平面向量的基本定理及其坐标表示
第六章第二节平面向量的基本定理及坐标表示课件共49张PPT
设正方形的边长为
1
，
则
→ AM
＝ 1，12
，
→ BN
＝
－12，1 ，A→C ＝(1，1)，
∵A→C ＝λA→M ＋μB→N
＝λ－12μ，λ2 ＋μ ，
λ－12μ＝1， ∴λ2 ＋μ＝1，
解得λμ＝ ＝6525， ．
∴λ＋μ＝85 .
法二：由A→M
＝A→B
＋12
→ AD
，B→N
＝－12
→ AB
＋A→D
栏目一 知识·分步落实 栏目二 考点·分类突破 栏目三 微专题系列
栏目导引
课程标准
考向预测
1.理解平面向量的基本定理及其意义． 考情分析： 平面向量基本定理及
2．借助平面直角坐标系掌握平面向量 其应用，平面向量的坐标运算，向
的正交分解及其坐标表示．
量共线的坐标表示及其应用仍是
3．会用坐标表示平面向量的加法、减 高考考查的热点，题型仍将是选择
A．(－2，3)
B．(2，－3)
C．(－2，1)
D．(2，－1)
D [设 D(x，y)，则C→D ＝(x，y－1)，2A→B ＝(2，－2)，根据C→D ＝2A→B ， 得(x，y－1)＝(2，－2)，
即xy＝ －21， ＝－2， 解得xy＝ ＝2－，1， 故选 D.]
2．(2020·福建三明第一中学月考)已知 a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若
解析： ∵ma＋nb＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)， ∴2mm－＋2nn＝＝9－，8， ∴mn＝＝52.， ∴m－n＝2－5＝－3. 答案： －3
考点·分类突破
⊲学生用书 P93
平面向量基本定理及其应用
(1)(多选)(2020·文登区期中)四边形 ABCD 中，AB∥CD，∠A＝90°，
平面向量基本定理及坐标表示
5.已知向量a=（8, 1 x），b=(x,1)，其中x＞0，若(a-
2
2b)∥(2a+b)，则x的值为 4 .
解析 a-2b=（8-2x, 1 x-2），2a+b=(16+x,x+1),
2
由已知(a-2b)∥(2a+b),显然2a+b≠0，故有（8-2x,
1 x-2）= (16+x,x+1)
2
8-2x= (16+x)
A.m≠-2 C.m≠1
B.m≠ 1
2
D.m≠-1
解析 若点A、B、C不能构成三角形，则只能共线.
∵ABOBOA(2，-1)-（1，-3）=(1，2)， ACOC OA （ m+1 ， m-2 ） - （ 1 ， -3 ） =
（m，m+1）.
假设A、B、C三点共线，
则1×(m+1)-2m=0,即m=1.
知能迁移3 已知点O（0，0），A（1，2），B（4，
5）且 OPOAtAB,
（1）求点P在第二象限时，实数t的取值范围；
（2）四边形OABP能否为平行四边形？若能，求出
相应的实数t;若不能，请说明理由.
解 ∵O（0，0），A（1，2），B（4，5），
∴ OA =（1，2），AB =（4-1，5-2）=（3，3）. （1）设P（x，y），则 OP =（x，y），若点P在第二
同理 NO1a(11)b
2 2n
由MO ∥NO 得MO = NO
即
1 1 2m (1 1 2n
)
1 2 1
2
① ②
①×②整理得m+n=2.
答案 2
题型二 向量的坐标运算 【例2】已知点A（1，0）、B（0，2）、C（-1，
6.3平面向量基本定理及坐标表示
数学 必修 第二册
返回目录
【变式 2】 在△ABC 中，A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，点 M，N 分别是 AB，AC 的中点，点 D 是 BC 的中点，MN 与 AD 交于点 F， 求D→F的坐标．
解析 因为 A(7,8)，B(3,5)，C(4,3)，所以A→B＝(3－7，5－8) ＝(－4，－3)，A→C＝(4－7，3－8)＝(－3，－5)．又 D 是 BC 的中 点，所以A→D＝12(A→B＋A→C)＝－72，－4.因为 M，N 分别为 AB，AC 的中点，所以 F 为 AD 的中点．所以D→F＝－21A→D＝74，2.
数学 必修 第二册
返回目录
【例题 2】 已知平面上三个点 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，求A→B， A→C，A→B＋A→C，A→B－A→C，2A→B＋12A→C.
思维导引：先求出向量的坐标，再根据运算法则进行求解． 解析 因为 A(4,6)，B(7,5)，C(1,8)，所以A→B＝(7－4，5－6) ＝(3，－1)，A→C＝(1－4，8－6)＝(－3,2)，所以A→B＋A→C＝(3，－ 1)＋(－3,2)＝(0,1)，A→B－A→C＝(3，－1)－(－3，2)＝(6，－3)，2A→B
数学 必修 第二册
返回目录
3．向量的坐标表示 在向量 a＝(x，y)的直角坐标平面中，___x___叫做 a 在 x 轴上 的坐标，___y___叫做 a 在 y 轴上的坐标，___a_＝__(x_，__y_)_叫做向量 a 的坐标表示． 4．在向量的直角坐标平面中，i＝__(_1_,0_)__，j＝__(_0_,1_)__，0＝ (0,0)．
平面向量的基本定理及坐标表示 课件
d
a AB (4,5) (2,2) (2,3)
yj
a (x,y)叫做向量 a 的坐标，记作
j
x a (x, y)
O
x叫做 a 在x轴上的坐标，
i xi
y叫做 a 在y轴上的坐标，
正交单位
基底
(1)向量
i ,
j
方向 与
(x,y)叫做向量的坐标表示.
x 轴y轴同向,且 i 1,0 j 0,1
i j 1, i 与j垂直
a （2）对于给定向量 ,必有一对实数（x,y）与它对应；
思考？ 在平面直角坐标系中：
点
(x, y)
？
向量
(x, y)
平面向量的正角分解及坐标表示.
如图，光滑斜面上一个木块受到的重力
为G，下滑力为F1，木块对斜面的压力
为F2，这三个力的方向分别如何？
三者有何相互关系？
物理背景:
F1
向量的
G
F2
正交分解
三.平面向量的正角分解及坐标表示.
y
a xi +y j
一、平面向量基本定理:
如果 e1、e2 是同一平面内的两个不共线
向量，那么对于这一平面内的任一向
量 a 有且只有一对实数 1、2 ,使
a 1e1 2e2
其中e1，e2 叫做表示这一平面内 所有向量的 一组基底 .
说明： 1、把不共线的非零向量 e1,e2 叫做表示 这一平面内所有向量的一组基底.
