2017考研数学一真题
(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的（1)若函数10(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则( ) （A)12ab =（B)12ab =- （C)0ab = （D)2ab =（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（ ） (A)()()11f f >- (B) ()()11f f <- （C ）()()11f f >-（D ）()()11f f <-（3）函数()22,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（ ) （A ）12(B ）6（C)4（D)2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t = （单位：m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则( ） （A ）010t = (B)01520t <<(C)025t = (D ）025t >()s（5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则( ） （A ） T E αα-不可逆 (B ） T E αα+不可逆 (C) 2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则（ ）（A ） A 与C 相似,B 与C 相似 (B ） A 与C 相似，B 与C 不相似(完整word 版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一 （C ） A 与C 不相似，B 与C 相似（D) A 与C 不相似，B 与C 不相似（7)设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<，则()()P A B P A B >的充分必要条件是（ ) A 。
2016-2017年考研数学一真题及答案
2016考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若反常积分()11badx x x +∞+⎰收敛，则（ ）()()()()11111111A a bB a bC a a bD a a b <>>><+>>+>且且且且（2）已知函数()()21,1ln ,1x x f x x x -<⎧⎪=⎨≥⎪⎩，则()f x 的一个原函数是（ ）()()()()()()()()()()()()()()()()22221,11,1ln 1,1ln 11,11,11,1ln 11,1ln 11,1x x x x A F x B F x x x x x x x x x x x C F x D F x x x x x x x ⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨-≥+-≥⎪⎪⎩⎩⎧⎧-<-<⎪⎪==⎨⎨++≥-+≥⎪⎪⎩⎩（3）若()()222211y x y x =+-=++是微分方程()()y p x y q x '+=的两个解，则()q x =（ ）()()()()()()2222313111xx A x x B x x C D x x +-+-++（4）已知函数(),0111,,1,2,1x x f x x n n n n ≤⎧⎪=⎨<≤=⎪+⎩，则（ ）（A ）0x =是()f x 的第一类间断点 （B ）0x =是()f x 的第二类间断点 （C ）()f x 在0x =处连续但不可导 （D ）()f x 在0x =处可导 （5）设A ，B 是可逆矩阵，且A 与B 相似，则下列结论错误的是（ ） （A ）TA 与TB 相似 （B ）1A -与1B -相似 （C ）TA A +与TB B +相似 （D ）1A A -+与1B B -+相似（6）设二次型()222123123121323,,444f x x x x x x x x x x x x =+++++，则()123,,2f x x x =在空间直角坐标下表示的二次曲面为（ ）（A ）单叶双曲面 （B ）双叶双曲面 （C ）椭球面 （C ）柱面（7）设随机变量()()0,~2>σσμN X ，记{}2σμ+≤=X P p ，则（ ）（A ）p 随着μ的增加而增加 （B ）p 随着σ的增加而增加 （C ）p 随着μ的增加而减少 （D ）p 随着σ的增加而减少 （8）随机试验E 有三种两两不相容的结果321,,A A A ，且三种结果发生的概率均为31，将试验E 独立重复做2次，X 表示2次试验中结果1A 发生的次数，Y 表示2次试验中结果2A 发生的次数，则X 与Y 的相关系数为（ ）二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上. （9）()__________cos 1sin 1ln lim200=-+⎰→x dt t t t xx（10）向量场()()zk xyj i z y x z y x A ++++=,,的旋度_________=rotA（11）设函数()v u f ,可微，()y x z z ,=由方程()()y z x f x y z x ,122-=-+确定，则()_________1,0=dz（12）设函数()21arctan axxx x f +-=，且()10''=f ，则________=a （13）行列式100010014321λλλλ--=-+____________. （14）设12,,...,n x x x 为来自总体()2,Nμσ的简单随机样本，样本均值9.5x =，参数μ的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则μ的置信度为0.95的双侧置信区间为______. 三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域()(),221cos ,22D r r ππθθθ⎧⎫=≤≤+-≤≤⎨⎬⎩⎭，计算二重积分Dxdxdy ⎰⎰.（16）（本题满分10分）设函数()y x 满足方程'''20,y y ky ++=其中01k <<.()I 证明：反常积分0()y x dx +∞⎰收敛；()II 若'(0)1,(0)1,y y ==求0()y x dx +∞⎰的值.（17）（本题满分10分）设函数(,)f x y 满足2(,)(21),x y f x y x e x-∂=+∂且(0,)1,tf y y L =+是从点(0,0)到点(1,)t 的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tL f x y f x y I t dx dy x y∂∂=+∂∂⎰，并求()I t 的最小值（18）设有界区域Ω由平面222=++z y x 与三个坐标平面围成，∑为Ω整个表面的外侧，计算曲面积分()zdxdyydzdx dydz xI 3212+-+=⎰⎰∑（19）（本题满分10分）已知函数()f x 可导，且(0)1f =，10'()2f x <<，设数列{}n x 满足1()(1,2...)n n x f x n +==，证明： （I ）级数11()n n n xx ∞+=-∑绝对收敛；（II ）lim n n x →∞存在，且0lim 2n n x →∞<<.（20）（本题满分11分）设矩阵1112221,11112A a B a a a --⎛⎫⎛⎫⎪⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭当a 为何值时，方程AX B =无解、有唯一解、有无穷多解？（21）（本题满分11分）已知矩阵011230000A -⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭（I ）求99A（II ）设3阶矩阵23(,,)B ααα=满足2B BA =，记100123(,,)B βββ=将123,,βββ分别表示为123,,ααα的线性组合。
2017年考研数学一真题及答案(全)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
考研数学历年真题(2008-2017)年数学一
(C) ab 0
(D) ab 2
（2）设函数 f x 可导，且 f x f x 0 则（ ）
(A) f 1 f 1
(B) f 1 f 1
(C) f 1 f 1
(D) f 1 f 1
（3）函数 f x, y, z x2 y z2 在点 1, 2, 0 处沿向量 n 1, 2, 2 的方向导数为（ ）
y)
(2x
1)e2xy , 且
f
(0,
y)
y
1,
Lt
是从点 (0, 0)
到点 (1,t)
的光滑曲线，计算曲线积分 I (t) f (x, y) dx f (x, y) dy ，并求 I (t) 的最小值
Lt x
y
（18）设有界区域 由平面 2x y 2z 2 与三个坐标平面围成， 为 整个表面的外侧，计算曲面积分
A3x1 x2
B 3x1 x2
C
1
x x
2
D
1
x x2
（4）已知函数
f
x
x, x 0
1 n
,
n
1 1
x
1 n
,n
1, 2,，则（
）
（A） x 0 是 f x 的第一类间断点
（B） x 0 是 f x 的第二类间断点
（C） f x 在 x 0 处连续但不可导
（D） f x 在 x 0 处可导
0 0 1
2 1 0 1 0 0 B 0 2 0 C 0 2 0 ，则（ ）
0 0 1 0 0 2
1
(A) A 与 C 相似，B 与 C 相似
(B) A 与 C 相似，B 与 C 不相似
(C) A 与 C 不相似，B 与 C 相似 (D) A 与 C 不相似，B 与 C 不相似
1987-2017年考研数学一真题(打印版)
1987-2017年考研数学一真题(打印版)1987年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当x =_____________时,函数2xy x =⋅取得极小值.(2)由曲线ln y x =与两直线e 1y x =+-及0y =所围成的平面图形的面积是_____________.X = 1(3)与两直线 1y t =-+ 及121111x y z +++==都平行且过原点的平面方程为_______.2z t =+ (4)设L 为取正向的圆周229,x y +=则曲线积分2(22)(4)Lxy y dx x x dy -+-⎰Ñ= _____________.(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),===ααα则向量(2,0,0)=β在此基底下的坐标是_____________. 二、(本题满分8分) 求正的常数a 与,b 使等式201lim 1sin x x bx x →=-⎰成立.三、(本题满分7分)(1)设f 、g 为连续可微函数,(,),(),u f x xy v g x xy ==+求,.u v x x∂∂∂∂ (2)设矩阵A 和B 满足关系式2,+AB =A B 其中301110,014⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 求矩阵.B四、(本题满分8分)求微分方程26(9)1y y a y ''''''+++=的通解,其中常数0.a >五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.)(1)设2()()lim 1,()x af x f a x a →-=--则在x a =处(A)()f x 的导数存在,且()0f a '≠ (B)()f x 取得极大值(C)()f x 取得极小值 (D)()f x 的导数不存在(2)设()f x 为已知连续函数0,(),s t I t f tx dx =⎰其中0,0,t s >>则I 的值(A)依赖于s 和t (B)依赖于s 、t和x(C)依赖于t 、x ,不依赖于s (D)依赖于s ,不依赖于t(3)设常数0,k >则级数21(1)nn k n n ∞=+-∑(A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)散敛性与k 的取值有关(4)设A 为n 阶方阵，且A 的行列式||0,a =≠A 而*A 是A的伴随矩阵，则*||A 等于(A)a (B)1a (C)1n a - (D)na六、（本题满分10分）求幂级数1112n nn x n ∞-=∑g 的收敛域，并求其和函数. 七、（本题满分10分） 求曲面积分2(81)2(1)4,I x y dydz y dzdx yzdxdy ∑=++--⎰⎰其中∑是由曲线13()0z y f x x ⎧=≤≤⎪=⎨=⎪⎩绕y 轴旋转一周而成的曲面,其法向量与y 轴正向的夹角恒大于.2π八、（本题满分10分）设函数()f x 在闭区间[0,1]上可微,对于[0,1]上的每一个,x 函数()f x 的值都在开区间(0,1)内,且()f x '≠1,证明在(0,1)内有且仅有一个,x 使得().f x x = 九、（本题满分8分） 问,a b 为何值时,现线性方程组123423423412340221(3)2321x x x x x x x x a x x bx x x ax +++=++=-+--=+++=- 有唯一解,无解,有无穷多解?并求出有无穷多解时的通解.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.)(1)设在一次实验中,事件A 发生的概率为,p 现进行n 次独立试验,则A 至少发生一次的概率为____________;而事件A 至多发生一次的概率为____________.(2)有两个箱子,第1个箱子有3个白球,2个红球, 第2个箱子有4个白球,4个红球.现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里,再从第2个箱子中取出1个球,此球是白球的概率为____________.已知上述从第2个箱子中取出的球是白球,则从第一个箱子中取出的球是白球的概率为____________. (3)已知连续随机变量X 的概率密度函数为221(),xx f x-+-=则X 的数学期望为____________,X的方差为____________. 十一、（本题满分6分）设随机变量,X Y 相互独立,其概率密度函数分别为()X f x =101x ≤≤其它,()Y fy =e 0y - 00y y >≤, 求2Z X Y=+的概率密度函数.1988年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求幂级数1(3)3nn n x n ∞=-∑的收敛域.