2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(安徽卷)
2015年安徽省高考数学试题及答案(文科)【解析版】
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A ．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【答案】C．【解析】复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．2．（5分）（2015?安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?R B）=（）A ．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【答案】B．【解析】?R B={1，5，6}；∴A∩（?R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．3．（5分）（2015?安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．．4．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【答案】D【解析】对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；5．（5分）（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A ．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【答案】A．【解析】由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；6．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1【答案】A．【解析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．7．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A ．3 B．4 C．5 D．6【答案】B．【解析】模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．8．（5分）（2015?安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A ．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【答案】D．【解析】x2+y2﹣2x﹣2y+1=0可化为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线的距离d==1，解得：b=2或12．9．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ．1+B．1+2C．2+D．2【答案】C．【解析】可画出立体图形为∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ADC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，10．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【答案】A【解析】f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，二、填空题11．（3分）（2015?安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．【答案】-1．【解析】原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；12．（3分）（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．【答案】2．【解析】∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．13．（3分）（2015?安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．【答案】27．【解析】∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36×=27，14．（3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【答案】．【解析】由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；15．（3分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【答案】①④⑤【解析】△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）?=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．三、解答题16．（2015?安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．【解析】（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+），∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上，2x+∈[，]，故当2x+=时，f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0，当2x+=时，f（x）取得最大值为1+×1=1+．17．（2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【解析】（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．18．（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【解析】（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣19．（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．（1）【解析】由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S△ABC==．因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以V P﹣ABC=?S△ABC?PA=；（2）【解析】过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PA于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM?平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB?cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．20．（2015?安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【解析】（1）设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，﹣），又∵=（﹣a，b），∴?=（﹣a，b）?（，﹣）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故?=0，即MN⊥AB21．（2015?安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【解析】（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====1002015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015?安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A ．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）（2015?安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（?R B）=（）A ．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}3．（5分）（2015?安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015?安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A ．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）（2015?安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A ．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）（2015?安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=17．（5分）（2015?安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A ．3 B．4 C．5 D．68．（5分）（2015?安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A ．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）（2015?安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A ．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）（2015?安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A ．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C ．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）（2015?安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015?安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015?安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015?安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）（2015?安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015?安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015?安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015?安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015?安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015?安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015?安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．。
2015年高考安徽卷文数试题解析(解析版)
一、选择题（1）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ） （A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 【答案】c【解析】因为2(1i)(12i)12i i 2i 3i -+=+--=+，故选（C ）. 【考点】本题主要考查复数的乘法运算公式•【点睛】在应用笈数的乘法运算公式时，一定要注意22i -的运算结果，本题很好的考查了考生的基本 运算能力.（2）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B =I （ ）[来源:学科网] （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，【答案】8【解析】{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4U B ==，所以{}1,5,6U C B =，又{}1,2A =，所以{}()1U A C B =I ，故选（B ）.【考点】本题主要是考查了集合的交集、补集运算.【点睛】学生在求CuB 时，切不可遗漏，造成解答错，本题考查了考生的基本运算能力 （3）设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件[来源:学科网ZXXK] （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件【答案】c【解析】因为:3,:13p x q x <-<<，所以,q p p q ⇒≠>，即p 是q 成立的必要不充分条件，故选（C ）.【考点】本题主要考查充分、必要条件的判断.【点睛】在判断充分、必要条件时，考生一定要作好三个歩骤：①p ⇒q 是否成立；②q ⇒p 是否成 立；③形成结论，本题考查了考生的逻辑分析能力.（4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx【答案】D【解析】因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，所以ln y x =不具有奇偶性；因为21y x =+是偶函数，但方程210x +=无解，即21y x =+不存在零点；sin y x =是奇函数；因为cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，解得,,2x k k ππ=+∈Z 知函数存在零点，故选（D ）.［考点】本题主要考查函数的奇偶性和零点的概念•【点睛】在判断函数的奇偶性时，首先要判断函数的定义域是否关于原点对称，然后再判断，f (x)与 f(-X)的关系；在判断函数零点时，可分两种情况：①函数图象与X 轴是否有交点；②令f(x) = 0是否有 解；本题考查考生的综合分析能力.（5）已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则y x z +-=2的最大值是（ ）（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 【答案】A【解析】 由不等式组0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，得可行域如图所示：由2z x y =-+，得2y x z =+，由图知，直线过点(1,1)A 时，2z x y =-+取到最大值为1-，故选(A).【考点】本题主要考查了简单的线性规划.【点睛】在解决简单的线性规划问题时，考生作图和确定可行区域一定要细心，本题考查了考生的数 形结合能力和基本运算能力.（6）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -=【答案］A【解析】选项（A ）中，1,2a b ==，所以渐近线方程为2y x =±，故选（A ）.【考点】本题主要考查双曲线的渐近线公式一【点睛】在求双曲线的渐近线方程时，考生一定要注意观察双曲线的交点是在x 轴，还是在y 轴，选 用各自对应的公式，切不可混淆.（7）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）是输出nn =n +1a =1+11+aa -1.414≥0.005?开始a=1，n=1（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 【答案】B【解析】第一次循环得到3,22a n ==，此时 1.414 1.5 1.4140.0860.005a -=-=≥，第二次循环得到7,35a n ==，此时 1.414 1.4 1.4140.0140.005a -=-=≥，第三次循环得到17,412a n ==，此时1.4140.005a -<，此时不满足判断条件，输出4n =，故选（B ）.【考点】本题主要考查程序框图以及循环结构的判断【点睛】考生在解决程序框图以及循环结构时，首先要明确循环的条件，其次在计算的过程中要细心, 本题还考查了考生的计算能力.（8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12【答案】D【解析】由222210x y x y +--+=，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，因为直线34x y b +=与圆相切，所2234134b +-=+，解得2,b =或12b =，故选（D ）.【考点】本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的 距离公式的应用.【点睛】在解决直线与圆的位置关系问题时，有两种方法；方法一是代数法：将直线方程与圆的方程 联立，消元，得到关于x （或y ）的一元二次方程，通过判断0,0,0<∆=∆>∆来确定直线与圆的位買关 系；方法二是几何法：主要是利用圆心到直线的距离公式求出圆心到直线的距离d,然后再将d 与圆的半 径r 进行判断，若d>r 则相离；若d = r 则相切；若d<r 则相交；本题考查考生的综合分析能力和运算 能力（9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）ACBPO（A ）13+ （B ）122+ （C ）23+ （D ）22【答案】c【解析】由该几何体的三视图可知直观图如图所示，其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知2PA PC AB BC ====，取AC 的中点O ，连结,PO BO ，则在Rt POB ∆中，因为1PO BO ==，所以2PB =，所以223122222342S =⨯⨯+⨯⨯=+（）（），故选(C).【考点】本题主要考查空间几何体的三视图、椎体表面积公式【点睛】在利用空间几何嫌的三视图求几何体的体积或者表面积时，一定要正确还原几何体的直观图, 然后再利用体积或表面积公式求之；本题主要考查了考生的空间想象力和基本运算能力•（10）函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <0 【答案】A【解析】由函数()f x 的图像可知0a >，令0x =，得0d >.又2()32f x ax bx c '=++，设12,x x 是()0f x '=的两根，由图可知120,0x x >>，所以121220303b x x ac x x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪⋅=>⎪⎩，所以00b c <⎧⎨>⎩，故选(A).【考点】本题主要考查函数的图象和利用函数图象研究函数的性质.【点睛】本题主要是考查考生利用函数图象研究函数的性质，在研究函数的性质时要结合函数的单调 性、奇偶性、零点、以及极值等函数的特征去研究，本题考查了考生的数形结合能力.二、填空题 （11）=-+-1)21(2lg 225lg .【答案】-1【解析】原式lg5lg 22lg 22lg5lg 22121=-+-=+-=-=-. 【考点】对数运算和指数幂运算公式【点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.[来源:学|科|网Z|X|X|K]（12）在ABC ∆中，6=AB ，ο75=∠A ，ο45=∠B ，则=AC .【答案】2 【解析】因为006,75,45AB A B =∠=∠=，由正弦定理可知：6sin 45AC=，解得2AC =.【考点】正余弦定理的应用【点睛】熟练掌握正弦定理的使用条件是解决本题的关键。
2015年普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷) (2)
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域．．．．．．书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
参考公式：第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。
（1）设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于 （A ）第一象限 （B ）第二象限（C ）第三象限（D ）第四象限（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y n l x = （D ）21y x =+（3）设 ，则p 是q 成立的（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件4、下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -= 5、已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面6、若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）327、一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）1 （B ）2（C ）1+ （D ）8、C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b -⊥B9、函数()()2ax bf xx c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <10、已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ） （A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第二卷二．填空题 11.371()x x +的展开式中3x 的系数是 （用数字填写答案）12.在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是13.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的a 为14.已知数列{}n a 是递增的等比数列，24239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于15. 设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是 （写出所有正确条件的编号）(1)3,3a b =-=-；(2)3,2a b =-=；(3)3,2a b =->；(4)0,2a b ==;(5)1,2a b ==.三.解答题16.在ABC ∆中，,6,4A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长。