两个非零向量 a，b
B
b
AOB 叫做向量
O aA
a 和 b 的夹角．注意:同起点
夹角的范围：(0 180 ) B
a
ObB
0
a
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示【考点梳理】1．平面向量基本定理(1)定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.(2)基底：不共线的向量e 1，e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i ，j 作为基底，该平面内的任一向量a 可表示成a ＝x i ＋y j ，由于a 与数对(x ，y )是一一对应的，把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y )，其中a 在x 轴上的坐标是x ，a 在y 轴上的坐标是y .3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)， |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. 4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.a ，b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. 【考点突破】考点一、平面向量基本定理及其应用【例1】(1)设D ，E ，F 分别为△ABC 的三边BC ，CA ，AB 的中点，则EB →＋FC →＝( )A ．AD →B ．12AD →C ．12BC →D ．BC →(2)在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] (1) A (2)43[解析] (1)如图所示，EB →＋FC →＝(EC →－BC →)＋(FB →＋BC →) ＝EC →＋FB →＝12AC →＋12AB →＝12(AC →＋AB →)＝AD →.(2)选择AB →，AD →作为平面向量的一组基底，则AC →＝AB →＋AD →，AE →＝12AB →＋AD →，AF →＝AB →＋12AD →，又AC →＝λAE →＋μAF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12λ＋μAB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫λ＋12μAD →，于是得⎩⎪⎨⎪⎧12λ＋μ＝1，λ＋12μ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝23，μ＝23，所以λ＋μ＝43. 【类题通法】1.应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.2.用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.【对点训练】1．已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC →＝2AE →，则向量EM →＝( )A ．12AC →＋13AB → B ．12AC →＋16AB → C ．16AC →＋12AB →D ．16AC →＋32AB →[答案] C[解析] 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →.2．如图，在平行四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点O ， E 为线段AO 的中点.若BE →＝λBA →＋μBD →(λ，μ∈R )，则λ＋μ＝________.[答案] 34[解析] 由题意可得BE →＝12BA →＋12BO →＝12BA →＋14BD →，由平面向量基本定理可得λ＝12，μ＝14，所以λ＋μ＝34.考点二、平面向量的坐标运算【例2】(1)向量a ，b 满足a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)，则b 为( ) A ．(－3，4) B ．(3，4) C ．(3，－4)D ．(－3，－4)(2)向量a ，b ，c 在正方形网格中，如图所示，若c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R )，则λμ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [答案] (1)A (2)D[解析] (1)由a ＋b ＝(－1，5)，a －b ＝(5，－3)， 得2b ＝(－1，5)－(5，－3)＝(－6，8)， ∴b ＝12(－6，8)＝(－3，4)，故选A.(2)以向量a ，b 的交点为坐标原点，建立如图直角坐标系(设每个小正方形边长为1)，A (1，－1)，B (6，2)，C (5，－1)，所以a ＝(－1，1)，b ＝(6，2)，c ＝(－1，－3)，∵c ＝λa ＋μb ，∴⎩⎨⎧－1＝－λ＋6μ，－3＝λ＋2μ，解之得λ＝－2且μ＝－12，因此，λμ＝－2－12＝4，故选D.【类题通法】1.巧借方程思想求坐标：若已知向量两端点的坐标，则应先求出向量的坐标，解题过程中注意方程思想的应用.2.向量问题坐标化：向量的坐标运算，使得向量的线性运算都可以用坐标来进行，实现了向量运算的代数化，将数与形结合起来，使几何问题转化为数量运算问题.【对点训练】1．已知点A (－1，5)和向量a ＝(2，3)，若AB →＝3a ，则点B 的坐标为( ) A ．(7，4) B ．(7，14) C ．(5，4) D ．(5，14)[答案] D[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5). 由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.2．已知向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2).若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.[答案] －3[解析] 由向量a ＝(2，1)，b ＝(1，－2)，得m a ＋n b ＝(2m ＋n ，m －2n )＝(9，－8)，则⎩⎨⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎨⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝－3.考点三、平面向量共线的坐标表示【例3】(1)已知向量a ＝(－1，1)，b ＝(3，m )，若a ∥(a ＋b )，则m ＝( ) A ．－2 B ．2 C ．－3D ．3(2) 已知A (2，3)，B (4，－3)，点P 在线段AB 的延长线上，且|AP |＝32|BP |，则点P 的坐标为________.[答案] (1)C (2) (8，－15)[解析] (1)由题意可知a ＋b ＝(2,1＋m )， ∵a ∥(a ＋b )，∴2＋(m ＋1)＝0⇒m ＝－3.(2) 设P (x ，y )，由点P 在线段AB 的延长线上， 则AP →＝32BP →，得(x －2，y －3)＝32(x －4，y ＋3)， 即⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝32（x －4），y －3＝32（y ＋3）.解得⎩⎨⎧x ＝8，y ＝－15.所以点P 的坐标为(8，－15). 【类题通法】1.两平面向量共线的充要条件有两种形式：(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2－x 2y 1＝0；(2)若a ∥b (b ≠0)，则a ＝λb .2.向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数.当两向量的坐标均非零时，也可以利用坐标对应成比例来求解.【对点训练】1．若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________. [答案] －54[解析] AB →＝(a －1，3)，AC →＝(－3，4)，根据题意AB →∥AC →， ∴4(a －1)－3×(－3)＝0，即4a ＝－5，∴a ＝－54.2．已知点A (－1，2)，B (2，8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________. [答案] (－2，－4)[解析] 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2). 由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3，6)， DA →＝(－1－x 2，2－y 2)，BA →＝(－3，－6). 因为AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →， 所以有⎩⎨⎧x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.所以点C ，D 的坐标分别为(0，4)，(－2，0)， 从而CD →＝(－2，－4).。
平面向量的基本定理及坐标运算
一、平面向量的基本定理（1）平面向量基本定理：如果1e 和2e 是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a ，存在唯一的一对实数1a ，2a ，使a =1122a e a e +．（2） 基底：我们把不共线向量1e ，2e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记作{}12,e e ．1122a e a e +叫做向量a 关于基底{}12,e e 的分解式． 注：①定理中1e ，2e 是两个不共线向量；②a 是平面内的任一向量，且实数对1a ，2a 是惟一的； ③平面的任意两个不共线向量都可作为一组基底．（3）平面向量基本定理的证明：在平面内任取一点O ，作11OE e =，22OE e =，OA a =．由于1e 与2e 不平行，可以进行如下作图：过点A 作2OE 的平行（或重合）直线，交直线1OE 于点M ，过点A 作1OE 的平行（或重合）直线，交直线2OE 于点N ，于是依据平行向量基本定理，存在两个唯一的实数1a 和2a 分别有11OM a e =，22ON a e =，所以1122a OA OM ON a e a e ==+=+证明表示的唯一性：如果存在另对实数x ，y 使12OA xe ye =+，则112212a e a e xe ye +=+，即1122()()0x a e y a e -+-=，由于1e 与2e 不平行，如果1x a -与2y a -中有一个不等于0，不妨设20y a -≠，则1212x a e e y a -=--，由平行向量基本定理，得1e 与2e 平行，这与假设矛盾，因此10x a -=，20y a -=，即1x a =，2y a =．二、向量的正交分解与向量的直角坐标运算：（1）向量的直角坐标：如果基底的两个基向量1e ，2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底．在正交基底下分解向量，叫做正交分解．（2）向量的坐标表示：在直角坐标系中，一点A 的位置被点A 的位置向量OA 所唯一确定．设点A 的坐标为(,)x y ，由平面向量基本定理，有12(,)OA xe ye x y =+=，即点A 的位置向量OA 的坐标(,)x y ，也就是点A 的坐标；反之，点A 的坐标也是点A 相对于坐标原点的位置向量OA 的坐标．E 2E 1e 2e 1O ANMae1e 2axyO O yxae 2e 1平面向量的基本定理及坐标运算（3）向量的直角坐标运算：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则 ①1122(,)a b a b a b +=++；②1122(,)a b a b a b -=--；③1212(,)(,)a a a a a λλλλ==注：①两个向量的和与差的坐标等于两个向量相应坐标的和与差；②数乘向量的积的坐标等于数乘以向量相应坐标的积．（4）若11(,)A x y ，22(,)B x y ，则向量2121(,)AB OB OA x x y y =-=--；即：一个向量的坐标等于向量的终点的坐标减去始点的坐标．（5）用平面向量坐标表示向量共线条件：设12(,)a a a =，12(,)b b b =，则12210a b a b -=就是两个向量平行的条件．若向量b 不平行于坐标轴，即10b ≠，20b ≠，则两个向量平行的条件是，相应坐标成比例．题型一、平面向量的基本定理【例1】 若已知1e 、2e 是平面上的一组基底，则下列各组向量中不能作为基底的一组是（ ）A ．1e 与2e -B ．31e 与22eC ．1e ＋2e 与1e —2eD ．1e 与21e【例2】 线段与互相平分，则可以表示为（ ）A ．B ．C ．D ． 【例3】 已知ABCD □的两条对角线交于点O ，设AB a =，AD b =，用向量a 和b 表示向量BD ，AO ．【例4】 如图，平行四边形ABCD 中，E F 、分别是BC DC 、的中点，G 为DE BF 、的交点，若AB =a ，AD =b ，试以a ，b 为基底表示DE 、BF 、CG ．