(2)设2()e ,[()]1x f x f x xϕ==-且()0x ϕ≥,求()x ϕ及其定义域.(3)设∑为曲面2221xy z ++=的外侧,计算曲面积分333.I x dydz y dzdx z dxdy ∑=++⎰⎰Ò二、填空题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.把答案填在题中横线上)(1)若21()lim (1),txx f t t x→∞=+则()f t '= _____________. (2)设()f x 连续且31(),x f t dt x -=⎰则(7)f =_____________.(3)设周期为2的周期函数,它在区间(1,1]-上定义为()f x = 22x 1001x x -<≤<≤,则的傅里叶()Fourier 级数在1x =处收敛于_____________.(4)设4阶矩阵234234[,,,],[,,,],==A αγγγB βγγγ其中234,,,,αβγγγ均为4维列向量,且已知行列式4,1,==AB则行列式+A B = _____________.三、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设()f x 可导且01(),2f x '=则0x ∆→时,()f x 在0x 处的微分dy 是(A)与x ∆等价的无穷小 (B)与x∆同阶的无穷小(C)比x ∆低阶的无穷小 (D)比x∆高阶的无穷小 (2)设()y f x =是方程240y y y '''-+=的一个解且00()0,()0,f x f x '>=则函数()f x 在点0x 处(A)取得极大值 (B)取得极小值(C)某邻域内单调增加 (D)某邻域内单调减少 (3)设区域2222222212:,0,:,0,0,0,x y z R z x y z R x y z Ω++≤≥Ω++≤≥≥≥则(A)124xdv dv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(B)124ydv ydv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(C)124zdv zdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(D)124xyzdv xyzdv ΩΩ=⎰⎰⎰⎰⎰⎰(4)设幂级数1(1)nnn a x ∞=-∑在1x =-处收敛,则此级数在2x =处(A)条件收敛 (B)绝对收敛(C)发散 (D)收敛性不能确定(5)n 维向量组12,,,(3)ss n ≤≤αααL 线性无关的充要条件是(A)存在一组不全为零的数12,,,,s k k k L 使11220ssk k k +++≠αααL(B)12,,,sαααL 中任意两个向量均线性无关(C)12,,,sαααL 中存在一个向量不能用其余向量线性表示(D)12,,,sαααL 中存在一个向量都不能用其余向量线性表示四、(本题满分6分)设()(),x y u yf xg y x=+其中函数f 、g 具有二阶连续导数,求222.u ux y x x y∂∂+∂∂∂五、(本题满分8分)设函数()y y x =满足微分方程322e ,xy y y '''-+=其图形在点(0,1)处的切线与曲线21y x x =--在该点处的切线重合,求函数().y y x = 六、（本题满分9分）设位于点(0,1)的质点A 对质点M 的引力大小为2(0k k r >为常数,r 为A 质点与M 之间的距离),质点M沿直线y =自(2,0)B 运动到(0,0),O 求在此运动过程中质点A 对质点M 的引力所作的功. 七、（本题满分6分） 已知,=AP BP 其中100100000,210,001211⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦B P 求5,.A A八、（本题满分8分） 已知矩阵20000101x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 与20000001y ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 相似.(1)求x 与.y (2)求一个满足1-=PAP B的可逆阵.P九、（本题满分9分）设函数()f x 在区间[,]a b 上连续,且在(,)a b 内有()0,f x '>证明:在(,)a b 内存在唯一的,ξ使曲线()y f x =与两直线(),y f x a ξ==所围平面图形面积1S 是曲线()y f x =与两直线(),y f x b ξ==所围平面图形面积2S 的3倍.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设在三次独立试验中,事件A 出现的概率相等,若已知A 至少出现一次的概率等于19,27则事件A在一次试验中出现的概率是____________.(2)若在区间(0,1)内任取两个数,则事件”两数之和小于65”的概率为____________. (3)设随机变量X 服从均值为10,均方差为0.02的正态分布,已知22(),(2.5)0.9938,u x x du φφ-==⎰则X落在区间(9.95,10.05)内的概率为____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度函数为21(),(1)X f x x π=-求随机变量1Y =-的概率密度函数().Yf y1989年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)已知(3)2,f '=则(3)(3)lim2h f h f h→--=_____________.(2)设()f x 是连续函数,且1()2(),f x x f t dt =+⎰则()f x =_____________.(3)设平面曲线L为下半圆周y =则曲线积分22()Lx y ds +⎰=_____________.(4)向量场div u在点(1,1,0)P 处的散度div u=_____________.(5)设矩阵300100140,010,003001⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦A I 则矩阵1(2)--A I =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当0x >时,曲线1sin y x x= (A)有且仅有水平渐近线 (B)有且仅有铅直渐近线(C)水平渐近线,铅直渐近线 (D)既无水平渐近线,又无铅直渐近线 (2)已知曲面224z xy =--上点P 处的切平面平行于平面2210,x y z ++-=则点的坐标是(A)(1,1,2)- (B)(1,1,2)- (C)(1,1,2) (D)(1,1,2)-- (3)设线性无关的函数都是二阶非齐次线性方程的解是任意常数,则该非齐次方程的通解是(A)11223c y c yy ++ (B)1122123()c y c yc c y +-+(C)1122123(1)c y c yc c y +--- (D)1122123(1)c y c yc c y ++--(4)设函数2(),01,f x x x =≤<而1()sin ,,n n S x b n x x π∞==-∞<<+∞∑其中102()sin ,1,2,3,,n b f x n xdx n π==⎰L 则1()2S -等于 (A)12- (B)14- (C)14(D)12(5)设A 是n 阶矩阵,且A 的行列式0,=A 则A 中 (A)必有一列元素全为0 (B)必有两列元素对应成比例(C)必有一列向量是其余列向量的线性组合(D)任一列向量是其余列向量的线性组合 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设(2)(,),z f x y g x xy =-+其中函数()f t 二阶可导,(,)g u v 具有连续二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(2)设曲线积分2()cxy dx y x dy ϕ+⎰与路径无关,其中()x ϕ具有连续的导数,且(0)0,ϕ=计算 (1,1)2(0,0)()xy dx y x dy ϕ+⎰的值.(3)计算三重积分(),x z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由曲面z =与z =所围成的区域.四、(本题满分6分)将函数1()arctan 1xf x x+=-展为x 的幂级数. 五、(本题满分7分)设0()sin ()(),x f x x x t f t dt =--⎰其中f 为连续函数,求().f x六、（本题满分7分）证明方程ln e xx π=-⎰在区间(0,)+∞内有且仅有两个不同实根. 七、（本题满分6分） 问λ为何值时,线性方程组 13x x λ+=123422x xx λ++=+ 有解,并求出解的一般形式.1236423x x x λ++=+ 八、（本题满分8分）假设λ为n 阶可逆矩阵A 的一个特征值,证明(1)1λ为1-A 的特征值.(2)λA 为A 的伴随矩阵*A 的特征值. 九、（本题满分9分）设半径为R 的球面∑的球心在定球面2222(0)x y z a a ++=>上,问当R 为何值时,球面∑在定球面内部的那部分的面积最大?十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.)(1)已知随机事件A 的概率()0.5,P A =随机事件B 的概率()0.6P B =及条件概率(|)0.8,P B A =则和事件A B U 的概率()P A B U =____________.(2)甲、乙两人独立地对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为____________. (3)若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程210xx ξ++=有实根的概率是____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X与Y独立,且X服从均值为1、标,而Y服从标准正准差(均方差)态分布.试求随机变量23Z X Y=-+的概率密度函数.1990年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) 2x t =-+(1)过点(1,21)M -且与直线 34y t =-垂直的平面方程是_____________ . 1z t =-(2)设a 为非零常数,则lim()xx x a x a→∞+-=_____________.(3)设函数()f x = 111x x ≤>,则[()]f f x =_____________.(4)积分222e y xdx dy -⎰⎰的值等于_____________.(5)已知向量组1234(1,2,3,4),(2,3,4,5),(3,4,5,6),(4,5,6,7),====αααα则该向量组的秩是_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)设()f x 是连续函数,且e ()(),xxF x f t dt -=⎰则()F x '等于(A)e(e )()xx f f x ---- (B)e(e )()xx f f x ---+(C)e(e )()xx f f x ---(D)e(e )()xx f f x --+(2)已知函数()f x 具有任意阶导数,且2()[()],f x f x '=则当n 为大于2的正整数时,()f x 的n 阶导数()()n fx 是(A)1![()]n n f x + (B)1[()]n n f x + (C)2[()]nf x (D)2![()]nn f x(3)设a 为常数,则级数21sin()[n na n∞=∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)收敛性与a 的取值有关 (4)已知()f x 在0x =的某个邻域内连续,且0()(0)0,lim2,1cos x f x f x→==-则在点0x =处()f x(A)不可导 (B)可导,且(0)0f '≠(C)取得极大值 (D)取得极小值(5)已知1β、2β是非齐次线性方程组=AX b 的两个不同的解1,α、2α是对应其次线性方程组=AX 0的基础解析1,k 、2k 为任意常数,则方程组=AX b 的通解(一般解)必是(A)1211212()2k k -+++ββααα (B)1211212()2k k ++-+ββααα (C)1211212()2k k -+++ββαββ (D)1211212()2k k ++-+ββαββ 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求12ln(1).(2)x dx x +-⎰ (2)设(2,sin ),z f x y y x =-其中(,)f u v 具有连续的二阶偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)求微分方程244e xy y y -'''++=的通解(一般解). 四、(本题满分6分)求幂级数0(21)nn n x ∞=+∑的收敛域,并求其和函数.五、(本题满分8分) 求曲面积分2SI yzdzdx dxdy=+⎰⎰其中S 是球面2224x y z ++=外侧在0z ≥的部分.六、（本题满分7分）设不恒为常数的函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,在开区间(,)a b 内可导,且()().f a f b =证明在(,)a b 内至少存在一点,ξ使得()0.f ξ'> 七、（本题满分6分） 设四阶矩阵1100213401100213,0011002100010002-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦B C且矩阵A 满足关系式1()-''-=A E C B C E其中E 为四阶单位矩阵1,-C 表示C 的逆矩阵,'C 表示C的转置矩阵.将上述关系式化简并求矩阵.A 八、求一个正交变换化二次型22212312132344448f x x x x x x x x x =++-+-成标准型.