大学物理1

解 x =3+2t2, y =2t2-1， y =x-4 直线 d dr a 4i 4 j 4ti 4tj , dt dt 质点作匀加速直线运动。
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例题1-3 已知某一粒子在oxy平面内运动,其矢径 为:r=Rcos t i+Rsin t j，其中R、为正值常量。 (1)试分析该粒子的运动情况; (2)时间t=/ 2/内的位移和路程。 (1)由矢径的表达式可知, x=Rcos t ， y=Rsin t 从以上两式中消去t,得到粒子的轨道方程： x2+y2=R2 这是一个以原点o为中心,半径为R的圆。 由于t=0时,x=R, y=0,而t>0+时,x>0,y>0,由此判定 粒子是作逆时针方向的圆周运动。 解
r
(3)在直角坐标系中,
r xi yj zk
dr dx dy i dt dt dt dz j k dt
(1-10)
dx dy dz x , y , z dt dt dt
(1-11)
速度的大小：
x y z
2 2

2
21
§1-5 加速度 一.加速度
y
S t
x
图1-2
17
r 则平均速度为 0 t
如，质点经时间t绕半径R的圆周运动一圈，
S 2R 而平均速率为 t t
即使在直线运动中，如质点经时间t从A点到B点 又折回C点,显然平均速度和平均速率也截然不同:
A C B
AC t
AB BC t
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x=t3–9t2 +15t+1 (2)质点在0~2s内的位移可表示为 x=x(2)-x(0)=3-1=2m 考虑到t=1s时调头了，故0~2s内的路程应为 s=|x(1)-x(0)|+|x(2)-x(1)|=7+5=12m 例题1-2 质点的位置矢量： 质点作什么样的运动？
2 2 r (3 2t )i (2t 1) j
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3. 在直角坐标系中,考虑到
i, j , k 是常量,有
A Axi Ay j Az k
dAy dA dAx dAz i j k dt dt dt dt
dAx 由于Ax(t), Ay(t), Az(t)是普通的函数，所以 , dt dAy dAz 就是普通函数的微商。 , dt dt
四.矢量积(向量积、叉积、外积)
c

ab c
c a b ab sin
积C的方向垂直于矢量a 和b组成 的平面， 指向由右手螺旋法则确定。
b a
c
a axi a y j az k b bxi by j bz k
a b a x a y az bx by bz
(1-20)
(2) 加速度a 的大小:
2 2 2 a a a x a y az
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d a dt
加速度a 的方向是：当t→0时,速度增量 的 极限方向。 应该注意到, 的方向和它的极限方向一般不 同于速度 的方向,因而加速度a 的方向与同一时刻 速度 的方向一般不相一致。 a 在曲线运动中,加速度的方向 a 总是指向曲线凹的一边的。 在国际单位制中,加速度的单位 a 为米/秒2(m·-2)。 s
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§1-2 参考系、质点
一.运动的绝对性和相对性
运动是普遍的、绝对的。没有运动就没有世界。
运动的描述是相对的。

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二.参考系 坐标系

在研究机械运动时，选作参考的物体称为参考
系。 为了对物体的运动作定量描述， 还需要在参考 系中取定一个固定的坐标系。 坐标系是参考系的代表和抽象。 常用的坐标系有直角坐标系、 极坐标系和自然坐标系。
i、j、k 单位矢量。

r
z

C
x
o
r=xi+yj+zk
(1-1)
x
A
y
图1-1
y
B
11
位置矢量 r 的大小(即质点P到原点o的距离)为
r r x2 y2 z2
方向余弦: cos=x/r,cos=y/r,cos=z/r
式中 , , 取小于180°的值。
i
j
k
6
五.矢量函数A(t)的微分
dA lim A t0 t dt
1.矢量函数的微商与标量函数的微分不同： 矢量函数的微分=矢量大小的微分+矢量方向的微分
只有当t0时， A 的极限方向，才是
dA 2. 的方向，一般不同于A 的方向。 dt dA
dt
的方向。
就时刻保持与A垂直。
dA 特别是,当A的大小不变而只是方向改变时, dt
m
et
三.理想模型质点
en
在所研究的问题中，形状和大小可以忽略的 物体质点。
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§1-3 位置矢量 运动方程 轨道方程
一.位置矢量描述一个质点在空间位置的矢量
从坐标原点o指向P点的有向线段op=r 位 置 矢量，简称位矢或矢径。 z 由图1-1 可知, P(x,y,z)
r oA AB BP
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以上内容的学习要点是：认真学习用微积分 来处理物理问题的方法。
§1-6 运动学的两类问题
求 导
r=xi+yj+zk
积

