所成的比为43，则A 分所成的比是（）A.73B. 37C.- 37D.-73 4.已知向量a 、b ，a ·b=-40，|a|=10,|b|=8，则向量a 与b 的夹角为（） A.60° B.-60° C.120° D.-120° 5.若|a-b|=32041-,|a|=4,|b|=5，则向量a ·b=（） A.103B.-103C.102D.106．(浙江)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A.? ????79，73B.? ????－73，－79C.? ????73，79D.? ????－79，－737.已知向量a=(3,4),b=(2,-1)，如果向量（a+x ）·b 与b 垂直，则x 的值为（） A.323B.233C.2D.-52 8.设点P 分有向线段21P P 的比是λ，且点P 在有向线段21P P 的延长线上，则λ的取值范围是（） A.(-∞,-1) B.(-1,0) C.(-∞,0) D.(-∞,-21) 9.设四边形ABCD 中，有DC =21，且||=|BC |，则这个四边形是（） A.平行四边形 B.矩形 C.等腰梯形 D.菱形10.将y=x+2的图像C 按a=(6,-2)平移后得C ′的解析式为（）A.y=x+10B.y=x-6C.y=x+6D.y=x-1011.将函数y=x 2+4x+5的图像按向量a 经过一次平移后，得到y=x 2的图像，则a 等于（） A.(2,-1) B.(-2,1) C.(-2,-1) D.(2,1)12.已知平行四边形的3个顶点为A(a,b),B(-b,a),C(0,0)，则它的第4个顶点D 的坐标是（） A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a) 二、填空题13.设向量a=(2,-1)，向量b 与a 共线且b 与a 同向，b 的模为25，则b= 。
平面向量测试题及答案
第五章平面向量测试题一、选择题：1.已知ABCD 为矩形,E 是DC 的中点,且−→−AB =→a ,−→−AD ＝→b ,则−→−BE ＝ A →b +→a 21B →b －→a 21 C →a ＋→b 21 D →a －→b 212．已知B 是线段AC 的中点,则下列各式正确的是 A −→−AB ＝－−→−BC B −→−AC ＝−→−BC 21C −→−BA ＝−→−BCD −→−BC ＝−→−AC 213．已知ABCDEF 是正六边形,且−→−AB ＝→a ,−→−AE ＝→b ,则−→−BC ＝ A )(21→→-b a B )(21→→-a b C →a ＋→b 21 D )(21→→+b a4．设→a ,→b 为不共线向量,−→−AB ＝→a +2→b ,−→−BC ＝－4→a －→b ,−→−CD ＝ －5→a －3→b ,则下列关系式中正确的是 A −→−AD ＝−→−BC B −→−AD ＝2−→−BC C −→−AD ＝－−→−BCD −→−AD ＝－2−→−BC5．将图形F 按→a ＝h,k 其中h>0,k>0平移,就是将图形F（A ） 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位.（B ） 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴正方向平移k 个单位. （C ） 向x 轴负方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位. D 向x 轴正方向平移h 个单位,同时向y 轴负方向平移k 个单位. 6．已知→a ＝)1,21,→b ＝),2223-,下列各式正确的是A 22⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛→→b a B →a ·→b ＝1 C →a ＝→b D →a 与→b 平行 7．设→1e 与→2e 是不共线的非零向量,且k →1e ＋→2e 与→1e ＋k →2e 共线,则k 的值是 A 1 B －1 C 1± D 任意不为零的实数8．在四边形ABCD 中,−→−AB ＝−→−DC ,且−→−AC ·−→−BD ＝0,则四边形ABCD 是 A 矩形 B 菱形 C 直角梯形 D 等腰梯形9．已知M －2,7、N10,－2,点P 是线段MN 上的点,且−→−PN ＝－2−→−PM ,则P 点的坐标为 （A ） －14,16B 22,－11C 6,1 D 2,410．已知→a ＝1,2,→b ＝－2,3,且k →a +→b 与→a －k →b 垂直,则k ＝ A 21±- B 12± C 32± D 23±11．把函数2)sin(3--=πx y 的图象经过按→a 平移得到x y sin =的图象,则→a ＝A ()2,3π-B ()2,3πC ()2,3--πD ()2,3-π12．△ABC 的两边长分别为2、3,其夹角的余弦为31 ,则其外接圆的半径为 A 229 B 429 C 829 D 922 二、填空题：13．已知M 、N 是△ABC 的边BC 、CA 上的点,且−→−BM ＝31−→−BC ,−→−CN ＝31−→−CA ,设−→−AB ＝→a ,−→−AC ＝→b ,则−→−MN ＝14．△ABC 中,C A B cos sin sin =,其中A 、B 、C 是△ABC 的三内角,则△ABC 是三角形.三、解答题：15．ABCD 是梯形,AB ∥CD,且AB=2CD,M 、N 分别是DC 和AB 的中点,已知−→−AB ＝→a ,−→−AD ＝→b ,试用→a 、→b 表示−→−MN .16．设两非零向量→a 和→b 不共线,如果−→−AB ＝→a ＋→b ,−→−CD ＝3→a －→b ,→→−→−+=b a BC 82,求证：A 、B 、D 三点共线.17．利用向量法证明：顺次连接菱形四边中点的四边形是矩形.18．在△ABC 中,已知A>B>C,且A=2C,A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,又a 、b 、c 成等差数列,且b ＝4,求a 、c 的长.19．已知三角形内角的余切值成等差数列,求证：此三角形相应各边的平方也成等差数列.陈文运 2005年11月19日16：55排版、打印.平面向量测试题答案BDDBA ACBDA AC13．→→-a b 3231；14.直角15.→→-ba 41;516524,==c a .由CA B cot cot cot 2+=得AAB B sin cos sin cos 2=+C C sin cos CA C A sin sin )sin(+=C A B B sin sin sin cos 22=⇒ac b c a 222-+⇒=acb 22222b c a =+⇒…。
平面向量复习综合练习题及答案
10、（全国2 理5）在?ABC中，已知D是AB边上一点，若 =2 ， = ,则?=
(A) (B) (C) - (D) -
11、（北京理4）已知 是 所在平面内一点， 为 边中点，且 ，那么
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
12、（福建理4文8）对于向量，a、b、c和实数 ，下列命题中真命题是
A.(2,14)B.(2,- )C.(-2, )D.(2,8)
答案：选B
16．定义平面向量之间的一种运算“⊙”如下:对任意的a=(m,n),b=(p,q),令a⊙b= mq-np,下面说法错误的是（ ）
A．若a与b共线,则a⊙b =0B．a⊙b =b⊙a
C．对任意的 R,有( a)⊙b = (a⊙b)D．(a⊙b)2+(a·b)2= |a|2|b|2
求 。
31、已知A（2，0），B（0，2），C（cos ，sin ），且0< <
（1）若|OA+OC|= ，求OB与OC的夹角；
（2）若AC⊥BC，求tan 的值。
32、
求证：（1）A、B、D三点共线．
33、已知 之间有关系 ，其中k＞0,
（1）k表示 ；（2）求 的最小值，并求此时 夹角的大小。
20．P是圆C: 上的一个动点,A( ,1),则 的最小值为______2( -1)
21．已知 =(3,2), =(-1,0),向量 + 与 -2 垂直,则实数 的值为_________1
22．在直角三角形 中, ,点 是斜边 上的一个三等分点,则
23、（江西理15）如图，在 中，点 是 的中点，过点 的直线分别交直线 ， 于不同的两点 ，若 ， ，则 的值为．
(1)求角 的大小；
平面向量综合测试卷
平面向量综合测试（含答案）（注：试题来源于最新高考和模拟卷压轴题，难度较大）一．选择题（共12小题，每小题5分）1．已知点P是△ABC的中位线EF上任意一点，且EF∥BC，实数x，y满足．设△ABC，△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为S，S1，S2，S3，记，，．则B C2．在一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为正方形A1B1C1D1四边上的动点，O为底面正方形ABCD的中心，M，N分别为AB，BC中点，点Q为平面ABCD内一点，线段D1Q与OP互相平分，则满足的实数λ的值有（）3．设G是△ABC的重心，且，则B的大4．点O为△ABC内一点，且存在正数，5．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是△ABC6．设四边形ABCD为平行四边形，||=6，||=4，若点M、N满足，，则=（）7．将一圆的六个等分点分成两组相间的三点﹐它们所构成的两个正三角形扣除内部六条线段后可以形成一正六角星﹐如图所示的正六角星是以原点O为中心﹐其中﹐分别为原点O到两个顶点的向量﹒若将原点O到正六角星12个顶点的向量﹐都写成为a+b的形式﹐则a+b的最大值为（）8．如图，在△OMN中，A，B分别是OM，ON的中点，若=x+y（x，y∈R），且点P落在四边形ABNM内（含边界），则的取值范围是（）[，][，[，[，9．已知向量与的夹角为60°，且||=||=2，若=λ+，且⊥，则实数λB10．如图所示，等边△ABC的边长为2，D为AC中点，且△ADE也是等边三角形，在△ADE 以点A为中心向下转动到稳定位置的过程中，•的取值范围是（）[，][，，），）11．在等腰△ABC中，∠BAC=120°，AB=AC=2，，则的值为（）B12．已知向量，，若向量满足与的夹角为120°，，则=（）C二．填空题（共18小题每小题5分）13．点O在△ABC内部，且满足，则△ABC面积与凹四边形ABCO的面积之比为．14．可以看成向量在向量上的投影与的乘积．已知点B，C在以AD为直径的圆上，若AB=2，AC=3，则的值为．15．设D为△ABC的边AB上一点，P为△ABC内一点，且满足，，则=．16．如图，ABCD是边长为4的正方形，动点P在以AB为直径的圆弧APB上，则的取值范围是．17．如图，已知正方形ABCD的边长为1，过正方形中心O的直线MN分别交正方形的边AB，CD于M，N，则当最小时，CN=．18．如图，AB是圆O的直径，C、D是圆O上的点，∠CBA=60°，∠ABD=45°，，则x+y=．19．已知向量，，满足||=1，||=||，（）•（）=0．若对每一确定的，||的最大值和最小值分别为m，n，则对任意，m﹣n的最小值是．20．已知正方形ABCD的边长为1，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以C为起点，其余顶点为终点的向量分别为，若i，j，k，l∈{1，2，3}，且i≠j，k≠l，则的最小值是．21．已知O是直线AB外一点，平面OAB上一点C满足是线段AB和OC的交点，则=．22．给定2个长度为1且互相垂直的平面向量和，点C在以O为圆心的圆弧上运动，若=，其中x，y∈R，则（x﹣1）2+y2的最大值为．23．设点P是△ABC内的一点，记=λ1，=λ2，=λ3，f（P）=（λ1，λ2，λ3）．若=+，则f（Q）=．24．如图，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=3，则=．25．如图，已知平行四边形ABCD中，AB=3，BC=2，∠BAD=60°，E为BC边上的中点，F 为平行四边形内（包括边界）一动点，则的最大值为．26．在斜坐标系xOy中，∠xOy，分别是Jc轴，轴方向的单位向量．对于坐标平面内的点P，如果，则Ge，叫做P的斜坐标．（1）已知P的斜坐标为（，1）则=．（2）在此坐标平面內，以O为原点，半径为1的_的方程是．27．在平面向量中有如下定理：设点O、P、Q、R为同一平面内的点，则P、Q、R三点共线的充要条件是：存在实数t，使．试利用该定理解答下列问题：如图，在△ABC中，点E为AB边的中点，点F在AC边上，且CF=2FA，BF交CE于点M，设，则x+2y=．28．关于平面向量有下列四个命题：①若•=•，则=，；②已知=（k，3），=（﹣2，6）．若∥，则k=﹣1．③非零向量和，满足||=||=|﹣|，则与+的夹角为30°．④（+）•（﹣）=0．其中正确的命题为．（写出所有正确命题的序号）29．如图，在△ABC中，AB=3，，AC=2，若O为△ABC的外心，则=．30．如图，在平面斜坐标系xOy中，∠xOy=135°．斜坐标定义：如果=xe1+xe2，（其中e1，e2分别是x轴，y轴的单位向量），则（x，y）叫做P的斜坐标．（1）已知P的斜坐标为（1，），则||=．（2）在此坐标系内，已知A（0，2），B（2，0），动点P满足||=||，则P的轨迹方程是．参考答案一．选择题（共12小题）1．A 2．C 3．B 4．C 5．D 6．C 7．D 8．C 9．B 10．A 11．A 12．D二．填空题（共18小题）13．5：4 14．5 15．16．[0，16]17．18．19．20．-5 21．3：2 22．2 23．（）24．18 25．26．27．2 28．②③④29．-30．1y=x。