九、（本题满分8分） 质点P 沿着以AB 为直径的半圆周,从点(1,2)A 运动到点(3,4)B 的过程中受变力F r 作用(见图).F r 的大小等于点P 与原点O 之间的距离,其方向垂直于线段OP 且与y 轴正向的夹角小于.2π求变力F r 对质点P 所作的功.十、填空题(本题共3小题,每小题2分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知随机变量X 的概率密度函数1()e ,2xf x x -=-∞<<+∞ 则X 的概率分布函数()F x =____________. (2)设随机事件A 、B 及其和事件的概率分别是0.4、0.3和0.6,若B 表示B 的对立事件,那么积事件AB 的概率()P AB =____________.(3)已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松()Poisson 分布,即22e {},0,1,2,,!k P X k k k -===L 则随机变量32Z X =-的数学期望()E Z =____________.十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y 在区域:01,D x y x <<<内服从均匀分布,求关于X 的边缘概率密度函数及随机变量21Z X =+的方差().D Z1991年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设 21cos x t y t=+=,则22d ydx =_____________.(2)由方程xyz =(,)z z x y =在点(1,0,1)-处的全微分dz =_____________.(3)已知两条直线的方程是1212321:;:.101211x y z x y zl l ---+-====-则过1l 且平行于2l 的平面方程是_____________. (4)已知当0x →时123,(1)1ax +-与cos 1x -是等价无穷小,则常数a =_____________. (5)设4阶方阵52002100,00120011⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦A 则A 的逆阵1-A =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)曲线221e 1ex x y --+=-(A)没有渐近线 (B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线 (D)既有水平渐近线又有铅直渐近线 (2)若连续函数()f x 满足关系式20()()ln 2,2tf x f dt π=+⎰则()f x 等于(A)e ln 2x(B)2eln 2x(C)e ln 2x+ (D)2eln 2x+(3)已知级数12111(1)2,5,n n n n n a a ∞∞--==-==∑∑则级数1n n a ∞=∑等于(A)3 (B)7 (C)8 (D)9 (4)设D 是平面xoy 上以(1,1)、(1,1)-和(1,1)--为顶点的三角形区域1,D 是D 在第一象限的部分,则(cos sin )Dxy x y dxdy +⎰⎰等于(A)12cos sin D x ydxdy ⎰⎰ (B)12D xydxdy ⎰⎰(C)14(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ (D)0(5)设n 阶方阵A 、B 、C 满足关系式,=ABC E 其中E 是n 阶单位阵,则必有(A)=ACB E (B)=CBA E(C)=BAC E (D)=BCA E 三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求2lim .x π+→(2)设n r是曲面222236xy z ++=在点(1,1,1)P 处的指向外侧的法向量,求函数u =P 处沿方向nr 的方向导数. (3)22(),xyz dv Ω++⎰⎰⎰其中Ω是由曲线220yzx ==绕z 轴旋转一周而成的曲面与平面4z =所围城的立体. 四、(本题满分6分)过点(0,0)O 和(,0)A π的曲线族sin (0)y a x a =>中,求一条曲线,L 使沿该曲线O从到A的积分3(1)(2)Ly dx x y dy +++⎰的值最小.五、(本题满分8分)将函数()2(11)f x x x =+-≤≤展开成以2为周期的傅里叶级数,并由此求级数211n n ∞=∑的和.六、（本题满分7分） 设函数()f x 在[0,1]上连续,(0,1)内可导,且1233()(0),f x dx f =⎰证明在(0,1)内存在一点,c 使()0.f c '=七、（本题满分8分） 已知1234(1,0,2,3),(1,1,3,5),(1,1,2,1),(1,2,4,8)a a ===-+=+αααα及(1,1,3,5).b =+β(1)a 、b 为何值时,β不能表示成1234,,,αααα的线性组合?(2)a 、b 为何值时,β有1234,,,αααα的唯一的线性表示式?写出该表示式. 八、（本题满分6分）设A 是n 阶正定阵,E 是n 阶单位阵,证明+A E 的行列式大于1.九、（本题满分8分）在上半平面求一条向上凹的曲线,其上任一点(,)P x y 处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ 长度的倒数(Q 是法线与x 轴的交点),且曲线在点(1,1)处的切线与x 轴平行.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)若随机变量X 服从均值为2、方差为2σ的正态分布,且{24}0.3,P X <<=则{0}P X <=____________. (2)随机地向半圆0y a<<为正常数)内掷一点,点落在半圆内任何区域的概率与区域的面积成正比,则原点和该点的连线与x 轴的夹角小于4π的概率为____________. 十一、（本题满分6分）设二维随机变量(,)X Y的密度函数为(,) f x y=(2)2e0,0 0x y x y-+>>其它求随机变量2Z X Y=+的分布函数.1992年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)设函数()y y x =由方程ecos()0x yxy ++=确定,则dy dx=_____________. (2)函数222ln()u xy z =++在点(1,2,2)M -处的梯度grad Mu=_____________.(3)设()f x = 211x -+ 00x x ππ-<≤<≤,则其以2π为周期的傅里叶级数在点xπ=处收敛于_____________.(4)微分方程tan cosy y x x'+=的通解为y=_____________.(5)设111212121212,nnn n n na b a b a ba b a b a ba b a b a b⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ALLL L L LL其中0,0,(1,2,,).i ia b i n≠≠=L则矩阵A的秩()r A=_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)当1x→时,函数1211e1xxx---的极限(A)等于2 (B)等于0(C)为∞(D)不存在但不为∞(2)级数1(1)(1cos)(nn a n∞=--∑常数0)a>(A)发散(B)条件收敛(C)绝对收敛(D)收敛性与a有关(3)在曲线23,,x t y t z t==-=的所有切线中,与平面24x y z++=平行的切线(A)只有1条(B)只有2条(C)至少有3条 (D)不存在 (4)设32()3,f x x x x =+则使()(0)n f存在的最高阶数n为(A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (5)要使12100,121⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭ξξ都是线性方程组=AX 0的解,只要系数矩阵A 为 (A)[]212- (B)201011-⎡⎤⎢⎥⎣⎦(C)12011-⎡⎤⎢⎥-⎣⎦(D)011422011-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)求0x x →(2)设22(e sin ,),xz f y x y =+其中f 具有二阶连续偏导数,求2.zx y∂∂∂(3)设()f x =21exx -+00x x ≤>,求31(2).f x dx -⎰四、(本题满分6分)求微分方程323e xy y y -'''+-=的通解.五、(本题满分8分) 计算曲面积分323232()()(),xaz dydz y ax dzdx z ay dxdy ∑+++++⎰⎰其中∑为上半球面z =.六、（本题满分7分）设()0,(0)0,f x f ''<=证明对任何120,0,x x >>有1212()()().f x x f x f x +<+七、（本题满分8分） 在变力F yzi zxj xyk=++r r r r的作用下,质点由原点沿直线运动到椭球面2222221x y z a b c ++=上第一卦限的点(,,),M ξηζ问当ξ、η、ζ取何值时,力F r 所做的功W 最大?并求出W 的最大值. 八、（本题满分7分）设向量组123,,ααα线性相关,向量组234,,ααα线性无关,问:(1)1α能否由23,αα线性表出?证明你的结论.(2)4α能否由123,,ααα线性表出?证明你的结论.九、（本题满分7分） 设3阶矩阵A 的特征值为1231,2,3,λλλ===对应的特征向量依次为1231111,2,3,149⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ξξξ又向量12.3⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭β(1)将β用123,,ξξξ线性表出.(2)求(nn A β为自然数).十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知11()()(),()0,()(),46P A P B P C P AB P AC P BC ======则事件A 、B 、C 全不发生的概率为____________. (2)设随机变量X 服从参数为1的指数分布,则数学期望2{e}XE X -+=____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 与Y 独立,X 服从正态分布2(,),N Yμσ服从[,]ππ-上的均匀分布,试求Z X Y =+的概率分布密度(计算结果用标准正态分布函数Φ表示,其中22()e )t xx dt --∞Φ=.1993年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1)函数1()(2(0)x F x dt x =>⎰的单调减少区间为_____________. (2)由曲线 223212x y z +==绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点处的指向外侧的单位法向量为_____________.(3)设函数2()()f x x x x πππ=+-<<的傅里叶级数展开式为01(cos sin ),2n n n aa nxb nx ∞=++∑则其中系数3b 的值为_____________. (4)设数量场u =则div(grad )u =_____________.(5)设n 阶矩阵A 的各行元素之和均为零,且A 的秩为1,n -则线性方程组=AX 0的通解为_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设sin 2340()sin(),(),xf x t dtg x x x ==+⎰则当0x →时,()f x 是()g x 的(A)等价无穷小 (B)同价但非等价的无穷小(C)高阶无穷小 (D)低价无穷小 (2)双纽线22222()xy x y +=-所围成的区域面积可用定积分表示为(A)402cos 2d πθθ⎰ (B)44cos 2d πθθ⎰(C)2θ(D)241(cos 2)2d πθθ⎰(3)设有直线1158:121x y z l --+==-与2:l 623x y y z -=+=则1l 与2l 的夹角为(A)6π (B)4π (C)3π (D)2π(4)设曲线积分[()e ]sin ()cos xLf t ydx f x ydy --⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)0,f =则()f x 等于 (A)e e 2x x-- (B)e e 2x x-- (C)e e 12x x-+- (D)e e 12x x -+-(5)已知12324,369t ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦Q P 为三阶非零矩阵,且满足0,=PQ 则(A)6t =时P 的秩必为1 (B)6t =时P 的秩必为2(C)6t ≠时P 的秩必为1 (D)6t ≠时P 的秩必为2三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分)(1)求21lim(sin cos ).xx x x→∞+ (2)求.x(3)求微分方程22,x y xy y '+=满足初始条件11x y ==的特解.四、(本题满分6分)计算22,xzdydz yzdzdx z dxdy ∑+-⎰⎰Ò其中∑是由曲面z =与z =.五、(本题满分7分) 求级数20(1)(1)2n n n n n ∞=--+∑的和.六、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设在[0,)+∞上函数()f x 有连续导数,且()0,(0)0,f x k f '≥><证明()f x 在(0,)+∞内有且仅有一个零点.(2)设,b a e >>证明.ba ab >七、（本题满分8分） 已知二次型22212312323(,,)2332(0)f x x x xx x ax x a =+++>通过正交变换化成标准形22212325,f y y y =++求参数a 及所用的正交变换矩阵.八、（本题满分6分）设A 是n m ⨯矩阵,B 是m n ⨯矩阵,其中,n m <I 是n 阶单位矩阵,若,=AB I 证明B 的列向量组线性无关. 九、（本题满分6分）设物体A 从点(0,1)出发,以速度大小为常数v 沿y轴正向运动.