《高等工程数学》吴孟达版习题答案(第二章)

《高等工程数学》――科学出版社版习题答案（第二章）
（此习题答案仅供学员作业时参考。

因时间匆忙，有错之处敬请指正，谢谢！） （联系地址：***************.cn ） P50
1． 求下列矩阵的特征值、代数重数核几何重数，并判断矩阵是否可对角化
（1）110020112⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－ （2）011121213⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－－ （3）411030102⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
－
解：（1）特征值：
1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数和几何重数均为2
可对角化。

（2）特征值：
1231(1)()λλλ＝代数重数和几何重数均为，＝＝2代数重数为2和几何重数为1
不可对角化。

（3）特征值：
123(1)λλλ＝＝＝3代数重数为3、几何重数均为
不可对角化。

2． 求下列矩阵的不变因子、初等因子和Jordan 标准形
（1）3732524103⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－－－－－（2）413002⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦10－1 （3）1
2340
1230
0120
00
1⎡⎤⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（4）3
000
0130
0000110000200
01
12⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－
解：（1）不变因子是：123d d d i λλλ+＝1,＝1,＝(-1)(-i)()
初等因子是：i λλλ+(-1),(-i),()
Jordan 标准形是：1000000i i ⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
（2）不变因子是：123d d d λ3
＝1,＝1,＝(-3)
初等因子是：λ3
(-3)
Jordan 标准形是：310031003⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（3）不变因子是：1234d d d d λ4
＝1,＝1,＝1,＝(-1)
初等因子是：λ4
(-1)
Jordan 标准形是：11000
11000110001⎡⎤⎢⎥⎢
⎥⎢⎥
⎢⎥
⎣⎦
（4）不变因子是：12345d d d d d λλλλλ＝1,＝1,＝1,＝(-2)（-3），＝(-1)(-2)（-3）
初等因子是：λλλλλ(-2)，（-3），(-1)，(-2)，（-3）
Jordan 标准形是：1
0000020000
020*******
0003⎡⎤
⎢⎥⎢
⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3． 设（1）110A 0012⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦－＝22（2）33A 613⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦
－－1＝－7－11－（3）01
0A 111011⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦＝－－ 求可逆矩阵P ，使得P －
1AP 是Jordan 标准形
解：（1）A 的特征值为1231λλλ＝
，＝＝2 对应的特征向量是：121,ααT
T
＝(，0,-1)＝(0,0,1)
二级根向量是：(2)2αT
＝(-1,1,0)
(2)
122101(,,0110002102P P AP ααα--⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1)＝0-1100
（2）A 的特征值为123λλλ＝＝＝2 对应的特征向量是：11αT
＝(，2,1)
二级根向量和三级根向量是：(2)(3)11,ααT T
＝(1,3,3)＝(0,2,2)
(2)(3)111110(,,3232102102P P AP ααα-⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
1)＝21200
（3）此题数据不便于求解特征值，A 的特征多项式是：
3210()|A|11121011f I λλλλλλλλ-⎡⎤⎢⎥=---=-⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
＝－＋
4． 试求第2题 最小多项式。

解：（1）最小多项式是：A m ()i λλλλ=+(-1)(-i)() （2）最小多项式是：A m ()λλ=3
(-3) （3）最小多项式是：A m ()λλ=4(-1)
（4）最小多项式是：A m ()λλλλ=(-1)(-2)(-3）
5． 设10A 10⎡⎤
⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
2＝0101，计算方阵多项式8542
()34g A A A A A I -++-＝2
解：因为：
854253232
()34
(245914)(21)(243710)
g λλλλλλλλλλλλλ-++-=+-+--++-+＝2
而3
()(21)f λλλ=-+是A 的特征多项式 ，所以f （A ）＝0
故有2
34826()437100
956106134g A A A I --⎛⎫
⎪-+=- ⎪ ⎪-⎝⎭
＝2
6． 设A 是可逆方阵，证明A －
1可表示为A 的方阵多项式。

证明：设A 是n 阶方阵，其特征多项式是：
1011()...n n n n f a a a a λλλλ--=++++
因A 可逆，所以0n a ≠（为什么？自己证明）
由1
011()...0n n n n f A a A a A a A a I --=++++= 得
112011(...)/n n n n A a A a A a I a ----=+++
所以A －1
可表示为A 的多项式。

7． 设0A ≠，0(2)k
A k =≥，证明A 不能与对角矩阵相似。

证明：由题设知，A 的最小多项式是：2
()A m λλ=，有重根，所以不能相似对角化。

8． 已知()p
A I p =为正整数，证明A 与对角矩阵相似。

证明：由题设知， ()1p
g λλ=-是A 的零化多项式，而多项式()1p
g λλ=-没有重根（为什么？自己证！！），所以A 的最小多项式没有重根，故与对角矩阵相似
9． 设2
A A =，试证A 的Jordan 标准形是diag{1,1,...,1,0, 0
证明：因为2
()g λλλ=-是A 的零化多项式，且是最小多项式，所以A 的特征值只能是0和1，且可对角化，所以A 的Jordan 标准形是diag{1,1,…,1,0,…,0} 10．
设方阵A 的特征多项式()f λ和最小多项式()m λ分别为：
（1）4
2
2
2
()(2)(3),()(2)(3)f m λλλλλλ=--=-- （2）3
3
2
()(3)(5),()(3)(5)f m λλλλλλ=--=-- 试确定A 的所有可能的Jordan 标准形 解：（1）A 的可能Jordan 标准形为
22212313⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 或21221
2313⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦
（2）A 的可能Jordan 标准形为
2212555⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦。