苏教版立体几何习题含答案详解

苏教版立体几何习题含答案详解The pony was revised in January 2021（江苏最后1卷）给出下列四个命题：（1）如果平面与平面相交，那么平面内所有的直线都与平面相交（2）如果平面⊥平面，那么平面内所有直线都垂直于平面（3）如果平面⊥平面，那么平面内与它们的交线不垂直的直线与平面也不垂直（4）如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 真命题．．．的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）【答案】（3）（4）（南师大信息卷）在棱长为1的正方体中，若点是棱上一点，则满足的点的个数为 6 .提示：点在以为焦点的椭圆上，分别在、、、、、上. 或者，若在上，设,有. 故上有一点（的中点）满足条件.αβαααβαβαβαβαβαβ1111ABCD A B C D -P 12PA PC +=P P 1AC P AB AD 1AA 11C B 11C D 1C C P AB AP x =2211(1)(2)2,2PA PC x x x +=+-+=∴=AB P AB同理在、、、、上各有一点满足条件.又若点在上上，则.故上不存在满足条件的点，同理上不存在满足条件的点.（南通三模）已知正方体1C的棱长为1C 各个面的中心为顶点的凸多面体为2C ，以2C 各个面的中心为顶点的凸多面体为3C ，以3C 各个面的中心为顶点的凸多面体为4C ，依此类推。

记凸多面体n C 的棱长为n a ，则6a = ▲ .AD 1AA 11C B 11C D 1C C P 1BB 12PA PC +=>1BB P 1DD P解析：考查推理方法以及几何体中元素的关系理解应用。

正方体1C 的棱长为1A 1B2A2B 2A2B3A3B2A2B3A3B218111==B A a ,由1C 各个面的中心为顶点的几何体为正八面体2C ，其棱长182211222===B A B A a ，由2C 各个面的中心为顶点的几何体为正方体3C ,其棱长263222333===B A B A a ,如此类推：得到2,22,6654===a a a 。

答案：2（泰州期末）设、、表示是三个不同的平面，a 、b 、c 表示是三条不同的直线，给出下列五个命题：(1)若a ∥，b ∥，a ∥b ，则∥；(2)若a ∥，b ∥，，则；(3)若；αβγαβαβααββαβ⊂⊂=⋂b a c ,,b a //ααα⊥⇒⊂⊂⊥⊥a c b c a b a ,,,(4)若则或；答案：(2)（南京三模）7.已知α、β是两个不同的平面，下列四个条件：①存在一条直线a ，a α⊥，a β⊥；②存在一个平面γ，,γαγβ⊥⊥；③存在两条平行直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α；④存在两条异面直线a 、b ，,a b αβ⊂⊂，a ∥β，b ∥α。