物体B 从点(1,0)-与A 同时出发,其速度大小为2,v 方向始终指向,A 试建立物体B 的运动轨迹所满足的微分方程,并写出初始条件. 十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)一批产品共有10个正品和2个次品,任意抽取两次,每次抽一个,抽出后不再放回,则第二次抽出的是次品的概率为____________. (2)设随机变量X 服从(0,2)上的均匀分布,则随机变量2Y X =在(0,4)内的概率分布密度()Y f y =____________.十一、（本题满分6分） 设随机变量X的概率分布密度为1()e ,.2xf x x -=-∞<<+∞ (1)求X 的数学期望EX 和方差.DX (2)求X 与X 的协方差,并问X 与X是否不相关?(3)问X 与X 是否相互独立?为什么?1994年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)011lim cot ()sin x x xπ→-= _____________.(2)曲面e 23xz xy -+=在点(1,2,0)处的切平面方程为__________ (3)设e sin ,xxu y-=则2u x y∂∂∂在点1(2,)π处的值为_____________. (4)设区域D为222,x y R +≤则2222()Dx y dxdy a b +⎰⎰=_____________.(5)已知11[1,2,3],[1,,],23==αβ设,'=A αβ其中'α是α的转置,则nA =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)4342342222222sin cos ,(sin cos ),(sin cos ),1x M xdx N x x dx P x x x dx x ππππππ---==+=-+⎰⎰⎰则有(A)N P M << (B)M P N << (C)N M P << (D)P M N << (2)二元函数(,)f x y 在点0(,)x y 处两个偏导数00(,)x f x y '、0(,)yf x y '存在是(,)f x y 在该点连续的(A)充分条件而非必要条件 (B)必要条件而非充分条件(C)充分必要条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (3)设常数0,λ>且级数21nn a∞=∑收敛,则级数1(1)nn ∞=-∑(A)发散 (B)条件收敛(C)绝对收敛 (D)收敛性与λ有关 (4)2tan (1cos )lim2,ln(12)(1)xx a x b x c x d e-→+-=-+-其中220,ac +≠则必有(A)4b d = (B)4b d =- (C)4a c = (D)4a c =- (5)已知向量组1234,,,αααα线性无关,则向量组(A)12233441,,,++++αααααααα线性无关 (B)12233441,,,----αααααααα线性无关(C)12233441,,,+++-αααααααα线性无关 (D)12233441,,,++--αααααααα线性无关三、(本题共3小题,每小题5分,满分15分) (1)设 2221cos()cos()tx t y t t udu==-⎰,求dydx、22d y dx 在t =的值.(2)将函数111()ln arctan 412x f x x x x +=+--展开成x 的幂级数.(3)求.sin(2)2sin dx x x +⎰ 四、(本题满分6分) 计算曲面积分2222,Sxdydz z dxdyx y z +++⎰⎰其中S 是由曲面222x y R +=及,(0)z R z R R ==->两平面所围成立体表面的外侧.五、(本题满分9分)设()f x 具有二阶连续函数,(0)0,(0)1,f f '==且2[()()][()]0xy x y f x y dx f x x y dy '+-++=为一全微分方程,求()f x 及此全微分方程的通解. 六、(本题满分8分)设()f x 在点0x =的某一邻域内具有二阶连续导数,且0()lim 0,x f x x →=证明级数11()n f n∞=∑绝对收敛.七、（本题满分6分）已知点A 与B 的直角坐标分别为(1,0,0)与(0,1,1).线段AB 绕x 轴旋转一周所成的旋转曲面为.S 求由S 及两平面0,1z z ==所围成的立体体积. 八、（本题满分8分）设四元线性齐次方程组(Ⅰ)为 122400xx x x+=-=,又已知某线性齐次方程组(Ⅱ)的通解为12(0,1,1,0)(1,2,2,1).k k +-(1)求线性方程组(Ⅰ)的基础解析. (2)问线性方程组(Ⅰ)和(Ⅱ)是否有非零公共解?若有,则求出所有的非零公共解.若没有,则说明理由.九、（本题满分6分）设A 为n 阶非零方阵*,A 是A 的伴随矩阵,'A 是A 的转置矩阵,当*'=AA 时,证明0.≠A十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)已知A 、B 两个事件满足条件()(),P AB P AB =且(),P A p =则()P B =____________.(2)设相互独立的两个随机变量,X Y 具有同一分布率,且X 的分布率为则随机变量max{,}Z X Y =的分布率为____________.十一、（本题满分6分）设随机变量X 和Y 分别服从正态分布2(1,3)N 和2(0,4),N 且X 与Y 的相关系数1,2xyρ=-设,32X YZ =+ (1)求Z 的数学期望EZ 和DZ 方差. (2)求X 与Z 的相关系数.xzρ(3)问X 与Y 是否相互独立?为什么?1995年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)2sin 0lim(13)xx x →+=_____________.(2)22cos xdx t dtdx ⎰= _____________. (3)设()2,⨯=a b c g 则[()()]()+⨯++a b b c c a g =_____________.(4)幂级数2112(3)n nnn nx ∞-=+-∑的收敛半径R=_____________.(5)设三阶方阵,A B 满足关系式16,-=+ABA A BA 且100310,41007⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦A 则B =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设有直线:L321021030x y z x y z +++=--+=,及平面:4220,x y z π-+-=则直线L(A)平行于π (B)在π上(C)垂直于π (D)与π斜交(2)设在[0,1]上()0,f x ''>则(0),(1),(1)(0)f f f f ''-或(0)(1)f f -的大小顺序是(A)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>>- (B)(1)(1)(0)(0)f f f f ''>->(C)(1)(0)(1)(0)f f f f ''->> (D)(1)(0)(1)(0)f f f f ''>->(3)设()f x 可导,()()(1sin ),F x f x x =+则(0)0f =是()F x 在x =处可导的(A)充分必要条件 (B)充分条件但非必要条件(C)必要条件但非充分条件 (D)既非充分条件又非必要条件 (4)设(1)ln(1nnu=-+则级数(A)1n n u ∞=∑与21nn u ∞=∑都收敛 (B)1nn u ∞=∑与21nn u∞=∑都发散(C)1n n u ∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散 (D)1nn u∞=∑收敛,而21nn u ∞=∑发散(5)11121311121321222321222312313233313233010100,,100,010,001101a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥====⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦A B P P 则必有 (A)12AP P=B(B)21AP P =B(C)12P P A =B (D)21P P A =B三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)设2(,,),(,e ,)0,sin ,yu f x y z x z y x ϕ===其中,f ϕ都具有一阶连续偏导数,且0.zϕ∂≠∂求.du dx (2)设函数()f x 在区间[0,1]上连续,并设10(),f x dx A =⎰求110()().xdx f x f y dy ⎰⎰四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分,zdS ∑⎰⎰其中∑为锥面z =在柱体222xy x+≤内的部分.(2)将函数()1(02)f x x x =-≤≤展开成周期为4的余弦函数.五、(本题满分7分)设曲线L 位于平面xOy 的第一象限内,L 上任一点M 处的切线与y 轴总相交,交点记为.A 已知,MA OA =且L 过点33(,),22求L 的方程. 六、(本题满分8分)设函数(,)Q x y 在平面xOy 上具有一阶连续偏导数,曲线积分2(,)Lxydx Q x y dy +⎰与路径无关,并且对任意t 恒有(,1)(1,)(0,0)(0,0)2(,)2(,),t t xydx Q x y dy xydx Q x y dy +=+⎰⎰求(,).Q x y七、（本题满分8分）假设函数()f x 和()g x 在[,]a b 上存在二阶导数,并且()0,()()()()0,g x f a f b g a g b ''≠====试证: (1)在开区间(,)a b 内()0.g x ≠(2)在开区间(,)a b 内至少存在一点,ξ使()().()()f fg g ξξξξ''='' 八、（本题满分7分）设三阶实对称矩阵A 的特征值为1231,1,λλλ=-==对应于1λ的特征向量为101,1⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ξ求.A九、（本题满分6分）设A 为n 阶矩阵,满足('=AA I I 是n 阶单位矩阵,'A 是A 的转置矩阵),0,<A 求.+A I十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.把答案填在题中横线上)(1)设X 表示10次独立重复射击命中目标的次数,每次射中目标的概率为0.4, 则2X 的数学期望2()E X =____________.(2)设X 和Y 为两个随机变量,且34{0,0},{0}{0},77P X Y P X P Y ≥≥=≥=≥=则{max(,)0}P X Y ≥=____________. 十一、（本题满分6分） 设随机变量X 的概率密度为()X f x =e 0x- 00x x ≥<,求随机变量e XY =的概率密度().Yf y1996年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.) (1)设2lim()8,xx x a x a →∞+=-则a =_____________.(2)设一平面经过原点及点(6,3,2),-且与平面428x y z -+=垂直,则此平面方程为_____________. (3)微分方程22e xy y y '''-+=的通解为_____________. (4)函数ln(u x =+在点(1,0,1)A 处沿点A 指向点(3,2,2)B -方向的方向导数为_____________.(5)设A 是43⨯矩阵,且A 的秩()2,r =A 而102020,103⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦B 则()r AB =_____________.二、选择题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)(1)已知2()()x ay dx ydyx y +++为某函数的全微分,a 则等于(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (2)设()f x 具有二阶连续导数,且()(0)0,lim1,x f x f x→'''==则(A)(0)f 是()f x 的极大值 (B)(0)f 是()f x 的极小值 (C)(0,(0))f 是曲线()y f x =的拐点 (D)(0)f 不是()f x 的极值,(0,(0))f 也不是曲线()y f x =的拐点(3)设0(1,2,),nan >=L 且1n n a ∞=∑收敛,常数(0,),2πλ∈则级数21(1)(tan )nnn n a nλ∞=-∑(A)绝对收敛 (B)条件收敛(C)发散 (D)散敛性与λ有关 (4)设有()f x 连续的导数22,(0)0,(0)0,()()(),x f f F x x t f t dt '=≠=-⎰且当0x →时,()F x '与kx 是同阶无穷小,则k 等于(A)1 (B)2 (C)3 (D)4(5)四阶行列式112233440000000a b a b a b b a 的值等于(A)12341234a a a ab b b b - (B)12341234a a a ab b b b +(C)12123434()()a ab b a a b b -- (D)23231414()()a ab b a a b b --三、(本题共2小题,每小题5分,满分10分) (1)求心形线(1cos )r a θ=+的全长,其中0a >是常数. (2)设1110,1,2,),n xx n +===L 试证数列{}nx 极限存在,并求此极限.四、(本题共2小题,每小题6分,满分12分) (1)计算曲面积分(2),Sx z dydz zdxdy ++⎰⎰其中S 为有向曲面22(01),z x y x =+≤≤其法向量与z 轴正向的夹角为锐角.(2)设变换 2u x y v x ay=-=+可把方程2222260z z zx x y y∂∂∂+-=∂∂∂∂简化为20,zu v∂=∂∂求常数.a五、(本题满分7分) 求级数211(1)2nn n∞=-∑的和.六、(本题满分7分)设对任意0,x >曲线()y f x =上点(,())x f x 处的切线在y轴上的截距等于01(),xf t dt x ⎰求()f x 的一般表达式.七、（本题满分8分） 设()f x 在[0,1]上具有二阶导数,且满足条件(),(),f x a f x b ''≤≤其中,a b 都是非负常数,c 是(0,1)内任意一点.证明()2.2bf c a '≤+八、（本题满分6分）设,TA =-I ξξ其中I 是n 阶单位矩阵,ξ是n 维非零列向量,Tξ是ξ的转置.证明(1)2=AA的充分条件是 1.T=ξξ(2)当1T=ξξ时,A 是不可逆矩阵. 九、（本题满分8分） 已知二次型222123123121323(,,)55266f x x x x x cx x x x x x x =++-+-的秩为2,(1)求参数c 及此二次型对应矩阵的特征值. (2)指出方程123(,,)1f x x x =表示何种二次曲面.十、填空题(本题共2小题,每小题3分,满分6分.)(1)设工厂A 和工厂B 的产品的次品率分别为1%和2%,现从由A 和B 的产品分别占60%和40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该。