平面向量综合练习(含答案)
平面向量(1)如果a , b是两个单位向量，则下列结论中正确的是的值为(7) 在长江南岸渡口处，江水以12.5km/h的速度向东流，渡船的速度为25 km/h .渡船要垂直地渡过长江，则航向为_______________________ .(8) 三个力F1 , F2 , F3的大小相等，且它们的合力为0,则力F2与F3的夹角为______________ .(9) 用向量方法证明：三角形的中位线定理.UUU UJU UUUT (10)已知平面内三点A、B、C三点在一条直线上，OA ( 2, m), OB (n,1) , OC (5, 1),UUU 且OA UUUOB，求实数m , n的值.(A) a b (B) a b = 1 2 , 2(C) a b (D) aUJUT UJU (2)在四边形ABCD中，若AC AB uuurAD，则四边形ABCD的形状一定是()(A)平行四边形(B)菱形(C)矩形(D)正方形(3) 若平行四边形的3个顶点分别是(4,2),( 5,7),( 3,4),则第4个顶点的坐标不可能是()(4)(5) (A)( 12，5)(B) (-2 ，9)(C) (3，7)(D) (-4，-1)已知正方形ABCD的边长为1,UUUAB a ,UUT UUTBC b, AC c,则a b c等于(A) 0 (B) 3 (D) 2、2已知a3，b 4，且向量b不共线, 若向量a k b与向量a k b互相垂直，则实数k UUU(6)在平行四边形ABCD中，ABuuu UUU a , CB b ,O为AC与BD的交点，点M在BD 上, BM1UULT-OD，ULUU则向量BM用a，b表示为ULUU；AM用a，b表示为uuu(11)已知点o 、A 、B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且 0P(A)点P 在线段AB 上 (B)点P 在线段AB 的反向延长线上(C)点P 在线段AB 的延长线上(D)点P 不在直线AB 上uuu uuu uur(12)已知 D 、E 、F 分别是三角形ABC 的边长的边BC 、CA 、AB 的中点，且BC a , CA b ,AB c ,uuu 1 1uuu1 uuu 11uuu uuu uuu则①EF cb ，② BE a -b ，③ CF— a -b ，④ AD BE CF 0 中正确的等式2 222 2的个数为 ()(A ) 1(B ) 2(C ) 3(D) 4(13)已知向量a (1,5) ,b(3, 2)，则向量 a 在b 方向上的投影为uuuuuuuuuu(14)已知OA a ，OB b ，点M 关于点A 的对称点为S,点S 关于点B 的对称点为N,则向量MN 用a 、b 表示为______________________________ . (15)已知向量a (m 2, m 3), b (2m 1, m 2)，若向量a 与b 的夹角为直角，则实数m 的值为 ___________________ ；若向量a 与b 的夹角为钝角，则实数 m 的取值范围为 __________________求CA CB 的最小值及取得最小值时 cos ACB 的值.uuu uuu30A 0B，则()2LULT (16)已知OP uuu (2, 1) , OAuuu(1,7) , OB (5, 1)，点O 为坐标原点，点 C 是直线OP 上一点,UJU UULU UJU UJU (17)如图，点A「A2是线段AB的三等分点，求证：OA i OA OA OB (1)般地，如果点A1, A2，…A n 1是AB的n (n 3)等分点，请写出一个结论，使(1)为所写结论的一个特例•并证明你写的结论.(18)已知等边三角形ABC的边长为2, O A的半径为1, PQ为O A的任意一条直径,UUU UUIU UUU UUU(I)判断BP CQ AP CB的值是否会随点P的变化而变化，请说明理由;UUU UUU(n)求BP CQ的最大值.A参考答案或提示: （三）平面(1) D (2) A ( 3) C (4) D (5)(6)-a - b 6；5a - b ; ----6（7）北偏西30°(8) 1200(9)略(10)(1)由单位向量的定义即得 al b1，故选（D ）.uuur uuu uuruuur uuu uuuruuur uuur(2) 由于 AC AB AD ,AC AB AD ，即BC AD ，•线段BC 与线段AD等,••• ABCD 为平行四边形，选 (A).(3) 估画草图知符合条件的点有三个，这三个点构成的三角形三边的中点分别为已知的三点 略解或提示: 平行且相 于符合条件的三点分别位于第一象限、第二象限和第三象限，则排除（ 一象限只有一个点，且位于点（ 5, 7）的右侧，则该点的横坐标要大于由 B ）、（ D ）,而符合条件的点第 5，•排除（A ）,选（C ）. (4) 由于a be 2c •- a be 2c 2 2 , •••选(D ). (5) k b 与向量a k b 互相垂直，则（k b) (a k 2b 2, 依题意, 又OD (8)而a 2 a 2 9, b 2 uiur 1 uur••• BM -OD 而（3 uuuu uuu uuu • AMAB BM uuu 如图，渡船速度 OB 向量a (6) (7) 3 4 uuu i 1 uuu BD , • BM 2 5a - b6 uu u BD6 1 ujur 6(ADuuu AB) 1 iuu 6(B Cuuu AB) -a - b ； 6水流速度OA ，船实际垂直过江的速度uu u OA uur 12.5 , OB uuir 25 ,由于OADB 为平行四边形，贝V BD BD ，•在直角三角形 OBD 中，/ BOD = 30o ，•航向为北偏西 过点 uuu O 作向量OA 、 uuiu uur OB 、OC ，使之分别与力F 1 , F 2 , F 3相等，由于 F 1 , F 2 ,F 3的合力为 0 ,则以OC 、 OB 为邻边的平行四边形的对角线 OD 与OA 的长度相等，又由于力 F !，F 2， F 3的大小相等, • OA OB OC ，则三角形OCD 和三角形OBD C均为正三角形，• COB120o ，即任意两个力的夹角均为 120o .OUULT (9) 解：由于DE uu u CEuuur CD ，而 uuuCE LUU 1 UUU •- DE -CB 2 1 uu u -CA 2 1 uuu 尹uuu CA) 1 UU U -CB , 2 1 uuu -AB 2 uu uCD 1 uur-CA 2C(10)由于O 、A 、B 三点在一条直线上，则uuur AC //uurAB ，而uuur AC uur uuu OC OA(7, 1m),UUU UUU UUUuuu uurAB OB OA (n 2, 1 m) • 7(1 m)( 1 m)( n 2) 0，又 OA OB ,2n m 0则 DE // AB ，且 DE 3 m 联立方程组解得 6 或 1 一 AB ，即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边长的一半. 2 (11)B (12 )C (13) 3 (14) 2 b 2a 13 (15)4或2；35.5 2 11^,2)(16) 8,4 1717 (17 )答案不唯 uujr 如OA ULU ULTOAn 1uuu u OA 2 ULUL UU OA n 2uu OA uu OB 或UULT LULU OA OA 2 LUU ULT OAn 1 n 1 uur uuu (OA OB) uuu (18) (I) BP uu u CQ uu u AP uu uCB 略解或提示: (11)由于 uuu 2OP uuu 3OA uuu OB , uuu uuu • 2OP 2OAuu u OA uu u OBUUU ，即 2AP uur BA ,• AP UJ U 1 uur-BA , 2则点P 在线段AB 的反向延长线上, UUT (12)v EF (B). uuu 由于BE uu uBC 1 UU U CB2 uuu CE a，又a 2 uuu BC uuu b c 0 ,• E Fuuur • CF UU LT AD uu u BE uu u CF 1 uur CA 2 1a -b ，即②是正确的；同理 2 1 b ,即③是正确2 c) 即④是正确的.选( C ). a 在b 方向上的投影为 CO S丄b ,2uuu CF即①是错误的;1尹uuur ADb b _(14 ) 由于A 为SM 中点， B 为 UUU 1 OB - 2 uu uur uuu (OS ON)，两式相减得 OB uuuu • MN uur uuu uuuu2(OB OA), • MN 2b设a 与b 的夹角为 ，则向量 (13) SN 中点，• 2a.uu u OA1 UUT 1(ON uu uOA1 uuu 評Suuur OM), uuuuOM), 173 吊-uuuu 也可直接根据中位线定理MN uuu2AB 2b 2a .