AB CD BD AB CD -1122AB CD -+1()2AB CD -()AB CD --GFE DCBA【例5】 设P 是正六边形OABCDE 的中心，若OA a =，OE b =，试用向量a ，b 表示OB 、OC 、OD【例6】 已知向量a ，b 不共线，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果c d ∥，那么（ ）A ．1k =且c 与d 同向B ．1k =且c 与d 反向C ．1k =-且c 与d 同向D ．1k =-且c 与d 反向【例7】 已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上（不包括端点A ，C ），则AP 等于（ ）A ．()AB AD λ+，(01)λ∈， B ．()AB BC λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， C ．()AB AD λ+，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，D ．()AB BC λ-，202λ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭， 【例8】 已知向量a b ，不共线，m n ，为实数，则当0ma nb +=时，有m n += 【例9】 在平行四边形ABCD 中，E 和F 分别是边CD 和BC 的中点．若AC AE AF λμ=+，其中λ，R μ∈，则λμ+= ．【例10】证明：若向量,,OA OB OC 的终点A B C 、、共线，当且仅当存在实数,λμ满足等式1λμ+=，使得OC OB OA λμ=+．POE DCBAFEDCBAOCBA题型二、平面向量的坐标表示与运算【例11】设向量(23),AB =，且点A 的坐标为(12),，则点B 的坐标为 ． 【例12】若(21),a =，(34),b =-则34a b +的坐标为_________． 【例13】设平面向量()()3,5,2,1a b ==-，则2a b -=（ ）A ．()6,3B ．()7,3C ．()2,1D ．()7,2【例14】已知(2,3),(1,2)a x b y =-=+，若a b =，则x = ，y = ． 【例15】若()0,1A ，()1,2B ，()3,4C ，则AB -2BC = 【例16】若()3,2M -，()5,1N --且12MP =MN ，求P 点的坐标．【例17】已知向量()1,0a =，()0,1b =，()R c ka b k =+∈，d a b =-，如果那么（ ）A ．且与同向B ．且与反向C ．且与同向D ．且与反向【例18】已知向量()11a =，，()2b x =，若a b +与42b a -平行，则实数的值是（ ） A ．2- B ．0 C ．1 D ．2【例19】在平面直角坐标系xoy 中，四边形ABCD 的边AB DC ∥，AD BC ∥，已知点()2,0A -，()6,8B ，()8,6C ，则D 点的坐标为___________．【例20】已知向量()3,1a =，()1,3b =，(),7c k =，若()a c -∥b ，则= ． 【例21】已知()12a =，，()32b =-，，当ka b +与3a b -平行，k 为何值（ ）A ．14 B ．－14 C ．－13 D ．13【例22】已知(1,2),(3,2)a b ==-，当实数k 取何值时，k a ＋2b 与2a -4b 平行？//c d 1k =c d 1k =c d 1k =-c d 1k =-c d x k【例23】点(23),A 、(54),B 、(710),C ，若()R AP AB AC λλ=+∈，试求λ为何值时，点P 在一、三象限角平分线上．【练1】 在ABC △中，AB c =，AC b =．若点D 满足2BD DC =，则AD =（ ）A ．2133b c +B ．5233c b -C ．2133b c -D ．1233b c +【练2】 如图，在ABC △中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于不同的两点M N ，，若AB mAM =，AC nAN =，则m n +的值为．【练3】 已知两个向量()()121a b x ==，，，，若a b ∥，则x 的值等于（ ） A ．12-B ．12C ．2-D ．2【练4】 若平面向量a ，b 满足1a b +=，a b +平行于轴，()21b =-，，则a = ．DCBAONMCBAx 随堂练习【题1】 若向量()1,1a =，()1,1b =-，()4,2c =，则c = （ ）A ．3a +bB ． 3a -bC ．-a +3bD ．a +3b【题2】 已知a ＝（4，2），b ＝（x ，3），且a ∥b ，则x 等于（ ）A ．9B ．6C ．5D ．3【题3】 已知平面向量a ＝（x ，1），b ＝（－x ，x 2），则向量a ＋b （ ）A ．平行于x 轴B ．平行于第一、三象限的角平分线C ．平行于y 轴D ．平行于第一、四象限的角平分线【题4】 已知向量e 1与e 2不共线，实数x ，y 满足（3x －4y ）e 1＋（2x －3y ）e 2＝6e 1＋3e 2，则x －y 等于（ ）A ．3B ．－3C ．0D ．2【题5】 已知向量(1,2)a =，(0,1)b =，设u a kb =+，2v a b =-，若u ∥v ，则实数k 的值为（ ）A ．－1B ．－12C ．12D ．1【题6】 设点A （2，0），B （4，2），若点P 在直线AB 上，且|AB |＝2|AP |，则点P 的坐标为（ ）A ．（3，1)B ．（1，－1）C ．（3，1）或（1，－1)D ．无数多个【题7】 设(1,2),(2,3),a b ==若向量a b λ+与向量(4,7)c =--共线，则λ=．【题8】 已知向量a ＝（2，－1），b ＝（－1，m ），c ＝（－1，2），若（a ＋b ）∥c ，则m ＝________．【题9】 已知A （－2，4），B （3，－1），C （－3，－4）．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN→＝－2b ．（1）求：3a ＋b －3c ；（2）求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ．【题10】 在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F ．若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →＝（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13b C ．12a ＋14bD ．13a ＋23b课后作业。
考点31平面向量基本定理及坐标表示(3种核心题型)(学生版) 2025年高考数学大一轮复习(新高考版
考点31平面向量基本定理及坐标表示（3种核心题型+基础保分练+综合提升练+拓展冲刺练）【考试提醒】1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件．【知识点】1．平面向量基本定理如果e 1，e 2是同一平面内的两个 向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，一对实数λ1，λ2，使a ＝.若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 ．2．平面向量的正交分解把一个向量分解为两个 的向量，叫做把向量作正交分解．3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝，a －b ＝，λa ＝，|a |＝.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则 坐标即为向量的坐标．②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝ ，|AB →|＝.4．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b ⇔ .常用结论已知P 为线段AB 的中点，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则点P 的坐标为(x 1＋x 22，y 1＋y 22)；已知△ABC 的顶点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，则△ABC 的重心G 的坐标为(x 1＋x 2＋x 33，y 1＋y 2＋y 33)..【核心题型】题型一 平面向量基本定理的应用(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算．(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一个基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．【例题1】（2024·湖南衡阳·三模）在三角形ABC 中，点M 在平面ABC 内，且满足(,)BM BA BC l m l m =+ÎR uuuu r uuu r uuu r ，条件:3P AM MC =uuuu r uuu u r，条件:221Q m l -=，则P 是Q 的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件【变式1】（2024·河北·模拟预测）在边长为1的正三角形ABC 中，13A A DB =uuu u u ru r ，13BE BC =uuu r uuu r ，AE 与CD 交于点F ，则CD BF ×=uuu r uuu r（ ）A ．1B ．0C ．12-D ．【变式2】（2023·陕西咸阳·模拟预测）在ABC V 中，点D 是BC 的中点，点E 在AD 上，且13BE BA BC l =+uuu r uuu r uuu r ，AE xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则x y l -=.【变式3】（2023·广东佛山·模拟预测）在ABC V 中，2AB =，BC =，M 点为BC 的中点，N 点在线段AC 上且13AN AC =，2BN =.(1)求AC ；(2)若点P 为AM 与BN 的交点，求MPN Ð的余弦值.题型二 平面向量的坐标运算(1)利用向量的坐标运算解题，主要是利用加法、减法、数乘运算法则，然后根据“两个向量相等当且仅当它们的坐标对应相等”这一原则，化归为方程(组)进行求解．(2)向量的坐标表示使向量运算代数化，成为数与形结合的载体，可以使很多几何问题的解答转化为我们熟知的数量运算．【例题2】（2023·广东佛山·二模）已知ABCD Y 的顶点()1,2--A ，()3,1B -，()5,6C ，则顶点D 的坐标为（ ）A ．()1,4B ．()1,5C ．()2,4D ．()2,5【变式1】（2024·全国·模拟预测）在平面直角坐标系xOy 内，已知点()()1,1,1,2A AB -=-uuu r ，则OB =uuu r（ ）A ．()2,3-B ．()0,1-C ．()2,3-D ．()0,1【变式2】(多选)（2022·海南·模拟预测）用下列1e u r ，2e u ur 能表示向量()3,2a =r 的是（ ）A ．()16,4e =u r ，()29,6e =u u rB ．()11,2e =-u r，()25,2e =-u u r C ．()13,5e =u r，()26,10e =u u r D ．()12,3e =-u r，()22,3e =-u u r 【变式3】（2023·全国·模拟预测）在平行四边形ABCD 中，点()0,0A ，()4,4B -，()2,6D ．若AC 与BD 的交点为M ，则DM 的中点E 的坐标为,题型三 向量共线的坐标表示平面向量共线的坐标表示问题的解题策略(1)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，则a ∥b 的充要条件是x 1y 2＝x 2y 1.(2)在求与一个已知向量a 共线的向量时，可设所求向量为λa (λ∈R )．命题点1 利用向量共线求参数【例题3】（2024·陕西渭南·三模）已知向量()2,m l =r ，()2,4n l =--r ，若m r与n r 共线且反向，则实数l 的值为（ ）A ．4B ．2C ．2-D ．2-或4【变式1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量()4,a m =r ，()2,2b m =r ，若a b r r ∥，则m =（ ）A ．4或2B ．2-C ．2D ．2或2-【变式2】（2024·四川绵阳·模拟预测）已知向量()3,4a =r ，()2,b k =r，且()//a b a +r r r ，则实数k = .【变式3】（2023·四川成都·一模）已知向量()sin ,1a x =r，),2b x =-r ，函数()()f x a b a =+×r r r .(1)若//a b r r ，求cos2x 的值；(2)a ，b ，c 为ABC V 的内角A ，B ，C 的对边，2a =，且()12f A =，求ABC V 面积的最大值.命题点2 利用向量共线求向量或点的坐标【例题4】（2024·全国·模拟预测）已知()4,2M -，()6,4N --，且12MP MN =-uuu r uuuur ，则点P 的坐标为（ ）A ．()1,1B ．()9,1-C ．()2,2-D ．()2,1-【变式1】（2024·江苏南京·二模）已知向量()1,2a =r ，(),3b x x =+r ．若a b rr P ，则x =（ ）A ．6-B ．2-C ．3D ．