2017年考研数学一真题及答案解析
2017全国研究生入学考试考研数学一真题本试卷满分150，考试时间180分钟一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩，在0x =处连续，则（ ） （A ）12ab =（B ）12ab =-（C ）0ab =（D ）2ab =（2）若函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则（ ） （A ）(1)(1)f f >-（B ）(1)(1)f f <-（C ）(1)(1)f f >-（D ）(1)(1)f f <-（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量n =(1,2,2)的方向导数为（） （A ）12（B ）6（C ）4（D ）2（4）甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：m/s ），虚线表示乙的速度2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10203、、，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）（A ）010t =（B ）01520t << （C ）025t =（D ）025t >（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （A ）T E αα-不可逆 （B ）T E αα+不可逆（C ）2T E αα+不可逆（D ）2T E αα-不可逆（6）设矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则 （A ）A 与C 相似，B 与C 相似（B ）A 与C 相似，B 与C 不相似 （C ）A 与C 不相似，B 与C 相似（D ）A 与C 不相似，B 与C 不相似（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则()()P A B P A B >的充要条件是（A ）()(B )P B A P A >（B ）()(B )P B A P A <（C ）()(B )P B A P A >（D ）()(B )P B A P A <（8）设12,(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论中不正确的是 （A ）21()nii Xμ=-∑服从2χ分布（B ）212()n X X -服从2χ分布（C ）21()nii XX =-∑服从2χ分布（D ）2()n X μ-服从2χ分布二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）已知函数21()1f x x=+，则(3)(0)f =_______。
2017年考研数学一真题与解析
2017 年考研数学一真题一、选择题1— 8 小题．每题4 分，共 32 分．１．若函数 f (x)1 cos x, x 0在 x 0 处连续，则 axb, x 0（ A ） ab1（ B ） ab1（ C ） ab0 （ D ） ab 222lim1cos x1 x1【详解 】 limf (x)lim2， lim f (x)bf (0) ，要使函数在 x0 处连续，x 0x 0axx 0ax2ax 0一定知足1bab 1 ．因此应当选（ A ）2a22．设函数 f (x) 是可导函数，且知足f ( x) f ( x) 0 ，则（ A ） f (1)f ( 1) （B ） f (1) f ( 1)（ C ） f (1)f ( 1)（ D ） f (1) f ( 1)【详解 】设 g (x)( f (x))2 ，则 g ( x)2 f ( x) f (x) 0 ，也就是2是单一增添函数．也就获得f ( x) 2f ( 1)2f (1)f ( 1) ，因此应当选（ C ）f (1)3．函数 f (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为（ A ） 12 （B ） 6(C ） 4（ D ） 2【 详 解 】f2xy, fx 2 , f2z ， 所 以 函 数 在 点 (1,2,0) 处 的 梯 度 为 gradf 4,1,0 ， 所 以xyzf (x, y, z)x 2 y z 2 在点 (1,2,0) 处沿向量 n(1,2,2) 的方导游数为fr gradfuur1(1,2, 2) 2n4,1,0应当选（ D ）n3４．甲、乙两人赛跑， 计时开始时， 甲在乙前面 10（单位：米）处，如图中，实线表示甲的速度曲线 v v 1 (t )（单位：米 /秒），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t ) （单位：米 /秒），三块暗影部分的面积分别为10,20,3 ，计时开始后乙追上甲的时辰为t 0 ，则（）（ A ） t 0 10（ B ） 15 t 0 20（ C ） t 025（ D ） t 025【详解 】由定积分的物理意义：当曲线表示变速直线S(t)T2S1 ,S2 , S3分别运动的速度函数时，v(t )dt 表示时辰 T1 ,T2内所走的行程．此题中的暗影面积T1表示在时间段0,10, 10,25 , 25,30内甲、乙两人所走行程之差，明显应当在t25时乙追上甲，应当选（ C）．E5为 n 阶单位矩阵，则．设为 n 单位列向量，（ A）E T 不行逆（ B）E T 不行逆（ C）E2T 不行逆（ D ）E 2T 不行逆【详解】矩阵T的特点值为 1和 n 1个 0 ，进而E T , E T , E2T , E2T 的特点值分别为 0,1,1,L1； 2,1,1,L,1 ；1,1,1,L,1 ； 3,1,1,L,1 ．明显只有 E T 存在零特点值，因此不行逆，应当选（ A ）．2002101006．已知矩阵A021， B020， C020，则001001002（ A）A,C相像，B,C相像（ B）A,C相像，B,C不相像（ C）A,C不相像，B,C相像（ D）A,C不相像，B, C不相像【详解】矩阵 A, B 的特点值都是122,31．能否可对解化，只要要关怀 2 的状况．000关于矩阵 A ，2E A00 1 ，秩等于1，也就是矩阵 A 属于特点值2存在两个线性没关的特001征向量，也就是能够对角化，也就是 A ~ C ．010关于矩阵 B ，2E B000，秩等于 2，也就是矩阵 A 属于特点值2只有一个线性没关的特001征向量，也就是不能够对角化，自然B,C不相像应选择（B）．7A, B是两个随机事件，若0P( A)1，0 P( B)1，则 P( A / B)P( A / B) 的充足必需条件是．设（ A）P(B / A) P( B / A)（ B）P( B / A) P(B / A)（ C）P(B / A)P( B / A)（ D）P(B / A) P( B / A)【详解】由乘法公式：P( AB) P( B) P(A / B), P( AB )P(B)( P( A / B) 可得下边结论：P( A / B)P( A / B)P( AB)P( AB) P( A)P( AB)P( AB) P( A)P( B) P( B)P(B)1P( B)近似，由 P( AB ) P( A) P(B / A), P( AB) P( A)P( B / A) 可得P(B / A)P(B / A)P( AB)P( AB) P( B)P( AB)P( AB)P( A)P( B) P( A)P( A)1P( A)因此可知选择（ A ）．8．设X1, X2,L , X n(n 2)为来自正态整体N (,1) 的简单随机样本，若1 nX i，则以下结论中不Xn i 1正确的是（）n) 2听从 2 散布（B ）2 X n 22 散布( X i（ A）X1听从i 1nX ) 2听从 2 散布)2听从 2 散布（ C）( X i（ D）n( Xi1)2 ~2 (1),i n解：（ 1）明显( X i) ~ N (0,1)( X i1,2,L n 且互相独立，因此( X i)2听从i 12( n) 散布，也就是（A）结论是正确的；n22(n1)S 22（ 2）( X i X )(n1)S~( n1)，因此（ C）结论也是正确的；2i1（ 3）注意X ~ N (, 1)n ( X) ~ N (0,1)n( X) 2 ~2 (1) ，因此（D）结论也是正确的；n（ 4）关于选项（ B ）：( X n X1 ) ~ N (0, 2)X n X1~ N (0,1)1( X n X1) 2 ~2 (1) ，因此（B）结22论是错误的，应当选择（B）二、填空题（此题共 6 小题，每题 4 分，满分24 分 . 把答案填在题中横线上）9．已知函数 f ( x)1，则 f (3) (0)．1 x2解：由函数的马克劳林级数公式： f (x) f( n) (0) x n，知f( n)(0)n! a n，此中 a n为睁开式中 x n的系n0n!数．因为f ( x)11x2x4L( 1)n x2 n L, x1,1 ，因此 f (3) (0)0 ．1 x210．微分方程y 2 y3y0的通解为．【详解】这是一个二阶常系数线性齐次微分方程，特征方程 r 22r 30 有一对共共轭的根r12i ，因此通解为y e x (C1 cos2x C2 sin2x)11．若曲线积分xdxaydy在地区 D( x, y) | x 2 y 21 内与路径没关，则 a .Lx 2y 2 1【详解 】设P( x, y)x,Q( x, y)ay ，明显 P( x, y), Q (x, y) 在地区内拥有连续的偏 x 2 y 2x 2y 21 1导数，因为与路径没关，因此有Q Pa1xy12．幂级数( 1)n 1 nx n 1 在区间 ( 1,1)内的和函数为n 1【详解 】( 1)n 1 nx n 1( 1)n 1( x n )( 1)n 1 x nx 1 n 1n 1n 11 x(1 x)2因此 s(x)12 , x( 1,1)(1 x)1 0 113 ． 设 矩 阵 A1 12 ， 1,2 ,3 为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量 ， 则 向量 组 A 1, A 2 , A 3 的 秩0 1 1为．1 0 1 1 0 1 1 0 1【详解 】对矩阵进行初等变换 A1 12 0 1 1 0 1 1 ，知矩阵 A的秩为 2，因为0 1 11 10 01, 2 , 3 为线性没关，因此向量组 A 1, A 2 , A 3 的秩为 2．14．设随机变量X 的散布函数F (x)( x)x4 ，此中( x) 为标准正态散布函数，则2EX．【详解 】随机变量 X 的概率密度为f ( x) F (x)(x)(x4) ，因此2E(X ) xf ( x)dxx ( x)dxx x 4)dx(2x (x42(2t 4) (t) dt22(t) dt2三、解答题15．（此题满分 10 分）设函数 f (u, v) 拥有二阶连续偏导数，yf ( x,cos )dy， d 2 y．ex ，求|x 0dx 2 |x 0dx【详解 】dyxxx， dy；f 1 (e ,cos x)ef 2 ( e ,cos x)( sin x)|x 0dxf 1 (1,1)dxd 2 ye xf 1 x,cos x) xxxsin xf 12xx,cos x)dx 2(ee (f 11 (e ,cos x)e(e ,cos x))cos xf 2 (esin xe x f 21 (e x ,cos x) sin 2 xf 22 (e x ,cos x)d 2 2y|x 0 f 1 (1,1) f 11(1,1)f 2 (1,1)．dx16．（此题满分 10 分）求 limn k2 ln 1k nk 1nn【详解 】由定积分的定义nk 2k lim1nklnk1lim ln 11 x ln(1 x)dxn1 nnnn k 1 nn 0k1 1 x)dx 212 ln(1 417．（此题满分 10 分）已知函数 y( x) 是由方程 x 3 y 33x 3y 20 ．【详解 】在方程两边同时对x 求导，得3x 2 3 y 2 y 3 3 y 0（ 1）在（ 1）两边同时对 x 求导，得2x 2 y( y ) 2 y 2 yy也就是 y2( x y( y ) 2 )1 y2令 y 0 ，得 x1 ．当 x 11时， y 1 1 ；当 x 21时， y 2 0 当 x 1 1 时， y 0 ， y 1 0 ，函数 y y( x) 取极大值 y 11 ；当 x 21时， y 0 ， y1 0 函数 yy( x) 取极小值 y 2 0 ．18．（此题满分 10 分）设函数 f ( x) 在区间 0,1 上拥有二阶导数，且f (1) 0f (x)， lim0 ，证明：x 0x（ 1）方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）方程 f (x) f (x)( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．证明：（ 1）依据的局部保号性的结论，由条件limf ( x)1，及 x 1(0, ) ，使得0 可知，存在x 0 xf (x 1) 0 ，因为 f ( x) 在 x 1,1 上连续，且 f ( x 1 ) f (1) 0，由零点定理，存在 ( x 1 ,1) (0,1) ，使得f ( )0 ，也就是方程 f (x)0 在区间 0,1 起码存在一个实根；（ 2）由条件 limf (x)0 可知 f (0)0 ，由（ 1）可知 f ( )0 ，由洛尔定理，存在(0, ) ，使得xxf ( )0 ；设 F ( x) f (x) f (x) ，由条件可知 F ( x) 在区间 0,1 上可导， 且 F (0)0, F ( ) 0, F ( ) 0 ，分别在区间 0,, , 上 对 函 数 F (x) 使 用 尔 定 理 ， 则 存 在 1(0, )(0,1), 2 ( , ) (0,1), 使 得12 , F ( 1 )F ( 2 )0 ，也就是方程 f (x) f ( x) ( f ( x))20 在区间 0,1 内起码存在两个不一样实根．