(15)若a 与b 的夹角为直角, 则 a b 0，即(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 若向量a 与b 的夹角为钝角，则 a b 0，且a 与b 不共线，则(m 2)(2m 1) (m 3)(m 2) 0,且(m 2)( m 2) (m 3)(2m 1) 0, 4 解得- 3 55 11^5 或 — 2 2 11 (16)由于点 C 是直线OP 上一点，设点 C (2m, m) uur CA uuu (1 2m, 7 m) ,CB (5 2m,1 m), uu u CA uu u CB2 5(m 2) 8 , • m uuu uuu CA CB 的最小值为 8 ;而m 2时, uuu CA(3,5)， uuu CB (1, 1), cos uuu 2时, 4、万 uu uuuu 同理OA 2 uuir AA 1 uuu — AB , 3 UULT •- OA 1 uuu OA uur AA uuu OA 1 uuu AB3 uuuOAuuuir uuu uur uuur uuuir uuu uuu uuu 2OB OA m 2OB OA OB 2OA (17)解: 3 3 3 1 uuu 1(OB uuuOA) uuu OBuu 2OA uuu uuuOA OB ;uur uiuur 一般结论为 OA OA n 1uuuu OA uuiuuu OA L uur OA uuu OB UUU k UUU 证明：：AA , AB , •uuu OA k UJU OA uuuu AR uur OA k^ AB , nn k uu u OA uuu OA uuuui u 而OA n uuiuu AA n kuuuu • • OAk uuuuuuOAn kuuu OA 注：也可以将结论推广为 UJI T OAk uuu UUU uuu k uuuAB OA AB AB n uuu k uur OB ABn uuuu OA , uu u OA n uuu OB uuuuirOA n 1uuu (OA uu u OB uuu OB) k uuu -AB n证明类似，从略. uuu uuur uuu uuu (18) (I)由于 BP CQ AP CB uuu (AP uuu AB) uuur (AQ uuur ACuuu )A P uuu (AB uuurAC), uuur 而AQuuu AP ,uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuu uuuUU U uuu u ur则BP CQ AP CB (AP AB)( AP AC) AP (AB AC) APAB A C1uuu U ULT uuu uuruuu 2 uuu AB AC AB AC cos ABC 2 , AP AP 2 uuu 二 BPuur CQ uuu uu AP CB uuu 2 AP uu AB uur AC 1,uu u BP uuur uuu CQ AP uuuCB 的值不会随点 P 的变化而变化; uuu uur uuu (n)由于 BP CQ AP mu CB uuu 1 , ••• BP uur CQ uuu uuu1 AP CB , uuu uuu :AP CBuuu uuuuuu uuu ••• AP CB uuu uuu AP CB2 (等号当且仅当 uu u uuu uuu AP CB cos AP,CB uuu AP 与CB 同向时成立)，• BP uu u CQ 的最大值为3.。
期末专题01 平面向量综合学生版
期末专题01平面向量综合一、单选题1.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)已知向量a =1,t ，b =3,-6 ，且a ⎳b ，则实数t =()A.-12B.-2C.12D.22.(2022春·江苏扬州·高一统考期末)已知向量a =2,4 ，b =1,x ，且a ⎳b，则x =()A.2B.-2C.8D.-83.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)已知向量|a |=2，b 在a 方向上的投影向量为-2a ，则a⋅b =()A.4B.8C.-8D.-44.(2022春·江苏南通·高一统考期末)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，且3CD =CA +2CB ，则()A.AD =2BDB.AD =12DBC.AD =2DBD.AD =13AB5.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a +b = a -b =233a，则a +b ，a=()A.5π6B.2π3C.π3D.π66.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)在△ABC 中，BD =2DA ，若CB =λCA +μCD ，则λμ的值为()A.-23B.-32C.23D.327.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知△ABC 的外接圆圆心为O ，且2AO =AB +AC ，|OA |=|AB|，则向量BA 在向量BC上的投影向量为()A.14BCB.34BCC.12BCD.-34BC8.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)已知向量a =(1,0)，b =(1,1)，若a +λb 与λa +b共线，则实数λ的值为()A.-1B.1C.±1D.09.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知非零向量a ，b 满足b =2a ，且a +b ⊥a ，则a +b 与b 的夹角为()A.π6 B.π3C.2π3 D.5π610.(2022春·江苏盐城·高一统考期末)在△ABC 中，AB =AC =2，∠A =120°，点M 满足AM =λAB+μAC ，λ+2μ=1，则AM 的最小值为()A.217B.2114C.2D.111.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)已知i ，j 是平面内互相垂直的单位向量，且a=i +2j ，b =-3i +4j ，则a 与b 夹角余弦值为()A.55B.12C.58D.1512.(2022春·江苏镇江·高一统考期末)某人向东偏北60°方向走50步，记为向量a；向北偏西60°方向走100步，记为向量b ；向正北方向走200步，记为向量c ．假设每步的步长都相等，则向量c可表示为()A.23a +bB.a +23bC.2a +3bD.3a+2b 13.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)在△ABC 中，BO =2OC ，过点O 的直线分别交直线AB ,AC 于M ，N两个不同的点，若AB =mAM ,AC =nAN，其中m ，n 为实数，则m 2+4n 2的最小值为()A.1B.4C.92D.514.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知两个单位向量a ，b 的夹角为60°，若2a -b +c =0，则c=()A.3B.7C.3D.115.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，矩形ORTM 内放置5个边长均为1的小正方形，其中A ，B ，C ，D 在矩形的边上，且E 为AD 的中点，则AE +BC ⋅BD=()A.-7B.-5C.5D.7二、多选题16.(2022春·江苏南京·高一南京市中华中学校考期末)如果a ,b是两个单位向量，则下列结论中正确的是()A.a =bB.a=±bC.a 2=b2 D.a=b17.(2022春·江苏常州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a =b =1，且a-3b =13，则下列结论正确的是( ).A.a ,b =13πB.a +b =12C.a -b=3D.a+3b =718.(2022春·江苏徐州·高一统考期末)设向量a ，b 满足a +b =a -b=1，则()A.a 与b的夹角为60°B.a 2+b 2=1C.a +2b ⋅2a +b=2D.a ⊥b19.(2022春·江苏宿迁·高一沭阳县修远中学校考期末)下列说法错误的是()A.零向量没有方向B.共线向量是同一条直线上的向量C.若向量e 1 与向量e 2 共线，则有且只有一个实数λ，使得e1=λe 2D.|a ⋅b |≤|a |⋅|b |20.(2022春·江苏南通·高一统考期末)向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量a ，b 满足a = b =2，a +b=23，则()A.a ⋅b=-2 B.a 与b 的夹角为π3C.a -b <a +bD.a -b 在b 上的投影向量为12b21.(2022春·江苏泰州·高一统考期末)如图，已知菱形ABCD 的边长为6，E 为BC 中点，CF =2FD，下列选项正确的有()A.EF =12AD -23ABB.若∠BAD =60°，则AF=213C.若∠BAD =60°，则AC ⋅EF=9 D.-21<AE ⋅EF<-922.(2022春·江苏苏州·高一校考期末)如图所示，四边形ABCD 为梯形，其中AB ⎳CD ，AB =2CD ，M ，N 分别为AB ，CD 的中点，则结论正确的是()A.AC =AD +12ABB.CM =12CA +12CBC.MN =AD +14ABD.BC =AD +12AB23.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)如图所示设Ox ，Oy 是平面内相交成θθ≠π2 角的两条数轴，e 1 ，e 2 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系，若OM =x e 1 +y e 2，则把有序数对x ,y 叫做向量OM 的反射坐标，记为OM =x ,y ．在θ=23π的反射坐标系中，a =1,2 ，b =2,-1 ．则下列结论中，错误的是()A.a -b=-1,3B.a=3C.a ⊥bD.a 在b 上的投影向量为-3714b 24.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)下列说法中错误的是()A.若a ∥b ,b ∥c ，则a ∥cB.若a ⋅b =a ⋅c ．且a≠0，则b =cC.已知|a |=6,|b |=3,a ⋅b =12，则a 在b 上的投影向量是43bD.三个不共线的向量OA ,OB ,OC 满足OA ⋅AB |AB |+CA |CA | =OB ⋅BA |BA |+CB|CB |=OC ⋅BC |BC |+CA|CA |=0，则O 是△ABC 的外心25.(2022春·江苏淮安·高一统考期末)我国古代数学家早在几千年前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为作注时给出的，被后人称为赵爽弦图．赵爽弦图是数形结合思想的体现，是中国古代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若直角三角形的直角边的长度比为1:2，则下列说法正确的是()A.5AE =2DCB.AC ⊥EGC.AE ⋅DC =45BC2 D.AF =35AB +45AD26.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)直角△ABC 中，斜边AB =2，P 为△ABC 所在平面内一点，AP =12sin 2θ⋅AB +cos 2θ⋅AC(其中θ∈R )，则()A.AB ⋅AC的取值范围是(0,4) B.点P 经过△ABC 的外心C.点P 所在轨迹的长度为2D.PC ⋅(PA +PB )的取值范围是-12,0三、填空题27.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =0,5 ，b =1,2 ，则a 在b 上的投影向量的坐标为.28.(2022春·江苏南京·高一江苏省江浦高级中学校联考期末)在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，若AP ⋅AC=6，则AP =．29.(2022春·江苏宿迁·高一统考期末)已知向量a =(3,1),b =(0,-1),c =(k ,3)，若a -2b 与c 平行，则实数k =．30.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)点P 是边长为2的正三角形ABC 的三条边上任意一点，则|PA +PB+PC|的最小值为.31.(2022春·江苏南通·高一金沙中学校考期末)如图，正八边形ABCDEFGH 中，若AE =λAC+μAFλ，μ∈R ，则λ+μ的值为．32.(2022春·江苏南通·高一统考期末)如图，P 为矩形ABCD 边AB 中点，M ，N 分别在线段EF 、CD 上，其中AB =4，BC =3，AE =BF =1，若PM ⋅PN =4，则PM +PN的最小值为．四、解答题33.(2022春·江苏扬州·高一期末)在平面直角坐标系中，已知向量a (1,1),b (2, 1)．(1)求|3a -b|；(2)若m =2a -b ,n =ta +b ，m ⊥n ，求实数t 的值．