6【变式2】（2023·山东青岛·一模）已知()0,0O ，()1,2A ，()3,1B -，若向量m OA uuu r r ∥，且mr 与OB uuu r 的夹角为钝角，写出一个满足条件的m r的坐标为 ．【变式3】（2024·河南信阳·模拟预测）抛物线E ：24y x =的焦点为F ，直线AB ，CD 过F 分别交抛物线E 于点A ，B ，C ，D ，且直线AD ，BC 交x 轴于N ，M ，其中()2,0N ，则M 点坐标为．【课后强化】【基础保分练】一、单选题1．（2024·全国·模拟预测）如图所示，在边长为2的等边ABC V 中，点E 为中线BD 的三等分点（靠近点B ），点F 为BC 的中点，则FE FB ×=uuu r uuu r（ ）A ．B ．12-C ．34D ．122．（2024·河北承德·二模）在ABC V 中，D 为BC 中点，连接AD ，设E 为AD 中点，且,BA x BE y ==uuu r uuu r r r ，则BC =uuu r（ ）A ．42x y+r r B ．4x y-+r r C ．42x y--r r D ．42y x-r r 3．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量(),23a m m =+r ，()1,41b m =+r ，则“34m =-”是“a r 与br 共线”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件4．（2024·四川·模拟预测）已知向量()2,1a =r ，(),2b x =r ，若//a b r r ，则x =（ ）A ．4B ．2C ．1D ．1-二、多选题5．（2024·全国·模拟预测）已知向量()(),1,4,2a x b ==r r ，则（ ）A ．若a b r r∥，则2x =B ．若a b ^rr ，则12x =C ．若3x =，则向量a r 与向量b rD ．若=1x -，则向量b r 在向量a r上的投影向量为6．（23-24高三上·山东枣庄·期末）设()1,3m =-r，()1,2n =r ，则（ ）A ．210m n -=r rB ．()2m n m-^r r rC ．若()2m n -r r P ()km n +r r ，则12k =-D ．n r 在m r上的投影向量为12mr 三、填空题7．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点O 为坐标原点，()1,1OA =uuu r ，()3,4OB =-uuu r，点P 在线段AB 上，且1AP =uuu r，则点P 的坐标为 ．8．（2024·陕西安康·模拟预测）已知平面向量()()3,4,3a b m ==r r ，.若向量2a b -r r与a b +r r 共线，则实数m 的值为.9．（2023·河南开封·模拟预测）已知两点(1,2)A -，(2,4)B ，若向量(2,)a m =r与AB uuu r垂直，则m =．四、解答题10．（2024·湖北·二模）如图，O 为坐标原点，F 为抛物线22y x =的焦点，过F 的直线交抛物线于,A B 两点，直线AO 交抛物线的准线于点D ，设抛物线在B 点处的切线为l ．(1)若直线l 与y 轴的交点为E ，求证：DE EF =；(2)过点B 作l 的垂线与直线AO 交于点G ，求证：2||AD AO AG =×．11．（2022·北京·三模）如图四棱锥P ABCD -中，PAD V 是以AD 为斜边的等腰直角三角形，BC AD ∥，AB AD ^，222AD AB BC ===，PC =E 为PD 的中点.(1)求证：直线CE ∥平面PAB(2)求直线PB 与平面PAC 所成角的正弦值.(3)设F 是BE 的中点，判断点F 是否在平面PAC 内，并证明结论.【综合提升练】一、单选题1．（2024·安徽合肥·模拟预测）已知向量(2,)a t =r，(1,2)b =r ，若当1=t t 时，a b a b ×=×r r r r ，当2=t t 时，a b ^rr ，则（ ）A ．14t =-，21t =-B ．14t =-，21t =C ．14t =，21t =-D ．14t =，21t =2．（2024·山西·模拟预测）已知向量()2,a x =r ，()1,3b =-r ，若a b ∥r r，则a b +=r r （ ）A B ．C ．3D 3．（2024·重庆·三模）已知向量(2,3),(1,21)a b m m ==-+r r ，若//a b rr ，则m =（ ）A ．3B ．18C ．18-D ．5-4．（2024·浙江温州·三模）平面向量()(),2,2,4a m b ==-r r，若()a ab -r r r ∥，则m =（ ）A ．1-B ．1C ．2-D ．25．（2024·辽宁·二模）已知平行四边形ABCD ，点P 在BCD △的内部（不含边界），则下列选项中，AP uuu r可能的关系式为（ ）A ．1355AP AB AD=+uuu r uuu r uuu rB ．1344AP AB AD =+uuu r uuu r uuu rC ．2334AP AB AD =+uuu r uuu r uuu r D ．2433AP AB AD=+uuu r uuu r uuu r6．（2024·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 满足20BD AD +=uuu r uu r ru ．若3CA =uuu r π4ACD Ð=，则CB =uuu r （ ）A ．4B ．C ．D ．7．（2023·全国·模拟预测）在ABC V 中，点D 是线段AB 上靠近B 的四等分点，点E 是线段CD 上靠近D 的三等分点，则AE =uuu r（ ）A ．2133CA CB-+uuur uuu r B ．1526CA CB-uuur uuu r C ．5162CA CB -+uuu r uuu r D ．1233CA CB-+uuur uuu r 8．（2024·山东泰安·模拟预测）已知向量()2,3a =-r ，()3,b m =r ，且a b r r∥，则m =（ ）A ．2B ．-2C ．92D ．92-二、多选题9．（2024·江西景德镇·三模）等边ABC V 边长为2，2AD DC =uuu r uuu r ，AE EB =uuu r uuu r，BD 与CE 交于点F ，则（ ）A ．2133BD BA BC=+uuu r uuu r uuu r B ．12CF CE=uuu r uuu r C ．1BD CE ×=-uuu r uuu rD ．BD uuu r 在BC uuu r 方向上的投影向量为56BCuuur10．（2024·山东济南·二模）如图，在直角三角形ABC 中，AB BC ==AO OC =，点P 是以AC 为直径的半圆弧上的动点，若BP xBA yBC =+uuu r uuu r uuu r，则（ ）A ．1122BO BA BC =+uuu r uuu r uuu r B ．1CB BO ×=uuu r uuu rC ．BP BC ×uuu r uuu r最大值为1D ．B ，O ，P 三点共线时2x y +=11．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知向量()()cos ,sin ,3,4a b q q ==-r r，则下列命题为真命题的是（ ）A ．若//a b rr ，则4tan 3q =-B ．若a b ^rr ，则3sin 5q =C ．a b -rr 的最大值为6D ．若()0a a b ×-=r r r ，则a b -=rr 三、填空题12．（2022·黑龙江·一模）已知向量()3,4a =-r ，2AB a =uuu r r，点A 的坐标为()3,4-，则点B 的坐标为 ．13．（2020高三上·全国·专题练习）已知向量(),2a x =v ，()2,1b =v ，且//a b v v ，则a =v14．（2023·上海徐汇·三模）函数()ln y x =-沿着向量a r 平移后得到函数()ln 12y x =-+，则向量a r的坐标是.四、解答题15．（2023·吉林·一模）已知向量),cos a x x =r，()cos ,cos b x x =r．(1)若//a b r r且()0,πx Î，求x ；(2)若函数()12=×-r r f x a b ，求()f x 的单调递增区间．16．（2023·安徽滁州·模拟预测）已知ABC V 的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，向量(),,p a c b =-u r()si n si n ,si n si n q C B A B =++r，且p q u r r ∥.(1)求角C ；(2)若c ABC =V ABC V 的周长.17．（2020·山东济宁·模拟预测）已知向量()1,1a =r，()2,b m =r ，R m Î．(1)若//a b r r，求m 的值；(2)若a b ^r r，求m 的值；(3)若a r 与b r夹角为锐角，求m 的取值范围．18．（2023·全国·模拟预测）记ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知()2cos cos cos2c a A B b A A B =-£．(1)求A ；(2)若D 是BC 上的一点，且:1:2,2BD DC AD ==，求a 的最小值．19．（2023·福建福州·三模）△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知()sin cos sin A A C C a=+，2c =.(1)求B ；(2)D 为AC 的中点，234BD BC =,求ABC V 的面积.【拓展冲刺练】一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知向量()2,1AB =-uuu r ，()3,2AC =uuu r ，点()1,2C -，则点B 的坐标为（ ）A ．()2,1--B ．()0,5C ．()2,5-D ．()2,1-2．（2024·山东济南·一模）已知(),1a m =r ，()31,2b m =-r ，若//a b r r ，则m =（ ）A ．1B ．1-C ．23D ．23-3．（2024·陕西榆林·二模）若向量()()0,1,,2,AB CD m AB ==-uuu r uuu r uuu r P CD uuu r ，则m =（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．04．（2024·全国·模拟预测）已知O 为平面直角坐标系的原点，向量(1,3),(2,1),(1,2)OA AB AP ==--=-uuu r uuu r uuu r ，设M 是直线OP 上的动点，当MA MB ×uuu r uuu r 取得最小值时，OM =uuuu r （ ）A ．11,2æöç÷èøB ．11,2æö--ç÷èøC ．(2,1)D ．(2,1)--二、多选题5．（2023·全国·模拟预测）已知向量(1,2),(2,1)a b ==-r r .若()//()xa b a xb --r r r r ，则x =（ ）A ．1-B ．0C ．1D ．26．（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量a r ，b r ，c r 为非零向量，下列说法正确的有（ ）A ．若a b ^r r ，b c ^r r ，则a c^r r B ．已知向量()1,2a =r ，()23,2a b +=r r ，则()1,2b =r C ．若a b a c ×=×r r r r ，则b r 和c r 在a r 上的投影向量相等D ．已知2AB a b =+uu r u r r ，56BC a b =-+uuu r r r ，72CD a b =-uuu r r r ，则点A ，B ，D 一定共线三、填空题7．（2024·山东潍坊·三模）已知向量()()()1,2,4,2,1,a b c l ==-=r r r ，若()20c a b ×+=r r r ，则实数l =8．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）已知向量()1,1a =-r ，()2,1b =r ，则()a ab ×-=r r r 9．（2023·上海普陀·二模）设x 、R y Î，若向量a r ，b r ，c r 满足(,1)a x =r ，(2,)b y =r ，(1,1)c =r ，且向量a b -r r 与cr 互相平行，则||2||a b +r r 的最小值为 ．四、解答题10．（2023·河南洛阳·一模）已知函数2()cos 2sin 2f x x x x p æö=-+ç÷èø，在ABC V 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且()3f A =．(1)求角A ；(2)若b =3，c =2，点D 为BC 边上靠近点C 的三等分点，求AD 的长度．11．（2023·江苏·三模）已知椭圆E ：221164x y +=，椭圆上有四个动点A ，B ，C ，D ，//CD AB ，AD 与BC 相交于P 点.如图所示.(1)当A ，B 恰好分别为椭圆的上顶点和右顶点时，试探究：直线AD 与BC 的斜率之积是否为定值？若为定值，请求出该定值；否则，请说明理由；(2)若点P 的坐标为()8,6，求直线AB 的斜率.。
第30课--平面向量的基本定理及坐标表示
二、课堂练习 1. 已知 a 1, 2 ， b 3, m ， m R ，则“ m 6 ”是“ a a b ”的（ A. 充要条件 C. 必要不充分条件 答案：A B. 充分不必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ）.