其中是平面α∥平面β的充分条件的为= ▲ ．（填上所有符合要求的序号）答案:①③（苏锡常二模）设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，给出下列命题：（1）若，，，则；,,γβγα⊥⊥βα//βα⊥m n αββα//β⊂m α⊂n n m //（2）若，，，则；（3）若，，，则；（4）若，，，则.上面命题中，所有真命题的序号为 .答案：（2），（4）（苏州期末）已知正三棱锥的底面边长为6,侧棱长为5,则此三棱锥的体积为_________.答案：339（南京二模）.一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P 为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥容器，当x=6cm 时，该容器的容积为__________________3cm .βα//β⊥m α//n n m ⊥βα⊥α⊥m β//n n m //βα⊥α⊥m β⊥n n m ⊥答案：48（南通一模）．在棱长为4的正方体中，、分别为棱、上的动点，点为正方形的中心. 则空间四边形在该正方体各个面上的正投影所构成的图形中，面积的最大值为 ▲ .答案：121111ABCD A B C D E F 1AA 11D C G 11B BCC AEFGAC DEG（第11题）解析：如图①，当E与1A重合，F与1B重合时，四边形AEFGEG①DE②A(E)B③在前、后面的正投影的面积最大值为12；如图②，当E与1A重合，四边形AEFG在左、右面的正投影的面积最大值为8；如图③，当F与D重合时，四边形AEFG在上、下面的正投影的面积最大值为8；综上得，面积最大值为12.(本题源于《必修2》立体几何章节复习题，复习时应注重课本)-中, PA⊥底面ABCD, AB CD, （盐城二模）在四棱锥P ABCDAB BC ⊥,1AB BC ==,2DC =, 点E 在PB 上. (1)求证: 平面AEC ⊥平面PAD ； (2)当PD平面AEC 时, 求:PE EB 的值.15.(1)证明: 过A 作AF ⊥DC 于F, 则CF=DF=AF,所以090DAC ∠=, 即AC DA ⊥…………………………… 2分又PA ⊥底面ABCD ,AC ⊂面ABCD ,所以AC PA ⊥……4分 因为,PA AD ⊂面PAD ,且PAAD A =,所以AC ⊥底面PAD …………………………………………6分 而AC ⊂面ABCD , 所以平面AEC ⊥平面PAD …………………………………………………… 8分(2)连接BD 交AC 于点O, 连接EO, 因为PD 平面AEC ,PD ⊂面PBD ,面PBD 面AEC=EO, 所以PD :PE EB :DO OB ::2DO OB DC AB ==:2PE EB =⊥⊥ （1） 求证：平面AEC ⊥平面ABE ；（2） 点F 在BE 上，若DEBEBF111C B A ABC - 60=∠ACB BC C A ,11⊥AEB C C BB 11//1F C F C B P 11-1）证明：在中ABC ∆，∵AC =2BC =4,060=∠ACB∴32=AB ，∴222AC BC AB =+，∴BC AB ⊥由已知1BB AB ⊥， ∴C C BB AB 11面⊥又∵C C BB ABE ABE AB 11面，故面⊥⊂ （2）证明：取AC 的中点M ，连结FM M C ,1在AB FM ABC //中，∆,而FM ABE ⊄平面，∴直线FM 11A ACC AE M C //11C M ABE ⊄平面ABE M C 面//1M FM M C =⋂11//FMC ABE 面面AEB F C 面//11//C F 11B C H EH //EH AB 132EH AB ==C C BB AB 11面⊥11EH BB C C⊥面1111111113223P B C F E B C F B C F V V S EH --∆==⨯⋅=90,60,1O OBAC B AB ∠=∠==△ABD 沿着AD折起到△A B 'D 的位置，连结B 'C （如图2）.⊂⊂1A 1B GBABC DFEG(第16题图）(1)若平面A B'D⊥平面AD C，求三棱锥B'-AD C的体积;(2)记线段B'C的中点为H,平面B'ED与平面HFD的交线为l,求证:HF∥l;(3)求证:AD⊥B'E.（南通三模）如图，三棱柱111ABC A B C -中，D 、E 分别是棱BC 、AB 的中点，点F 在棱1CC 上，已知1,3,2AB AC AA BC CF ====.(1)求证:1C E ∥平面ADF;(2)若点M 在棱1BB 上，当BM 为何值时，平面CAM ⊥平面ADF?分析：（1）要证明ADF E C 平面//1,可通过线线平行和面面平行两条路来证明线面平行.Ⅰ.要在平面ADF 中找到与E C 1平行的直线，可反用线面平行的性质，利用过E C 1的平面与平面ADF 的交线OF ,这里注意O 为ABC ∆的重心，（12=OE CO ）,再利用比例关系证明OF E C //1从而证明结论.Ⅱ.取BD 中点M ,可通过证明面ADF ME C 平面//1,证明ADF E C 平面//1解：（1）连接交于，连接．因为CE ，AD 为△ABC 中线，所以O 为△ABC 的重心，． CE AD O OF 123CF CO CC CE ==从而OF 图2所示，将沿折起，使得平面平面，连结，设点是的中点.（1）求证：平面；（2）若平面，其中为直线与平面的交点，求三棱锥的体积.⊂1C E ⊄ADF 1//C E ADF CAM ⊥ADF 111ABC A B C -1B B ⊥⊂⊥D BC AD BC ⊥⊥⊂⊥Rt CBM ∆Rt FCD ∆⊥⊥ADF ⊂CAM ⊥ADF CAM ⊥ADF ABC Rt ∆6=AC 3=BC ︒=∠90ABC CD ACB ∠E AC 4=CE BCD ∆CD ⊥BCD ACD AB F AB ⊥DE BCD //EF BDG G AC BDG DEG B-A（第16题）BC D D 1C 1B 1A 1M（南通一模）如图，在六面体中，，，.求证：（1）；（2）.证明：（1）取线段的中点，连结、，1111ABCD A B C D -11//AA CC 11A B A D =AB AD =1AA BD ⊥11//BB DD BD M AM 1A M因为，，所以，又，平面，所以平面．而平面，所以.（2）因为，平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．同理得，所以11A D A B =AD AB =BD AM ⊥1BD A M ⊥1AMA M M =1AM A M ⊂、1A AM BD ⊥1A AM 1AA ⊂1A AM 1AA BD ⊥11//AA CC 1AA ⊄11D DCC 1CC ⊂11D DCC 1//AA 11D DCC 1AA ⊂11A ADD 11A ADD 111D DCC DD =11//AA DD 11//AA BB 11//BB DD。