34.(2022春·江苏常州·高一校联考期末)已知向量a=(2,-1),b =(1,x )．(Ⅰ)若a ⊥(a +b)，求|b |的值；(Ⅱ)若a +2b =(4,-7)，求向量a 与b夹角的大小．35.(2022春·江苏常州·高一统考期末)已知a ，b 为平面向量，且a =1,-2 .(1)若a ⊥b，且b =25，求向量b 的坐标；(2)若b =-3,2 ，且向量ka -b 与a +2b 平行，求实数k 的值.36.(2022春·江苏连云港·高一统考期末)已知向量a ，b 满足a =1，b =3，a -b=3,-1 ．求：(1)a +b ；(2)a +b 与a -b的夹角．37.(2022春·江苏苏州·高一江苏省昆山中学校考期末)已知平面向量a ，b ，满足a=2，b =1.(1)若a +b ⋅b =0，求向量a 与b的夹角；(2)若a ⋅b =32，函数f x =sin xa +cos xb ，求f π8的值.38.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a =3，1 ，a ⋅b=4．(1)当b =4，求a +b ;(2)求b 的最小值，并求此时向量a ，b 的夹角大小．39.(2022春·江苏南通·高一统考期末)已知向量a=2cos x ,sin x +2sin θ ，b =2sin x ,-cos x +2cos θ .(1)若a ∥b ，求cos x +θ ；(2)若θ=π4，函数f x =a ⋅b x ∈0,π ，求f x 的值域.40.(2022春·江苏无锡·高一统考期末)平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知e 1 ，e 2为两个夹角成60°的单位向量，OA =e 1 +3e 2 ，OB =5e 1 +e 2 .(1)求|AB |；(2)设OC =t e 1 ，问是否存在实数t ，使得△ABC 是以AB 为斜边的直角三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由.。
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(答案)
高一数学必修二《平面向量》单元综合测试卷(时间120分钟，满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．已知点A (0,1)，B (3,2)，向量AC →＝(－4，－3)，则向量BC →＝( )A ．(－7，－4)B ．(7,4)C ．(－1,4)D ．(1,4)【答案】 A2．设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋k b .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( )A ．－32B ．－53C ．53D ．32【答案】 A3．已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60°，则BD →·CD →＝( )A ．－32a 2B ．－34a 2C ．34a 2D ．32a 2 【答案】 D4．对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立．．．．的是( ) A ．|a·b |≤|a ||b | B ．|a －b |≤||a |－|b || C ．(a ＋b )2＝|a ＋b |2 D ．(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2【答案】 B5．已知非零向量a ，b 满足|b|＝4|a|，且a ⊥(2a ＋b )，则a 与b 的夹角为( )A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π6【答案】 C6．△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A ．|b |＝1B ．a ⊥bC ．a ·b ＝1D ．(4a ＋b )⊥BC →【答案】 D7．已知向量a ＝(2,1)，a·b ＝10，|a ＋b|＝50，则|b|＝( )A ．0B ．2C ．5D ．25【答案】 C8.已知AD ，BE 分别为△ABC 的边BC ，AC 上的中线，设AD →＝a ，BE →＝b ，则BC →等于( )A ．43a ＋23bB ．23a ＋43bC ．23a －43bD ．－23a ＋43b 【答案】 B9．设非零向量a ，b ，c 满足|a|＝|b|＝|c|，a ＋b ＝c ，则向量a ，b 的夹角为( )A ．150°B ．120°C ．60°D ．30°【答案】 B10．在矩形ABCD 中，AB ＝3，BC ＝1，E 是CD 上一点，且AE →·AB →＝1，则AE →·AC →的值为( )A ．3B ．2C ．32D ．33【答案】 B11．已知向量OA →＝(2,2)，OB →＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP →·BP →有最小值，则P 点坐标为( )A ．(－3,0)B ．(3,0)C ．(2,0)D ．(4,0)【答案】 B12．在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|·BC →＝0且AB →·AC →|AB →||AC →|＝12，则△ABC 是( ) A ．等边三角形 B ．直角三角形 C ．等腰非等边三角形 D ．三边均不相等的三角形【答案】 A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把正确答案填在题中横线上)13．已知向量a ＝(m,4)，b ＝(3，－2)，且a ∥b ，则m ＝________.【答案】 －614．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________．【答案】 －315．已知向量a ＝(1，－1)，b ＝(6，－4)．若a ⊥(t a ＋b )，则实数t 的值为________．【答案】 －516．在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.【答案】 12 －16三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17．(本小题满分10分)不共线向量a ，b 的夹角为小于120°的角，且|a|＝1，|b|＝2，已知向量c ＝a ＋2b ，求|c|的取值范围．【解】 |c|2＝|a ＋2b|2＝|a|2＋4a·b ＋4|b|2＝17＋8cos θ(其中θ为a 与b 的夹角)．因为0°<θ<120°，所以－12<cos θ<1，所以13<|c|<5，所以|c |的取值范围为(13，5)．18．(本小题满分12分)设OA →＝(2，－1)，OB →＝(3,0)，OC →＝(m,3)．(1)当m ＝8时，将OC →用OA →和OB →表示； (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，求实数m 应满足的条件．【解】 (1)m ＝8时，OC →＝(8,3)，设OC →＝λ1OA →＋λ2OB →，∴(8,3)＝λ1(2，－1)＋λ2(3,0)＝(2λ1＋3λ2，－λ1)，∴⎩⎨⎧ 2λ1＋3λ2＝8，－λ1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧ λ1＝－3，λ2＝143，∴OC →＝－3OA →＋143OB →. (2)若A ，B ，C 三点能构成三角形，则有AB →与AC →不共线，又AB →＝OB →－OA →＝(3,0)－(2，－1)＝(1,1)，AC →＝OC →－OA →＝(m,3)－(2，－1)＝(m －2,4)，则有1×4－(m －2)×1≠0，∴m ≠6.19．(本小题满分12分)设i ，j 是平面直角坐标系中x 轴和y 轴正方向上的单位向量，AB →＝4i －2j ，AC →＝7i ＋4j ，AD →＝3i ＋6j ，求四边形ABCD 的面积．【解】 因为AB →·AD →＝(4i －2j )·(3i ＋6j )＝3×4－2×6＝0，所以AB →⊥AD →.又因为AC →＝7i ＋4j ＝4i －2j ＋3i ＋6j ＝AB →＋AD →，所以四边形ABCD 为平行四边形，又AB →⊥AD →，所以四边形ABCD 为矩形，所以S 四边形ABCD ＝|AB →|×|AD →|＝16＋4×9＋36＝30.20．(本小题满分12分)已知a ，b ，c 在同一平面内，且a ＝(1,2)．(1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c ； (2)若|b |＝52，且(a ＋2b )⊥(2a －b )，求a 与b 的夹角． 【解】 (1)∵c ∥a ，∴设c ＝λa ，则c ＝(λ，2λ)．又|c |＝25，∴λ＝±2，∴c ＝(2,4)或(－2，－4)．(2)∵(a ＋2b )⊥(2a －b )，∴(a ＋2b )·(2a －b )＝0.∵|a |＝5，|b |＝52，∴a ·b ＝－52，∴cos θ＝a ·b |a ||b |＝－1，又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.21．(本小题满分12分)已知a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0＜β＜α＜π.(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值．【解】 (1)证明：由题意得|a －b |2＝2，即(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2＝2.又因为a 2＝b 2＝|a |2＝|b |2＝1，所以2－2a ·b ＝2，即a ·b ＝0，故a ⊥b .(2)因为a ＋b ＝(cos α＋cos β，sin α＋sin β)＝(0,1)，所以⎩⎨⎧cos α＋cos β＝0， ①sin α＋sin β＝1， ②由①得，cos α＝cos(π－β)，由0＜β＜π，得0＜π－β＜π.又0＜α＜π，故α＝π－β.代入sin α＋sin β＝1，得sin α＝sin β＝12，而α＞β，所以α＝5π6，β＝π6.22．(本小题满分12分)已知⊙O 的直径为10，AB 是⊙O 的一条直径，长为20的线段MN 的中点P 在⊙O 上运动(异于A ，B 两点)．(1)求证：AM →·BN →与点P 在⊙O 上的位置无关；(2)当MN →与AB →的夹角θ取何值时，AM →·BN →有最大值？【解】 (1)证明：∵AB 为⊙O 的直径，P 为圆上一点，∴AP ⊥BP ，∴AP →⊥BP →，即AP →·BP →＝0.∵P 为MN 的中点，且|MN →|＝20，∴MP →＝PN →，|MP →|＝|PN →|＝10，∴AM →·BN →＝(AP →＋PM →)·(BP →＋PN →)＝(AP →－PN →)·(BP →＋PN →)＝AP →·BP →＋AP →·PN →－PN →·BP →－PN →·PN →＝PN →·(AP →－BP →)－100＝12MN →·AB →－100，∴AM →·BN →仅与MN →，AB →的夹角有关，而与点P 在⊙O 上的位置无关．(2)由(1)得，AM →·BN →＝12MN →·AB →－100＝100cos θ－100. ∵0≤θ≤π，∴当θ＝0时，AM →·BN →取得最大值0.。
(完整版)平面向量综合检测、解析及答案