解析： a b 2, 2 m ，∵ a a b ，∴ 1 (2 m) 2 2 ，解得 m 6 ，所以 “ m 6 ” 是 “ a a b ” 的充要条件，故选 A. 2. 已知向量 a k ,3 , b 1, 4 , c 2,1 ，且 2a 3b c ，则实数 k =（ A.
0,5 2,1 2, 1
解析： （ 1 ）令 m 1 ， n 2 ， p 2 ， q 1 ，∴ mp nq 0 ， mq np 5 , a b 0,5 .
mp nq 5 （ 2 ）∵ a b 5,0 ，∴ ①，又∵ a 5 ， b 5 ， mq np 0 m 2 n 2 25 ∴ 2 ，∴ m ， n ， p ， q Z ，∴ m 2 ， n 1 ， p 2 ， q 1 是方程组①的一组解，∴ a 2,1 ， 2 p q 25
m 的取值范围是（
）. B. (,3) C. (, 3) (3, ) D. [ 3,3)
A. (, 0) (0, ) 答案：C
解析：根据平面向量基本定理可知，当 a 与 b 不共线时，平面上的任意向量 c 都可以唯一地表示为
c a b ( , R ) ；由上可知， 2 m 3 3m ，即 m 3 ，故选 C. m （ n
5 2 1 7 ，只有该组向量不是共线向量，故选 B.
平面向量的基本定理及坐标表示
平面向量的基本定理及坐标表示全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：平面向量是我们在高中数学学习中接触到的一个重要知识点，它在几何学和代数学中都有着重要的作用。
平面向量本质上是有大小和方向的量，它可以用箭头表示出来，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
而平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，下面我就来详细介绍一下。
一、平面向量的基本定理1. 平行向量的概念两个向量如果它们的方向相同或者相反，那么我们称这两个向量为平行向量。
平行向量的特点是它们的模相等，方向相同或者相反。
2. 向量的加法如果有两个向量a和b，它们的起点相同，那么我们可以通过平行四边形法则将这两个向量相加，即将向量b平移至向量a的终点，然后连接向量a的起点和向量b的终点，这条连接线就是向量a+b的结果。
3. 向量的数量积向量的数量积，也称为点积或内积，是两个向量的特殊乘积。
设有两个向量a和b，它们之间夹角为θ，那么a·b=|a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长。
二、平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示一个向量。
设有一个向量a，它在平面直角坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x,y)，那么我们可以用坐标(x,y)表示向量a。
在平面直角坐标系中，向量a与坐标轴之间的夹角为θ，那么向量a的方向角为θ。
根据三角函数的定义，我们有cosθ=x/|a|，sinθ=y/|a|，tanθ=y/x，这三个公式可以帮助我们求解向量的方向角。
对于向量的数量积和叉积，我们也可以通过向量的坐标表示来进行计算。
设向量a在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为A(x1,y1)，向量b在坐标系中的起点为O(0,0)，终点为B(x2,y2)，那么向量a和向量b 的数量积为x1x2+y1y2，向量a和向量b的叉积为x1y2-x2y1。
平面向量的基本定理和坐标表示是我们学习平面向量的重要内容，通过深入理解这些知识点，我们可以更好地解决平面向量的相关问题，为我们的数学学习打下坚实的基础。
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示一．知识点总结1.平面向量基本定理：如果1e u r 、2e u u r 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a r ，有且只有一对实数1λ、2λ，使1122a e e λλ=+u r u u r r ．（不共线的向量1e u r 、2e u u r 作为这一平面内所有向量的一组基底）（1）平面内用来表示一个向量的基底有无数组；（2）若基底选取不同，则表示同一向量的实数21,λλ可以相同，也可以不同；（3）任意不共线的两个向量都可以作为基底。
2.向量的坐标表示与坐标运算:(1)平面向量的坐标表示：在坐标系下，平面上任何一点都可用一对实数(坐标)来表示 取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底，则平面内作一向量a =x i +y j ， 记作：a =(x, y) 称作向量a 的坐标(2)．注意：①每一平面向量的坐标表示是唯一的;②设A(1x ,1y ) B(2x , 2y ) 则()1212,y y x x --= 结论：同理可得，一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段终点的坐标减去始点的坐标。
(3).两个向量和与差的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和与差。
(4).两个向量相等的充要条件是两个向量坐标相等。
(5)．实数与向量积的坐标运算：已知a =(x, y)和实数λ，则λa =λ(x i +y j )=λx i +λy j ∴λa =(λx, λy) 结论：实数与向量的积的坐标，等于用这个实数乘原来的向量相应的坐标。
3.向量平行的坐标表示: 结论：a ≠01221=-y x y x 二．练习1.在梯形ABCD 中，AB CD CD AB 2=F E ,BA DC ,b AB a AD ==,b a ,EF BC DC ,,知ABCD 为矩形，且AB AD 2=，又ADE ∆为等腰直角三角形，F 为ED 的中点，2121,,,e e e e 以==为基底，表示向量,,,.4．已知a ＝(x,3)，b ＝(3，－1)且a ∥b ，则x 等于( )A ．－1B ．9C ．－9D ．15．已知A (3，－6)，B (－5,2)，且A 、B 、C 三点在一条直线上，则C 点坐标不可能是( )A ．(－9,6)B ．(－1，－2)C ．(－7，－2)D ．(6，－9)6.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b 等于( )A ．(－5，－10)B ．(－4，－8)C ．(－3，－6)D ．(－2，－4)7.已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则m n 等于( )A. 12 B ．2 C ．－12D ．－2 8.已知向量a ＝(x,1)，b ＝(1，x )方向相反，则x ＝________.9.．已知M ＝{a |a ＝(1,2)＋λ(3,4)，λ∈R }，N ＝{a |a ＝(－2，－2)＋μ(4,5)，μ∈R }，则M ∩N ＝________.10.已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，如果A 、B 、C 三点共线，则实数k ＝________.11.如果向量AB →＝i －2j ，BC →＝i ＋m j ，其中i 、j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量，试确定实数m 的值，使A 、B 、C 三点共线．10．已知点O (0,0)，A (1,2)，B (4,5)及OP →＝OA →＋tAB →，试问：(1)t 为何值时，P 在x 轴上，P 在y 轴上，P 在第二象限(2)四边形OABP 能否成为平行四边形，若能，求出t 的值，若不能，请说明理由．13.已知向量a ＝(3,4)，b ＝(sin α，cos α)，且a ∥b ，则tan α等于( )A. 34 B ．－34 C. 43 D ．－4314.已知A (2,3)，B (6，－3)，P 是靠近A 的线段AB 的一个三等分点，则点P 的坐标是________．15.已知向量AB →＝(6,1)，BC →＝(x ，y )，CD →＝(－2，－3)，当BC →∥DA →时，求x ，y 应满足的关系式．16.设e 1，e 2是平面内一组基向量，且a ＝e 1＋2e 2，b ＝－e 1＋e 2，则向量e 1＋e 2可以表示为另一组基向量a ，b 的线性组合，即e 1＋e 2＝________a ＋________b .17.已知点A (－1,2)，B (2,8)以及AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，求点C ，D 的坐标和CD →的坐标．18.已知A (1,1)、B (3，－1)、C (a ，b )．(1)若A 、B 、C 三点共线，求a 、b 的关系式； (2)若AC u u u r ＝2AB u u u r ，求点C 的坐标．19.下列向量中，不是单位向量的有： （ ）（1）()θθsin ,cos -= （2）()5lg ,2lg =（3）()22,x x c -=（4）()x x d ,1-=个 个 个 个。
平面向量的基本定理及坐标表示
第17页 共 44 页
1 而CM OM OC (m )a nb, CB OB OC 4 1 m 1 1 n 4 b a a b,因为C､M､B三点共线, 所以 , 1 4 4 1 4 即4m n 1. 1 m 1 m 2 n 1 3 7 由 , 解得 .所以OM a b. 7 7 4m n 1 n 3 7
第21页 共 44 页
同理可求N 9, 2 ,因此MN (9, 18). 所求M 0, 20 , N 9, 2 , MN (9, 18).
第22页 共 44 页
[反思感悟]由A､B､C三点坐标易求得 CA 、 CB坐标,再根据向
(2)求满足a=mb+nc的实数m,n; (3)若(a+kc)∥(2b-a),求k; (4)若(d-c)∥(a+b),且|d-c|=1,求d.
第25页 共 44 页
[分析](1)直接用向量加减法的坐标运算公式. (2)借助于向量相等的条件,建立关于m,n的方程组.
(3)利用向量共线的充要条件,建立关于实数k的充要条件.