2015年安徽省高考数学试卷(文科)
2015 年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）1．（5 分）设 i 是虚数单位，则复数（ 1﹣i）（1+2i） =（）A．3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i2．（5 分）设全集 U={ 1，2， 3，4， 5，6} ，A={ 1，2} ， B={ 2，3，4} ，则 A∩（ ? U B）=（）A．{ 1，2，5，6} B．{ 1} C．{ 2} D．{ 1，2，3，4}3．（5 分）设 p：x＜3，q：﹣ 1＜x＜3，则 p 是 q 建立的（）A．充足必需条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件4．（5 分）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（ 5 分）已知 x，y 知足拘束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 5 D．16．（5 分）以下双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（）A．x 2﹣ =1 B．﹣ y2=1．2﹣ =1 D．﹣y2C x=17．（5 分）履行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6．（分）直线3x+4y=b 与圆 x 2+y2﹣2x﹣ 2y+1=0 相切，则 b=（）8 5A．﹣2 或 12B．2 或﹣ 12C．﹣ 2 或﹣ 12 D．2 或 129．（5分）一个四周体的三视图如下图，则该四周体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210（．5 分）函数（fx）=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图，则以下结论建立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B． a＞ 0， b＜ 0， c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D． a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， d＜0二、填空﹣1．11．（ 3 分） lg +2lg2（）=12．（ 3 分）在△ ABC中， AB=，∠ A=75°，∠ B=45°， AC=．13．（ 3 分）已知数列 { a n} 中， a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），数列 { a n} 的前 9 和等于．14．（ 3 分）在平面直角坐系xOy 中，若直 y=2a 与函数 y=| x a| 1 的象只有一个交点， a 的．15．（3 分）△ABC是 2 的等三角形，已知向量足=2 ，=2 + ，以下中正确的选项是．（写出全部正确得序号）① 位向量；②位向量；③；④ ∥；⑤（ 4+ ）⊥．三、解答16．已知函数 f （x）=（sinx+cosx）2+2cos2．x（Ⅰ）求 f（ x）最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区 [ 0，] 上的最大和最小．17．某企认识部下某部本企工的服状况，随机 50 名工，依据 50 名工部的分，制率散布直方（如所示），此中本数据分区 [ 40， 50] ，[ 50，60] ，⋯，[ 80，90] ，[ 90， 100]（ 1）求率散布中 a 的；（ 2）估企的工部分不低于80 的概率；（ 3）从分在 [ 40，60] 的受工中，随机抽取 2 人，求此 2 人分都在 [ 40，50] 的概率．n}是递加的等比数列，且a1+a4，23 ．18．已知数列 { a=9 a a =8（ 1）求数列 { a n} 的通项公式；（ 2）设 S n为数列 { a n} 的前 n 项和， b n=，求数列{ b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥 P﹣ABC中，PA⊥平面 ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（ 1）求三棱锥 P﹣ABC的体积；（ 2）证明：在线段PC上存在点 M ，使得 AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆 E 的方程为=1（a＞b＞0），点 O 为坐标原点，点A 的坐标为（ a，0），点 B 的坐标为（ 0，b），点 M 在线段 AB 上，知足 | BM| =2| MA| ，直线 OM 的斜率为．（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（ 0，﹣ b），N 为线段 AC的中点，证明： MN⊥ AB．21．已知函数 f （x）=（a＞0，r＞0）（ 1）求 f （x）的定义域，并议论f（x）的单一性；（ 2）若=400，求 f（x）在（ 0， +∞）内的极值．2015 年安徽省高考数学试卷（文科）参照答案与试题分析一、选择题（共10 小题，每题 5 分，满分 50 分） 2015 年一般高等学校招生全国一致考试（安徽卷）数学（文科）1．（5 分）设 i 是虚数单位，则复数（ 1﹣i）（1+2i） =（）A．3+3i B．﹣ 1+3i C． 3+i D．﹣ 1+i【剖析】直接利用复数的多项式乘法睁开求解即可．【解答】解：复数（ 1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．应选： C．【评论】此题考察复数的代数形式的混淆运算，基本知识的考察．2．（5 分）设全集 U={ 1，2， 3，4， 5，6} ，A={ 1，2} ， B={ 2，3，4} ，则 A∩（ ? U B）=（）A．{ 1，2，5，6} B．{ 1} C．{ 2} D．{ 1，2，3，4}【剖析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解： ?R B={ 1，5，6} ；∴A∩（ ?R B）={ 1，2} ∩{ 1，5，6} ={ 1} ．应选： B．【评论】考察全集、补集，及交集的观点，以及补集、交集的运算，列举法表示会合．3．（5 分）设 p：x＜3，q：﹣ 1＜x＜3，则 p 是 q 建立的（）A．充足必需条件B．充足不用要条件C．必需不充足条件D．既不充足也不用要条件【剖析】判断必需条件与充足条件，推出结果即可．【解答】解：设 p：x＜ 3， q：﹣ 1＜x＜3，则 p 建立，不必定有 q 建立，可是 q 建立，必有 p 建立，所以 p 是 q 建立的必需不充足条件．应选： C．【评论】此题考察充要条件的判断与应用，基本知识的考察．4．（5 分）以下函数中，既是偶函数又存在零点的是（）2【剖析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别剖析解答．【解答】解：对于 A，y=lnx 定义域为（ 0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于 B，是偶函数，可是不存在零点；对于 C，sin（﹣ x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数而且有无数个零点；应选： D．【评论】此题考察了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性第一要判断函数的定义域，在定义域对于原点对称的前提下判断（f﹣x）与（f x）的关系．5．（ 5 分）已知 x，y 知足拘束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣ 1 B．﹣2 C．﹣ 5 D．1【剖析】第一画出平面地区， z=﹣2x+y 的最大值就是 y=2x+z 在 y 轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面地区如图暗影部分，当直线 y=2x+z 经过 A 时使得 z 最大，由获得A（1，1），所以 z 的最大值为﹣ 2×1+1=﹣1；应选： A．【评论】此题考察了简单线性规划，画出平面地区，剖析目标函数取最值时与平面地区的关系是重点．6．（5 分）以下双曲线中，渐近线方程为y=±2x 的是（）A．x 2﹣ =1 B．﹣ y2．2﹣ =1 D．﹣y2=1 C x=1【剖析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可获得答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（ a＞ 0，b＞ 0）的渐近线方程为y=±x，由A 可得渐近线方程为y=±2x，由 B 可得渐近线方程为 y=± x，由 C 可得渐近线方程为 y=x，由 D 可得渐近线方程为y=x．应选： A．【评论】此题考察双曲线的方程和性质，主要考察双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5 分）履行如下图的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6【剖析】模拟履行程序框图，挨次写出每次循环获得的a，n 的值，当 a=时不知足条件 | a﹣1.414| =0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为 4．【解答】解：模拟履行程序框图，可得a=1， n=1知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=2知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=3知足条件 | a﹣1.414| ＞0.005，a=，n=4不知足条件 | a﹣1.414| =0.00267＞0.005，退出循环，输出n 的值为 4．应选： B．【评论】此题主要考察了循环构造的程序框图，正确写出每次循环获得的a，n 的值是解题的重点，属于基础题．．（分）直线3x+4y=b 与圆x2+y2﹣2x﹣ 2y+1=0 相切，则 b=（）8 5A．﹣2 或 12B．2 或﹣ 12C．﹣ 2 或﹣ 12D．2 或 12【剖析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得 b 值．【解答】解：由圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（ x﹣ 1）2+（y﹣ 1）2=1，∴圆心坐标为（ 1，1），半径为 1，∵直线 3x+4y=b 与圆 x2+y2﹣2x﹣2y+1=0 相切，∴圆心（ 1， 1）到直线 3x+4y﹣b=0 的距离等于圆的半径，即，解得： b=2 或 b=12．应选： D．【评论】此题考察圆的切线方程，考察了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5 分）一个四周体的三视图如下图，则该四周体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【剖析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面 ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△ OAB≌△ OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥 O﹣ ABC，OE⊥底面 ABC，EA=ED=1， OE=1， AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△ OAB≌△ OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四周体的表面积： 2，应选： C．【评论】此题考察了三棱锥的三视图的运用，重点是恢复几何体的直观图，考察了学生的空间思想能力．10（．5 分）函数（fx）=ax3+bx2+cx+d 的图象如下图，则以下结论建立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0B． a＞ 0， b＜ 0， c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D． a＞ 0， b＞ 0， c＞ 0， d＜0【剖析】依据函数的图象和性质，利用清除法进行判断即可．【解答】解： f（0）=d＞ 0，清除 D，当 x→+∞时， y→+∞，∴ a＞ 0，清除 C，函数的导数 f ′（x）=3ax2+2bx+c，则 f ′（x） =0 有两个不一样的正实根，则 x1+x2=﹣＞ 0 且 x1x2=＞0，（ a＞ 0），∴ b＜ 0， c＞0，方法 2：f ′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当 x＜ x1时函数递加，当 x1＜ x＜ x2时函数递减，则 f ′（ x）对应的图象张口向上，则 a＞0，且 x1+x2﹣＞0且 1 2＞，（＞），=x x =0 a0∴b＜ 0， c＞0，应选： A．【评论】此题主要考察函数图象的辨别和判断，依据函数图象的信息，联合函数的极值及 f（ 0）的符号是解决此题的重点．二、填空题11．（ 3 分） lg +2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【剖析】依据指数幂和对数的运算法例计算即可．﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣ 2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣ 1．【评论】此题主要考察了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（ 3 分）在△ ABC中， AB=，∠ A=75°，∠ B=45°，则AC=2．【剖析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可获得AC．【解答】解：∠ A=75°，∠ B=45°，则∠ C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有 AC==2．故答案为： 2．【评论】此题考察正弦定理的运用，同时考察三角形的内角和定理，考察运算能力，属于基础题．13．（ 3 分）已知数列 { a n} 中， a1=1，a n=a n﹣1+ （n≥2），则数列 { a n} 的前 9 项和等于27．【剖析】经过 a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，从而由乞降公式即得结论．【解答】解：∵ a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1= （n≥ 2），∴数列 { a n} 的公差 d= ，又 a1=1，∴a n=1+ （n﹣1）=，∴S9=9a1+?d=9+36× =27，故答案为： 27．【评论】此题考察等差数列的乞降，注意解题方法的累积，属于基础题．14．（ 3 分）在平面直角坐标系xOy 中，若直线 y=2a 与函数 y=| x﹣a| ﹣ 1 的图象只有一个交点，则 a 的值为．【剖析】由已知直线 y=2a 与函数 y=| x﹣ a| ﹣1 的图象特色剖析一个交点时，两个图象的地点，确立 a．【解答】解：由已知直线 y=2a 是平行于 x 轴的直线，因为 y=x﹣a 为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=| x﹣a| ﹣1 的图象是折线，所以直线y=2a 过折线极点时知足题意，所以 2a=﹣ 1，解得 a=﹣；故答案为：．【评论】此题考察了函数的图象；考察利用数形联合求参数．15．（3 分）△ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量知足=2 ，=2 + ，则以下结论中正确的选项是①④⑤．（写出全部正确结论得序号）① 为单位向量；②为单位向量；③；④ ∥；⑤（4 +）⊥．【剖析】利用向量的三角形法例以及向量数目积的公式对各结论分别剖析选择．【解答】解：△ ABC是边长为 2 的等边三角形，已知向量知足=2 ，=2 +，则 =，AB=2，所以 | | =1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故 || =2；故②错误；④正确；夹角为 120°，故③错误；⑤（ 4 + ）? =4=4×1×2×cos120°+4=﹣ 4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点】本考了向量的数目运用；注意三角形的内角与向量的角的关系．三、解答16．已知函数 f （x）=（sinx+cosx）2+2cos2．x（Ⅰ）求 f（ x）最小正周期；（Ⅱ）求 f（ x）在区 [ 0， ] 上的最大和最小．【剖析】（Ⅰ）化函数 f （x）正弦型函数，即可求出 f （x）的最小正周期；（Ⅱ）由 0≤x≤求出2x+的取范，再依据正弦函数的象与性即可求出 f （x）的最．【解答】解：（Ⅰ） f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+ ）+2，⋯（4 分）所以 f （x）的最小正周期T=π；⋯（6 分）（Ⅱ）由 0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+ ≤；⋯（8分）依据正弦函数 y=sinx 的象可知当， f （x）有最大2+ ，⋯（11 分）当， f （x）有最小1．⋯（13 分）【点】本考了三角函数的化以及三角函数的象与性的用，是基目．17．某企认识部下某部本企工的服状况，随机 50 名工，依据 50 名工部的分，制率散布直方（如所示），此中本数据分区 [ 40， 50] ，[ 50，60] ，⋯，[ 80，90] ，[ 90， 100]（ 1）求率散布中 a 的；（ 2）预计该公司的员工对该部门评分不低于80 的概率；（ 3）从评分在 [ 40，60] 的受访员工中，随机抽取 2 人，求此 2 人评分都在 [ 40，50] 的概率．【剖析】（1）利用频次散布直方图中的信息，全部矩形的面积和为1，获得 a；（ 2）对该部门评分不低于80 的即为 90 和 100，的求出频次，预计概率；（ 3）求出评分在 [ 40，60] 的受访员工和评分都在[ 40，50] 的人数，随机抽取2人，列举法求出全部可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（ 0.004+a+0.018+0.022× 2+0.028）×10=1，解得 a=0.006；（2）由已知的频次散布直方图可知， 50 名受访员工评分不低于 80 的频次为（0.022+0.018）× 10=0.4，所以该公司员工对该部门评分不低于 80 的概率的预计值为 0.4；（3）受访员工中评分在 [ 50，60）的有： 50×0.006×10=3（人），记为 A1，A2，A3；受访员工评分在 [ 40， 50）的有： 50×0.004×10=2（人），记为 B1，B2．从这 5 名受访员工中随机抽取 2 人，全部可能的结果共有10 种，分别是 { A1，A2} ，{ A1，A3} ，{ A1，B1} ，{ A1，B2} ，{ A2，A3} ，{ A2，B1} ，{ A2， B2} ，{ A3，B1} ，{ A3，B2} ，{ B1，B2} ，又因为所抽取 2 人的评分都在 [ 40， 50）的结果有 1 种，即 { B1，B2} ，故所求的概率为 P= ．【评论】此题考察了频次散布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频次预计概率，考察了利用列举法求知足条件的事件，并求概率．n}是递加的等比数列，且a1+a4，23 ．18．已知数列 { a=9 a a =8（ 1）求数列 { a n} 的通公式；（ 2） S n数列 { a n} 的前 n 和， b n=，求数列n}的前n和T n．{ b【剖析】（1）依据等比数列的通公式求出首和公比即可，求数列 { a n} 的通公式；（ 2）求出 b n=，利用裂法即可求数列{ b n} 的前 n 和 T n．【解答】解：（1）∵数列 { a n} 是增的等比数列，且a1+a4，2 3．=9 a a =8∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得 a1=1，a4=8 或 a1=8，a4=1（舍），解得 q=2，即数列 { a n} 的通公式 a n=2n﹣1；（ 2） S n==2n1，∴ b n===，∴数列 { b } 的前n 和 T⋯=n n=+ +=1．【点】本主要考数列的通公式以及数列乞降的算，利用裂法是解决本的关．19．如，三棱 P ABC中，PA⊥平面 ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（ 1）求三棱 P ABC的体；（ 2）明：在段PC上存在点 M ，使得 AC⊥BM，并求的．【剖析】（1）利用 V P﹣ABC=?S△ABC?PA，求三棱锥 P﹣ABC的体积；（ 2）过 B 作 BN⊥AC，垂足为 N，过 N 作 MN∥PA，交 PC于点 M ，连结 BM，证明 AC⊥平面 MBN，可得 AC⊥ BM，利用 MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设， AB=1，AC=2，∠ BAC=60°，可得 S△ABC=．=因为 PA⊥平面 ABC，PA=1，所以 V P﹣ABC= ?S△ABC?PA=；（2）解：过 B 作 BN⊥ AC，垂足为 N，过 N 作 MN ∥PA，交 PC于点 M，连结 BM，由 PA⊥平面 ABC，知 PA⊥AC，所以 MN⊥AC，因为 BN∩MN=N，所以 AC⊥平面 MBN．因为 BM? 平面 MBN，所以 AC⊥BM．在直角△ BAN中， AN=AB?cos∠BAC= ，从而 NC=AC﹣AN=．由 MN∥PA得 = = ．【评论】此题考察三棱锥 P﹣ABC的体积的计算，考察线面垂直的判断与性质的运用，考察学生剖析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆 E 的方程为=1（a＞b＞0），点 O 为坐标原点，点A 的坐标为（ a，0），点 B 的坐标为（ 0，b），点 M 在线段 AB 上，知足 | BM| =2| MA| ，直线 OM 的斜率为．（1）求 E 的离心率 e；（2）设点 C 的坐标为（ 0，﹣ b），N 为线段 AC的中点，证明： MN⊥ AB．【剖析】（1）经过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（ 2）经过中点坐标公式解得点N 坐标，利用?=0 即得结论．【解答】（1）解：设 M （x， y），∵ A（ a， 0）、B（0，b），点 M 在线段 AB 上且| BM| =2| MA| ，∴=2 ，即（ x﹣ 0， y﹣ b） =2（a﹣x，0﹣y），解得 x= a，y= b，即 M （ a， b），又∵直线 OM 的斜率为，∴=，∴ a= b， c==2b，∴椭圆 E的离心率 e= =；（2）证明：∵点C 的坐标为（0，﹣b），N 为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴ =（，），又∵=（﹣ a， b），∴? =（﹣ a，b）?（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（ 1）可知 a2=5b2，故? =0，即 MN⊥AB．【评论】此题考察运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考察运算求解能力、注意解题方法的累积，属于中档题．21．已知函数 f （x）=（a＞0，r＞0）（1）求 f （x）的定义域，并议论 f（x）的单一性；（2）若 =400，求 f（x）在（ 0， +∞）内的极值．【剖析】（1）经过令分母不为0 即得 f（x）的定义域，经过求导即得f（x）的单调区间；（ 2）经过（ 1）知 x=r 是 f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数 f（ x） =（a＞0，r＞0），∴ x≠﹣ r，即 f （x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣ r，+∞）．又∵ f（ x） ==，∴ f ′（ x）==，∴当 x＜﹣ r 或 x＞ r 时， f ′（x）＜ 0；当﹣ r＜ x＜ r 时， f ′（x）＞ 0；所以， f （x）的单一递减区间为：（﹣∞，﹣ r）、（r， +∞），递加区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得 f （′x）=0，f（ x）在（ 0，r）上单一递加，在（ r，+∞）上单一递减，∴ x=r 是 f（x）的极大值点，∴ f（x）在（ 0， +∞）内的极大值为 f（r） == ==100．【评论】此题考察函数的定义域、单一区间、极值，注意解题方法的累积，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题精品解析(安徽卷)
2015年高考安徽卷理数试题解析（精编版）（解析版）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致.务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位.2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰.作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚.必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．. 4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交.参考公式：如果事件A 与B 互斥，那么()()()P A B P A P B +=+. 标准差222121[()()()]n s x x x x x x n =-+-++-L ，其中121()n x x x x n=+++L . 第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10个小题；每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.（1）设i 是虚数单位，则复数21i i-在复平面内所对应的点位于（ ） （A ）第一象限 （B ）第二象限 （C ）第三象限 （D ）第四象限【答案】B【名师点睛】复数的四则运算问题主要是要熟记各种运算法则，尤其是除法运算，要将复数分母实数化（分母乘以自己的共轭复数），这也历年考查的重点；另外，复数z a bi =+在复平面内一一对应的点为(,)Z a b .（2）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）（A ）y cos x = （B ）y sin x = （C ）y ln x = （D ）21y x =+（3）设:12,:21xp x q <<>，则p 是q 成立的（ ）（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件（4）下列双曲线中，焦点在y 轴上且渐近线方程为2y x =±的是（ ）（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2214y x -= （D ）2214x y -=（5）已知m ，n 是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是（ ）（A ）若α，β垂直于同一平面，则α与β平行（B ）若m ，n 平行于同一平面，则m 与n 平行（C ）若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线（D ）若m ，n 不平行，则m 与n 不可能垂直于同一平面（6）若样本数据1x ，2x ，⋅⋅⋅，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，⋅⋅⋅，1021x -的标准 差为（ ）（A ）8 （B ）15 （C ）16 （D ）32（7）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ）13+ （B ）23+（C ）122+ （D ）22（8）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a r ，b r 满足2a AB =u u u r r ，C 2a b A =+u u u r r r ，则下列结论正确的是（ ）（A ）1b =r （B ）a b ⊥r r （C ）1a b ⋅=r r （D ）()4C a b +⊥B u u u r r r（9）函数()()2ax bf x x c +=+的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）（A ）0a >，0b >，0c < （B ）0a <，0b >，0c >（C ）0a <，0b >，0c < （D ）0a <，0b <，0c <（10）已知函数()()sin f x x ωϕ=A +（A ，ω，ϕ均为正的常数）的最小正周期为π，当23x π= 时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）（A ）()()()220f f f <-< （B ）()()()022f f f <<-（C ）()()()202f f f -<< （D ）()()()202f f f <<-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置.（11）371()x x +的展开式中5x 的系数是 .（用数字填写答案）（12）在极坐标中，圆8sin ρθ=上的点到直线()3R πθρ=∈距离的最大值是 . 【答案】6 【解析】由题意2sin ρρθ=，转化为普通方程为228x y y +=，即22(4)16x y +-=；直线()3R πθρ=∈（13）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 .（14）已知数列{}n a 是递增的等比数列，14239,8a a a a +==，则数列{}n a 的前n 项和等于 .（15）设30x ax b ++=，其中,a b 均为实数，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的 是 .（写出所有正确条件的编号）① 3,3a b =-=-；②3,2a b =-=；③3,2a b =->；④0,2a b ==；⑤1,2a b ==.与最值；函数零点问题考查时，要经常性使用零点存在性定理.三. 解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的 指定区域内.（16）（本小题满分12分）在ABC ∆中，3,6,324A AB AC π===,点D 在BC 边上，AD BD =，求AD 的长.用数形结合的思想，找准需要研究的三角形，利用正弦、余弦定理进行解题.（17）（本小题满分12分）已知2件次品和3件正品放在一起，现需要通过检测将其区分，每次随机检测一件产品，检测后不放回，直到检测出2件次品或者检测出3件正品时检测结束.（Ⅰ）求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率；（Ⅱ）已知每检测一件产品需要费用100元，设X表示直到检测出2件次品或者检测出3件正品时所需要的检测费用（单位：元），求X的分布列和均值（数学期望）.（18）（本小题满分12分）设*n N ∈，n x 是曲线221n y x +=+在点(12)，处的切线与x 轴交点的横坐标.（Ⅰ）求数列{}n x 的通项公式；（Ⅱ）记2221321n n T x x x -=L ，证明14n T n≥.（19）（本小题满分13分） 如图所示，在多面体111A B D DCBA ，四边形11AA B B ，11,ADD A ABCD 均为正方形，E 为11B D 的中点，过1,,A D E 的平面交1CD 于F.（Ⅰ）证明：1//EF B C ；（Ⅱ）求二面角11E A D B --余弦值.【答案】（Ⅰ）1//EF B C ；（Ⅱ）6. 【解析】(20)（本小题满分13分）设椭圆E 的方程为()222210x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为()0a ，，点B 的坐标为 ()0b ，，点M 在线段AB 上，满足2BM MA =，直线O M 的斜率为510. （I ）求E 的离心率e ；（II ）设点C 的坐标为()0b -，，N 为线段AC 的中点，点N 关于直线AB 的对称点的纵坐标为72，求 E 的方程. 【答案】（I ）55；（II ）221459x y +=. 【解析】试题分析：（I ）由题设条件，可得点M 的坐标为21(,)33a b ，利用OM k =，从而2b a =，进而得,2a c b ===，算出5c e a ==.（II ）由题设条件和（I ）的计算结果知，直线AB 的方程1y b+=，得出点N 的坐标为1,)22b -，设点N 关于直线AB 的对称点S 的坐标为17(,)2x ，则（21）（本小题满分13分）设函数2()f x x ax b =-+.（Ⅰ）讨论函数(sin )f x 在(,)22ππ-内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；（Ⅱ）记2000()f x x a x b =-+，求函数0(sin )(sin )f x f x -在[]22ππ-,上的最大值D ； （Ⅲ）在（Ⅱ）中，取000a b ==，求24a z b =-满足D 1≤时的最大值.。
【高考试题解析】2015年高考数学安徽文
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）一、选择题1.设i 是虚数单位，则复数(1i)(12i)-+=（A ）3+3i （B ）－1+3i （3）3+i （D ）－1+i 答案：C解析：2(1i)(12i)12i i 2i 3i -+=+--=+，故选（C ）.2.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则U A C B ⋂= （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 答案：B解析:{}{}1,2,3,4,5,6,2,3,4U B ==，所以{}1,5,6U C B =，又{}1,2A =，所以{}()1U A C B =，故选（B ）.3.设p ：x<3，q ：－1<x<3，则p 是q 成立的（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 答案：C解析:因为:3,:13p x q x <-<<，所以,q p p q ⇒≠>，即p 是q 成立的必要不充分条件，故选（C ）.4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx 答案：D解析:因为ln y x =的定义域为(0,)+∞，所以ln y x =不具有奇偶性；因为21y x =+是偶函数，但方程210x +=无解，即21y x =+不存在零点；sin y x =是奇函数；因为cos y x =是偶函数，且由cos 0y x ==，解得,,2x k k ππ=+∈Z 知函数存在零点，故选（D ）.5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则2z x y =-+的最大值是（A ）－1 （B ）－2 （C ）－5 （D ）1 答案：A解析: 由不等式组0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，得可行域如图所示：由2z x y =-+，得2y x z =+，由图知，直线过点(1,1)A 时，2z x y =-+取到最大值为1-，故选(A). 6.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 答案：A解析:选项（A ）中，1,2a b ==，所以渐近线方程为2y x =±，故选（A ）. 7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 答案：B解析:第一次循环得到3,22a n ==，此时1.414 1.5 1.4140.0860.005a -=-=≥，第二次循环得到7,35a n ==，此时1.4141.41.4140.0140.005a -=-=≥，第三次循环得到17,412a n ==，此时 1.4140.005a -<，此时不满足判断条件，输出4n =，故选（B ）.8.直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b 的值是（A ）－2或12 （B ）2或－12 （C ）－2或－12 （D ）2或12 答案：D解析:由222210x y x y +--+=，得圆心坐标为(1,1)，半径为1，因为直线34x y b +=与圆1=，解得2,b =或12b =，故选（D ）.9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是C（A ）1 （B ）1+（C ）2（D ）答案：C解析:由该几何体的三视图可知直观图如图所示，其中侧面PAC ⊥底面ABC ，且PAC ∆≌ABC ∆，由三视图中所给数据可知PA PC AB BC ====AC 的中点O ,PO BO ，则在Rt POB ∆中，因为1P O B O==，所以PB =，所以22122242S =⨯+⨯⨯=故选(C). 10.函数()32f x ax bx cxd =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c>0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0 答案：A解析:由函数()f x 的图像可知0a >，令0x =，得0d >.又2()32f x ax bx c '=++，设12,x x 是()0f x '=的两根，由图可知120,0x x >>，所以121220303b x x ac x x a ⎧+=->⎪⎪⎨⎪⋅=>⎪⎩，所以00b c <⎧⎨>⎩，故选(A). 二、填空题11.=-+-1)21(2lg 225lg。
2015年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(课标全国Ⅰ)(含答案全解析)
2015年普通高等学校招生全国统一考试课标全国Ⅰ文科数学考生注意:1.答题前,考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小题选出答案后,用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.3.考试结束,监考员将试题卷、答题卡一并收回.第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.(2015课标全国Ⅰ,文1)已知集合A={x|x=3n+2,n ∈N },B={6,8,10,12,14},则集合A ∩B 中元素的个数为( ) A .5 B .4 C .3 D .2 答案:D解析:由条件知,当n=2时,3n+2=8,当n=4时,3n+2=14.所以A ∩B={8,14}.故选D .2.(2015课标全国Ⅰ,文2)已知点A (0,1),B (3,2),向量AC =(-4,-3),则向量BC=( ) A .(-7,-4) B .(7,4) C .(-1,4) D .(1,4) 答案:A解析:∵AB=OB −OA =(3,2)-(0,1)=(3,1),AC =(-4,-3), ∴BC=AC −AB =(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4). 3.(2015课标全国Ⅰ,文3)已知复数z 满足(z-1)i =1+i,则z=( ) A .-2-i B .-2+i C .2-i D .2+i 答案:C解析:∵(z-1)i =1+i,∴z=1+i i +1=(1+i )(-i )-i2+1=1-i +1=2-i . 4.(2015课标全国Ⅰ,文4)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长,则称这3个数为一组勾股数.从1,2,3,4,5中任取3个不同的数,则这3个数构成一组勾股数的概率为( ) A .3 B .1C .1 D .1 答案:C解析:从1,2,3,4,5中任取3个数共有10种不同的取法,其中的勾股数只有3,4,5,因此3个数构成一组勾股数的取法只有一种,故所求概率为1.5.(2015课标全国Ⅰ,文5)已知椭圆E 的中心在坐标原点,离心率为12,E 的右焦点与抛物线C :y 2=8x 的焦点重合,A ,B 是C 的准线与E 的两个交点,则|AB|=( ) A .3 B .6 C .9 D .12答案:B解析:∵抛物线y 2=8x 的焦点坐标为(2,0),∴E 的右焦点的坐标为(2,0).设椭圆E 的方程为x 22+y 2b2=1(a>b>0),∴c=2.∵c =1,∴a=4.∴b 2=a 2-c 2=12,于是椭圆方程为x 216+y 212=1.∵抛物线的准线方程为x=-2,将其代入椭圆方程可得A (-2,3),B (-2,-3),∴|AB|=6. 6.(2015课标全国Ⅰ,文6)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有()A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛答案:B解析:设圆锥的底面半径为R,高为h.∵米堆底部的弧长为8尺,∴1 4·2πR=8,∴R=16π.∵h=5,∴米堆的体积V=1×1πR2h=1×π×162×5.∵π≈3,∴V≈320(立方尺).∴堆放的米约有320≈22(斛).7.(2015课标全国Ⅰ,文7)已知{a n}是公差为1的等差数列,S n为{a n}的前n项和.若S8=4S4,则a10=()A.17B.19C.10D.12答案:B解析:∵公差d=1,S8=4S4,∴8(a1+a8)=4×4(a1+a4),即2a1+7d=4a1+6d,解得a1=1.∴a10=a1+9d=1+9=19.8.(2015课标全国Ⅰ,文8)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图像如图所示,则f(x)的单调递减区间为()A. kπ-1,kπ+3,k∈ZB.2kπ-14,2kπ+34,k∈ZC. k-14,k+34,k∈ZD.2k-1,2k+3,k∈Z 答案:D解析:不妨设ω>0,由函数图像可知,其周期为T=2×54-14=2,所以2π=2,解得ω=π.所以f(x)=cos(πx+φ).由图像可知,当x=1214+54=34时,f(x)取得最小值,即f3=cos3π+φ =-1, 解得3π+φ=2kπ+π(k∈Z), 解得φ=2kπ+π4(k∈Z).令k=0,得φ=π4,所以f(x)=cos πx+π4.令2kπ≤πx+π≤2kπ+π(k∈Z),解得2k-14≤x≤2k+34(k∈Z).所以函数f(x)=cos πx+π4的单调递减区间为2k-14,2k+34(k∈Z).结合选项知选D.9.(2015课标全国Ⅰ,文9)执行下面的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=()A .5B .6C .7D .8答案:C解析:由于S=1,n=0,m=12,t=0.01,则S=S-m=12,m=m 2=14,n=n+1=1,S>0.01;S=1,m=1,n=2,S>0.01;S=1,m=1,n=3,S>0.01; S=116,m=132,n=4,S>0.01; S=132,m=164,n=5,S>0.01; S=1,m=1,n=6,S>0.01; S=1128,m=1256,n=7,S<0.01,结束循环,此时输出的n=7.10.(2015课标全国Ⅰ,文10)已知函数f (x )= 2x -1-2,x ≤1,-log 2(x +1),x >1,且f (a )=-3,则f (6-a )=( ) A .-74B .-54C .-34D .-14答案:A解析:∵f (a )=-3,∴当a ≤1时,f (a )=2a-1-2=-3,即2a-1=-1,此等式显然不成立. 当a>1时,f (a )=-log 2(a+1)=-3,即a+1=23,解得a=7.∴f (6-a )=f (-1)=2-1-1-2=14-2=-74. 11.(2015课标全国Ⅰ,文11)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r )组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=( ) A .1 B .2 C .4 D .8 答案:B解析:由条件及几何体的三视图可知该几何体是由一个圆柱被过圆柱底面直径的平面所截剩下的半个圆柱及一个半球拼接而成的.其表面积由一个矩形的面积、两个半圆的面积、圆柱的侧面积的一半及一个球的表面积的一半组成.∴S 表=2r×2r+2×12πr 2+πr×2r+12×4πr 2=5πr 2+4r 2=16+20π,解得r=2.12.(2015课标全国Ⅰ,文12)设函数y=f (x )的图像与y=2x+a 的图像关于直线y=-x 对称,且f (-2)+f (-4)=1,则a=( ) A .-1 B .1 C .2 D .4 答案:C解析:设(x ,y )是函数y=f (x )图像上的任意一点,它关于直线y=-x 的对称点为(-y ,-x ),由已知得点(-y ,-x )在曲线y=2x+a 上,∴-x=2-y+a ,解得y=-log 2(-x )+a ,即f (x )=-log 2(-x )+a.∴f (-2)+f (-4)=-log 22+a+(-log 24)+a=1, 解得a=2.第Ⅱ卷注意事项:第Ⅱ卷共3页,须用黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答.若在试题卷上作答,答案无效.本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须做答.第22题~第24题为选考题,考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题,每小题5分.13.(2015课标全国Ⅰ,文13)在数列{a n }中,a 1=2,a n+1=2a n ,S n 为{a n }的前n 项和.若S n =126,则n= . 答案:6解析:∵a n+1=2a n ,即an +1n=2,∴{a n }是以2为公比的等比数列. 又a 1=2,∴S n =2(1-2n )1-2=126.∴2n =64,∴n=6.14.(2015课标全国Ⅰ,文14)已知函数f (x )=ax 3+x+1的图像在点(1,f (1))处的切线过点(2,7),则a= . 答案:1解析:∵f'(x )=3ax 2+1,∴f'(1)=3a+1,即切线斜率k=3a+1.又f (1)=a+2,∴已知点为(1,a+2).而由过(1,a+2),(2,7)两点的直线的斜率为a +2-71-2=5-a , ∴5-a=3a+1,解得a=1.15.(2015课标全国Ⅰ,文15)若x ,y 满足约束条件 x +y -2≤0,x -2y +1≤0,2x -y +2≥0,则z=3x+y 的最大值为 .答案:4解析:画出约束条件对应的可行域(如图阴影部分所示),由 x -2y +1=0,x +y -2=0解得 x =1,y =1,即点A 的坐标为(1,1).由z=3x+y ,得y=-3x+z.作出直线l 0:y=-3x ,并平移,当直线经过点A 时,直线在y 轴上的截距最大,即z 最大. 所以z max =3×1+1=4.16.(2015课标全国Ⅰ,文16)已知F 是双曲线C :x 2-y 2=1的右焦点,P 是C 的左支上一点,A (0,6 ).当△APF 周长最小时,该三角形的面积为 . 答案:12 6解析:设双曲线的左焦点为F 1,如图.由双曲线的定义知|PF|=2a+|PF 1|,∴△APF 的周长为|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+(2a+|PF 1|)+|AF|=|PA|+|PF 1|+(2a+|AF|).由于2a+|AF|是定值,要使△APF 的周长最小,则应使|PA|+|PF 1|最小,即P ,A ,F 1三点共线. ∵A (0,6 ),F 1(-3,0),∴直线AF 1的方程为x -36 6=1,即x=2 6-3. 将其代入x 2-y 2=1得y 2+6 6y-96=0,解得y=2 6或y=-8 6(舍去), 因此点P 的纵坐标为2 6. ∴S △APF =S △AF 1F −S △PF 1F =12·|F 1F|·y A -12·|F 1F|·y P=1×6×6 6−1×6×2 6=12 6. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文17)已知a ,b ,c 分别为△ABC 内角A ,B ,C 的对边,sin 2B=2sin A sin C. (1)若a=b ,求cos B ; (2)设B=90°,且a= ,求△ABC 的面积. 解:(1)由题设及正弦定理可得b 2=2ac.又a=b ,可得b=2c ,a=2c.由余弦定理可得cos B=a 2+c 2-b 22ac=14.6分(2)由(1)知b 2=2ac. 因为B=90°,由勾股定理得a 2+c 2=b 2. 故a 2+c 2=2ac ,得c=a= 2. 所以△ABC 的面积为1.12分18.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文18)如图,四边形ABCD 为菱形,G 为AC 与BD 的交点,BE ⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC ⊥平面BED ;(2)若∠ABC=120°,AE ⊥EC ,三棱锥E-ACD 的体积为 63,求该三棱锥的侧面积. 解:(1)因为四边形ABCD 为菱形,所以AC ⊥BD.因为BE ⊥平面ABCD ,所以AC ⊥BE.故AC ⊥平面BED.又AC ⊂平面AEC ,所以平面AEC ⊥平面BED. 5分(2)设AB=x ,在菱形ABCD 中,由∠ABC=120°,可得AG=GC= 32x ,GB=GD=x2.因为AE ⊥EC ,所以在Rt △AEC 中,可得EG= 32x.由BE ⊥平面ABCD ,知△EBG 为直角三角形,可得BE= 2x. 由已知得,三棱锥E-ACD 的体积 V E-ACD =13×12AC ·GD ·BE= 624x 3= 63.故x=2.9分从而可得AE=EC=ED=所以△EAC 的面积为3,△EAD 的面积与△ECD 的面积均为 5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+2 5.12分19.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文19)某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x (单位:千元)对年销售量y (单位:t)和年利润z (单位:千元)的影响.对近8年的年宣传费x i 和年销售量y i (i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值.8888表中w i = i ,w =1∑i =18w i. (1)根据散点图判断,y=a+bx 与y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立y 关于x 的回归方程;(3)已知这种产品的年利润z 与x ,y 的关系为z=0.2y-x.根据(2)的结果回答下列问题: ①年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? ②年宣传费x 为何值时,年利润的预报值最大?附:对于一组数据(u 1,v 1),(u 2,v 2),…,(u n ,v n ),其回归直线v=α+βu 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^=∑i =1n(u i -u )(v i -v )∑i =1n(u i -u )2,α^=v −β^u .解:(1)由散点图可以判断,y=c+d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型.2分(2)令w= x ,先建立y 关于w 的线性回归方程.由于d ^=∑i =18(w i -w )(y i -y )∑i =18(w i -w )2=108.8=68, c ^=y −d ^w =563-68×6.8=100.6,所以y 关于w 的线性回归方程为y ^=100.6+68w ,因此y 关于x 的回归方程为y ^=100.6+68 x . 6分(3)①由(2)知,当x=49时,年销售量y 的预报值 y ^=100.6+68 49=576.6,年利润z 的预报值z ^=576.6×0.2-49=66.32. 9分②根据(2)的结果知,年利润z 的预报值z ^=0.2(100.6+68 x )-x=-x+13.6 x +20.12.所以当 x =13.6=6.8,即x=46.24时,z ^取得最大值.故年宣传费为46.24千元时,年利润的预报值最大. 12分20.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文20)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C :(x-2)2+(y-3)2=1交于M ,N 两点.(1)求k 的取值范围;(2)若OM ·ON=12,其中O 为坐标原点,求|MN|. 解:(1)由题设,可知直线l 的方程为y=kx+1.因为l 与C 交于两点,所以 1+k <1.解得4- 7<k<4+ 7.所以k 的取值范围为4- 73,4+ 73. 5分(2)设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2).将y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1, 整理得(1+k 2)x 2-4(1+k )x+7=0. 所以x 1+x 2=4(1+k )1+k2,x 1x 2=71+k2.7分OM ·ON =x 1x 2+y 1y 2 =(1+k 2)x 1x 2+k (x 1+x 2)+1=4k (1+k )1+k2+8.由题设可得4k (1+k )1+k2+8=12,解得k=1,所以l 的方程为y=x+1.故圆心C 在l 上,所以|MN|=2.12分21.(本小题满分12分)(2015课标全国Ⅰ,文21)设函数f (x )=e 2x -a ln x. (1)讨论f (x )的导函数f'(x )零点的个数; (2)证明:当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),f'(x )=2e 2x -a (x>0).当a ≤0时,f'(x )>0,f'(x )没有零点,当a>0时,因为e 2x 单调递增,-ax单调递增, 所以f'(x )在(0,+∞)单调递增.又f'(a )>0,当b 满足0<b<a 4且b<14时,f'(b )<0,故当a>0时,f'(x )存在唯一零点.6分(2)由(1),可设f'(x )在(0,+∞)的唯一零点为x 0,当x ∈(0,x 0)时,f'(x )<0;当x ∈(x 0,+∞)时,f'(x )>0. 故f (x )在(0,x 0)单调递减,在(x 0,+∞)单调递增,所以当x=x 0时,f (x )取得最小值,最小值为f (x 0).由于2e 2x 0−ax 0=0, 所以f (x 0)=a 0+2ax 0+a ln2≥2a+a ln 2.故当a>0时,f (x )≥2a+a ln 2.12分请考生在第22、23、24题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分.做答时请写清题号. 22.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文22)选修4—1:几何证明选讲如图,AB 是☉O 的直径,AC 是☉O 的切线,BC 交☉O 于点E. (1)若D 为AC 的中点,证明:DE 是☉O 的切线; (2)若OA= 3CE ,求∠ACB 的大小.解:(1)连结AE ,由已知得,AE ⊥BC ,AC ⊥AB.在Rt △AEC 中,由已知得,DE=DC ,故∠DEC=∠DCE. 连结OE ,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90°,所以∠DEC+∠OEB=90°, 故∠OED=90°,DE 是☉O 的切线. 5分(2)设CE=1,AE=x ,由已知得AB=2 3,BE= 12-x 2. 由射影定理可得,AE 2=CE ·BE , 所以x 2= 12-x 2,即x 4+x 2-12=0.可得x= 3,所以∠ACB=60°.10分23.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文23)选修4—4:坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,直线C 1:x=-2,圆C 2:(x-1)2+(y-2)2=1,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求C 1,C 2的极坐标方程;(2)若直线C 3的极坐标方程为θ=π(ρ∈R ),设C 2与C 3的交点为M ,N ,求△C 2MN 的面积. 解:(1)因为x=ρcos θ,y=ρsin θ,所以C 1的极坐标方程为ρcos θ=-2,C 2的极坐标方程为ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0.5分(2)将θ=π代入ρ2-2ρcos θ-4ρsin θ+4=0,得ρ2-3 ρ+4=0,解得ρ1=2 2,ρ2= 2. 故ρ1-ρ2= 2,即|MN|= 2.由于C 2的半径为1,所以△C 2MN 的面积为12.10分24.(本小题满分10分)(2015课标全国Ⅰ,文24)选修4—5:不等式选讲 已知函数f (x )=|x+1|-2|x-a|,a>0.(1)当a=1时,求不等式f (x )>1的解集;(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6,求a 的取值范围. 解:(1)当a=1时,f (x )>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.当x ≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;当-1<x<1时,不等式化为3x-2>0,解得2<x<1; 当x ≥1时,不等式化为-x+2>0,解得1≤x<2.所以f (x )>1的解集为 x 23<x <2 . 5分(2)由题设可得,f (x )= x -1-2a ,x <-1,3x +1-2a ,-1≤x ≤a ,-x +1+2a ,x >a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A 2a -13,0 ,B (2a+1,0),C (a ,a+1),△ABC 的面积为23(a+1)2.由题设得2(a+1)2>6,故a>2. 所以a 的取值范围为(2,+∞). 10分。
2015年高考数学安徽卷(文科)真题试卷
2
）
） C. x
2
y2 1 4
B. 4
B.
x2 y2 1 4
C. 5
y2 1 2
）
D.
x2 y2 1 2
7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图） ，输出的 n 为（ A. 3 D. 6
8. 直线 3 x 4 y b 与圆 x y 2 x 2 y 1 0 相切，则 b （ A. 2 或 12 B. 2 或 12 C. 2 或 12 ）
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FunshineMaths 峰行数学
x2 y2 1 (a b 0) ，点 O 为坐标原点， a2 b2 点 A 的坐标为 (a, 0) ，点 B 的坐标为 (0, b) ，点 M 在线段 AB 上，满足 | BM | 2 | MA | ，
20.（本小题满分 13 分）设椭圆 E 的方程为
3 2
）
二. 填空题（本大题满分 25 分，共 5 小题，每题 5 分） 11. lg
5 1 2 lg 2 ( ) 1 2 2
；
12. 在△ ABC 中， AB
6 ， A 75 ， B 45 ，则 AC
； ；
13. 已知数列 {an } 中， a1 1 ， an an 1
FunshineMaths 峰行数学 2015 年普通高等学校招生全国统一考试 数学试卷（安徽卷文科）
一. 选择题（本大题满分 50 分，共 10 小题，每小题 5 分） 1. 设 i 是虚数单位，则复数 (1 i)(1 2i ) （ A. 3 3i B. 1 3i ） D. 1 i ）
2015年安徽省高考数学试卷(文科)解析
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4} 3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=17．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6 8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12 9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间上的最大值和最小值．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．（2015•安徽）如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．解答：解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．点评：本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1，2，3，4，5，6}A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁R B）=（）A．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}考点：交、并、补集的混合运算．专题：集合．分析：进行补集、交集的运算即可．解答：解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．点评：考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）（2015•安徽）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：简易逻辑．分析：判断必要条件与充分条件，推出结果即可．解答：解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．点评：本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）（2015•安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx考点：函数的零点；函数奇偶性的判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．解答：解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D点评：本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）（2015•安徽）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．解答：解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．点评：本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1C．x2﹣=1D．﹣y2=1考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．解答：解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．点评：本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3B．4C．5D．6考点：程序框图．专题：图表型；算法和程序框图．分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．解答：解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12。
普通高等学校招生全国统一考试(安徽卷)——数学(文)(1
安徽省2015年普通高等学校招生全国统一考试数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
全卷满分150 分，考试时间为120 分钟。
考生注意事项1 ．答题前，考生先将自己的姓名、考场座位号及姓名在答题卡条形码处填写清楚。
2 ．选择题部分必须使用ZB 铅笔填涂；非选择题部分必须使用。
．5 毫米的黑色签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3 请按照题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
4 ．考试结束，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题共50 分）一、选择题（本大题共10 小题。
每小题5 分，共50 分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1 ．设i 是虚数单位，，若是一个纯虚数，则实数a 的值为A ．－B ．－1C ．D ．12 ．设集合A 和B 都是坐标平面上的点集，映射A→B 把集合A 中的元素（x ，y ），必映射成集合B 中的元素（x ＋y , x 一y ），则在映射f 下，在集合A 中，与集合B 中的元素（2 , 1 ） 对应的元素是（）A ．（3，1）B ．C ．D ．（1，3）3 ．已知集合{|320},{|()(3)0}A x R x B x R x x =∈+>=∈+->，则A ．B ．C ．D ． 4 ．抛物线的准线方程是y =2 ，则a 的值为A ．B ．－C ．8D ．－8 5．已知4(,0),cos ,tan 225x x x π∈-== A ． B ．－ C ． D ．－6．若实数x , y 满足1020,30x y x x y -+≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≥⎩则的取值范围是 A ． B ． C ． D ．7 ．如果直线将圆：平分，且不通过第四象限，那么的斜率的取值范围是（）A ．[0，2]B ．[0，1]C ．[0，]D ．8 ．设S n 是等差数列｛a n ｝的前n 项和，已知a 2=3 , a 6 =11，则S 7 =（）A ．13B ．35C ．49D ．639 ．已知直线m , n 和平面a ，则m ∥n 的一个必要非充分条件是（）A ．m ∥a , n ∥aB ．m ⊥a , n ⊥aC ．D ．m ，n 与a 成等角A ．1 个B ．2 个C ．多于2 个D ．不存在第Ⅱ卷（非选择题共100 分）二、填空题（本大题共5 小题，每小题5 分，共25 分。
2015年安徽高考数学文科试卷带详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学安徽卷（文科）一、选择题.1. 设i 是虚数单位，则复数(1i)(12i)()-+=A. 3+3iB. -1+3iC. 3+iD. -1+i 【参考答案】 C【测量目标】 复数的四则运算.【试题解析】 因为(1-i)(1+2i)=1+2i-i-22i =3+i, 所以选C. 2. 设全集{1,2,3,4,5,6},={1,2},{2,3,4}U A B ==，则()()U A B = ð A. {1, 2, 5, 6} B. {1} C. {2} D. {1, 2, 3, 4}【参考答案】 B【测量目标】 集合的运算.【试题解析】 因为U B ð={1, 5, 6}, 所以()U A B ð={1}. 故选B. 3. 设p ：x <3, q ： -1<x <3, 则p 是q 成立的（ ）A. 充分必要条件B. 充分不必要条件C. 必要不充分条件D. 既不充分也不必要条件 【参考答案】 C【测量目标】 充要条件的判断.【试题解析】 因为p ： x <3, q ： -1<x <3, 所以,q p ⇒但是p 不能推出q ， 所以p 是q 成立的必要不充分条件，故选C. 4. 下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）A. y =㏑xB. 2y x =+1 C. y =sin x D. y =cos x【参考答案】 D【测量目标】 函数的奇偶性；零点.【试题解析】 对选项A ： y =㏑x 的定义域为（0，+∞），不具有奇偶性，排除A; 对选项B ：2y x =+1是偶函数，但2y x =+1=0无解，即不存在零点，排除B; 对选项C ：y =sin x 是奇函数，排除C; 对选项D ：y =cos x =0,2x k k π⇒=+π∈Z ， 所以D 正确.5. 已知,x y 满足约束条件0401x y x y y -⎧⎪+-⎨⎪⎩≥≤≥，则2z x y =-+的最大值是（ ）A.-1B.-2C.-5D. 1 【参考答案】 A【测量目标】 简单的线性规划.【试题解析】 根据题意作出约束条件确定的可行域，第5题图由22z x y y x z =-+⇒=+，可知在图中点（1,1）处，2z x y =-+取到最大值-1，故选A.6. 下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）A. 2214y x -= B. 2214x y -= C. 2212y x -= D. 2212x y -= 【参考答案】 A【测量目标】 渐近线方程.【试题解析】 由双曲线的渐近线的公式知道选项A 的渐近线方程为2y x =±，故选A. 7. 执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6第7题图【参考答案】 B【测量目标】 程序框图.【试题解析】 执行第一次循环体：3,22a n ==,此时 1.414 1.5 1.4140.086a -=-=； 执行第二次循环体：7,35a n ==,此时 1.414 1.4 1.4140.0140.005a -=-=≥； 执行第三次循环体：17,412a n ==,此时 1.4140.005a -<，不满足判断条件，输出 4n =, 故选B.8. 直线34x y b +=与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ） A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12【参考答案】 D【测量目标】 直线与圆的位置关系；点到直线的距离公式.【试题解析】 把圆的方程化为标准形式：22(1)(1)1x y -+-=，则圆心（1,1），半径为1，又直线与圆相切，所以223+4=1=2123+4b b -⇒或. 故选D.9. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ） A. 13+ B. 122+ C. 23+ D. 22第9题图【参考答案】 C【测量目标】 几何体的三视图；锥体的表面积.【试题解析】 由给出的三视图可知该几何体的直观图如下所示.第9题图其中侧面P AC ⊥底面ABC ,且PAC ABC △≌△, 由三视图中所给数据可知：P A=PC=AB=BC =2, 取AC 中点O ,连接PO, BO , 则Rt POB △中，PO=BO =1⇒PB =2, 所以面积S 可计算为1612222123222S =⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+. 故选C.10. 函数32()f x ax bx cx d =+++的图象如图所示，则下列结论成立的是（ ）第10题图A. 0,0,0,0a b c d ><>>B. 0,0,0,0a b c d ><<>C. 0,0,0,0a b c d <<<>D. 0,0,0,0a b c d >>>< 【参考答案】 A【测量目标】 函数的图形与性质.【试题解析】 由函数()f x 的图象可知0a >，令'200.()3+2x d f x ax bx c =⇒>=+，可知12,x x 是'()0f x =的两个根，由图可知120,0x x >>. 所以由韦达定理得12122003003b x x b ac c x x a ⎧+=->⎪<⎧⎪⇒⎨⎨>⎩⎪=>⎪⎩， 故选A.二、填空题.11. lg52+2lg2-11()2-=________ . 【参考答案】-1【测量目标】 指数幂运算；对数运算.【试题解析】 原式=lg5-lg2+2lg2-2=lg5+lg2-2=-1 . 12. 在ABC △中，AB =6, 75,45A B ∠=∠= , 则AC =________ .【参考答案】 2【测量目标】 正弦定理. 【试题解析】 由正弦定理可知：6sin[180(7545)]sin 45sin 60sin 45AB AC AC=⇒=-+,所以2AC =.13. 已知数列{n a }中，1111,(2)2n n a a a n -==+≥，则数列{n a }的前9项和等于_____.【参考答案】 27【测量目标】 等差数列的定义与前n 项和. 【试题解析】 由11(2)2n n a a n --=≥知道数列{n a }是以1为首项，12为公差的等差数列.则其通项公式为12n n a +=，所以前9项和9919[1]2272S ++==. 14. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线2y a =与函数1y x a =--的图象只有一个交点，则a 的值为________. 【参考答案】 12-【测量目标】 函数与方程；函数的图象.【试题解析】 在同一坐标系内，作出所给直线与函数的大致图象如图，则1212a a =-⇒=-.第14题图15. ABC △是边长为2的等边三角形，已知向量、a b 满足22AB AC ==+，a a b , 则下列结论中正确的是________.(写出所有正确结论的序号)① a 为单位向量； ② b 为单位向量； ③ ⊥a b ； ④ BC ∥b ； ⑤ (4)BC +⊥a b .【参考答案】 ①④⑤【测量目标】 平面向量的基本概念和性质.【试题解析】 由题意可知：等边三角形ABC 的边长为2，2AB = a ，则22AB ==a ，所以a =1， 故①正确；+2,AC AB BC BC BC ==∴=a +b 2⇒=b , 故②错误，④正确；=2AB BC =∴ ，，与a b a b的夹角为120，故③错误； 1(4)(4)412()+4=02BC +⋅=+⋅=⨯⨯⨯- a b a b b ，(4)BC ∴+⊥ a b , 故⑤正确.三、解答题.16. 已知函数2()(sin cos )+cos2f x x x x =+ （1）求()f x 的最小正周期； （2）求()f x 在区间[0,2π]上的最大值和最小值.【参考答案】 （1）π； （2）最大值为21+，最小值为0. 【测量目标】 (1)三角函数的性质; (2)三角函数在区间上的最值. 【试题解析】（1）化简可得()2sin(2)14f x x π=++,则()f x 最小正周期22T π==π；（2）52[0,],2[,],sin(2)[,1]244442x x x πππππ∈∴+∈∴+∈- ， 故()2sin(2)14f x x π=++的最大值为21+，最小值为0.17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问了50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为 [40,50], [50,60], [60,70], … ,[80,90],[90,100].第17题图（1）求频率分布图中a 的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40, 60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40, 50]的概率. 【测量目标】 (1)频率分布直方图； (2)古典概型;(3)随机事件的概率.【试题解析】 （1）由频率分布直方图可知：（0.004+a +0.018+0.022×2+0.028）×10=1,解得0.006a =.（2）由分布直方图可知，评分不低于80的人数为（0.022+0.018）×10×50=20(人)， 所以评分不低于80分的概率为25. （3）在[40, 50]、[50,60]内的人数分别为：0.004×10×50=2，0.006×10×50=3，故在[40,60]内的受访职工中随机抽取2人，此2人评分均在[40,50]之间的概率为：2225C 1C 10P ==. 18. 已知数列{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）设n S 为数列{n a }的前n 项和，1+1n n n n a b S S +=，求数列{n b }的前n 项和n T .【测量目标】(1)等比数列的通项公式；(2)裂项相消法求和. 【试题解析】 （1）{n a }是递增的等比数列，且14239,8a a a a +==，14134144114918288a a a a a a q q a a a a +=⎧=⎧⎪<⇒⇒==⇒=⎨⎨=⎩⎪=⎩ ， 1112n n n a a q --∴==. （2）由（1）可知1(1)1221112n nn n a q S q --===---，11211(21)(21)2121n n n n n n b ++∴==-----， +1111111113377152121n n n T ∴=-+-+-++--- =11121n +-=-112221n n ++--.19. 如图三棱锥P -ABC 中，P A ⊥平面ABC , P A =1，AB =1，AC =2，60BAC ∠=. （1）求三棱锥P -ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M , 使得AC ⊥BM , 并求PMMC的值.第19题图【测量目标】(1)三棱锥的体积公式； (2)线面垂直的判定定理和性质.【试题解析】 （1）在ABC △中， AB =1， AC =2， 60BAC ∠=, 113s i n 12s i n 60222ABC S AB AC BAC ∴=⋅⋅∠=⨯⨯⨯= △. 又因为P A ⊥面ABC ， -113313326P A B C A B C V P A S ∴=⋅=⨯⨯=△. （2）过点B 作BN 垂直AC 于点N , 过N 作NM P A 交PC 于M , 则有第19题图=M N A B C M N A C A C B M NM N B NN A C A B C B M B M N⊥⊥⊥⎧⎧⎧⇒⇒⎨⎨⎨⊂⊂⎩⎩⎩ 面面面面 AC BM ⇒⊥. 此时M 即为所要找的点，在ABN △中，131====243CM CN PM AN PC AC MC ⇒⇒. 20. 设椭圆E 的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，点O 为坐标原点，点A 的坐标为（,0a ），点B 的坐标为(0, b ),点M 在线段AB 上,满足2BM MA =,直线OM 的斜率为510. （1）求E 的离心率e ；（2）设点C 的坐标为(0,)b -，N 为线段AC 的中点，证明：MN AB ⊥. 【测量目标】 (1)椭圆的离心率；(2)直线与椭圆的位置关系.【试题解析】 （1）212,(,0),(0,),(,)33BM MA A a B b M a b =∴ ，又OM 的斜率为510，222222215114253=21055553bb ac c e a a a a -∴=⇒=⇒=⇒=⇒. （2）由题意可知N 点的坐标为（,22a b -），11553262326MN b b b b K a a a a +∴===-， 225,1.A B M N A B bb K K K MN AB aa =∴⋅=-=-∴⊥-， 21. 已知函数2()(0,0)()ax f x a r x r =>>+（1）求()f x 的定义域，并讨论()f x 的单调性； （2）若400ar=，求()f x 在(0,)+∞内的极值.【测量目标】 (1)导数在函数单调性中的应用； (2)函数的极值.【试题解析】(1)由题意可知x r ≠-，所以函数的定义域为,)(,)r r --+ (-∞∞. 222'44()2()()()()()a x r ax x r a x r f x x r x r +-+--==++, 0,0,a r >> 令'()0(,)()f x x r r f x >⇒∈-∴的单调递增区间为(,)r r -；令'()0(,)f x x r <⇒∈--∞和(,)r +∞，()f x ∴的单调递减区间为(,)r --∞和(,)r +∞. （2）由（1）可知()f x 在(0,)+∞内的极大值为2()10044ar af r r r===. 且()f x 在(0,)+∞内无极小值.。
2015年高考文数真题试卷(安徽卷)
第1页，总13页…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………姓名：____________班级：____________学号：___________…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………2015年高考文数真题试卷（安徽卷）考试时间：**分钟 满分：**分姓名：____________班级：____________学号：___________题号 一 二 三 四 总分 核分人 得分注意事项：1、填写答题卡的内容用2B铅笔填写2、提前 15 分钟收取答题卡第Ⅰ卷 客观题第Ⅰ卷的注释评卷人 得分一、单选题（共9题)1. （2015·安徽）设全集，，，则=（）A . {1,2,5,6}B . {1}C . {2}D . {1,2,3,4,}2. （2015·安徽）函数的图像如图所示，则下列结论成立的是（）A . a>0，b<0，c>0，d>0B . a>0，b<0，c<0，d>0C . a<0，b<0，c<0，d>0D . a>0，b>0，c>0，d<03. （2015·安徽）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ） A . y=lnx B . C . y=sinx D . y=cosx4. （2015·安徽）直线3x+4y=b 与圆相切，则b=（ ）A . -2或12B . 2或-12C . -2或-12D . 2或12答案第2页，总13页………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………5. （2015·安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（）A . 3B . 4C . 5D . 66. （2015·安徽）已知x ，y 满足约束条件，则z=-2x+y 的最大值是（ ）A . -1B . -2C . -5D . 17. （2015·安徽）设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（ ） A . 充分必要条件 B . 充分不必要条件C . 必要不充分条件D . 既不充分也不必要条件8. （2015·安徽）设i 是虚数单位，则复数（1-i ）（1+2i)=（）A . 3+3iB . -1+3iC . 3+iD . -1+i9. （2015·安徽）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）。
2015年安徽高考数学(文)试卷
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，第I 卷第1至第2页，第II 卷第3至第4页。
全卷满分150分，考试时间120分钟。
考生注意事项：1． 答题前，务必在试卷、答题卡规定的地方填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。
务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。
2． 答第I 卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
3． 答第II 卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。
作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。
必须在题号所指示的答题区域作答，超出答题区域书写的答案无效，在答题卷、草稿纸上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．。
4． 考试结束，务必将试卷和答题卡一并上交。
第I 卷（选择题共50分）一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i 2.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()R AC B =（A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，， 3.设p ：x<3，q ：-1<x<3，则p 是q 成立的（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件 （C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件 4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（A ）y=lnx （B ）21y x =+ （C ）y=sinx （D ）y=cosx5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z=-2x+y 的最大值是（A ）-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）16.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（A ）2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -= 7.执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为 （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 8.直线3x+4y=b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b= （A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或129.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是 （A）1（B）1+（B ）（C）2+ （D）10.函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（A ）a>0，b<0，c>0，d>0 （B ）a>0，b<0，c<0，d>0 （C ）a<0，b<0，c<0，d>0 （D ）a>0，b>0，c>0，d<0第Ⅱ卷（非选择题 共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．．作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．. 二．选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置。
2015年安徽省高考数学试卷(文科)
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁B）=（）UA．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1= ．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= ．13．（3分）已知数列{an }中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{an }是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设Sn 为数列{an}的前n项和，bn=，求数列{bn}的前n项和Tn．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁B）=（）UA．{1，2，5，6} B．{1} C．{2} D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．B={1，5，6}；【解答】解：∁R∴A∩（∁B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．R故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f （x）的关系．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC =S△ABC==1，S△OAB =S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0 C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1= ﹣1 ．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC= 2 ．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{an }中，a1=1，an=an﹣1+（n≥2），则数列{an}的前9项和等于27 ．【分析】通过an =an﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵an =an﹣1+（n≥2），∴an ﹣an﹣1=（n≥2），∴数列{an}的公差d=，又a1=1，∴an=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设S n 为数列{a n }的前n 项和，b n =，求数列{b n }的前n 项和T n ．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n }的通项公式； （2）求出b n =，利用裂项法即可求数列{b n }的前n 项和T n ．【解答】解：（1）∵数列{a n }是递增的等比数列，且a 1+a 4=9，a 2a 3=8． ∴a 1+a 4=9，a 1a 4=a 2a 3=8．解得a 1=1，a 4=8或a 1=8，a 4=1（舍）， 解得q=2，即数列{a n }的通项公式a n =2n ﹣1； （2）S n ==2n ﹣1，∴b n ===﹣，∴数列{b n }的前n 项和T n =+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P ﹣ABC 中，PA ⊥平面ABC ，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°． （1）求三棱锥P ﹣ABC 的体积；（2）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求的值．【分析】（1）利用VP﹣ABC =•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S△ABC==．因为PA⊥平面ABC，PA=1，所以VP﹣ABC =•S△ABC•PA=；（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM 的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2015年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题精品解析(新课标Ⅰ卷)
2015年高考新课标Ⅰ卷文数试题解析（精编版）（解析版）一、选择题：每小题5分,共60分1、已知集合{32,},{6,8,10,12,14}A x x n n N B ==+∈=，则集合A B 中的元素个数为( )（A ） 5 （B ）4 （C ）3 （D ）2 【答案】D2、已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)3、已知复数z 满足(1)1z i i -=+，则z =（ ）（A ） 2i -- （B ）2i -+ （C ）2i - （D ）2i +4、如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为（）（A）310（B）15（C）110（D）1205、已知椭圆E的中心为坐标原点，离心率为12，E的右焦点与抛物线2:8C y x=的焦点重合，,A B是C的准线与E的两个交点，则AB= ( )（A）3（B）6（C）9（D）12【答案】B6、《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A ）14斛 （B ）22斛 （C ）36斛 （D ）66斛7、已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若844S S =，则10a =（ ） （A ）172 （B ）192（C ）10 （D ）128、函数()cos()f x x ωϕ=+的部分图像如图所示，则()f x 的单调递减区间为（ ）（A ）13(,),44k k k Z ππ-+∈ （B ）13(2,2),44k k k Z ππ-+∈ （C ）13(,),44k k k Z -+∈ （D ）13(2,2),44k k k Z -+∈9、执行右面的程序框图，如果输入的0.01t =，则输出的n =（ ）（A ） 5 （B ）6 （C ）10 （D ）12 【答案】C【解析】执行第1次，t =0.01,S=1,n =0,m =12=0.5,S =S -m =0.5,2mm ==0.25,n =1,S =0.5＞t =0.01,是，循环， 执行第2次，S =S -m =0.25,2mm ==0.125,n =2,S=0.25＞t =0.01,是，循环， 执行第3次，S =S -m =0.125,2mm ==0.0625,n =3,S=0.125＞t =0.01,是，循环，执行第4次，S=S-m =0.0625,2mm ==0.03125,n =4,S=0.0625＞t =0.01,是，循环， 执行第5次，S=S-m =0.03125,2mm==0.015625,n =5,S=0.03125＞t =0.01,是，循环，执行第6次，S=S-m =0.015625,2mm ==0.0078125,n =6,S=0.015625＞t =0.01,是，循环，执行第7次，S=S-m =0.0078125,2mm ==0.00390625,n=7,S=0.0078125＞t =0.01,否，输出n =7，故选C.【考点定位】程序框图【名师点睛】本题是已知程序框图计算输出结果问题，对此类问题，按程序框图逐次计算，直到输出时，即可计算出输出结果，是常规题，程序框图还可考查已知输入、输出，不全框图或考查程序框图的意义，处理方法与此题相同.10、已知函数1222,1()log (1),1x x f x x x -⎧-≤=⎨-+>⎩ ，且()3f a =-，则(6)f a -=（ ）（A ）74-（B ）54- （C ）34- （D ）14- 11、圆柱被一个平面截去一部分后与半球（半径为r ）组成一个几何体，该几何体的三视图中的正视图和俯视图如图所示，若该几何体的表面积为1620π+，则r =( )（A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）812、设函数()y f x =的图像与2x ay +=的图像关于直线y x =-对称，且(2)(4)1f f -+-=，则a =( )（A ） 1- （B ）1 （C ）2 （D ）4二、填空题：本大题共4小题,每小题5分13、数列{}n a 中112,2,n n n a a a S +==为{}n a 的前n 项和，若126n S =，则n = .14、已知函数()31f x ax x =++的图像在点()()1,1f 的处的切线过点()2,7，则 a=.15、若x ,y 满足约束条件20210220x y x y x y +-≤⎧⎪-+≤⎨⎪-+≥⎩,则z =3x +y 的最大值为 ．【答案】4【解析】作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线0l ：30x y +=，平移直线0l ，当直线l :z =3x +y 过点A时，z 取最大值，由2=021=0x y x y +-⎧⎨-+⎩解得A （1,1），∴z =3x +y 的最大值为4.【考点定位】简单线性规划解法【名师点睛】对线性规划问题，先作出可行域，在作出目标函数，利用z 的几何意义，结合可行域即可找出取最值的点，通过解方程组即可求出做最优解，代入目标函数，求出最值，要熟悉相关公式，确定目标函数的意义是解决最优化问题的关键，目标函数常有距离型、直线型和斜率型.16、已知F 是双曲线22:18y C x -=的右焦点，P 是C 左支上一点，()0,66A ，当APF ∆周长最小时，该三角形的面积为 ． 【答案】126【解析】设双曲线的左焦点为1F ，由双曲线定义知，1||2||PF a PF =+，∴△APF 的周长为|PA |+|PF |+|AF |=|PA |+12||a PF ++|AF |=|PA |+1||PF +|AF |+2a ， 由于2||a AF +是定值，要使△APF 的周长最小，则|PA |+1||PF 最小，即P 、A 、1F 共线，∵()0,66A ，1F （－3,0），∴直线1AF 的方程为1366x y +=-，即326y x =-代入2218y x -=整理得266960y y +-=，解得26y =或86y =-(舍)，所以P 点的纵坐标为26，∴11APF AFF PFF S S S ∆∆∆=-=1166662622⨯⨯-⨯⨯=126. 【考点定位】双曲线的定义；直线与双曲线的位置关系；最值问题【名师点睛】解决解析几何问题，先通过已知条件和几何性质确定圆锥曲线的方程，再通过方程研究直线与圆锥曲线的位置关系，解析几何中的计算比较复杂，解决此类问题的关键要熟记圆锥曲线的定义、标准方程、几何性质及直线与圆锥曲线位置关系的常见思路. 三、解答题: 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17、（本小题满分12分）已知,,a b c 分别是ABC ∆内角,,A B C 的对边，2sin 2sin sin B A C =. （I ）若a b =，求cos ;B （II ）若90B =，且2,a = 求ABC ∆的面积.【答案】（I ）14（II ）1（II ）由(1)知22b ac .因为B 90°，由勾股定理得222ac b .故222ac ac ，得2c a .所以ABC 的面积为1.【考点定位】正弦定理；余弦定理；运算求解能力【名师点睛】解三角形问题的主要工具就是正弦定理、余弦定理，在解题过程中要注意边角关系的转化，根据题目需要合理选择合理的变形复方向，本题考查利用正余弦定理解三角形和计算三角形面积，是基础题.18. （本小题满分12分）如图四边形ABCD 为菱形，G 为AC 与BD 交点，BE ABCD ⊥平面，（I ）证明：平面AEC ⊥平面BED ；（II ）若120ABC ∠=，,AE EC ⊥ 三棱锥E ACD -6. 【答案】（I ）见解析（II ）3+25（II ）设AB =x ，在菱形ABCD 中，由ABC =120°，可得AG =GC =32x ,GB =GD =2x . 因为AE EC ，所以在Rt AEC 中，可得EG =32x . 由BE 平面ABCD ，知EBG 为直角三角形，可得BE =22x . 由已知得，三棱锥E-ACD 的体积3116632243E ACDV AC GD BE x .故x =2 从而可得AE =EC =ED =6.所以EAC 的面积为3，EAD 的面积与ECD 的面积均为5. 故三棱锥E-ACD 的侧面积为3+25.【考点定位】线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力【名师点睛】对空间面面垂直问题的证明有两种思路，思路1：几何法，先由线线垂直证明线面垂直，再由线面垂直证明面面垂直；思路2：利用向量法，通过计算两个平面的法向量，证明其法向量垂直，从而证明面面垂直；对几何体的体积和表面积问题，常用解法有直接法和等体积法.19.（本小题满分12分）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x （单位：千元）对年销售量y （单位：t ）和年利润z （单位：千元）的影响，对近8年的宣传费i x 和年销售量()1,2,,8i y i =数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.x y w821()ii x x =-∑821()ii w w =-∑81()()iii x x y y =--∑ 81()()i ii w w yy =--∑46.6 56.3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中i w i x ，w =1881ii w=∑（I ）根据散点图判断，y a bx =+与y c x =+y 关于年宣传费x 的回归方程类型（给出判断即可，不必说明理由）；（II ）根据（I ）的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程；（III ）已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为0.2z y x =- ，根据（II ）的结果回答下列问题： （i ）当年宣传费90x =时，年销售量及年利润的预报值时多少？ （ii ）当年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据11(,)u v ,22(,)u v ，……，(,)n n u v ,其回归线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121()()=()niii nii u u v v u u β==---∑∑，=v u αβ-【答案】（Ⅰ）y c x =+适合作为年销售y 关于年宣传费用x 的回归方程类型（Ⅱ）100.668y x =+（Ⅲ）46.24（Ⅲ）(ⅰ)由（Ⅱ）知，当x =49时，年销售量y 的预报值100.66849y =+，576.60.24966.32z =⨯-=. ……9分（ⅱ）根据（Ⅱ）的结果知，年利润z 的预报值0.2(100.668)13.620.12z x x x x =+-=-+，x 13.6=6.82，即46.24x =时，z 取得最大值. 故宣传费用为46.24千元时，年利润的预报值最大.……12分【考点定位】非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识【名师点睛】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型，解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误.20.（本小题满分12分）已知过点()1,0A 且斜率为k 的直线l 与圆C ：()()22231x y -+-=交于M ，N 两点.（I ）求k 的取值范围；（II ）12OM ON ⋅=，其中O 为坐标原点，求MN .【答案】（I）4747,33（II ）2（II ）设1122(,),(,)M x y N x y . 将1ykx 代入方程22231x y ,整理得22(1)-4(1)70k x k x ,所以1212224(1)7,.11k x x x x k k21212121224(1)1181k k OM ON x x y y k x x k x x k , 由题设可得24(1)8=121k k k ，解得=1k ，所以l 的方程为1y x .故圆心在直线l 上，所以||2MN .【考点定位】直线与圆的位置关系；设而不求思想；运算求解能力【名师点睛】直线与圆的位置关系问题是高考文科数学考查的重点，解决此类问题有两种思路，思路1：将直线方程与圆方程联立化为关于x 的方程，设出交点坐标，利用根与系数关系，将1212,x x y y 用k 表示出来，再结合题中条件处理，若涉及到弦长用弦长公式计算，若是直线与圆的位置关系，则利用判别式求解;思路2：利用点到直线的距离计算出圆心到直线的距离，与圆的半径比较处理直线与圆的位置关系，利用垂径定理计算弦长问题.21.（本小题满分12分）设函数()2ln xf x ea x =-.（I ）讨论()f x 的导函数()f x '的零点的个数； （II ）证明：当0a >时()22lnf x a a a≥+.试题解析：（I ）()f x 的定义域为0+，，2()=20xaf x ex x. 当0a时,()0f x ，()f x 没有零点；当0a时，因为2x e 单调递增，ax单调递增，所以()f x 在0+，单调递增.又()0f a ,当b 满足04a b且14b 时，(b)0f ,故当0a 时，()f x 存在唯一零点.请考生在（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。
2015年普通高等学校招生全国统一考试试题(安徽卷)详解
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）语文第I卷（阅读题，共66分）一、（9分）阅读下面的文字，完成1-3题。
有人说到‚经‛，便有意无意地把它等同于‚经典‛，而提起‚中国经典‛，就转换成‚儒家经典‛。
这种观念有些偏狭。
中国经典绝不是儒家一家经典可以独占的，也应包括其他经典，就像中国传统是‚复数的‛传统一样。
首先，中国经典应当包括佛教经典，也应当包括道教经典。
要知道，‚三教合一‛实在是东方的中国与西方的欧洲在文化领域中最不同的地方之一，也是古代中国政治世界的一大特色。
即使是古代中国的皇帝，不仅知道‚王霸道杂之‛，也知道要‚儒家治世，佛教治心，道教治身‛，绝不只用一种武器。
因此，回顾中国文化传统时，仅仅关注儒家的思想和经典，恐怕是过于狭窄了。
即便是儒家，也包含了相当复杂的内容，有偏重‚道德自觉‛的孟子和偏重‚礼法治世‛的荀子，有重视宇宙天地秩序的早期儒家和重视心性理气的新儒家。
应当说，在古代中国，关注政治秩序和社会伦理的儒家，关注超越世界和精神救赎的佛教，关注生命永恒和幸福健康的道教，分别承担着传统中国的不同责任，共同构成中国复数的文化。
其次，中国经典不必限于圣贤、宗教和学派的思想著作，它是否可以包括得更广泛些？比如历史著作《史记》《资治通鉴》，比如文字学著作《说文解字》，甚至唐诗、宋词、元曲里面的那些名著佳篇。
经典并非天然就是经典，它们都经历了从普通著述变成神圣经典的过程，这在学术史上叫‚经典化‛。
没有哪部著作是事先照着经典的尺寸和样式量身定做的，只是因为它写得好，被引用得多，被人觉得充满真理，又被反复解释，有的还被‚钦定‛为必读书，于是，就在历史中渐渐成了被尊崇、被仰视的经典。
因此，如今我们重新阅读经典，又需要把它放回产生它的时代里面，重新去理解。
经典的价值和意义，也是层层积累的，对那些经典里传达的思想、原则甚至知识，未必需要亦步亦趋‚照办不走样‛，倒是要审时度势‚活学活用‛，要进行‚创造性的转化‛。
[历年真题]2015年安徽省高考数学试卷(文科)
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2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位,则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩（∁U B）=（）A．{1,2,5,6}B．{1}C．{2}D．{1,2,3,4}3．（5分）设p:x＜3,q:﹣1＜x＜3,则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图）,输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切,则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是（）A．a＞0,b＜0,c＞0,d＞0 B．a＞0,b＜0,c＜0,d＞0C．a＜0,b＜0,c＜0,d＞0 D．a＞0,b＞0,c＞0,d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n﹣1+（n≥2）,则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点,则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足=2,=2+,则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],…,[80,90],[90,100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n．19．如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0）,点O为坐标原点,点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0,﹣b）,N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0,r＞0）（1）求f（x）的定义域,并讨论f（x）的单调性；（2）若=400,求f（x）在（0,+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题,每小题5分,满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）（2015•安徽）设i是虚数单位,则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解:复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选:C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算,基本知识的考查．2．（5分）（2015•安徽）设全集U={1,2,3,4,5,6},A={1,2},B={2,3,4},则A∩（∁U B）=（）A．{1,2,5,6}B．{1}C．{2}D．{1,2,3,4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解:∁R B={1,5,6}；∴A∩（∁R B）={1,2}∩{1,5,6}={1}．故选:B．【点评】考查全集、补集,及交集的概念,以及补集、交集的运算,列举法表示集合．3．（5分）（2015•安徽）设p:x＜3,q:﹣1＜x＜3,则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件,推出结果即可．【解答】解:设p:x＜3,q:﹣1＜x＜3,则p成立,不一定有q成立,但是q成立,必有p 成立,所以p是q成立的必要不充分条件．故选:C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用,基本知识的考查．4．