平面向量综合检测、分析及答案一、选择题：本大题共 12 小题，每题 5 分，共 60 分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的．1. 平面向量a与b的夹角为 60°，a＝(2,0)，|b| ＝1，则 | a＋2b| ＝ ()A. 3B．2 3C．4D．12分析： | a＋2b| ＝( a＋2b) 2＝4＋4＋4＝2 3.答案： B2. 已知 |a| ＝1，|b| ＝6，a·(b －a) ＝2，则向量 a 与 b 的夹角是 ()ππA. 6B. 4ππC. 3D. 2分析：由 a·(b－a)＝2得 a·b＝2＋1＝3＝6×cos<a，b>，∴cos<a，1b>＝2，又<a，b>∈[0，π]，π∴<a，b>＝3.答案： C3.一质点遇到平面上的三个力 F1、F2、F3( 单位：牛顿 ) 的作用而处于均衡状态．已知 F1、F2 成 60°角，且 F1、F2 的大小分别为 2 和 4，则 F3 的大小为()A．2 7B．2 5C．2D．6分析：由题意得 F1＋F2＋F3＝0.答案： A4.(2009 ·福建福州模拟 ) 把一颗骰子扔掷两次，并记第一次出现的点数为 a，第二次出现的点数为b，向量 m＝ (a ，b) ，n＝(1,2) ，则向量 m与向量 n 不共线的概率为 ()15A. 12B. 12711C.12D. 12分析： m 与 n 共线的情况共有三种： m ＝(1,2) ，m ＝(2,4) ，m ＝(3,6) ，3 11故 m 与 n 不共线的概率 P ＝1－36＝12.答案： D5. 已知向量 a ＝(λ2＋6和 j ＝(0,1) ，若 a ·j ＝－ 3，3 ，λ) ，i ＝(1,0)且向量 a 与 i 的夹角为 θ，则 cos θ 的值为 ()3 3A ．－ 2 B. 2 1 1 C ．－2 D. 2答案： Buuur uuur uuur uuur)6．四边形 ABCD 中，AB · BC ＝0，且 AB ＝ DC，则四边形 ABCD 是( A ．平行四边形 B ．矩形 C ．菱形 D ．正方形 uuuruuuruuur分析：由AB ＝可知为平行四边形，由 AB ·BC ＝0 知∠＝DCABCDABC90°，故 ABCD 为矩形．答案： B7．设 a 与 b 是两个不共线向量，且向量a ＋λb 与－ (b －2a) 共线，则λ＝ ( )1A ．0B ．－ 21C ．－ 2D.2分析：由题意得 a ＋λb ＝－ k ( b －2a ) ∴2k ＝1,，＝－ k1∴λ＝－ 2. 答案： B8. 设向量 a ，b 知足： |a| ＝3，|b| ＝4，a ·b ＝0，以 a ，b ，a －b 的模为第2页共 8页分析：三角形的内切圆半径为 1，将圆平移，最多有 4 个公共点． 答案： B9．设 a ，b ，c 是非零向量，以下命题中正确的选项是 ( )A ．( a ·b ) ·c ＝a ·(b ·c )B ．| a －b | 2＝| a | 2－2| a || b | ＋| b | 2C ．若 | a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°D ．若 | a | ＝| b | ＝| a －b | ，则 a 与 b 的夹角为 60°分析：A 、B 明显不正确． 由平行四边形法例可知， 若| a | ＝| b | ＝| a ＋b | ，可知 <a ，b >＝120°，故 C 不正确．答案为 D.答案： D10. 设 a 、b 、c 是单位向量，且 a ·b ＝0，则 (a －c) ·(b －c) 的最小值为()A ．－ 2B. 2－2C ．－ 1D ．1－ 2分析：( a －c ) ·(b －c ) ＝a ·b －b ·c ＋c 2－a ·c ＝1－( a ＋b ) · c ，又 a ·b＝0，| a | ＝| b | ＝1，∴|a ＋b | ＝ 2.设 a ＋b 与 c 的夹角为 θ，则上式＝ 1－2cos θ当 cos θ＝1 时( a －c ) ·(b －c ) 获得最小值 1－ 2. 答案： Duuur uuuruuur11．点 O 在△ABC 内部且知足 OA ＋2 OB ＋2 OC＝0，则 △ABC 的面积与△OBC 的面积之比为 ( )5A.4 B ．3 C ．4 D ．5uuuruuuruuur1 uuuruuur1 uuur分析：由 OA ＋2 OB ＋2OC ＝0，∴2( OB ＋ OC ) ＝4AO ，∴△ABC△OBC底边 BC 的高之比为 5 1，∴ S △ABC S △OBC ＝5 1.答案： D12．在直角 △ABC 中，CD 是斜边 AB 上的高，则以下等式不建立的是( )uuur2uuuruuurA ．| AC | ＝AC· AB uuur2uuuruuurB ．|BC | ＝BA · BCuuur 2uuuruuurC ．| AB | ＝AC · CDuuurD ．| CD |uuur uuuruuur uuur2 （ACgAB ）（BA gBC ） ＝uuur 2ABuuur uuur uuur分析：∵AB ·AC ＝| ACuuur uuur uuur uuur（AC gAB ）（BA gBC ）同理：uuur 2AB| 2 uuuruuur 2，故 B 建立．故 A 建立，又 BA ·BC ] ＝| BC |uuur uuurACBA＝uuur 2ABuuuruuur uuuruuur又| AC |·|BC | ＝| AB || CD |uuuruuuruuuruuur uuuruuur 2ACACuuur 2∴|CD |2 ＝uuur2，故 D 也正确．，又AC ·CD ＝| CD≠|| ，故AB AB选 C.答案： Cm13．设两个向量 a ＝( λ＋2，λ2－cos2α) 和 b ＝(m ，2＋sin α) ，此中λλ， m ，α 为实数，若 a ＝2b ，则 m 的取值范围是 ()A ．[ －6,1]B ．[4,8]C ．[ －1,1]D ．[ －1,6]＋ ＝①,分析：由 a ＝2b 知2 2m,2－2＝ ＋ ②)cos m 2sin , ＝2m －2,∴2－m ＝ cos 2 ＋2sin又 cos 2α＋2sin α＝－ (sin α－1) 2＋2∴－ 2≤cos 2 α＋2sin α≤2，即－ 2≤ λ2－m ≤2，由 λ＝2m －22 1 －2≤(2 m －2) －m ≤2，得 4≤m ≤2λ 2m －22∴＝＝2－ ∈[ －6,1] ． mm m答案： A二、填空题：本大题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分．把答案填在题中横线上．uuur uuur uuur uuuruuuur14．在? ABCD 中， AB ＝a ，AD ＝b ，AN＝3 NC ，M 为 BC 的中点，则 MNuuur uuur分析：由 AN ＝3 NC 得 4 AN ＝3 AC ＝3( a ＋b ) ．uuuur1AM ＝a ＋2b ，uuuur 3111∴ MN ＝4( a ＋b ) －( a ＋2b ) ＝－ 4a ＋4b .1 1答案：－ 4a ＋4b711715．向量 c 与 a ＝( 2，2) ，b ＝( 2，－ 2) 的夹角相等，且 |c| ＝1，则 c ＝________.x2＋ 2＝分析：设 c ＝( x ，y ) ，由题意得：y 1,得 ＝bgcagcx= 4 , x=-455 ,y= 3 y=- 355434 3答案： ( 5，－ 5) 或( －5，5)16．已知点 G 为△ABC 的重心，过 G 作直线与 AB 、AC 两边分别交于 M 、Nuuuur uuur uuur uuur 1 1两点，且 AM ＝xAB ， AN ＝ y AC ，则 ＋ ＝________.xyuuur1 uuuruuur1 1 uuuur1 uuur1分析： AG ＝3( AB ＋ AC ) ＝3( x AM ＋y AC ) ，∵M 、N 、G 三点共线， ∴3x11 1＋3y ＝1，即 x ＋y ＝3.答案： 317. 如图，在平面斜坐标系 xOy 中， ∠xOy ＝60°，平面上任一点 P 在斜uuur OPuuur轴方向同样的单位向量 ) ，则点 P 的斜坐标为 (x ，y) ．若点 P 知足 |OP| ＝1，则点 P 在斜坐标系 xOy 中的轨迹方程是 ________．uuuruuur22122又| OP | ＝1，∴ x ＋y ＋2xy ×2＝1，即 x ＋y ＋xy ＝1. 答案： x2＋y2＋xy ＝1三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．uuur uuur uuur uuur uuur18．(10 分) 在△ ABC 中， AB · AC ＝ | AB － AC | ＝2，求|AB|2 ＋| AC|2. 解：由题意可知uuur uuuruuurABgAC 2uuur 2 uuur2＝8.2 uuur uuur uuur 得| AB | ＋| AC| AB2 ABgAC AC 4uuuruuuruuuruuur uuur19．(12 分) 如图 |OA| ＝|OB|＝1，| OC|＝3，∠AOB ＝60°，OB ⊥ OC.uuuruuuruuur设 OC ＝x OA ＋y OB，求 x 、y 的值．uuur uuur uuur解： ∵ OC ＝x OA ＋y OB uuur 2uuur uuur uuur uuur①∴ OB · OC ＝x OA · OB＋y OBuuur 2uuur uuur uuuruuurOC ＝x OA· OC ＋y OB · OC ②将①②联立得12x ＋y ＝0332×( － 2 ) x ＝3 得 x ＝－2,y ＝1π20．(12 分 ) 已知 a ，b 知足 |a| ＝3，|b| ＝ 1，a 与 b 的夹角为 3 ，求 2a＋3b 与 a －b 的夹角的余弦值．1 3解： ∵a ·b ＝| a || b |cos< a ，b >＝3×1× 2＝2又(2 a ＋3b ) 2＝4a 2＋9b 2＋12a ·b ＝36＋9＋18＝63， ∴|2 a ＋3b | ＝3 7.同理可得 | a －b | ＝ 7 ∵ (2 a ＋3b ) ·(a －b ) ＝2a 2＋a ·b －3b 23 33 ＝18＋2－3＝ 2＋ · －333b )211(2 a( a b ) ＝∴cos 〈 (2 a ＋3b ) ，( a －b ) 〉＝a －b | ＝ .|2 a ＋3b ||37·7 1421．(12 分) (2009 ·上海 ) 已知 △ABC 的角 A 、B 、C 所对的边分别为 a ，b ，c ，设 m ＝(a ，b) ，n ＝(sinB ，sinA) ，p ＝(b －2，a －2)(1) 若 m ∥n ，求证 △ABC 为等腰三角形；π(2) 若 m ⊥p ，边长 c ＝2，∠C ＝ 3 ，求 △ABC 的面积． 解： (1) 证明：∵ m ∥n ，∴ a sin A ＝b sin B .由正弦定理得 a 2＝b 2，a ＝b ，∴△ ABC 为等腰三角形． (2) ∵m ⊥p ，∴ m ·p ＝0. 即 a ( b －2) ＋b ( a －2) ＝0 ∴a ＋b ＝ab由余弦定理得 4＝a 2＋b 2－ab ＝( a ＋b ) 2－3ab 即( ab )2－3ab －4＝0，∴ ab ＝4 或 ab ＝－ 1( 舍)11 π∴S △ABC ＝2ab sin C ＝2×4×sin 3 ＝ 3.uuur uuuruuur22．(12 分) 已知 OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝ (6 ，－ 3) ， OC＝(5 －m ，－ 3－m)．(1) 若点 A 、B 、C 不可以组成三角形，务实数 m 知足的条件；(2) 若△ABC 为直角三角形，务实数 m 的值．解： (1) uuur uuur∵ OA ＝(3 ，－ 4) ， OB ＝(6 ，－ 3)uuurOC ＝(5 －m ，－3－m ) ．若 A 、B 、C 三点不可以组成三角形， 则这三点共线，uuur∵ AB ＝(3,1)uuur1AC ＝(2 －m,1－m ) ，∴ 3(1 － m ) ＝2－m ，得 m ＝2(2) ∵△ ABC 为直角三角形．uuuruuur7若∠ A ＝90°，则 AB · AC ＝0，∴ 3(2 － m ) ＋(1 －m ) ＝0，得 m ＝4.uuuruuuruuur若∠ B ＝90°，则 AB · BC ＝0，又 BC ＝( －1－m ，－ m )3∴ 3( －1－m ) ＋( －m ) ＝0 得 m ＝－ 4.uuur uuur若∠ C ＝90°，则 BC ⊥ AC .1± 5∴(2 －m ) ·( － 1－m ) ＋(1 －m ) ·( －m ) ＝0，得 m ＝2731±5综上得 m＝4或 m＝－4或 m＝223．(12 分) 已知 a＝(1,2) ，b＝( －2,1) ，k、t 为正实数， x＝a＋(t2 ＋1 11)b ，y＝－k a＋t b(1)若 x⊥y，求 k 的最大值；(2)能否存在 k、t ，使 x∥y？若存在，求出 k 的取值范围，若不存在，说明原因．解： x＝a＋( t 2＋1) b＝(1,2)＋( t 2＋1)(－2,1)＝(－2t2－1，t2＋3)1111y＝－k a＋t b＝－k(1,2)＋t(－2,1)1 2 2 1＝( －k－t，－k＋t )2 1 22 2 1(1) 若x⊥y，则x·y＝ 0，即：( －2t－1) ·( －k－t ) ＋( t＋3)( －k＋t )＝0t111整理得：k＝t2＋1＝1≤2(当且仅当t＝t即t＝1时“＝”建立)故k maxt＋t1＝2.(2)假定存在正实数 k、t ，使 x∥y，则221212( －2t－1)(－k＋t ) －( t＋3)( －k－t ) ＝0t 2＋113整理得k＋t＝0，即t＋t ＋k＝0∵k、t 为正实数，故知足上式的k、t 不存在．即不存在这样的正实数k、t 使 x∥y.。
(完整)高一数学平面向量综合测试题
高一数学平面向量综合测试题一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．)→→→1．已知o、a、b是平面上的三个点，直线ab上有一点c，满足2ac＋cb＝0，则oc等于()2→1→1→2→→→→→a．2oa－obb．－oa＋2obc.oa－obd．－oa＋ob333322．已知平面向量a＝(x,1)，b＝(－x，x)，则向量a＋b()a．平行于x轴b．平行于第一、三象限的角平分线c．平行于y轴d．平行于第二、四象限的角平分线→→→3．设p是△abc所在平面内的一点，bc＋ba＝2bp，则()→→→→→→→→→a.pa＋pb＝0b.pc＋pa＝0c.pb＋pc＝0d.pa＋pb＋pc＝04．设向量a＝(3，b为单位向量，且a∥b，则b＝() 11311131a．(，－或(－)b．(，c．(，－d．()或(，－222222222222→→→5．已知a、b是以原点o为圆心的单位圆上两点，且|ab|＝1，则ab·oa等于()11a.b．－c.d．－2222a·b6．若a＝(x,1)，b＝(2,3x)，则()|a|＋|b|22a．(－∞，2b．[0，]c．[－d．[22，＋∞)4447．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(4，y)，若a⊥b，则9x＋3y的最小值为()a．2b．6c．12d．38．已知向量a＝(2cosα，2sinα)，b＝(3cosβ，3sinβ)，a与b的夹角为60°，则直线xcosα1122－ysinα＋＝0与圆(x－cosβ)＋(y＋sinβ)的位置关系是()22a．相离b．相切c．相交d．随α，β的值而定9．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()πππ2ππa．[0，b．[π]c．[d．[，π]63336→→→→10．已知三点a(2,3)，b(－1，－1)，c(6，k)，其中k为常数．若|ab|＝|ac|，则ab与ac的夹角的余弦值为()24242424a．－b．0或c.d．0或－25252525→→→→→11．若o为平面内任一点且(ob＋oc－2oa)·(ab－ac)＝0，则△abc是()a．直角三角形或等腰三角形b．等腰直角三角形c．等腰三角形但不一定是直角三角形d．直角三角形但不一定是等腰三角形12．平面向量也叫二维向量，二维向量的坐标表示及其运算可以推广到n(n≥3)维向量，n维向量可用(x1，x2，x3，x4，…，xn)表示．设a＝(a1，a2，a3，a4，…，an)，b＝(b1，b2，nb3，b4，…，bn)，规定向量a与b夹角θ的余弦为cosθ＝∑aibii＝1ni12ni12已知n维向量a，b，∑ai∑bi＝＝当a＝(1,1,1,1，…，1)，b＝(－1，－1,1,1,1，…，1)时，cosθ等于()n－1n－3n－2n－4a.b.c.d.nnnn二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上)13．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)，若(a －c)∥b，则k＝________.14．若平面向量a，b满足|a＋b|＝1，a＋b平行于x轴，b＝(2，－1)，则a＝________.→→→2215．(2010·山东枣庄)已知直线x＋y＝a与圆x＋y＝4交于a、b两点，且|oa＋ob|＝|oa→－ob|，其中o为坐标原点，则实数a的值为________．16．(2010·江苏南通二模)如图，正六边形abcdef中，p是△cde内(包括边界)的动点．设→→→ap＝αab＋βaf(α，β∈r)，则α＋β的取值范围是________．三、解答题(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(10分)(2010·江苏卷，文)在平面直角坐标系xoy中，已知点a(－1，－2)，b(2,3)，c(－2，－1)．(1)求以线段ab、ac为邻边的平行四边形的两条对角线的长；→→→(2)设实数t满足(ab－toc)·oc＝0，求t的值．18．(12分)已知a＝(1,2)，b＝(1,1)，且a与a＋λb的夹角为锐角，求实数λ的取值范围．ππ19．(12分)(2010·盐城一模)已知向量a＝(sinθ，，b＝(1，cos θ)，θ∈(．22(1)求a⊥b，求θ；(2)求|a＋b|的最大值．－1120．(12分)已知向量a＝(，，b＝(2，cos2x)．sinxsinxπ(1)若x∈(0，，试判断a与b能否平行？2π(2)若x∈(0，，求函数f(x)＝a·b的最小值．321．(12分)若a，b是两个不共线的非零向量，t∈r.1(1)若a，b起点相同，t为何值时，a，tb(a＋b)三向量的终点在一直线上？3(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，t为何值时，|a－tb|的值最小？22．(12分)在△abc中，a、b、c的对边分别是a、b、c，且满足(2a－c)cosb＝bcosc.(1)求b的大小．(2)设m＝(sina，cos2a)，n＝(4k,1)(k>1)，且m·n的最大值是5，求k。
(完整版)平面向量综合练习题.doc
一、选择题1．下列命题中正确的是 ( )→ → → A. OA － OB ＝ AB → → B.AB ＋BA ＝ 0→C ．0·AB ＝0 → → → → D.AB ＋ BC ＋ CD ＝ AD考点 向量的概念 题点 向量的性质 答案 D解析 起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量， → → → → →OA －OB ＝ BA ；AB ，BA 是一对相反向量，它们的和应该为零向量，→ → →AB ＋BA ＝ 0； 0·AB ＝ 0.2．已知 A ， B ，C 三点在一条直线上，且 A(3，－ 6)， B(－ 5,2)，若 C 点的横坐标为 6，则 C点的纵坐标为 ( )A ．－ 13B ． 9C ．－ 9D ． 13考点 向量共线的坐标表示的应用 题点 已知三点共线求点的坐标 答案 C解析→→设 C 点坐标 (6， y)，则 AB＝ ( －8,8)， AC ＝ (3， y ＋ 6)．3y ＋ 6∵ A ， B ， C 三点共线， ∴ －8＝ 8 ， ∴ y ＝－ 9.3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形 ABCD 是平行四边形， → →AB ＝(1，－ 2)，AD ＝ (2,1) ， → → 则 AD ·AC 等于 () A ． 5 B ． 4 C ． 3 D ． 2考点 平面向量数量积的坐标表示与应用 题点 坐标形式下的数量积运算 答案 A解析→ → →→ → ∵ 四边形 ABCD 为平行四边形， ∴ AC ＝ AB ＋ AD ＝ (1，－ 2)＋ (2,1) ＝ (3，－ 1)，∴ AD ·AC＝ 2× 3＋ (－ 1)× 1＝ 5.4． (2017 ·宁大连庄河高中高一期中辽 )已知平面向量a ＝ (1，－ 3)，b ＝ (4，－ 2) ，a ＋ λb 与 a垂直，则λ等于 ( )A ．－ 2 B． 1C．－ 1 D． 0考点向量平行与垂直的坐标表示的应用题点已知向量垂直求参数答案 C解析a＋λb＝(1＋ 4λ，－ 3－ 2λ)，因为 a＋λb 与 a 垂直，所以 (a＋λb) ·a＝0，即 1＋4λ－ 3(－ 3－ 2λ)＝ 0，解得λ＝－ 1.5．若向量 a 与 b 的夹角为60°， |b|＝ 4，( a＋2b) ·(a－ 3b) ＝－ 72，则向量 a 的模为 ()A ． 2 B． 4C．6 D． 12考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点利用坐标求向量的模答案 C解析因为 a·b＝ |a| ·|b| ·cos 60 °＝ 2|a|，所以 (a＋2b) ·(a－3b)＝|a|2－ 6|b|2－a·b＝|a|2－ 2|a|－96＝－ 72.所以 |a|＝ 6.6．定义运算 |a× b|＝ |a| ·|b| ·sin θ，其中θ是向量 a，b 的夹角．若 |x |＝ 2， |y|＝ 5， x·y＝－ 6，则|x× y|等于 ( )A ． 8 B．－ 8C．8 或－ 8 D． 6考点平面向量数量积的概念与几何意义题点平面向量数量积的概念与几何意义答案 A解析∵ |x|＝ 2， |y|＝5， x·y＝－ 6，∴ cos θ＝x·y －6＝－3＝|x| |y|· 2×5 5.4又θ∈ [0，π]，∴ sin θ＝5，∴|x×y|＝ |x| ·|y| ·sin θ＝ 2× 5×45＝8.→→→7．如图所示，在△ ABC 中，AD ＝ DB，AE＝ EC，CD 与 BE 交于点 F .设 AB＝ a，AC＝ b，AF ＝xa＋ yb，则 (x， y)为 ()1， 1B. 2，2A. 2 2 3 31， 1D. 2， 1C. 3 3 3 2 考点平面向量基本定理的应用题点利用平面向量基本定理求参数答案 C解析→→令 BF.由题可知，→→→→→AF＝ AB ＋ BF＝ AB＋λBE→ 1 →→→ 1 →＝ AB＋λ2AC －AB ＝(1－λ)AB＋2λAC.→→令 CF ＝μCD，→→→→→则 AF ＝ AC＋ CF ＝ AC＋μCD→ 1 →→ 1 →→＝ AC＋μ2AB －AC ＝2μAB ＋ (1－μ)AC.→→因为 AB 与 AC不共线，1 2所以1－λ＝2μ，解得λ＝3，1 22λ＝1－μ，μ＝3，→ 1 → 1 →所以 AF ＝3AB ＋3AC，故选 C.二、填空题8．若 |a|＝ 1， |b|＝ 2，a 与 b 的夹角为60°，若 (3a＋ 5b)⊥ (ma－ b)，则 m 的值为 ________．考点平面向量数量积的应用题点已知向量夹角求参数23答案8解析由题意知 (3a＋ 5b) ·(ma－ b)＝ 3ma2＋ (5m－ 3)a·b－5b2＝ 0，即 3m＋ (5m－ 3)×2× cos 60 °23－ 5× 4＝ 0，解得 m＝8 .→→→9．若菱形 ABCD 的边长为2，则|AB－CB＋CD|＝ ________.考点题点答案解析向量加、减法的综合运算及应用利用向量的加、减法化简向量2→→→→→→→→→|AB－CB＋CD|＝ |AB＋BC＋CD |＝ |AC＋CD |＝|AD|＝2.10．已知向量a， b 夹角为 45°，且 |a|＝ 1， |2a－ b|＝10，则 |b|＝ ________.考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案3 2解析因为向量a， b 夹角为 45°，且|a|＝1， |2a－ b|＝ 10.所以4a2＋ b2－ 4a·b＝10，化为 4＋ |b|2－ 4|b|cos 45 ＝°10，化为 |b|2－ 22|b|－ 6＝0，因为 |b|≥ 0，解得 |b|＝ 3 2.11．