答案:B
第10页 共 44 页
2.已知a=(-2,3),b=(1,5),则3a+b等于() A.(-5,14) B.(5,14)
C.(7,4)
D.(5,9)
解析:3a+b=3(-2,3)+(1,5)=(-6,9)+(1,5)=(-5,14). 答案:A
第11页 共 44 页
3.设a=(1,-2),b=(-3,4),c=(3,2),则(a+2b)·c=() A.(-15,12) B.0
平面向量基本定理及坐标表示
习题1：平面向量的基本定理应用
要点一
题目
要点二
解答
已知平面向量$\vec{a} = (2, 3)$，$\vec{b} = (1, -1)$ ，求向量$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b}$的坐标表示 。
根据平面向量的基本定理，向量加法和数乘具有分配 律。因此，$\vec{c} = \vec{a} + 2\vec{b} = (2, 3) + 2(1, -1) = (2, 3) + (2, -2) = (4, 1)$。
重要性
平面向量基本定理是平面向量坐标表示的基 础，它建立了向量与实数之间的桥梁，使得 向量的运算和研究更加便捷。同时，该定理 也为解决平面几何问题提供了新的思路和方 法。
03
CATALOGUE
平面向量基本定理与坐标表示的关系
平面向量基本定理与坐标表示的关系
定义
平面向量基本定理是指任何一个 平面向量都可以用两个不共线的 向量线性表示。
平面向量的运算
向= (x_1, y_1)$， $\vec{b} = (x_2, y_2)$，则它们的和 $\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (x_1 + x_2, y_1 + y_2)$。几何意义为平行四边形 法则或三角形法则。
向量的数乘
向量运算的简化
平面向量基本定理为向量运算提供了方便。利用基底向量的线性组合，可以简 化向量的加、减、数乘和数量积等运算。
02
CATALOGUE
平面向量的坐标表示
平面向量的定义与性质
定义
平面向量是在二维平面上的有向线段，具有大小和方向两个属性。
性质
平面向量的基本定理及坐标表示_基础
平面向量的基本定理及坐标表示【学习目标】1.了解平面向量的基本定理及其意义；2.掌握平面向量的正交分解及其坐标表示；3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算；4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.【要点梳理】要点一：平面向量基本定理1．平面向量基本定理如果12,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量a ，有且只有一对实数12,λλ，使1122a e e λλ=+，称1122e e λλ+为12,e e 的线性组合.①其中12,e e 叫做表示这一平面内所有向量的基底；②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量12,e e 的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的.这说明如果1122a e e λλ=+且''1122a e e λλ=+，那么1122λλλλ''=,=.③当基底12,e e 是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础.要点诠释：平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量.2．如何使用平面向量基本定理平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合．（1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的．（2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量1e 、 2e ，平面上的任何一个向量a 都可以用1e 、 2e 唯一表示为a =1λ1e +2λ2e ，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有1e 、 2e 的代数运算．要点二：向量的夹角已知两个非零向量a 与b ，在平面上任取一点O ，作OA =a ，OB =b ，则00(0180)AOB θθ∠=≤≤叫做a 与b 的夹角，记为〈a ，b 〉．当向量a 与b 不共线时，a 与b 的夹角()000,180θ∈；当向量a 与b 共线时，若同向，则00θ=；若反向，则0180θ=，综上可知向量a 与b 的夹角000,180θ⎡⎤∈⎣⎦．当向量a 与b 的夹角是90，就说a 与b 垂直，记作a ⊥b ．要点诠释：（1）向量夹角是指非零向量的夹角，零向量与任何向量不能谈夹角问题．（2）向量a ⊥b 是两向量夹角的特殊情况，可以理解为两向量所在直线互相垂直．要点三：平面向量的坐标表示1．正交分解把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解．要点诠释：如果基底的两个基向量1e 、2e 互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式．2．平面向量的坐标表示如图，在平面直角坐标系内，分别取与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量i 、j 作为基底，对于平面上的一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数,x y ，使得a =x i +y j .这样，平面内的任一向量a 都可由,x y 唯一确定，我们把有序数对(,)x y 叫做向量a 的（直角）坐标，记作a =(,)x y ，x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标．把a =(,)x y 叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系．要点诠释：（1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即12a b x x =⇔=且12y y =，其中1122(,),(,)a x y b x y ==．（2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若(2,3)A ，(5,8)B ，则(3,5)AB =；若(4,3)C -，(1,8)D -，则(3,5)CD =，AB CD =，显然A 、B 、C 、D 四点坐标各不相同．（3）(,)x y 在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 要点四：平面向量的坐标运算1．平面向量坐标的加法、减法和数乘运算运 算坐标语言加法与减法记OA --→=(x 1，y 1)，OB --→=(x 2，y 2) OA OB +=(x 1+x 2，y 1+y 2)，OB OA -=(x 2-x 1，y 2-y 1)实数与向量的乘积 记a →=(x ，y)，则λa →=(λx ，λy) 2．如何进行平面向量的坐标运算在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题：（1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等．（2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．（3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的．（4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 要点五：平面向量平行(共线)的坐标表示1．平面向量平行(共线)的坐标表示设非零向量()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →⇔(x 1，y 1)=λ(x 2，y 2)，即1212x x y y λλ=⎧⎨=⎩，或x 1y 2-x 2y 1=0. 要点诠释：若()()1122,,,a b x y x y ==，则a →∥b →不能表示成,2121y y x x =因为分母有可能为0. 2.三点共线的判断方法判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知112233(,),(,),(,),A x y B x y C x y AB --→=(x 2-x 1，y 2-y 1)，AC --→=(x 3-x 1，y 3-y 1)，若21313121()()()()0,x x y y x x y y -----=则A ，B ，C 三点共线.【典型例题】类型一：平面向量基本定理例1．如果1e 、2e 是平面α内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是（ ）①12e e λμ+(,R)λμ∈可以表示平面α内的所有向量；②对于平面α内任一向量a ，使12a e e λμ=+的实数对(,)λμ有无穷多个；③若向量1112e e λμ+与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ，使得11122122()e e e e λμλλμ+=+；④若实数λ，μ使得120e e λμ+=，则0λμ==．A ．①②B ．②③C ．③④D ．②【思路点拨】考查平面向量基本定理．【答案】 B【解析】由平面向量基本定理可知，①④是正确的．对于②，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是唯一的．对于③，当向量1112e e λμ+与2122e e λμ+均为零向量，即12120λλμμ====时，满足条件的实数λ有无数个．故选B ．【总结升华】考查两个向量能否构成基底，主要看两向量是否为非零向量且不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面内任意一个向量都可以由这组基底唯一表示．例2．如图所示，四边形OADB 是以向量OA a =，OB b =为邻边的平行四边形，C 为对角线的交点．又13BM BC =，13CN CD =，试用a ，b 表示OM ，ON ．【解析】 由题意，得OB BA OA +=，所以BA a b =-， 则1()2BC a b =-，11()36BM BC a b ==-， 115()666OM OB BM b a b a b =+=+-=+． 144122()333233ON OC CN OC CD OC a b a b =+=+==⨯+=+． 【总结升华】用基底表示平面向量，要充分利用向量加法、减法的三角形法则或平面四边形法则结合实数与向量的积的定义，解题时要注意解题途径的优化与组合．举一反三：【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例1】【变式1】如图，在ABC ∆中，:1:2OA a OB b BE EA ===，，，F 是OA 中点，线段OE 与BF 交于点G ，试用基底,a b 表示：（1）OE ；（2）BF ；（3）OG .【解析】（1）OE OB BE =+=13b BA +=1()3b OA OB +- =1()3b a b +- =1233a b + （2）BF OF OB =-=1122OA b a b -=- （3）在OAE ∆中，取13MA BA = 同理：//GE FM∴G 是BF 的中点=111222b a +⋅=1142a b + 类型二：利用平面向量基本定理证明三点共线问题例3．（2015春 山东枣庄月考）设1e ，2e 是二个不共线向量，知1228AB e e =-，123CB e e =+，122CD e e =-．