19．（此题满分 10 分）设 薄 片 型 S 是 圆 锥 面 zx 2 y 2 被 柱 面 z 2 2 x 所 割 下 的 有 限 部 分 ， 其 上 任 一 点 的 密 度 为9 x 2 y 2 z 2 ，记圆锥面与柱面的交线为 C ．（ 1）求 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程；（ 2）求 S 的质量 M .【详解 】（ 1）交线 C 的方程为z x 2 y 2 ，消去变量 z ，获得 x 2 y 22x ．z 2 2x因此 C 在 xOy 布上的投影曲线的方程为x 2 y 22xz 0.（ 2）利用第一类曲面积分，得M(x, y, z)dS9 x 2 y 2 z 2 dSSS9 x 2 y 2 x 2y 21x 2 y 2 y 2 dxdy x 2y 22xx 2 y 2x 218x 2y 2 dxdy 64x 2y 22x20．（此题满分 11 分）设三阶矩阵 A 1, 2 , 3 有三个不一样的特点值，且312 2 .（ 1）证明： r ( A)2 ；（ 2）若12 ,3 ，求方程组 Ax的通解．【详解 】（ 1）证明：因为矩阵有三个不一样的特点值，因此A 是非零矩阵，也就是 r ( A) 1．假 若 r ( A) 1 时 ， 则 r0 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值 ， 与 条 件 不 符 合 ， 所 以 有 r ( A) 2 ， 又 因 为312 20，也就是1 ,2 ,3 线性有关， r ( A) 3 ，也就只有 r ( A) 2 ．（ 2）因为 r ( A)2 ，因此 Ax 0 的基础解系中只有一个线性没关的解向量．因为312 2 0 ，所1 以基础解系为 x2 ；11 又由12,3 ，得非齐次方程组Ax的特解可取为 1 ；11 1方程组 Ax的通解为 xk 21 ，此中 k 为随意常数．1121．（此题满分 11 分）设 二 次 型 f (x 1, x 2 , x 3 ) 2x 12 x 22 ax 32 2x 1x 28x 1 x 3 2x 2 x 3 在 正 交 变 换 x Qy 下 的 标 准 形 为1 y 122 y 22，求 a 的值及一个正交矩阵Q ．2 1 4 【详解 】二次型矩阵 A11 14 1a因为二次型的标准形为1 y 12 2 y 22 ．也就说明矩阵A 有零特点值，因此A 0 ，故 a 2.1 1 4E A1 11(3)(6)412令E A 0 得矩阵的特点值为13,26,30 ．1 1经过分别解方程组( i EA) x 0 得矩阵的属于特点值13 的特点向量 11 ，属于特点值特311 112 6 的特点向量， 30 的特点向量1征值 2232，1611 1 13 2 6因此 Q1 ,2 ,31 02为所求正交矩阵．3 611 132622．（此题满分 11 分）设 随 机 变 量 X ,Y 相 互 独 立 ， 且 X 的 概 率 分 布 为 P X 0 P{ X 2}1 ， Y 的 概 率 密 度 为22 y,0 y1f ( y)0,其余．（ 1）求概率 P （ Y EY ）； （ 2）求 ZX Y 的概率密度．12 . 【详解 】（ 1） EYyf Y ( y)dy2 y 2 dy0 32 24.因此 P YEYP Y32ydy39（ 2） ZX Y 的散布函数为F Z (z) P Z z P X Y z P X Y z, X 0 P X Y z, X 2P X0,Y z P X2,Y z 21P{ Yz}1P Yz2221F Y( z) F Y( z 2)2故 Z X Y 的概率密度为f Z ( z) F Z ( z)1 f (z)f ( z 2)2z, 0 z 1 z 2,2 z 30,其余23．（此题满分 11 分）n 次丈量，该物体的质量某工程师为认识一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了是已知的，设n 次丈量结果 X 1, X 2 ,L , X n 互相独立且均听从正态散布N ( ,2). 该工程师记录的是 n 次丈量的绝对误差Z i X i,( i 1,2, L , ) ，利用 Z 1 , Z 2 ,L , Z n 预计参数．n（ 1）求 Z i 的概率密度； （ 2）利用一阶矩求的矩预计量；（ 3）求参数最大似然预计量．【详解】（ 1）先求Z i的散布函数为F Z ( z) P Z i z P X iX i z z P当 z0时，明显 F Z (z)0 ；当 z0时， F ( z) P Z z P X X i z2z1；i i z PZ2因此 Z i的概率密度为 f Z (z) F Z ( z)e20,z222,z 0 ．z 02z22（ 2）数学希望EZ i zf (z) dz ze 22dz，0022令 EZ Z 1 n Z i，解得的矩预计量2Z2n Z i．n i 122n i 1（ 3）设Z1, Z2,L, Z n的观察值为 z1, z2,L , z n．当 z i0, i1,2,L n 时1nn2n z i2似然函数为 L( ) f ( z i ,))n e22 i 1，i 1(2nln(21n取对数得： ln L ()n ln 2)n ln2z i222i 1令d ln L( )n1n20 ，得参数最大似然预计量为1 n2．d3z in i 1z ii 1。
2017考研数学一试题及答案解析.doc
2017 考研数学一答案及解析一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上。
1 cos x（1）若函数f (x) ax , x 0 在 x 0 连续，则（）。
b, x 0A.1 ab2B.1 ab2C. ab0D. ab 2 【答案】 A 【解析】由连续的定义可得limx 0- f (x) limx 0+f (x) f (0) ，而1 cos x 1( x )21 1lim+ f (x) lim+ lim+ 2 ， lim - f ( x) b ，因此可得 b ，故选x 0 x 0ax x 0 ax 2a x 0 2a择 A。
（2）设函数f ( x)可导，且f ( x) f '( x) 0 ，则（）。
A. f (1) f ( 1)B. f (1) f ( 1)C. | f (1) | | f ( 1)D. | f (1) | | f ( 1)【答案】 C【解析】令 F (x) f 2 ( x) ，则有 F '( x) 2 f ( x) f '(x) ，故 F ( x) 单调递增，则 F (1) F( 1)，即 [ f (1)]2 [ f ( 1)]2，即 | f (1)| | f ( 1) ，故选择C。
（3）函数 f (x, y, z) x 2 y z 2 在点 (1,2,0) r处沿向量 n (1,2,0) 的方向导数为（ ）。
A.12B.6C.4D.2【答案】 D【 解 析 】 gradf{2 xy, x 2 , 2z} ， 因 此 代 入 (1,2,0) 可 得 gradf |(1,2,0) {4,1,0} ， 则 有f grad u{4,1,0}{ 1 , 2 , 2} 2 。
u| u | 3 3 3（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位： m ）处，图中，实线表示甲的速度曲线 vv 1 (t ) （单位： m/s ），虚线表示乙的速度曲线 v v 2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10，20， 3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t 0 （单位： s ），则（ ）。
2017考研数学：一道关于正整数n的不等式的证明题之求解
2017考研数学:一道关于正整数n的不等式的证明题之求解
考研数学中，不等式的证明是一个热门的考点，几乎年年都会考到。
不等式的证明与等式的证明有些类似，往往需要用到导数。
过细地讲，也需要用到中值定理，只不过中值定理可以看成是导数的一种应用。
对于不等式，一般来讲，都是关于自变量的连续函数或是可导函数，其中可导函数更多一些。
如果是关于正整数n的不等式，则是将其改写成关于x的不等式，然后研究相应的函数，x在某个区间内有什么样的性质，然后过渡到区间内的某点的性质，特别是函数的单调性。
实际上，虽然在高中阶段学过单调性，但这个性质需要借助导数这个工具来刻画，尤其是稍微复杂一点的函数。
因高中不要求学习导数，或没有深入学习导数，因此掌握基本初等函数的单调性就可以了。
现在以此为基础，学习复杂一点的初等函数。
文都网校在此提醒2017考研的同学们一下，对基本初等函数的性质还不了解的，一定要课后下功夫不起来。
好了，现在我们还是回归到具体的题目上来：
本题属于常规考题，掌握一般的方法就可以证明。
文都老师建议同学们在复习的时候，首先要掌握基本知识，然后掌握基本的做题方法即可。
当然了，能够判断一个题目要考查哪些知识，对相关知识的灵活处理，肯定需要下一番功夫，这有待充分的训练，而不必急于求成。
考研数学/kaoyan/news238.html。
2017数学一考研真题-答案
T
2
λ
0， λ
λn
0或λ
1
1，
1
αT α
1
λ1
λn 得 A 的特征值为 λ1
0, λn
E - ααT 的特征值为 λ1
即 E - αα 不可逆，应选（A）
T
λn
1
1 ， λn
0 ,从而 E - ααT
0，
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）已知矩阵 A 0 2 1 B 0 2 0 C 0 2 0 ,则 0 0 1 0 0 1 0 0 0
S2
S1
10 ，所以 t0
25
）
（5）设 为 n 维单元列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（
（A） E- T 不可逆（B） E+ T 不可逆（C） E+2 T （D） E-2 T A 【答案】 令 A = αα ， A2 = A ， 【解析】 令 AX = λX ，由 A - A X = λ - λ X = 0 得 λ 因为 tr A
数学一
一、选择题：1~8 小题，每小题 4 分，共 32 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项是符合题目要求的
1 cos x ,x 0 （1） 若函数 f x 在 x 0 连续，则 ax b, x 0
（A） ab A 【答案】
1 1 （B） ab （C） ab 0 （D） ab 2 2 2
lim
n
1 1 1 x (2 1 ) 1 1 1 2 1x ) dx l n (1 x d) x ( ) x 2 l n ( 2 20 1 x 2 0 0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 l n 2 x( 1 d) x l n 2 l n 2 0 2 2 1 x 2 4 2 2 4
2017年考研数学一试卷真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在 ．答题纸．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ì->ï=íï£î在0x =处连续，则（ ）()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x x f x ax ax a++®®-==!在0x =处连续11.22b ab a \=Þ=选A. （2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >ì>\í>î!或()0(2)'()0f x f x <ìí<î，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D 【答案】D【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradf gradf u ¶=Þ=Þ=×=×=¶选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s 0000()10()1520()25()25A tB tC tD t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt òò则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=ò，当025t =时满足，故选C.（5）设a 是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T T T A E B E C E D E aa aa aa aa -++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0aa a a a -=-=T E 得()0aa -=T E x 有非零解，故0aa -=T E 。
2017年考研数学一真题及解析
(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
t0 0
v1
(t)dt
,
t0 0
v2
(t)dt
,
则乙要追上甲，则
t0 0
v2 (t)
v1 (t)dt
10
，当 t0
25 时满足，故选
C.
（5）设 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（ ）
故可逆。其它选项类似理解。
2 0 0 2 1 0 1 0 0 （6）设矩阵 A 0 2 1 , B 0 2 0 ,C 0 2 0 ,则（ ）
0 0 1 0 0 1 0 0 2
( A) A与C相似, B与C相似 B A与C相似, B与C不相似 (C) A与C不相似, B与C相似 D A与C不相似, B与C不相似
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
长理资料群：五，八，6 8，8，六，7，7，五
【答案】D
【解析】 gradf {2xy, x2, 2z}, gradf
(1,2,0)
{4,1, 0}
f u
gradf
u {4,1, 0}{ 1,
|u|
3
2, 3
2} 2. 3
选 D.