已知 a 是平面内的单位向量，若向量 b 满足 b·(a－ b) ＝0，则 |b|的取值范围是________．考点平面向量数量积的应用题点利用数量积求向量的模答案[0,1]解析b·(a－ b)＝ a·b－|b|2＝ |a||b|cos θ－ |b|2＝ 0，∴|b|＝ |a|cos θ＝ cos θ(θ为 a 与 b 的夹角，θ∈ 0，π2)，∴0≤ |b|≤ 1.三、解答题→→12． (2017 四·川宜宾三中高一月考)如图，在△ OAB 中， P 为线段 AB 上一点，且 OP＝xOA＋→ yOB.→ →(1)若 AP ＝ PB ，求 x ， y 的值；→ → → →→ → → →(2)若 AP ＝ 3PB ， |OA|＝ 4， |OB|＝ 2，且 OA 与 OB 的夹角为 60°，求 OP ·AB 的值．考点 平面向量数量积的概念与几何意义 题点 平面向量数量积的概念与几何意义 解→ → →1 → 1 →(1) 若 AP＋ ，＝ PB ，则 OP ＝2OA 2OB1故 x ＝ y ＝ 2.→ →(2)若 AP ＝ 3PB ，→→ ＋ 3 → ，则 OP ＝14OA 4OB→ → 1 → ＋ 3 → → →)＝ OA OB · － OA4 4(OB1 → 1 → →3 →＝－ 4OA 2 －2OA ·OB ＋4OB 2＝－ 1× 42－ 1× 4× 2× cos 60 °＋ 3× 224 24＝－ 3.→→θ， 2cos θ)，其中 θ∈ 0， π→13．若 OA ＝ (sin θ，－ 1)， OB ＝ (2sin，求 |AB|的最大值．2 考点 平面向量模与夹角的坐标表示的应用题点 利用坐标求向量的模解 → → →θ＋ 1)， ∵AB ＝OB － OA ＝ (sin θ， 2cos ∴→sin 2θ＋ 4cos 2θ＋ 4cos θ＋ 1 |AB|＝＝ 3cos 2 θ＋ 4cos θ＋ 2＝3 cos θ＋ 2 2＋ 2，33→∴ 当 cos θ＝ 1，即 θ＝ 0 时， |AB|取得最大值 3.四、探究与拓展→ → → → →14．在△ ABC 中，点 O 在线段 BC 的延长线上，且 |BO|＝3|CO|，当 AO ＝ xAB ＋ yAC 时， x －y＝ ________.考点 向量共线定理及其应用 题点 利用向量共线定理求参数 答案 － 2解析 →→ →→，由 |BO|＝ 3|CO|，得 BO ＝ 3CO→3 →则 BO ＝ 2BC ，→→ →→ 3 → → 3 → →所以 AO ＝ AB ＋ BO ＝ AB ＋2BC ＝ AB ＋ 2(AC － AB) 1 → 3 →＝－ 2AB ＋2AC .1 31 3所以 x ＝－ 2， y ＝2，所以 x － y ＝－ 2－2＝－ 2.→ → →15．已知 OA ＝ (1,0) ， OB ＝ (0,1) ， OM ＝ (t ， t)(t ∈ R )，O 是坐标原点． (1)若 A ，B ， M 三点共线，求 t 的值；→ →(2)当 t 取何值时， MA ·MB 取到最小值？并求出最小值．考点 向量共线的坐标表示的应用题点 利用三点共线求参数→ → →解(1)AB ＝ OB － OA ＝ (－ 1,1)，→ → →AM ＝OM － OA ＝( t － 1， t)．→ →∵ A ， B ， M 三点共线， ∴ AB 与 AM 共线，1∴ － t － (t － 1)＝ 0， ∴t ＝ .→→→ → 1 1 (2)∵ MA ＝ (1－t ，－ t)，MB ＝ (－ t,1－ t)，∴MA ·MB ＝ 2t 2－ 2t ＝ 2 t －22－ ，故当21 → →t ＝ 2时，MA ·MB1取得最小值－ 2.。
平面向量综合测试附答案
高一下单元综合测试平面向量分钟）（满分150分，时间120 5分，共60分）一、选择题（每小题AB下列结果是1.的是CFMNACBFMBAM B.－+ A.+－CBDCBCFCABAD－+ + C. D. －B答案：）等于·（2a+5b），b=（－2，－1，则（3a+2b）2.已知a=（1，3）510B.55+6 －95 A.10D.205 C.15C答案：ABC是c=acosB，则△3.在△ABC中，已知b=asinC， B.直角三角形 A.等腰三角形D.等腰直角三角形 C.等边三角形D答案： 4.下列命题中，是真命题的是）方向相同=（4，－105A.a=（－2，）与b）方向相反=（－2，－5B.a=（4，10）与b）方向相反（－2，－51C.a=（－3，）与b= ）的夹角为锐角（－3，1a=（2，4）与b=D.B答案：的⊥b，则实数k=k e－4e，若a与5.设ee是互相垂直的单位向量，且a=2e+3e，b221112值为3 D.－ C.3 6 A.－ B.6A答案：|等于120°，则|2a+ba6.设|a|=1，|b|=2，且与b的夹角为D.3 C.2 A.2 B.4A答案：2222的值是=4，则0=（－2，）平移后，得到曲线xm+2曲线7.xy+2ymx－2=0按a4 D.－－2 C.4 A.2 B.A答案：，则实b=c p a+q2，c=（3，－），用a、b作基底表示为1=2=8.设a（－1，），b（1，－）的值为数p、q=0 q，=4 D.p=1，，，A.p=4q=1 B.p=1q=4 C.p=0qB答案：MCMBMA等于+ －、、的中点是、、，的重心为设△9.ABCMBCCAABDEF，则304 ——．MFMDME D.4 4 A.0 B.3 C.－D答案：的关系是10.向量a与－a 不一定相交° D.C. A.垂直 B.平行相交成60B答案：13 |的最大值为－4b，θcosθ，sin），b=（|3k），则a设11.a=（27D.1C. A.49 B.7B答案：的值为n，则xn12.已知m=（3，2），=（x，4），m∥88 D. A.6 B.－6C.－33A答案：20分）二、填空题（每小题5分，共13_________. 13.已知|a|=3，|b|=4，|a－b的夹角为|=，则a与bπ答案：35=__________. 设|a|=2a，b=（－1，3），若a⊥b，则14.2222）或（－）3，答案：（，－3MM的坐标，－M（21），点M，则点分2M的比为λ=－415.若有点M（，3）和2121______________. 为答案：（0，－5）OAOCOB三点共线，且B、，C=（5，－1），若A16.设、=（－2，m），）=（n，1___________.n的值是OA⊥OB，则m+9或答案：92分）三、解答题（17题10分，18~22题每小题12分，共70BCAB. ）e，CD=3（e和17.设两个非零向量ee－不共线，如果e=+ee，=2e+821221121;）求证：A、B、D三点共线（1. 共线+ekek（2）试确定实数k的值，使e+e和2211CDBCABBD）证明：∵+5e==5+，=5e1（21BDAB共线.又B为公共点，∴A与、B、D三点共线∴.?,?k?）+=+）解：∵keeλ（eke，∴2（?2211??k?1.?305 ——．1.±解得k=. +b）的夹角|=|18.非零向量a和b满足|ab|=|a－b|，求a与（a b|，得解：设a与（a+b）的夹角为θ，由|a|=|b|=|a－1222222. －2a·b，故a+|b|||a|a|·=|b|b=|a－b|=|a|=222223.|=ba，∴|a|+2a·b=3||而|a+ba=|a|++|b|122?||a|a|3)?ba?(a2.??=cosθ因此，2a?b||a||aa||3||. °°，故又0°≤θ≤180θ=30、=4.B、C所对的边分别为a、b、c，b又a=219.在△ABC中，已知A>B>C，且AC，A、.b、c成等差数列，求a、c的长caca.?? =2C解：由正弦定理得，∴，又ACsinCsinCsin2Asin222aca?3a?c?aa2?45?c.???8,?cosC?c. a??2b?=∴cosCc4a22c8aa1624. a==，c可得2a=3c，与a+c=8联立，解得55OAOP，=、20.经过△ABO的重心G的直线与OAOB两边分别交于P、Qm两点，设11OB?OQ. 的值=n，求·nm11OAOGOBPGOPOG==ab，－=（a+b）－m a=解（a+b），则，：设==3311PG PQ b，使，即=nλ线、Q三点共，所以存在实数λ（Pm－）a+b.因、G331??,??(?m)m?11?3有］.于是+m a=λ[(－m)ab－?133??.n??3?11?=3. λ，得消去nm，位向量互相垂直的单i△、B是ABC的两个内角，、j是A21.已知253BA?A?B|=，试求tanmA·tanB.i =cosm+sin j，若|2422解：∵i·j=0，|i|=|j|=1，A?B5A?B2?sin222∴|m|=m=cos 242306 ——．9)?cos(A?B1?cos(A?B)51.??? =8422，A（－B）=5cos（A+B）∴4cossinB.AAsinB=5cosAcosB－5sin+4sin4cosAcosB 中，sinA·sinB≠0，sin∴9sinA·B=cosA·cosB.又△ABC1. =tanB∴tanA·∴cosA·cosB≠0.9的65－22.在某海滨城市附近海面有一台风，据监测，当前台风中心位于城市O，如图2°方300 km海平面P处，并以20 km/h（东偏南θθ的速度向西偏北=arccos45）方向10的速度不断增大，问：10 km/h向移动，台风侵袭区域为圆形，当前半径为600 km，并以.几小时后该城市开始受到台风侵袭，kmt+60）t解：如图5－7，设时刻台风中心为Q，此时台风侵袭的圆形区域半径为（10+60.tOQ≤10O若在t时刻城市受到台风侵袭则北O东?海岸线Q.5°4 P7图5－由余弦定理，知222. PQOPQ+·POPO－2PQcosOQ= t=20，由于PO=300，PQ °）－45θcosOPQ=cos（°θsin45=cosθcos45°+sin42222?1???. ==252102104222××20t×故OQ=（20t）300+300－2 5222.+300=209600tt－222220. 36－t+288≤20因此，+300t－9600tt≤（10+60），即t24. ≤∴－t24）≤0.12≤t（12t∴（－）故经过12.小时后，台风开始袭击该城市307 ——．。
平面向量的应用综合练习题
平面向量的应用综合练习题在平面向量的学习中，我们不仅需要掌握向量的基本概念和运算规律，还需要灵活运用向量解决实际问题。
本文将通过一系列综合练习题来巩固和应用平面向量的知识。
题目1：若向量A = 2A− A + 3A，A = A + A，A = 3A− 2A + 4A，求向量A = 2A + 3A− A的模长。
解析：首先，根据向量的加法和数乘定义，我们可以得到向量A的表达式为A = 2A + 3A− A = 2(2A− A + 3A) + 3(A + A) − (3A− 2A + 4A) = 3A + 4A− A。
接下来，我们通过向量的模长公式计算向量A的模长，即|A| =√(AA² + AA² + AA²) = √(3² + 4²+ (−1)²) = √26。
综上所述，向量A的模长为√26。
题目2：已知向量A = 3A + A，A= −2A− 4A，求向量A满足2A + A = 3A的坐标表示。
解析：设向量A的坐标表示为A = AA + AA，其中A、A为待求常数。
根据题意，我们可以列出线性方程组2A + A = 3A的坐标表示表达式，即2(3A + A) + (AA + AA) = 3(−2A− 4A)。
化简得到(6 + A)A + (2 + A)A= (−6A− 12A)。
由向量的相等定义可知，两边的A和A的系数相等，即A + 6 = −6，A + 2 = −12。
解得A = −12，A = −14。
因此，向量A的坐标表示为A= −12A− 14A。
题目3：平面上有三点A(1, 2)，A(−3, −4)，A(5, −1)，求向量AA和向量AA的夹角。
解析：首先，根据两点确定一向量的公式，我们可以求得向量AA和向量AA的坐标表示为AA= (−3 − 1, −4 − 2) = (−4, −6)，AA= (5 − 1,−1 − 2) = (4, −3)。
期末专题03 平面向量小题综合解析版
故选：C.