（1）证明：A 、B 、D 三点共线（2）若123BF e ke =-，且B 、D 、F 三点共线，求k 的值．【思路点拨】向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想．【答案】（1）略；（2）λ=3，k =12．【解析】（1）证明：124BD CD CB e e =-=-122(4)2//AB e e BD AB BD ⇒=-=⇒，∵AB 与BD 有公共点，∴A 、B 、D 三点共线（2）解：∵B 、D 、F 三点共线，∴存在实数λ，使BF BD λ=，∴121234e ke e e λλ-=-，∴12(3)(4)e k e λλ-=-，又∵1e ，2e 不共线，∴3040k λλ-=⎧⎨-=⎩， 解得λ=3，k =12．【总结升华】证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线．举一反三：【变式1】（2016 山西朔州月考）设,a b 是不共线的两个非零向量．若2,3,3OA a b OB a b OC a b =-=+=-，求证：A 、B 、C 三点共线．【证明】∵(3)(2)2AB OB OA a b a b a b =-=+--=+，(3)(3)242BC OC OB a b a b a b AB =-=--+=--=-，∴,AB BC 共线，∵有公共端点B ．∴A 、B 、C 三点共线．类型三：平面向量的正交分解例4．如下图，分别用基底i ，j 表示向量a 、b 、c ，并求出它们的坐标．【解析】 由图可知23a OA OB i j =+=-+，∴a =（―2，3）．同理可知b =3i +4j =（3，4）． c =4i ―4j =（4，―5）．举一反三：【变式1】已知O 是坐标原点，点M 在第二象限，||63OM =，∠xOM=120°，求OM 的坐标．【解析】设M （x ，y ），则63cos 6033x =-︒=-．63sin 609y =︒=，即(33,0)M -，所以(33,9)OM =-．【总结升华】向量的坐标表示是向量的另一种表示方法，对此要从两个方面加深理解：一是相等向量的坐标相同；二是当向量的起点在原点时，终点坐标即为向量的坐标．类型四：平面向量的坐标运算例5．已知(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----，且3,2,CM CA CN CB ==求M 、N 及MN 的坐标.【思路点拨】根据题意可设出点M 、N 的坐标，然后利用已知的两个关系式，列方程组，求出坐标.【解析】(2,4),(3,1),(3,4)A B C ----设(,)M x y ，则(3,4)(3,24),CM x y =++=同理可求(9,2)N ，因此(9,18).MN =-【总结升华】向量的坐标是向量的另一种表示形式，它只与起点、终点、相对位置有关，三者中给出任意两个，可求第三个.在求解时，应将向量坐标看做一“整体”，运用方程的思想求解.向量的坐标运算是向量中最常用也是最基本的运算，必须熟练掌握.举一反三：【变式1】 已知点)8,2(),2,1(B A -以及11,,33AC AB DA BA ==-求点C ，D 的坐标和CD 的坐标. 【解析】设点C 、D 的坐标分别为1122(,),(,)x y x y ，由题意得1122(1,2),(3,6),(1,2),(3,6).AC x y AB DA x y BA =+-==---=--因为11,,33AC AB DA BA ==-， 所以有1111,22x y +=⎧⎨-=⎩和2211,22x y --=⎧⎨-=⎩，解得110,4x y =⎧⎨=⎩和222,0x y =-⎧⎨=⎩ 所以点C 、D 的坐标分别是(0，4)，(-2，0)，从而(2,4).CD =--类型五：平面向量平行的坐标表示例6．如图所示，在平行四边形ABCD 中，A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D（1，2），M 、N 分别为DC 、AB 的中点，求AM 、CN 的坐标，并判断AM 、CN是否共线．【解析】 已知A （0，0）、B （3，1）、C （4，3）、D （1，2），又M 、N 分别为DC 、AB 的中点，∴∴(2.5,2.5)AM =，( 2.5, 2.5)CN =--，∴AM 、CN 共线．【总结升华】求出两向量的坐标，验证x 1y 2－x 2y 1=0即可．举一反三：【变式1】向量(,12)PA k =，(4,5)PB =，(10,)PC k =，当k 为何值时，A 、B 、C 三点共线？【解析】 (,12)(4,5)(4,7)BA PA PB k k =-=-=-，(,12)(10,)(10,12)CA PA PC k k k k =-=-=--．∵A 、B 、C 三点共线，∴//BA CA ，即(k―4)(12―k)―(k―10)×7=0．整理，得k 2―9k―22=0．解得k 1=―2或k 2=11．∴当k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【总结升华】以上方法是用了A 、B 、C 三点共线即公共点的两个向量BA ，CA 共线，本题还可以利用A 、B 、C 三点共线6(1)11PB PA k λλλ=-⎧⇔=+-⇔⎨=⎩或122k λ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，即得k=―2或11时，A 、B 、C 三点共线．【变式2】（2015秋 海南期末）已知(1,0)a =，(2,1)b =，（1）若k 为何值时，ka b -与2a b +共线．（2）若23AB a b =+，BC a mb =+，且A 、B 、C 三点共线，求m 的值．【答案】（1）12k =-；（2）32m = 【解析】（1）(1,0)(2,1)(2,1)ka b k k -=-=--．2(1,0)2(2,1)(5,2)a b +=+=．∵ka b -与2a b +共线∴2(k ―2)―(―1)×5=0，即2k －4+5=0， 得12k =-． （2）∵A 、B 、C 三点共线，∴//AB BC ．∴存在实数λ，使得23()a b a mb a mb λλλ+=+=+，又a 与b 不共线，∴23m λλ=⎧⎨=⎩， 解得32m =． 【高清课堂：平面向量基本定理及坐标运算394885 例4】例7．如图，已知点A （4，0），B （4，4），C （2，6），求AC 与OB 的交点P 的坐标．【解析】方法一：由O 、P 、B 三点共线，可设(4,4)OP OB λλλ==，则(44,4)AP OP OA λλ=-=-．(2,6)AC OC OA =-=-，由AP 与AC 共线得(4λ－4)×6－4λ×(－2)=0，解得34λ=， 所以3(3,3)4OP OB ==．所以P 点坐标为（3，3）． 方法二：设P （x ，y ），则(,)OP x y =，因为(4,4)OB =，且OP 与OB 共线，所以44x y =，即x=y ． 又(4,)AP x y =-，(2,6)AC =-，且AP 与AC 共线，则得(x －4)×6－y×(－2)=0，解得x=y=3，所以P 点坐标为（3，3）．【总结升华】（1）平面向量的坐标表示，使向量问题完全代数化，将数与形紧密地结合起来，这样很多几何问题的证明，就转化为熟悉的数量运算．（2）要注意把向量的坐标与点的坐标区别开来，只有当始点在原点时，向量坐标才与终点坐标相等． 举一反三：【变式1】如图，已知ABCD 的三个顶点A 、B 、C 的坐标分别是（―2，1）、（―1，3）、（3，4），试求顶点D 的坐标．【解析】设顶点D 的坐标为（x ，y ）．∵(1(2),31)(1,2)AB =----=，(3,4)DC x y =--．由AB DC =，得（1，2）=（3―x ，4―y ）．∴1324x y =-⎧⎨=-⎩，∴22x y =⎧⎨=⎩．∴顶点D 的坐标为（2，2）．。
平面向量基本定理及坐标表示
平面向量基本定理及坐标表示1．平面向量基本定理如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，存在唯一一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底．2．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ＋b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 12＋y 2－y 12.3．平面向量共线的坐标表示设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，a 、b 共线⇔x 1y 2－x 2y 1＝0.选择题：设e 1，e 2是平面内一组基底，那么( ) A ．若实数λ1，λ2使λ1e 1＋λ2e 2＝0，则λ1＝λ2＝0B ．空间内任一向量a 可以表示为a ＝λ1e 1＋λ2e 2(λ1，λ2为实数)C ．对实数λ1，λ2，λ1e 1＋λ2e 2不一定在该平面内D ．对平面内任一向量a ，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2的实数λ1，λ2有无数对下列各组向量中，可以作为基底的是( )A ．e 1＝(0,0)，e 2＝(1，－2)B ．e 1＝(－1,2)，e 2＝(5,7)C ．e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10)D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－34解析 两个不共线的非零向量构成一组基底，故选B.已知平面向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，则向量12a －32b 等于( )A ．(－2，－1)B ．(－2,1)C ．(－1,0)D ．(－1,2) 解析 12a ＝(12，12)，32b ＝(32，－32)，故12a －32b ＝(－1,2)．已知a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(－1,2)，则c 等于( )A ．－12a ＋32b a －32b C ．－32a －12b D ．－32a ＋12b解析 设c ＝λa ＋μb ，∴(－1,2)＝λ(1,1)＋μ(1，－1)，∴⎩⎨⎧－1＝λ＋μ，2＝λ－μ，∴⎩⎪⎨⎪⎧λ＝12，μ＝－32，∴c ＝12a －32b .已知向量a ＝(1,2)，b ＝(1,0)，c ＝(3,4)．若λ为实数，(a ＋λb )∥c ，则λ等于( ) C ．1 D ．2 解析 ∵a ＋λb ＝(1＋λ，2)，c ＝(3,4)，且(a ＋λb )∥c ，∴1＋λ3＝24，∴λ＝12已知a ＝(5，－2)，b ＝(－4，－3)，若a －2b ＋3c ＝0，则c 等于( )解析 由已知3c ＝－a ＋2b ＝(－5,2)＋(－8，－6)＝(－13，－4)，∴c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－133，－43.已知向量OA→＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(－k,10)，且A ，B ，C 三点共线，则k 的值是( )A ．－23解析 AB→＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，AC →＝OC →－OA →＝(－2k ，－2)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB →，AC →共线，∴－2×(4－k )＝－7×(－2k )，解得k ＝－23已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量A B →同方向的单位向量为( )解析 A B →＝O B →－O A →＝(4，－1)－(1,3)＝(3，－4)，∴与A B →同方向的单位向量为A B →|A B →|＝⎝⎛⎭⎪⎫35，－45.已知点A (－1,5)和向量a ＝(2,3)，若AB→＝3a ，则点B 的坐标为( )A ．