（5分）（2015•安徽）下列函数中,既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解:对于A,y=lnx定义域为（0,+∞）,所以是非奇非偶的函数；对于B,是偶函数,但是不存在零点；对于C,sin（﹣x）=﹣sinx,是奇函数；对于D,cos（﹣x）=cosx,是偶函数并且有无数个零点；故选:D【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域,在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）（2015•安徽）已知x,y满足约束条件,则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域,z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解:由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分,当直线y=2x+z经过A时使得z最大,由得到A（1,1）,所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选:A．【点评】本题考查了简单线性规划,画出平面区域,分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）（2015•安徽）下列双曲线中,渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=±x,对选项一一判断即可得到答案．【解答】解:由双曲线方程﹣=1（a＞0,b＞0）的渐近线方程为y=±x,由A可得渐近线方程为y=±2x,由B可得渐近线方程为y=±x,由C可得渐近线方程为y=x,由D可得渐近线方程为y=x．故选:A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的渐近线方程的求法,属于基础题．7．（5分）（2015•安徽）执行如图所示的程序框图（算法流程图）,输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的a,n的值,当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005,退出循环,输出n的值为4．【解答】解:模拟执行程序框图,可得a=1,n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005,a=,n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005,a=,n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005,a=,n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005,退出循环,输出n的值为4．故选:B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图,正确写出每次循环得到的a,n的值是解题的关键,属于基础题．8．（5分）（2015•安徽）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切,则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式,求出圆心坐标和半径,由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解:由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0,化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1,∴圆心坐标为（1,1）,半径为1,∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切,∴圆心（1,1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径,即,解得:b=2或b=12．故选:D．【点评】本题考查圆的切线方程,考查了点到直线的距离公式的应用,是基础题．9．（5分）（2015•安徽）一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC,OE⊥底面ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=,AB⊥BC,可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形,运用面积求解即可．【解答】解:∵∴三棱锥O﹣ABC,OE⊥底面ABC,EA=ED=1,OE=1,AB=BC=∴AB⊥BC,∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形,S△OAC=S△ABC==1,S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积:2,故选:C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用,关键是恢复几何体的直观图,考查了学生的空间思维能力．10．（5分）（2015•安徽）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示,则下列结论成立的是（）A．a＞0,b＜0,c＞0,d＞0 B．a＞0,b＜0,c＜0,d＞0C．a＜0,b＜0,c＜0,d＞0 D．a＞0,b＞0,c＞0,d＜0【分析】根据函数的图象和性质,利用排除法进行判断即可．【解答】解:f（0）=d＞0,排除D,当x→+∞时,y→+∞,∴a＞0,排除C,函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c,则f′（x）=0有两个不同的正实根,则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0,（a＞0）,∴b＜0,c＞0,方法2:f′（x）=3ax2+2bx+c,由图象知当当x＜x1时函数递增,当x1＜x＜x2时函数递减,则f′（x）对应的图象开口向上,则a＞0,且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0,（a＞0）,∴b＜0,c＞0,故选:A【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断,根据函数图象的信息,结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）（2015•安徽）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】利用对数的运算法则以及负指数幂的运算化简各项,利用lg2+lg5=1化简求值．【解答】解:原式=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=lg10﹣2=1﹣2=﹣1；故答案为:﹣1．【点评】本题考查了对数的运算以及负指数幂的运算；用到了lg2+lg5=1．12．（3分）（2015•安徽）在△ABC中,AB=,∠A=75°,∠B=45°,则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C,再由正弦定理,计算即可得到AC．【解答】解:∠A=75°,∠B=45°,则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°,由正弦定理可得,=,即有AC==2．故答案为:2．【点评】本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的内角和定理,考查运算能力,属于基础题．13．（3分）（2015•安徽）已知数列{a n}中,a1=1,a n=a n﹣1+（n≥2）,则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差,进而由求和公式即得结论．【解答】解:∵a n=a n﹣1+（n≥2）,∴a n﹣a n﹣1=（n≥2）,∴数列{a n}的公差d=,又a1=1,∴a n=1+（n﹣1）=,∴S9=9a1+•d=9+36×=27,故答案为:27．【点评】本题考查等差数列的求和,注意解题方法的积累,属于基础题．14．（3分）（2015•安徽）在平面直角坐标系xOy中,若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点,则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时,两个图象的位置,确定a．【解答】解:由已知直线y=2a是平行于x轴的直线,由于y=x﹣a为一次函数,其绝对值的函数为对称图形,故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线,所以直线y=2a过折线顶点时满足题意,所以2a=﹣1,解得a=﹣；故答案为:．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）（2015•安徽）△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足=2,=2+,则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解:△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量满足=2,=2+,则=,AB=2,所以||=1,即是单位向量；①正确；因为=2,所以,故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°,故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为:①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．（2015•安徽）已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x（1）求f（x）最小正周期；（2）求f（x）在区间[]上的最大值和最小值．【分析】（1）由条件利用三角恒等变换求得f（x）的解析式,再利用正弦函数的周期性求得f（x）最小正周期．（2）由条件利用正弦函数的定义域和值域,求得f（x）在区间上的最大值和最小值．【解答】解:（1）∵函数f（x）=（sinx+cosx）2+cos2x=1+sin2x+cos2x=1+sin（2x+）,∴它的最小正周期为=π．（2）在区间上,2x+∈[,],故当2x+=时,f（x）取得最小值为1+×（﹣）=0,当2x+=时,f（x）取得最大值为1+×1=1+．【点评】本题主要考查三角恒等变换,正弦函数的周期性、定义域和值域,属于中档题．17．（2015•安徽）某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况,随机访问50名职工,根据这50名职工对该部门的评分,绘制频率分布直方图（如图所示）,其中样本数据分组区间为[40,50],[50,60],…,[80,90],[90,100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60]的受访职工中,随机抽取2人,求此2人评分都在[40,50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息,所有矩形的面积和为1,得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100,的求出频率,估计概率；（3）求出评分在[40,60]的受访职工和评分都在[40,50]的人数,随机抽取2人,列举法求出所有可能,利用古典概型公式解答．【解答】解:（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1,解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知,50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4,所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计（3）受访职工中评分在[50,60）的有:50×0.006×10=3（人）,记为A1,A2,A3；值为0.4；受访职工评分在[40,50）的有:50×0.004×10=2（人）,记为B1,B2．从这5名受访职工中随机抽取2人,所有可能的结果共有10种,分别是{A1,A2},{A1,A3},{A1,B1},{A1,B2},{A2,A3},{A2,B1},{A2,B2},{A3,B1},{A3,B2},{B1,B2},又因为所抽取2人的评分都在[40,50）的结果有1种,即{B1,B2},故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率,考查了利用列举法求满足条件的事件,并求概率．18．（2015•安徽）已知数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和,b n=,求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可,求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=,利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解:（1）∵数列{a n}是递增的等比数列,且a1+a4=9,a2a3=8．∴a1+a4=9,a1a4=a2a3=8．解得a1=1,a4=8或a1=8,a4=1（舍）,解得q=2,即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1,∴b n===﹣,∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算,利用裂项法是解决本题的关键．19．（2015•安徽）如图,三棱锥P﹣ABC中,PA⊥平面ABC,PA=1,AB=1,AC=2,∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明:在线段PC上存在点M,使得AC⊥BM,并求的值．【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA,求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC,垂足为N,过N作MN∥PA,交PC于点M,连接BM,证明AC⊥平面MBN,可得AC⊥BM,利用MN∥PA,求的值．【解答】（1）解:由题设,AB=1,AC=2,∠BAC=60°,可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC,PA=1,=•S△ABC•P A=；所以V P﹣ABC（2）解:过B作BN⊥AC,垂足为N,过N作MN∥PA,交PC于点M,连接BM,由PA⊥平面ABC,知PA⊥AC,所以MN⊥AC,因为BN∩MN=N,所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN,所以AC⊥BM．在直角△BAN中,AN=AB•cos∠BAC=,从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算,考查线面垂直的判定与性质的运用,考查学生分析解决问题的能力,属于中档题．20．（2015•安徽）设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0）,点O为坐标原点,点A的坐标为（a,0）,点B的坐标为（0,b）,点M在线段AB上,满足|BM|=2|MA|,直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0,﹣b）,N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB．【分析】（1）通过题意,利用=2,可得点M坐标,利用直线OM的斜率为,计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标,利用•=0即得结论．【解答】（1）解:设M（x,y）,∵A（a,0）、B（0,b）,点M在线段AB上且|BM|=2|MA|,∴=2,即（x﹣0,y﹣b）=2（a﹣x,0﹣y）,解得x=a,y=b,即M（a,b）,又∵直线OM的斜率为,∴=,∴a=b,c==2b,∴椭圆E的离心率e==；（2）证明:∵点C的坐标为（0,﹣b）,N为线段AC的中点,∴N（,﹣）,∴=（,）,又∵=（﹣a,b）,∴•=（﹣a,b）•（,）=﹣a2+=（5b2﹣a2）,由（1）可知a2=5b2,故•=0,即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质,考查运算求解能力、注意解题方法的积累,属于中档题．21．（2015•安徽）已知函数f（x）=（a＞0,r＞0）（1）求f（x）的定义域,并讨论f（x）的单调性；（2）若=400,求f（x）在（0,+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域,通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点,计算即可．【解答】解:（1）∵函数f（x）=（a＞0,r＞0）,∴x≠﹣r,即f（x）的定义域为（﹣∞,﹣r）∪（﹣r,+∞）．又∵f（x）==,∴f′（x）==,∴当x＜﹣r或x＞r时,f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时,f′（x）＞0；因此,f（x）的单调递减区间为:（﹣∞,﹣r）、（r,+∞）,递增区间为:（﹣r,r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0,f（x）在（0,r）上单调递增,在（r,+∞）上单调递减,∴x=r是f（x）的极大值点,∴f（x）在（0,+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值,注意解题方法的积累,属于中档题．参与本试卷答题和审题的老师有:qiss；wkl197822；changq；双曲线；w3239003；sxs123；sdpyqzh；maths；cst；caoqz；刘长柏（排名不分先后）菁优网2017年3月17日。
2015年安徽省高考数学试卷文科(真题)
2015年安徽省高考数学试卷（文科）一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．16．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=17．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．68．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或129．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．210．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．2015年安徽省高考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（共10小题，每小题5分，满分50分）2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（文科）1．（5分）设i是虚数单位，则复数（1﹣i）（1+2i）=（）A．3+3i B．﹣1+3i C．3+i D．﹣1+i【分析】直接利用复数的多项式乘法展开求解即可．【解答】解：复数（1﹣i）（1+2i）=1+2﹣i+2i=3+i．故选：C．【点评】本题考查复数的代数形式的混合运算，基本知识的考查．2．（5分）设全集U={1，2，3，4，5，6}，A={1，2}，B={2，3，4}，则A∩（∁U B）=（）A．{1，2，5，6}B．{1}C．{2}D．{1，2，3，4}【分析】进行补集、交集的运算即可．【解答】解：∁R B={1，5，6}；∴A∩（∁R B）={1，2}∩{1，5，6}={1}．故选：B．【点评】考查全集、补集，及交集的概念，以及补集、交集的运算，列举法表示集合．3．（5分）设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p是q成立的（）A．充分必要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件【分析】判断必要条件与充分条件，推出结果即可．【解答】解：设p：x＜3，q：﹣1＜x＜3，则p成立，不一定有q成立，但是q 成立，必有p成立，所以p是q成立的必要不充分条件．故选：C．【点评】本题考查充要条件的判断与应用，基本知识的考查．4．（5分）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（）A．y=lnx B．y=x2+1 C．y=sinx D．y=cosx【分析】利用函数奇偶性的判断一件零点的定义分别分析解答．【解答】解：对于A，y=lnx定义域为（0，+∞），所以是非奇非偶的函数；对于B，是偶函数，但是不存在零点；对于C，sin（﹣x）=﹣sinx，是奇函数；对于D，cos（﹣x）=cosx，是偶函数并且有无数个零点；故选：D．【点评】本题考查了函数奇偶性的判断以及函数零点的判断；判断函数的奇偶性首先要判断函数的定义域，在定义域关于原点对称的前提下判断f（﹣x）与f（x）的关系．5．（5分）已知x，y满足约束条件，则z=﹣2x+y的最大值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣5 D．1【分析】首先画出平面区域，z=﹣2x+y的最大值就是y=2x+z在y轴的截距的最大值．【解答】解：由已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分，当直线y=2x+z经过A时使得z最大，由得到A（1，1），所以z的最大值为﹣2×1+1=﹣1；故选：A．【点评】本题考查了简单线性规划，画出平面区域，分析目标函数取最值时与平面区域的关系是关键．6．（5分）下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（）A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，由A可得渐近线方程为y=±2x，由B可得渐近线方程为y=±x，由C可得渐近线方程为y=x，由D可得渐近线方程为y=x．故选：A．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要考查双曲线的渐近线方程的求法，属于基础题．