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线 v v1(t) （单位： m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时 开始后乙追上甲的时刻记为 t0 （单位：s），则（ ）
2017 年考研数学一真题及答案解析
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题
考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一
2017 年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题： 1~8 小题，每小题4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的1 cos x（ 1）若函数 f(x) ax , x0在 x 0处连续，则（）b,x 0(A) ab 1 (B)ab1(C) ab 0 (D) ab 22 2（ 2）设函数f x 可导，且f x f x 0则（）(A) f 1 f 1 (B) f1 f 1(C)f 1 f 1(D) f 1 f 1（ 3）函数f x, y,z x2 y z2在点 1,2,0处沿向量 n1,2,2 的方向导数为（）(A)12 (B)6 (C)4(D)2（ 4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位 :m）处 ,如下图中，实线表示甲的速度曲线 v v1 t （单位 :m/s ）虚线表示乙的速度曲线v v2t ，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0（单位 :s） ,则（）(A) t010 (B)15t020(C)t025(D)t025v( m / s)10 200 5 10 15 2025 30t (s)（ 5）设为 n 维单位列向量，E 为 n 阶单位矩阵，则（）(A) E T 不可逆(B) E T 不可逆(C) E 2 T 不可逆(D)E 2 T 不可逆2 0 0 2 1 0 1 0 0（ 6）已知矩阵 A 0 2 1 B 0 2 0 C 0 2 0 ，则（）0 0 1 0 0 1 0 0 2(A)A 与 C相似， B与 C相似(C)A 与 C不相似， B与 C相似(B)A 与 C相似， B与 C不相似(D)A 与 C不相似， B与 C不相似（ 7）设 A, B 为随机事件，若0 P(A) 1,0 P(B) 1,则 P A B P A B 的充分必要条件是（）A.P BAP BA BPBA PBAC.PBAPBAD. PBA PBA（8）设 X1, X2...... X n(n2) 来自总体N ( ,1) 的简单随机样本，记 X1 n）X i则下列结论中不正确的是：（n i 1(A) ( X i)2服从 2 分布(B) 2( X n X1) 2服从 2 分布nX)2服从 2 分布)2服从 2 分布(C) ( X i(D) n(Xi 1二、填空题： 9~14 小题，每小题4 分，共 24 分。
2015-2017考研数学一真题(答案+解析)
历年考研数学一真题2015-2017（答案+解析）2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题 1—8小题．每小题4分，共32分．１．设函数()f x 在(,)-∞+∞上连续，其二阶导数()f x ''的图形如右图所示，则曲线()y f x =在(,)-∞+∞的拐点个数为（A ）0 （B ）1 （C ）2 （D ）3【详解】对于连续函数的曲线而言，拐点处的二阶导数等于零或者不存在．从图上可以看出有两个二阶导数等于零的点，以及一个二阶导数不存在的点0x =．但对于这三个点，左边的二阶导数等于零的点的两侧二阶导数都是正的，所以对应的点不是拐点．而另外两个点的两侧二阶导数是异号的，对应的点才是拐点，所以应该选（C ） 2．设21123()x x y e x e =+-是二阶常系数非齐次线性微分方程x y ay by ce '''++=的一个特解，则（A ）321,,a b c =-==- （B ）321,,a b c ===- （C ）321,,a b c =-== （D ）321,,a b c ===【详解】线性微分方程的特征方程为20r ar b ++=，由特解可知12r =一定是特征方程的一个实根．如果21r =不是特征方程的实根，则对应于()x f x ce =的特解的形式应该为()x Q x e ，其中()Q x 应该是一个零次多项式，即常数，与条件不符，所以21r =也是特征方程的另外一个实根，这样由韦达定理可得213212(),a b =-+=-=⨯=，同时*x y xe =是原来方程的一个解，代入可得1c =-应该选（A ）３．若级数1nn a∞=∑条件收敛，则33,x x ==依次为级数11()nnn na x ∞=-∑的（Ａ）收敛点，收敛点 （Ｂ）收敛点，发散点(Ｃ）发散点，收敛点 （Ｄ）发散点，发散点【详解】注意条件级数1nn a∞=∑条件收敛等价于幂级数1n nn ax ∞=∑在1x =处条件收敛，也就是这个幂级数的收敛为1，即11limn n na a +→∞=，所以11()n n n na x ∞=-∑的收敛半径111lim()nn n na R n a →∞+==+，绝对收敛域为02(,)，显然33,x x ==依次为收敛点、发散点，应该选（B ）４．设D 是第一象限中由曲线2141,xy xy ==与直线3,y x y x ==所围成的平面区域，函数(,)f x y 在D 上连续，则(,)Df x y dxdy =⎰⎰（ ）（Ａ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r rdrπθπθθθθ⎰⎰（Ｂ）1231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰（Ｃ）1321422sin sin (cos ,sin )d f r r drπθπθθθθ⎰⎰（Ｄ）231422sin sin (cos ,sin )d f r r dr πθπθθθθ⎰⎰【详解】积分区域如图所示，化成极坐标方程：221212122sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=22141412222sin cos sin sin xy r r r θθθθ=⇒=⇒=⇒=也就是D ：432sin sin r ππθθθ⎧<<⎪⎪⎨<<22所以(,)Df x y dxdy =⎰⎰231422sin sin (cos ,sin )d f r r rdr πθπθθθθ⎰⎰，所以应该选（B ）．5．设矩阵2211111214,A a b d a d ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，若集合{}12,Ω=，则线性方程组Ax b =有无穷多解的充分必要条件是（A ）,a d ∉Ω∉Ω （B ）,a d ∉Ω∈Ω（C ）,a d ∈Ω∉Ω （D ）,a d ∈Ω∈Ω 【详解】对线性方程组的增广矩阵进行初等行变换：2222111111111111201110111403110012(,)()()B A b ad a d a a d a d a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎪ ⎪==→--→- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ----⎝⎭⎝⎭⎝方程组无穷解的充分必要条件是3()(,)r A r A b =<，也就是120120()(),()()a a d d --=--=同时成立，当然应该选（D ）． 6．设二次型123(,,)f x x x 在正交变换x Py =下的标准形为2221232y y y +-，其中()123,,P e e e =，若()132,,Q e e e =-，则123(,,)f x x x 在x Qy =下的标准形为（A ）2221232y y y -+ （B ）2221232y y y +- （C ）2221232y y y -- （D ） 2221232y y y ++ 【详解】()()132123100100001001010010,,,,Q e e e e e e P ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=-== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，100001010T T Q P ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪⎝⎭211T T T T f x Ax y PAPy y y⎛⎫⎪=== ⎪ ⎪-⎝⎭所以100100100210020010010011001101001001010101T T Q AQ P AP ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪=-=-=- ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭故选择（A ）． 7．若,A B 为任意两个随机事件，则（ ）（A ）()()()P AB P A P B ≤ （B ）()()()P AB P A P B ≥ （C ）2()()()P A P B P AB +≤ （D ）2()()()P A P B P AB +≥【详解】()(),()(),P A P AB P B P AB ≥≥所以2()()()P A P B P AB +≤故选择（C ）．8．设随机变量,X Y 不相关，且213,,EX EY DX ===，则2(())E X X Y +-=（ ）（A ）3- （B ）3 （C ） 5- （D ）5【详解】222225(())()()()E X X Y E X E XY EX DX EX EXEY EX +-=+-=++-=故应该选择（D ）．二、填空题（本题共6小题，每小题4分，满分24分. 把答案填在题中横线上）9．20ln(cos )lim x x x→= 【详解】200122ln(cos )tan lim lim x x x x x x →→-==-．10．221sin cos x x dx x ππ-⎛⎫+= ⎪+⎝⎭⎰ ． 【详解】只要注意1sin cos xx+为奇函数，在对称区间上积分为零，所以22202214sin .cos x x dx xdx xππππ-⎛⎫+== ⎪+⎝⎭⎰⎰11．若函数(,)z z x y =是由方程2cos z e xyz x x +++=确定，则01(,)|dz = ．【详解】设2(,,)cos zF x y z e xyz x x =+++-，则1(,,)sin ,(,,),(,,)z x y z F x y z yz x F x y z xz F x y z e xy '''=+-==+且当01,x y ==时，z =，所以010101001010010010(,)(,)(,,)(,,)|,|,(,,)(,,)y x z z F F z zx y F F ''∂∂=-=-=-=∂∂'' 也就得到01(,)|dz =.dx -12．设Ω是由平面1x y z ++=和三个坐标面围成的空间区域，则23()dxdydz x y z Ω++=⎰⎰⎰ ．【详解】注意在积分区域内，三个变量,,x y z 具有轮换对称性，也就是dxdydz dxdydz dxdydz x y z ΩΩΩ==⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰11212366314()dxdydz dxdydz ()zD x y z z zdz dxdy z z dz ΩΩ++===-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰13．n 阶行列式20021202002212-=- ． 【详解】按照第一行展开，得1111212122()()n n n n n D D D +---=+--=+，有1222()n n D D -+=+由于1226,D D ==，得11122222()n n n D D -+=+-=-．14．设二维随机变量(,)X Y 服从正态分布10110(,;,;)N ，则{}0P XY Y -<= ．【详解】由于相关系数等于零，所以X ，Y 都服从正态分布，1101~(,),~(,)X N Y N ，且相互独立．则101~(,)X N -．{}{}{}{}1111101001001022222(),,P XY Y P Y X P Y X P Y X -<=-<=<->+>-<=⨯+⨯= 三、解答题15．（本题满分10分）设函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++，3()g x kx=在0x →时为等价无穷小，求常数,,a b k 的取值．【详解】当0x →时，把函数1()ln()sin f x x a x bx x =+++展开到三阶的马克劳林公式，得233332331236123()(())(())()()()()x x f x x a x o x bx x x o x a aa xb x x o x =+-+++-+=++-+++ 由于当0x →时，(),()f x g x 是等价无穷小，则有10023a ab a k ⎧⎪+=⎪⎪-+=⎨⎪⎪=⎪⎩，解得，11123,,.a b k =-=-=-16．（本题满分10分）设函数)(x f y =在定义域I 上的导数大于零，若对任意的0x I ∈，曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积恒为4，且02()f =，求()f x 的表达式．【详解】)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+令0y =，得000()()f x x x f x =-'曲线)(x f y =在点00(,())x f x 处的切线与直线0x x =及x 轴所围成区域的面积为00000142()()(()()f x S f x x x f x =--=' 整理，得218y y '=，解方程，得118C x y =-，由于02()f =，得12C = 所求曲线方程为84.y x=- 17．（本题满分10分）设函数(,)f x y x y xy =++，曲线223:C x y xy ++=，求(,)f x y 在曲线C 上的最大方向导数．【详解】显然11,f fy x x y∂∂=+=+∂∂． (,)f x y x y xy =++在(,)x y 处的梯度()11,,f f gradf y x x y ⎛⎫∂∂==++ ⎪∂∂⎝⎭(,)f x y 在(,)x y处的最大方向导数的方向就是梯度方向，最大值为梯度的模gradf =所以此题转化为求函数2211(,)()()F x y x y =+++在条件223:C x y xy ++=下的条件极值．用拉格朗日乘子法求解如下：令2222113(,,)()()()L x y x y x y xy λλ=++++++-解方程组22212021203()()x y F x x y F y y x x y xy λλλλ⎧'=+++=⎪⎪'=+++=⎨⎪++=⎪⎩，得几个可能的极值点()11112112,,(,),(,),(,)----，进行比较，可得，在点21,x y ==-或12,x y =-=处，方向导数取到最大，3.=18．（本题满分10分）（1）设函数(),()u x v x 都可导，利用导数定义证明(()())()()()()u x v x u x v x u x v x '''=+；（2）设函数12(),(),,()n u x u x u x 都可导，12()()()()n f x u x u x u x =，写出()f x 的求导公式．【详解】（1）证明：设)()(x v x u y=)()()()(x v x u x x v x x u y -++=∆∆∆()()()()()()()()u x x v x x u x v x x u x v x x u x v x =+∆+∆-+∆++∆-v x u x x uv ∆∆∆)()(++=xux u x x v x u x y ∆∆∆∆∆∆∆)()(++= 由导数的定义和可导与连续的关系00'limlim[()()]'()()()'()x x y u uy v x x u x u x v x u x v x x x x∆→∆→∆∆∆==+∆+=+∆∆∆（2）12()()()()n f x u x u x u x =1121212()()()()()()()()()()()n n nf x u x u x u x u x u x u x u x u x u x u x ''''=+++ 19．（本题满分10分）已知曲线L 的方程为z z x⎧=⎪⎨=⎪⎩，起点为0()A ，终点为00(,)B ，计算曲线积分2222()()()L y z dx z x y dy x y dz ++-+++⎰．【详解】曲线L的参数方程为cos ,cos x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩起点0()A 对应2t π=，终点为00(,)B 对应2t π=-．22222222()()()cos )(cos )))(cos )cos Ly z dx z x y dy x y dzt t d t t d t t d tππ-++-+++=+++-⎰⎰2202sin .tdt π==20．