7．（2022 春·河北石家庄·高一校考期末）已知向量 ⃗ = (2, −3)，⃗ = ( , 6)，且 ⃗// ⃗，则| ⃗|＝
（）
A．3√13
B．2√13
C．117
D．52
【答案】B
【分析】由已知，根据条件给的向量 ⃗ = (2, −3)，⃗ = ( , 6)，借助 ⃗// ⃗可以求解出 x 的值，
期末专题 03 平面向量小题综合
一、单选题 1．（2022 春·湖南长沙·高一长沙县实验中学统考期末）如图，在四边形 ABCD 中，若 ⃗ = ⃗， 则图中相等的向量是（ ）
A． ⃗与 ⃗
B． ⃗与 ⃗
C． ⃗与 ⃗
D． ⃗与 ⃗
【答案】C
【分析】利用向量相等的定义即可判断出图中相等的向量.
【详解】由 ⃗ = ⃗，可得四边形 ABCD 为平行四边形. 选项 A： ⃗与 ⃗互为相反向量，判断错误；
选项 B： ⃗与 ⃗互为相反向量，判断错误；
选项 C： ⃗与 ⃗满足向量相等的定义，判断正确；
选项 D： ⃗与 ⃗方向不同不满足向量相等的定义，判断错误.
故选：C
2．（2022 春·湖南长沙·高一长郡中学校考期末）已知 ⃗ = ⃗ + 5 ⃗, ⃗ = −2 ⃗ + 8 ⃗, ⃗ = 3( ⃗ − ⃗)，则（ ）
A．若 ⃗// ⃗，则 ⃗ = ⃗
B．若 ⃗ + ⃗ = | ⃗| + ⃗ ，则 ⃗// ⃗
C．若 ⃗// ⃗， ⃗// ⃗，则 ⃗// ⃗
D．若| ⃗| = ⃗ ，则 ⃗ = ⃗
【答案】B
【分析】根据相等向量的性质和向量平行的判定即可得出答案.
【详解】对于选项 A：若 ⃗、 ⃗为非零向量，⃗// ⃗，但| ⃗|不一定等于 ⃗ ，故 ⃗ = ⃗不成立，A
平面向量综合练习题
高三数学平面向量综合练习题一、选择题1、设平面向量a =(－2，1)，b =(λ，－1)，若a 与b 的夹角为钝角，则λ的取值范围是A 、),2()2,21(+∞⋃- B 、(2，+∞)C 、(21-，+∞)D 、(－∞，21-) 2、设a =(x 1，y 1)，b =(x 2，y 2)，则下列为a 与b 共线的充要条件的有 ①存在一个实数λ，使a =λb 或b =λa ；②|a ·b |=|a |·|b |； ③2121y y x x =；④(a +b )//(a －b ) A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个3、若函数y=2sin(x+θ)的图象按向量(6π，2)平移后，它的一条对称轴是x=4π，则θ的一个可能的值是A 、125πB 、3πC 、6π D 、12π 4、ΔABC 中，若BC BA AC AB ⋅=⋅，则ΔABC 必约A 、直角三角形B 、钝角三角形C 、锐角三角形D 、等腰三角形5、已知ΔABC 的三个顶点A 、B 、C 及所在平面内一点P 满足AB PC PB PA =++，则点P 与ΔABC 的关系是A 、P 在ΔABC 内部B 、P 在ΔABC 外部C 、P 在直线AB 上D 、P 在ΔABC 的AC 边的一个三等分点上6、在边长为1的正三角形ABC 中，a BC =，AB c =，CA b =，则a c c b b a ⋅+⋅+⋅=1、已知a =(cos θ，sin θ)，b =(3，－1)，则|2a －b |的最大值为____________2、已知P(x ，y)是椭圆1422=+y x 上一点，F 1、F 2是椭圆的两焦点，若∠F 1PF 2为钝角，则x 的取值范围为________________3、设m =(a,b)，n =(c,d)，规定两向量m, n 之间的一个运算“×”为m×n =(ac －bd ，ad+bc)，若已知p =(1，2)，p×q =(－4，－3)，则q =____________ 4、将圆x 2+y 2=2按a =(2，1)平移后，与直线x+y+λ=0相切，则实数λ的值为____________三、解答题1、6、已知a =(cos α，sin α)，b =(cos β，sin β)，0<α<β<π。
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白水中学期末复习《平面向量》_
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1. 若A （2，-1），B （-1，3），则AB 的坐标是 ( )
A.（1，2）
B.（-3，4）
C. （3，-4）
D. 以上都不对
2.与a =（4，5）垂直的向量是 ( )
A.（-5k ,4k ）
B. (-10，2）
C. (54,k k
-) D.（5k , -4k ） 3. △ABC 中,BC =a , AC =b ,则AB 等于 ( )
A.a+b
B.-(a+b )
C.a-b
D.b-a
4.化简52(a －b )－3
1(2a +4b )+152(2a +13b )的结果是 ( ) A.51a ±51b B.0 C. 51a +51b D. 51a －5
1b 5.已知|p |=22,|q |=3, p 与q 的夹角为
4
π,则以a =5p +2q ,b =p －3q 为邻边的平行四边形的一条对角线长为 ( ) A.15 B.15 C. 16 D.14
6.已知A (2,-2),B (4,3),向量p 的坐标为(2k -1,7)且p ∥AB ,则k 的值为 ( ) A.109- B.109 C.10
19- D.1019 7. 已知△ABC 的三个顶点，A 、B 、C 及平面内一点P 满足PA PB PC AB ++=，则点P 与△ABC 的关系是
( )
A. P 在△ABC 的内部
B. P 在△ABC 的外部
C. P 是AB 边上的一个三等分点
D. P 是AC 边上的一个三等分点
8.已知△ABC 的三个顶点，A (1,5)，B (-2,4)，C (-6,-4)，M 是BC 边上一点,且△ABM 的面积是△ABC 面积的4
1,则线段AM 的长度是 ( ) A.5 B.85 C.25 D.852
9.设e 1,e 2是夹角为450的两个单位向量,且a =e 1+2e 2,b =2e 1+e 2,,则|a +b |的值 ( ) A.23 B.9 C.2918+ D.223+
10.若|a |=1,|b |=2,(a -b )⊥a ,则a 与b 的夹角为 ( )
A.300
B.450
C.600
D.750
11.把一个函数的图象按向量a =(3π,-2)平移后，得到的图象对应的函数解析式为y =sin(x +6
π)-2,则原函数的解析式为 ( )
A.y =sin x
B.y =cos x
C.y =sin x +2
D.y = -cos x
12.在△ABC 中，AB =c , BC = a , CA =b ,则下列推导中错误的是 ( )
A.若a ·b <0,则△ABC 为钝角三角形
B. 若a ·b =0,则△ABC 为直角三角形
C. 若a ·b =b ·c ,则△ABC 为等腰三角形
D. 若c ·( a +b +c )=0,则△ABC 为等腰三角形
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中的横线上)
13.在△ABC 中，已知,4==AC AB 且,8=⋅AC AB 则这个三角形的形状是 .
14.一艘船从A 点出发以h km /32的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为h km /2，则船实际航行的速度的大小和方向是 .
15. 若向量)4,7(),1,2(),2,3(-=-=-=c b a ,现用a 、b 表示c ,则c= .
16.给出下列命题:①若a 2+b 2=0,则a =b =0;
②已知A ),,(11y x B ),(22y x ,则);2,2(212121y y x x AB ++= ③已知a ,b ,c 是三个非零向量,若a +b =0,则|a·c |=|b·c |
④已知0,021>>λλ,e 1,e 2是一组基底,a =λ1e 1+λ2e 2则a 与e 1不共线,a 与e 2也不共线;
⑤若a 与b 共线,则a·b =|a |·|b |.其中正确命题的序号是 .
三、解答题(本大题共6小题，17-21题每小题12分，22题14分，共74分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.如图,ABCD 是一个梯形,CD AB CD AB 2,//=, M 、N 分别是AB DC ,的中点,已知=AB a ,=AD b ,试用a 、b 表示,DC BC 和.MN
18.设两个非零向量e 1、e 2不共线.如果AB =e 1+e 2,=BC 2e 1+8e 2,CD =3(e 1-e 2)
⑴求证:A 、B 、D 共线;
⑵试确定实数k,使k e 1+e 2和e 1+k e 2共线.
19.已知△ABC 中,A (2,4),B (-1,-2),C (4,3),BC 边上的高为AD .⑴求证:AB ⊥AC ;⑵求点D 与向量AD 的坐标.
20.已知△ABC 的三个顶点为A (1,2),B (4,1),C (3,4).⑴求AB 边上的中线CM 的长;⑵在AB 上取一点P ,使过P 且平行与BC 的直线PQ 把ABC ∆的面积分成4:5两部分,求P 点的坐标.
21.已知a 、b 是两个非零向量，证明：当b 与a +λb (λ∈R)垂直时，a +λb 的模取得最小值. A B
N M D C
22.已知二次函数f (x ) 对任意x ∈R ，都有f (1-x )=f (1+x )成立，设向量a =(sin x ,2), b =(2sin x ,
21), c =(cos2x ,1),d =(1,2)。
（1）分别求a ·b 和c ·d 的取值范围；
（2）当x ∈[0,π]时，求不等式f (a ·b )>f (c ·d )的解集。
23. 已知平行四边形ABCD 一个顶点坐标为A(-2,1)，一组对边AB 、CD 的中点分别为M(3，0)、N(-1，-2)，求平行四边形的各个顶点坐标.
24、若)1,0(),0,1(==j i ，求与j i 43+垂直的单位向量。
25、设在平面上给定了一个四边形ABCD,点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点, 求证：KL =NM .
26、将函数2x y -=进行平移，使得到的图形与函数22--=x x y 的图象的两个交点关于原点对称.求平移向量a
及平移后的函数解析式.
27、向量→a ＝（1，1），且→a 与（→a ＋2→b ）的方向相同，求→a ·→b 的取值范围。
28、已知矩形相邻的两个顶点是A （－1，3），B （－2，4），若它的对角线交点在x 轴上，求另两个顶点的坐标．。