dr dt
d a dt
分
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例题1-1 一质点沿 x轴运动 , 运动方程为 x=t3–9t2 +15t+1 (SI),求: (1)质点首先向哪个方向运动?哪些时刻质点调头 了？ (2)质点在0~2s内的位移和路程。 解（1）质点做直线运动时，调头的条件是什么？ 调头的必要条件是速度为零，即 dx =3t2-18t+15=3(t-1)(t-5)=0 dt 可得：t=1 ,5s;又由于1,5s前后速度改变 了方向(正负号），所以t=1,5s调头了。 因t=0时速度 =+15m/s,所以质点首先 向x轴正方向运动。
a
ax x ay
az y
i j k 1
图1-1
2 2 2
a axi a y j az k
a a ax a y az
3
二.矢量的加、减法
a + b =？ a b c =? c
b
a 三角形法 a - b =？ a a 多边形法
b
a 3i 4 j b 2i 6 j
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r R cos ti R sintj
粒子在任一时刻t的速度、加速度为
dr R sinti R cos tj dt d 2 2 2 a R cos ti R sintj r dt
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d 例：( A )a ; dt d ( C )a ; dt
d ( B )a ; dt d ( D )a . dt

由前面的讨论我们得到了质点的位置矢量、速 度和加速度在直角坐标系中的正交分解式。这些式 子表明,任何一个曲线运动都可以分解为沿x,y, z 三 个方向的直线运动,每个方向上的运动是相互独立的, 整个运动可看作是沿三个坐标轴方向的直线运动的 叠加,这就是运动的叠加原理。
S dS lim = t0 t dt
(1)速率=速度的大小。
(1-9)
(1-12)
lim S = (当t 0 , r s) lim t0 = t0 t t dr (2) =r 大小的导数+r 方向的导数。 dt dr dr dr 例: (A) (C) ; (B) ; dt 20 dt dt
第2篇 力 学
(Mechanics)
1
第1章 质点运动学
(Kinematics of particle)
(8)
内容提要
描述质点运动的物理量
相对运动
2
§1-1 矢量 一.矢量的表示法
a
a=|a | A A=|A |
o
z a
ax、ay、az分别是矢量a 在 坐标轴x、y、z上的投影(分量)。 i、j、k分别是沿x、y、z轴 正方向的单位矢量(恒矢量)。
a b i 10 j
4
b
a b
a b
ab
三.标量积(点积、数量积、内积)
a b a b cos ab cos
a axi a y j az k b bxi by j bz k
a b axbx a y by az bz
5
a b ab cos
k
(1-19)
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d y d d x d z a i j dt dt dt dt 2 2 2 d x d y d z 2 i 2 j 2 k dt dt dt
k
(1-19)
而加速度a在三个坐标轴上的分量分别为
d y d 2 y d z d 2 z d x d 2 x ax 2 ,a y 2 ,az 2 dt dt dt dt dt dt
在x轴方向的位移为
r ( x2 x1 )i
注意：坐标的增量x = x2-x1是位移，而不是路程!
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(2)位移和路程是两个不同的概念。 位移代表位置变化，是矢量，在图1-2中，是有向 线段AB, 它的大小是| r ,即割线AB的长度。 路程表示路径长度，是标量， 它的大小是曲线弧AB的长度S 。 A r 在一般情况下, S和 并不相等。 z
消去时间t得： x2+y2=62 这就是轨道方程。
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§1-4 位移 速 度 一.位移和路程
如图1-2所示, 质点沿曲线C运动。时刻t在A点， 时刻t+t在B点。 从起点A到终点B的有向线 z C 段AB=r, 称为质点在时间t内 A S 的位移。 而A到B的路径长度S, 称 r r(t) B 为路程。 r(t+t) (1)位移是位置矢量r 在时间