（本题满分11分） 设向量组123,,ααα为向量空间3R的一组基，113223332221,,()k k βααβαβαα=+==++．（1）证明：向量组123,,βββ为向量空间3R 的一组基；（2）当k 为何值时，存在非零向量ξ，使得ξ在基123,,ααα和基123,,βββ下的坐标相同，并求出所有的非零向量.ξ【详解】（1）()123123201020201(,,),,k k βββααα⎛⎫ ⎪= ⎪⎪+⎝⎭，因为2012102024021201k k k k ==≠++，且123,,ααα显然线性无关，所以123,,βββ是线性无关的，当然是向量空间3R 的一组基．（2）设非零向量ξ在两组基下的坐标都是123(,,)x x x ，则由条件112233112233x x x x x x αααβββ++=++可整理得：1132231320()()x k x x k ααααα++++=，所以条件转化为线性方程组()1321320,,k k x ααααα++=存在非零解．从而系数行列式应该等于零，也就是12312310110101001002020(,,)(,,k k k kαααααα⎛⎫⎪== ⎪ ⎪⎝⎭由于123,,ααα显然线性无关，所以10110020k k=，也就是0k =．此时方程组化为()112121312230,,()x x x x x x ααααα⎛⎫ ⎪=++= ⎪ ⎪⎝⎭，由于12,αα线性无关，所以13200x x x +=⎧⎨=⎩，通解为1230x C x x C ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎪-⎝⎭⎝⎭，其中C 为任意常数．所以满足条件的0C C ξ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪-⎝⎭其中C 为任意不为零的常数． 21．（本题满分11分）设矩阵02313312A a -⎛⎫ ⎪=-- ⎪ ⎪-⎝⎭相似于矩阵12000031B b -⎛⎫ ⎪= ⎪⎪⎝⎭．（1）求,a b 的值；（2）求可逆矩阵P ，使1P AP -为对角矩阵．【详解】（1）因为两个矩阵相似，所以有trA trB =，A B =．也就是324235a b a a b b +=+=⎧⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩． （2）由2120050150031()()E B λλλλλλ--=-=--=--，得A ，B 的特征值都为12315,λλλ===解方程组0()E A x -=，得矩阵A 的属于特征值121λλ==的线性无关的特征向量为12231001.ξξ-⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭； 解方程组50()E A x -=得矩阵A 的属于特征值35λ=的线性无关的特征向量为3111ξ-⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭令()123231101011,,P ξξξ--⎛⎫ ⎪== ⎪ ⎪⎝⎭，则1100010005.P AP -⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭22．（本题满分11分）设随机变量X 的概率密度为22000ln ,(),x x f x x -⎧>=⎨≤⎩对X 进行独立重复的观测，直到第2个大于3的观测值出现时停止，记Y 为次数．求Y 的分布函数；（1） 求Y 的概率分布； （2） 求数学期望.EY 【详解】（1）X 进行独立重复的观测，得到观测值大于3的概率为313228()ln x P X dx +∞->==⎰显然Y 的可能取值为234,,,且2211117171234888648()(),,,,k k kP Y k C k k ---⎛⎫⎛⎫==⨯⨯=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭（2）设22322221111()()(),()n nn n n n x S x n n xx x x x x ∞∞∞-===''''⎛⎫⎛⎫''=-====< ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭∑∑∑ 2221717116648648()()()k k n E Y kP Y k k k S -∞∞==⎛⎫⎛⎫===-== ⎪⎪⎝⎭⎝⎭∑∑ 23．（本题满分11分） 设总体X 的概率密度为1110,(;),x f x θθθ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其他其中θ为未知参数，12,,,n X X X 是来自总体的简单样本．（1）求参数θ的矩估计量；（2）求参数θ的最大似然估计量． 【详解】（1）总体的数学期望为111112()()E X xdx θθθ==+-⎰ 令()E X X =，解得参数θ的矩估计量：21ˆX θ=-． （2）似然函数为12121110,,,,()(,,,;),n nn x x x L x x x θθθ⎧≤≤⎪-=⎨⎪⎩其他显然()L θ是关于θ的单调递增函数，为了使似然函数达到最大，只要使θ尽可能大就可以，所以参数θ的最大似然估计量为12ˆmin(,,,).n x x x θ=2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选前的字母填在答题纸指定位置上。
2017考研数学一概率论答案
2017考研数学一概率论答案1、下列各对象可以组成集合的是（）[单选题] *A、与1非常接近的全体实数B、与2非常接近的全体实数(正确答案)C、高一年级视力比较好的同学D、与无理数相差很小的全体实数2、平面上两点A（-3，-3），B（3，5）之间的距离等于（）[单选题] *A、9B、10(正确答案)C、8D、63、计算(－a)?·a的结果是( ) [单选题] *A. －a?B. a?(正确答案)C. －a?D. a?4、48、如图，△ABC≌△AED，连接BE．若∠ABC＝15°，∠D＝135°，∠EAC＝24°，则∠BEA的度数为（）[单选题] *A．54°B．63°(正确答案)C．64°D．68°5、3、把方程x2-8x+3=0化成（x+m）2=n的形式，则m、n的值是（）[单选题] *A、4，13B、-4，19C、-4，13(正确答案)D、4，196、6.对于单项式-2mr2的系数，次数分别是（）[单选题] *A.2,-2B.-2,3C.-2,2(正确答案)D.-2,37、8．(2020·课标Ⅱ)已知集合U={－2，－1,0,1,2,3}，A={－1,0,1}，B={1,2}，则?U(A∪B)=( ) [单选题] *A．{－2,3}(正确答案)B．{－2,2,3}C．{－2，－1,0,3}D．{－2，－1,0,2,3}8、23、在直角坐标平面内有点A，B，C，D，那么四边形ABCD的面积等于（）[单选题]A. 1B. 2C. 4(正确答案)D. 2.59、下列各式中，计算过程正确的是( ) [单选题] *A. x3＋x3＝x3?3＝x6B. x3·x3＝2x3C. x·x3·x?＝x??3??＝x?D. x2·(－x)3＝－x2?3＝－x?(正确答案)10、下列各角中与45°角终边相同的角是（）[单选题] *A. 405°(正确答案)B. 415°C. -45°D. -305°11、21．如图，AB＝CD，那么AC与BD的大小关系是（）[单选题] *A．AC＝BD(正确答案)B．AC＜BDC．AC＞BDD．不能确定12、8．数轴上一个数到原点距离是8，则这个数表示为多少（）[单选题] *A．8或﹣8(正确答案)B．4或﹣4C．8D．﹣413、47．已知（x﹣2021）2+（x﹣2023）2＝50，则（x﹣2022）2的值为（）[单选题]* A．24(正确答案)B．23C．22D．无法确定14、300°用弧度制表示为（）[单选题] *5π/3(正确答案)π/62π/32π/515、2.比3大- 1的数是[单选题] *A.2(正确答案)B.4C. - 3D. - 216、19．下列两个数互为相反数的是（）[单选题] *A．（﹣）和﹣（﹣）B．﹣5和(正确答案)C．π和﹣14D．+20和﹣（﹣20）17、50．式子（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（21024+1）+1化简的结果为（）[单选题] *A．21024B．21024+1C．22048(正确答案)D．22048+118、1. 在实数0、-√3?、√2?、-2中，最小的是（）[单选题] *A、-2(正确答案)B、-√3C、0D、√219、23．若A、B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制（）种车票．[单选题] *A．49B．42(正确答案)C．21D．2020、20．如图，OC是∠AOB的平分线，OD是∠BOC的平分线，那么下列各式中正确的是（）[单选题] *21．A．∠COD＝∠AOBB．∠AOD＝∠AOBC．∠BOD＝∠AODD．∠BOC＝∠AOD(正确答案)21、已知2x=8,2y=4,则2x+y=（）[单选题] *A 、32(正确答案)B 、33C、16D、422、48．如图，M是AG的中点，B是AG上一点．分别以AB、BG为边，作正方形ABCD和正方形BGFE，连接MD和MF．设AB＝a，BG＝b，且a+b＝10，ab＝8，则图中阴影部分的面积为（）[单选题] *A．46B．59(正确答案)C．64D．8123、14．平面上有三个点A，B，C，如果AB＝8，AC＝5，BC＝3，则（）[单选题] * A．点C在线段AB上(正确答案)B．点C在线段AB的延长线上C．点C在直线AB外D．不能确定24、13.不等式x+3＞5的解集为（）[单选题] *A. x＞1B. x＞2(正确答案)C. x＞3D. x＞425、下列各式与x3? ?2相等的是( ) [单选题] *A. (x3) ? ?2B. (x ? ?2)3C. x2·(x3) ?(正确答案)D. x3·x ?＋x226、14．将△ABC的三个顶点坐标的横坐标都乘以-1，并保持纵坐标不变，则所得图形与原图形的关系是（）[单选题] *A．关于x轴对称B．关于y轴对称(正确答案)C．关于原点对称D．将原图形沿x轴的负方向平移了1个单位27、28.已知点A（2,3）、B（1,5），直线AB的斜率是（）[单选题] *A.2B.-2C.1/2D.-1/2(正确答案)28、3．下列说法：①有理数中，0的意义仅表示没有；②整数包括正整数和负整数；③正数和负数统称有理数；④0是最小的整数；⑤负分数是有理数．其中正确的个数（）[单选题] *A．1个(正确答案)B．2个C．3个D．5个29、5．已知集合A={x|x=3k＋1，k∈Z}，则下列表示不正确的是( ) [单选题] *A．－2∈AB．2 022?AC．3k2＋1?A(正确答案)D．－35∈A30、10. 如图所示，小明周末到外婆家，走到十字路口处，记不清哪条路通往外婆家，那么他一次选对路的概率是(? ? ?)．[单选题] *A．1/2B．1/3(正确答案) C．1/4D．1。
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2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个
选项是符合题目要求的
（1
）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩
在0x =处连续，则 (A)12ab =(B)1
2
ab =-(C)0ab =(D)2ab =
（2）设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则 (A)()()11f f >-(B)()()11f f <-
(C)()()11f f >- (D)()()11f f <-
（3）函数()2
2
,,f x y z x y z =+在点()1,2,0处沿向量()1,2,2n 的方向导数为（）
(A)12 (B)6 (C)4 (D)2
（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m ）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线()1v v t =（单位:m/s ）虚线表示乙的速度曲线()2v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位:s ）,则 (A)010t = (B)01520t << (C)025t = (D)025t >
()
s
（5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A)T E αα-不可逆 (B)T
E αα+不可逆 (C)2T
E αα+不可逆 (D)2T
E αα-不可逆
（6）已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，则 (A) A 与C 相似，B 与C 相似 (B) A 与C 相似，B 与C 不相似 (C) A 与C 不相似，B 与C 相似 (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似
（7）设,A B 为随机事件，若0()1,0()1P A P B <<<<,则()
()
P A B P A B >的充分必要条件是（）
A.()
()
P B A P B A > B ()
()
P B A P B A < C.()
(
)
P P B A B A > D.()
(
)
P P B A B A <
（8）设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i X X n ==∑
则下列结论中不正确的是： (A)2()i X μ∑-服从2
χ分布 (B)212()n X X -服从2χ分布 (C)
21
()n
i
i X
X =-∑服从2χ分布
(D)2
()n X μ-服从2
χ分布
二、填空题：9~14小题，每小题4分，共24分。
（9） 已知函数
21
()1f x x =
+,则(3)
(0)f =__________
（10）微分方程230y y y '''++=的通解为y =__________ （11）若曲线积分
22dy
1L
xdx ay x y -+-⎰在区域(){}
2
2D ,1x y x
y =+<内与路径无关，则a =
（12）幂级数
()
1
11
1n n n nx ∞
--=-∑在区间（-1,1）内的和函数()S x =
（13）设矩阵1
011120
1
1A ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
，123,,ααα为线性无关的3维列向量组，则向量组123,,A A A ααα的秩为
（14）设随机变量X 的分布函数为()()40.50.52x F x x -⎛⎫
=Φ+Φ
⎪⎝⎭
，其中()x Φ为标准正
态分布函数，则EX=
三、解答题：15~23小题，共94分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（15）（本题满分10分）
设函数(),f u v 具有2阶连续偏导数，(),x
y f e cosx =,求0dy
d x x =，22
d d x y x
=
（16）（本题满分10分） 求21
lim ln 1n
n k k k k n n →=⎛⎫
+ ⎪⎝⎭∑
（17）（本题满分10分）
已知函数()y x 由方程3
3
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 得极值
（18）（本题满分10分）
()f x 在[]0,1上具有2阶导数，0
()
(1)0,lim 0x f x f x
+
→>< 证（1） 方程()0f x =在区间(0,1)至少存在一个根
（2） 方程[]2
()()()0f x f x f x '''++=在区间(0,1)内至少存在两个不同的实根
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体S 是圆锥面 Z =
22Z x =割下的有限部分，其上任一点弧
度为(,,)u x y z =C
（1）求C 在 xOy 平面上的投影曲线的方程 （2）求 S 的质量M （20）（本题满分11分）
三阶行列式123(,,)A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+ （1）证明()2r A =
（2）如果123βααα=++求方程组Ax b =的通解 （21）（本题满分11分）
设13222
1232121323(,,)2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标准型为
22
1122
y y λλ+求 a 的值及一个正交矩阵 Q .
（22）（本题满分11分）
设随机变量XY 互独立，且X 的概率分布为{}{}1
P 0P 22
X X ====
，Y 概率密度为()2,01
0,y y f y <<⎧=⎨
⎩
其他 (1)求{}P Y EY ≤ (2)求Z X Y =+的概率密度 （23）（本题满分11分）
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是
已知的，设n 次测量结果12,,,n x x x 相互独立，且均服从正态分布()
2
,N μσ，该工程师
记录的是n 次测量的绝对误差(),1,2,,i i z x i n μ=-= ，利用12,,,n z z z 估计σ (I)求
1z 的概率密度
(II)利用一阶矩求σ的矩估计量 (III)求σ的最大似然估计量。