7．（5分）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n为（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的a，n的值，当a=时不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．【解答】解：模拟执行程序框图，可得a=1，n=1满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=2满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=3满足条件|a﹣1.414|＞0.005，a=，n=4不满足条件|a﹣1.414|=0.00267＞0.005，退出循环，输出n的值为4．故选：B．【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确写出每次循环得到的a，n 的值是解题的关键，属于基础题．8．（5分）直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，则b=（）A．﹣2或12 B．2或﹣12 C．﹣2或﹣12 D．2或12【分析】化圆的一般式方程为标准式，求出圆心坐标和半径，由圆心到直线的距离等于圆的半径列式求得b值．【解答】解：由圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0，化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，∴圆心坐标为（1，1），半径为1，∵直线3x+4y=b与圆x2+y2﹣2x﹣2y+1=0相切，∴圆心（1，1）到直线3x+4y﹣b=0的距离等于圆的半径，即，解得：b=2或b=12．故选：D．【点评】本题考查圆的切线方程，考查了点到直线的距离公式的应用，是基础题．9．（5分）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（）A．1+B．1+2C．2+D．2【分析】判断得出三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=，AB⊥BC，可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，运用面积求解即可．【解答】解：∵∴三棱锥O﹣ABC，OE⊥底面ABC，EA=ED=1，OE=1，AB=BC=∴AB⊥BC，∴可判断；△OAB≌△OBC的直角三角形，S△OAC=S△ABC==1，S△OAB=S△OBC=×2=该四面体的表面积：2，故选：C．【点评】本题考查了三棱锥的三视图的运用，关键是恢复几何体的直观图，考查了学生的空间思维能力．10．（5分）函数f（x）=ax3+bx2+cx+d的图象如图所示，则下列结论成立的是（）A．a＞0，b＜0，c＞0，d＞0 B．a＞0，b＜0，c＜0，d＞0C．a＜0，b＜0，c＜0，d＞0 D．a＞0，b＞0，c＞0，d＜0【分析】根据函数的图象和性质，利用排除法进行判断即可．【解答】解：f（0）=d＞0，排除D，当x→+∞时，y→+∞，∴a＞0，排除C，函数的导数f′（x）=3ax2+2bx+c，则f′（x）=0有两个不同的正实根，则x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，方法2：f′（x）=3ax2+2bx+c，由图象知当当x＜x1时函数递增，当x1＜x＜x2时函数递减，则f′（x）对应的图象开口向上，则a＞0，且x1+x2=﹣＞0且x1x2=＞0，（a＞0），∴b＜0，c＞0，故选：A．【点评】本题主要考查函数图象的识别和判断，根据函数图象的信息，结合函数的极值及f（0）的符号是解决本题的关键．二、填空题11．（3分）lg+2lg2﹣（）﹣1=﹣1．【分析】根据指数幂和对数的运算法则计算即可．【解答】解：lg+2lg2﹣（）﹣1=lg5﹣lg2+2lg2﹣2=lg5+lg2﹣2=1﹣2=﹣1．故答案为﹣1．【点评】本题主要考查了指数幂和对数的运算，比较基础．12．（3分）在△ABC中，AB=，∠A=75°，∠B=45°，则AC=2．【分析】由三角形的内角和定理可得角C，再由正弦定理，计算即可得到AC．【解答】解：∠A=75°，∠B=45°，则∠C=180°﹣75°﹣45°=60°，由正弦定理可得，=，即有AC==2．故答案为：2．【点评】本题考查正弦定理的运用，同时考查三角形的内角和定理，考查运算能力，属于基础题．13．（3分）已知数列{a n}中，a1=1，a n=a n﹣1+（n≥2），则数列{a n}的前9项和等于27．【分析】通过a n=a n﹣1+（n≥2）可得公差，进而由求和公式即得结论．【解答】解：∵a n=a n﹣1+（n≥2），∴a n﹣a n﹣1=（n≥2），∴数列{a n}的公差d=，又a1=1，∴a n=1+（n﹣1）=，∴S9=9a1+•d=9+36×=27，故答案为：27．【点评】本题考查等差数列的求和，注意解题方法的积累，属于基础题．14．（3分）在平面直角坐标系xOy中，若直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象只有一个交点，则a的值为．【分析】由已知直线y=2a与函数y=|x﹣a|﹣1的图象特点分析一个交点时，两个图象的位置，确定a．【解答】解：由已知直线y=2a是平行于x轴的直线，由于y=x﹣a为一次函数，其绝对值的函数为对称图形，故函数y=|x﹣a|﹣1的图象是折线，所以直线y=2a 过折线顶点时满足题意，所以2a=﹣1，解得a=﹣；故答案为：．【点评】本题考查了函数的图象；考查利用数形结合求参数．15．（3分）△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则下列结论中正确的是①④⑤．（写出所有正确结论得序号）①为单位向量；②为单位向量；③；④∥；⑤（4+）⊥．【分析】利用向量的三角形法则以及向量数量积的公式对各结论分别分析选择．【解答】解：△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量满足=2，=2+，则=，AB=2，所以||=1，即是单位向量；①正确；因为=2，所以，故||=2；故②错误；④正确；夹角为120°，故③错误；⑤（4+）•=4=4×1×2×cos120°+4=﹣4+4=0；故⑤正确．故答案为：①④⑤．【点评】本题考查了向量的数量积运用；注意三角形的内角与向量的夹角的关系．三、解答题16．已知函数f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x．（Ⅰ）求f（x）最小正周期；（Ⅱ）求f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值．【分析】（Ⅰ）化函数f（x）为正弦型函数，即可求出f（x）的最小正周期；（Ⅱ）由0≤x≤求出2x+的取值范围，再根据正弦函数的图象与性质即可求出f（x）的最值．【解答】解：（Ⅰ）f（x）=（sinx+cosx）2+2cos2x=sin2x+2sinxcosx+cos2x+2cos2x=1+sin2x+1+cos2x=sin（2x+）+2，…（4分）所以f（x）的最小正周期为T=π；…（6分）（Ⅱ）由0≤x≤得，0≤2x≤π，所以≤2 x+≤；…（8分）根据正弦函数y=sinx的图象可知当时，f（x）有最大值为2+，…（11分）当时，f（x）有最小值为1．…（13分）【点评】本题考查了三角函数的化简以及三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．17．某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为[40，50]，[50，60]，…，[80，90]，[90，100]（1）求频率分布图中a的值；（2）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40，60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40，50]的概率．【分析】（1）利用频率分布直方图中的信息，所有矩形的面积和为1，得到a；（2）对该部门评分不低于80的即为90和100，的求出频率，估计概率；（3）求出评分在[40，60]的受访职工和评分都在[40，50]的人数，随机抽取2人，列举法求出所有可能，利用古典概型公式解答．【解答】解：（1）因为（0.004+a+0.018+0.022×2+0.028）×10=1，解得a=0.006；（2）由已知的频率分布直方图可知，50名受访职工评分不低于80的频率为（0.022+0.018）×10=0.4，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4；（3）受访职工中评分在[50，60）的有：50×0.006×10=3（人），记为A1，A2，A3；受访职工评分在[40，50）的有：50×0.004×10=2（人），记为B1，B2．从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，分别是{A1，A2}，{A1，A3}，{A1，B1}，{A1，B2}，{A2，A3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A3，B1}，{A3，B2}，{B1，B2}，又因为所抽取2人的评分都在[40，50）的结果有1种，即{B1，B2}，故所求的概率为P=．【点评】本题考查了频率分布直方图的认识以及利用图中信息求参数以及由频率估计概率，考查了利用列举法求满足条件的事件，并求概率．18．已知数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即可，求数列{a n}的通项公式；（2）求出b n=，利用裂项法即可求数列{b n}的前n项和T n．【解答】解：（1）∵数列{a n}是递增的等比数列，且a1+a4=9，a2a3=8．∴a1+a4=9，a1a4=a2a3=8．解得a1=1，a4=8或a1=8，a4=1（舍），解得q=2，即数列{a n}的通项公式a n=2n﹣1；（2）S n==2n﹣1，∴b n===﹣，∴数列{b n}的前n项和T n=+…+﹣=﹣=1﹣．【点评】本题主要考查数列的通项公式以及数列求和的计算，利用裂项法是解决本题的关键．19．如图，三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，PA=1，AB=1，AC=2，∠BAC=60°．（1）求三棱锥P﹣ABC的体积；（2）证明：在线段PC上存在点M，使得AC⊥BM，并求的值．【分析】（1）利用V P=•S△ABC•PA，求三棱锥P﹣ABC的体积；﹣ABC（2）过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，证明AC⊥平面MBN，可得AC⊥BM，利用MN∥PA，求的值．【解答】（1）解：由题设，AB=1，AC=2，∠BAC=60°，可得S==．△ABC因为PA⊥平面ABC，PA=1，=•S△ABC•PA=；所以V P﹣ABC（2）解：过B作BN⊥AC，垂足为N，过N作MN∥PA，交PC于点M，连接BM，由PA⊥平面ABC，知PA⊥AC，所以MN⊥AC，因为BN∩MN=N，所以AC⊥平面MBN．因为BM⊂平面MBN，所以AC⊥BM．在直角△BAN中，AN=AB•cos∠BAC=，从而NC=AC﹣AN=．由MN∥PA得==．【点评】本题考查三棱锥P﹣ABC的体积的计算，考查线面垂直的判定与性质的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．20．设椭圆E的方程为=1（a＞b＞0），点O为坐标原点，点A的坐标为（a，0），点B的坐标为（0，b），点M在线段AB上，满足|BM|=2|MA|，直线OM的斜率为．（1）求E的离心率e；（2）设点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，证明：MN⊥AB．【分析】（1）通过题意，利用=2，可得点M坐标，利用直线OM的斜率为，计算即得结论；（2）通过中点坐标公式解得点N坐标，利用•=0即得结论．【解答】（1）解：设M（x，y），∵A（a，0）、B（0，b），点M在线段AB上且|BM|=2|MA|，∴=2，即（x﹣0，y﹣b）=2（a﹣x，0﹣y），解得x=a，y=b，即M（a，b），又∵直线OM的斜率为，∴=，∴a=b，c==2b，∴椭圆E的离心率e==；（2）证明：∵点C的坐标为（0，﹣b），N为线段AC的中点，∴N（，﹣），∴=（，），又∵=（﹣a，b），∴•=（﹣a，b）•（，）=﹣a2+=（5b2﹣a2），由（1）可知a2=5b2，故•=0，即MN⊥AB．【点评】本题考查运用向量知识解决圆锥曲线的性质，考查运算求解能力、注意解题方法的积累，属于中档题．21．已知函数f（x）=（a＞0，r＞0）（1）求f（x）的定义域，并讨论f（x）的单调性；（2）若=400，求f（x）在（0，+∞）内的极值．【分析】（1）通过令分母不为0即得f（x）的定义域，通过求导即得f（x）的单调区间；（2）通过（1）知x=r是f（x）的极大值点，计算即可．【解答】解：（1）∵函数f（x）=（a＞0，r＞0），∴x≠﹣r，即f（x）的定义域为（﹣∞，﹣r）∪（﹣r，+∞）．又∵f（x）==，∴f′（x）==，∴当x＜﹣r或x＞r时，f′（x）＜0；当﹣r＜x＜r时，f′（x）＞0；因此，f（x）的单调递减区间为：（﹣∞，﹣r）、（r，+∞），递增区间为：（﹣r，r）；（2）由（1）的解答可得f′（x）=0，f（x）在（0，r）上单调递增，在（r，+∞）上单调递减，∴x=r是f（x）的极大值点，∴f（x）在（0，+∞）内的极大值为f（r）====100．【点评】本题考查函数的定义域、单调区间、极值，注意解题方法的积累，属于中档题．。
2015年高考安徽文数
2015年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（文史类）本试题卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。
满分l50分。
考试时间l20分钟。
考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。
考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷（选择题 共50分）注意事项：必须使用2B 铅笔在答题卡上将所选答案对应的标号涂黑。
一、选择题：本大题共10个小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=( )（A ）3+3i （B ）-1+3i （C ）3+i （D ）-1+i2.设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()R A C B =( ) (A){}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，3.设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的( ) (A)充分必要条件 （B ）充分不必要条件 (C)必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件4.下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )(A)y =lnx （B ）21y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx5.已知x ，y 满足约束条件0401x y x y y -≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩，则z =-2x +y 的最大值是( )(A)-1 （B ）-2 （C ）-5 （D ）1 6.下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是( )(A)2214y x -= （B ）2214x y -= （C ）2212y x -= （D ）2212x y -=7．执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n（）（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）68.直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（）（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12 9.一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）（A ） 1（B ）1+（C ）2+（D ）10．函数()32f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）(A)a >0，b <0，c >0，d >0 （B ）a >0，b <0，c <0，d >0 （C ）a <0，b <0，c <0，d >0 （D ）a >0，b >0，c >0，d <0正（主）视图侧（左）视图俯视图第（9）题图2 22111 1 112第（10）题图第Ⅱ卷（非选择题 共100分）注意事项：必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目说只是的区域内作答。
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2015年高考安徽卷文数试题解析（精编版）（解析版）
一、选择题
（1）设i 是虚数单位，则复数()()112i i -+=（ ）
（A ）3+3i （B ）-1+3i （3）3+i （D ）-1+i
（2）设全集{}123456U =，，，，，，{}12A =，，{}234B =，，，则()U A C B = （ ） （A ）{}1256，，， （B ）{}1 （C ）{}2 （D ）{}1234，，，
（3）设p ：x <3，q ：-1<x <3，则p 是q 成立的（ ）
（A ）充分必要条件 （B ）充分不必要条件
（C ）必要不充分条件 （D ）既不充分也不必要条件
（4）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是（ ）
（A ）y =lnx （B ）2
1y x =+ （C ）y =sinx （D ）y =cosx
（5）已知x，y满足约束条件
40
1
x y
x y
y
-≥
⎧
⎪
+-≤
⎨
⎪≥
⎩
，则y
x
z+
-
=2的最大值是（）
（A）-1 （B）-2（C）-5 （D）
1
（6）下列双曲线中，渐近线方程为2y x =±的是（ ）
（A ）22
14y x -= （B ）2
214x y -= （C ）22
12y x -= （D ）2
212x y -=
（7）执行如图所示的程序框图（算法流程图），输出的n 为（ ）
（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6
（8）直线3x +4y =b 与圆222210x y x y +--+=相切，则b =（ ）
（A ）-2或12 （B ）2或-12 （C ）-2或-12 （D ）2或12
（9）一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积是（ ）
（A ）1（B ）1+（C ）2+（D ）
（10）函数()32
f x ax bx cx d =+++的图像如图所示，则下列结论成立的是（ ）
（A ）a >0，b <0，c >0，d >0
（B ）a >0，b <0，c <0，d >0
（C ）a <0，b <0，c <0，d >0
（D ）a >0，b >0，c >0，d <0
二、填空题
（11）=-+-1)2
1(2lg 225lg .
【名师点睛】本题主要考查考生的基本运算能力，熟练掌握对数运算公式和指数幂运算公式是解决本题的关键.
（12）在ABC ∆中，6=AB ， 75=∠A ， 45=∠B ，则=AC .
（13）已知数列}{n a 中，11=a ，2
11+
=-n n a a （2≥n ），则数列}{n a 的前9项和等于 .
（14）在平面直角坐标系xOy 中，若直线a y 2=与函数1||--=a x y 的图像只有一个交点，则a 的值为 .
（15）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC +=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）
①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。
三. 解答题
16. 已知函数2
()(sin cos )cos2f x x x x =++
（Ⅰ）求()f x 最小正周期；
（Ⅱ）求()f x 在区间[0,]2
上的最大值和最小值.
17. 某企业为了解下属某部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图（如图所示），其中样本数据分组区间为
[40,50],[50,60],,[80,90],[90,100]
（Ⅰ）求频率分布图中a 的值；
（Ⅱ）估计该企业的职工对该部门评分不低于80的概率；
（Ⅲ）从评分在[40,60]的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50]的概率.
18. 已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +== （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11
n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T
. 19. 如图，三棱锥P -ABC 中，PA ⊥平面ABC ，1,1,2,60PA AB AC BAC ===∠=o . （Ⅰ）求三棱锥P -ABC 的体积；
（Ⅱ）证明：在线段PC 上存在点M ，使得AC ⊥BM ，并求PM MC
的值.
20. 设椭圆E 的方程为22
221(0),x y a b a b
+=>>点O 为坐标原点，点A 的坐标为(,0)a ,点B
的坐标为（0，b ）,点M 在线段AB 上，满足2,BM MA =直线OM （Ⅰ）求E 的离心率e ;
（Ⅱ）设点C 的坐标为（0，-b ）,N 为线段AC 的中点，证明：MN ⊥AB .
21. 已知函数)0,0()
()(2>>+=r a r x ax x f （Ⅰ）求)(x f 的定义域，并讨论)(x f 的单调性； （Ⅱ）若400=r
a ，求)(x f 在),0(+∞内的极值.。