(7,4)B ．(7,14)C ．(5,4)D ．(5,14)解析 设点B 的坐标为(x ，y )，则AB →＝(x ＋1，y －5)，由AB →＝3a ，得⎩⎨⎧ x ＋1＝6，y －5＝9，解得⎩⎨⎧x ＝5，y ＝14.已知向量a ＝(－1,2)，b ＝(3，m )，m ∈R ，则“m ＝－6”是“a ∥(a ＋b )”的( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既不充分也不必要条件解析 由题意得a ＋b ＝(2,2＋m )，由a ∥(a ＋b )，得－1×(2＋m )＝2×2，∴m ＝－6，则“m ＝－6”是“a∥(a ＋b )”的充要条件，故选A已知在□ABCD 中，AD→＝(2,8)，AB →＝(－3,4)，则AC →＝( )A ．(－1，－12)B ．(－1,12)C ．(1，－12)D ．(1,12) 解析 ∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(－1,12)在△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD→＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 等于( )C ．－3D ．0解析 ∵CD →＝2DB →，∴CD →＝23CB →＝23(AB →－AC →)＝23AB →－23AC →，则r ＋s ＝23＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－23＝0已知点M 是△ABC 的边BC 的中点，点E 在边AC 上，且EC→＝2AE →，则向量EM →＝( )AC →＋13AB → AC →＋16AB → AC →＋12AB → AC →＋32AB →解析 如图，∵EC →＝2AE →，∴EM →＝EC →＋CM →＝23AC →＋12CB →＝23AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →＋16AC →在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP→＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若PA →＝(4,3)，PQ →＝(1,5)，则BC →等于( )A ．(－2,7)B ．(－6,21)C ．(2，－7)D ．(6，－21)解析 BC →＝3PC →＝3(2PQ →－PA →)＝6PQ →－3PA →＝(6,30)－(12,9)＝(－6,21)．在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M ，N 分别为CD ，BC 的中点，若AB →＝λAM →＋μAN →，则λ＋μ等于( )解析 ∵AB →＝AN →＋NB →＝AN →＋CN →＝AN →＋(CA →＋AN →)＝2AN →＋CM →＋MA →＝2AN →－14AB →－AM →，∴AB →＝85AN →－45AM →，∴λ＋μ＝45.填空题：已知平面向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝________. 解析 由a ＝(1,2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，得1×m ＝2×(－2)，即m ＝－4. 从而b ＝(－2，－4)，那么2a ＋3b ＝2(1,2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．已知向量a ＝(x,1)，b ＝(2，y )，若a ＋b ＝(1，－1)，则x ＋y ＝________.解析 ∵(x,1)＋(2，y )＝(1，－1)，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝1，y ＋1＝－1，解得⎩⎨⎧x ＝－1，y ＝－2，∴x ＋y ＝－3.已知向量a ＝(1,2)，b ＝(0,1)，设u ＝a ＋k b ，v ＝2a －b ，若u ∥v ，则实数k 的值为( ) A ．－1 B ．－12 D ．1解析 ∵u ＝(1,2)＋k (0,1)＝(1,2＋k )，v ＝(2,4)－(0,1)＝(2,3)，又u ∥v ，∴1×3＝2(2＋k )，得k ＝－12已知向量a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，且u ∥v ，则实数x 的值为________．解析 ∵a ＝(1,2)，b ＝(x,1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b ，∴u ＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x ＋1,4)，v ＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．又∵u ∥v ，∴3(2x ＋1)－4(2－x )＝0，即10x ＝5，解得x ＝12. 若三点A (1，－5)，B (a ，－2)，C (－2，－1)共线，则实数a 的值为________解析 AB →＝(a －1,3)，AC →＝(－3,4)，根据题意AB →∥AC →，∴4(a －1)＝3×(－3)，即4a ＝－5，∴a ＝－54在□ABCD 中，AC 为一条对角线，AB→＝(2,4)，AC →＝(1,3)，则向量BD →的坐标为__________．解析 ∵AB →＋BC →＝AC →，∴BC →＝AC →－AB →＝(－1，－1)，∴BD →＝AD →－AB →＝BC →－AB →＝(－3，－5)．已知□ABCD 的顶点A (－1，－2)，B (3，－1)，C (5,6)，则顶点D 的坐标为________ 解析 设D (x ，y )，则由AB →＝DC →，得(4,1)＝(5－x,6－y )，即⎩⎨⎧ 4＝5－x ，1＝6－y ，解得⎩⎨⎧x ＝1，y ＝5.已知梯形ABCD ，其中AB ∥CD ，且DC ＝2AB ，三个顶点A (1,2)，B (2,1)，C (4,2)，则点D 的坐标为_______ 解析 ∵在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，DC ＝2AB ，∴DC→＝2AB →.设点D 的坐标为(x ，y )，则DC→＝(4,2)－(x ，y )＝(4－x,2－y )，AB →＝(2,1)－(1,2)＝(1，－1)，∴(4－x,2－y )＝2(1，－1)，即(4－x,2－y )＝(2，－2)， ∴⎩⎨⎧ 4－x ＝2，2－y ＝－2，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4，故点D 的坐标为(2,4)．如图，在△ABC 中，AN →＝13NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋211AC →，则实数m 的值为________． 解析：设BP→＝kBN →，k ∈R .∵AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋kBN →＝AB →＋k (AN →－AB →)＝AB →＋k (14AC →－AB →)＝(1－k )AB →＋k 4AC →， 且AP →＝mAB →＋211AC →，∴1－k ＝m ，k 4＝211，解得k ＝811，m ＝311.在□ABCD 中，AB →＝e 1，AC →＝e 2，NC →＝14AC →，BM →＝12MC →，则MN →＝________(用e 1，e 2表示) 解析 如图，MN →＝CN →－CM →＝CN →＋2BM →＝CN →＋23BC →＝－14AC →＋23(AC →－AB →)＝－14e 2＋23(e 2－e 1)＝－23e 1＋512e 2如图，已知AB→＝a ，AC →＝b ，BD →＝3DC →，用a ，b 表示AD →，则AD →＝____________解析 AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋34BC →＝AB →＋34(AC →－AB →)＝14AB →＋34AC →＝14a ＋34b若三点A (2,2)，B (a,0)，C (0，b )(ab ≠0)共线，则1a ＋1b 的值为________．解析 AB →＝(a －2，－2)，AC →＝(－2，b －2)，则(a －2)(b －2)－4＝0，即ab －2a －2b ＝0，∴1a ＋1b ＝12.设OA →＝(－2,4)，OB →＝(－a,2)，OC →＝(b,0)，a >0，b >0，O 为坐标原点，若A ，B ，C 三点共线，则1a ＋1b 的最小值为________解析 由题意得AB→＝(－a ＋2，－2)，AC →＝(b ＋2，－4)， 又AB →∥AC →，∴(－a ＋2，－2)＝λ(b ＋2，－4)，即⎩⎨⎧－a ＋2＝λb ＋2，－2＝－4λ，整理得2a ＋b ＝2，∴1a ＋1b ＝12(2a ＋b )(1a ＋1b )＝12(3＋2a b ＋b a )≥12(3＋22a b ·b a )＝3＋222(当且仅当b ＝2a 时，等号成立)．已知A (7,1)，B (1,4)，直线y ＝12ax 与线段AB 交于点C ，且AC →＝2CB →，则实数a ＝________.解析 设C (x ，y )，则AC→＝(x －7，y －1)，CB →＝(1－x,4－y )，∵AC →＝2CB →，∴⎩⎨⎧ x －7＝21－x ，y －1＝24－y ，解得⎩⎨⎧x ＝3，y ＝3.∴C (3,3)．又∵C 在直线y ＝12ax 上，∴3＝12a ·3，∴a ＝2.已知向量OA→＝(1，－3)，OB →＝(2，－1)，OC →＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________解析 若点A ，B ，C 能构成三角形，则向量AB →，AC →不共线．∵AB →＝OB →－OA →＝(2，－1)－(1，－3)＝(1,2)，AC→＝OC →－OA →＝(k ＋1，k －2)－(1，－3)＝(k ，k ＋1)， ∴1×(k ＋1)－2k ≠0，解得k ≠1.设0＜θ＜π2，向量a ＝(sin2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________.解析 ∵a ∥b ，∴sin2θ×1－cos 2θ＝0，∴2sin θcos θ－cos 2θ＝0， ∵0＜θ＜π2，∴cos θ＞0，∴2sin θ＝cos θ，∴tan θ＝12解答题：已知A (1,1)，B (3，－1)，C (a ，b )．(1)若A ，B ，C 三点共线，求a ，b 的关系式； (2)若AC→＝2AB →，求点C 的坐标． 解析 (1)由已知得AB→＝(2，－2)，AC →＝(a －1，b －1)，∵A ，B ，C 三点共线，∴AB→∥AC →，∴2(b －1)＋2(a －1)＝0，即a ＋b ＝2.(2)∵AC→＝2AB →，∴(a －1，b －1)＝2(2，－2)． ∴⎩⎨⎧ a －1＝4，b －1＝－4，解得⎩⎨⎧a ＝5，b ＝－3.∴点C 的坐标为(5，－3)．已知点O 为坐标原点，A (0,2)，B (4,6)，OM →＝t 1OA →＋t 2AB →. (1)求点M 在第二或第三象限的充要条件；(2)求证：当t 1＝1时，不论t 2为何实数，A ，B ，M 三点共线． (1)解 OM →＝t 1OA →＋t 2AB →＝t 1(0,2)＋t 2(4,4)＝(4t 2,2t 1＋4t 2)． 当点M 在第二或第三象限时，有⎩⎨⎧4t 2＜0，2t 1＋4t 2≠0，故所求的充要条件为t 2＜0且t 1＋2t 2≠0.(2)证明 当t 1＝1时，由(1)知OM →＝(4t 2,4t 2＋2)．∵AB →＝OB →－OA →＝(4,4)，AM →＝OM →－OA →＝(4t 2,4t 2)＝t 2(4,4)＝t 2AB →， ∴AM→与AB →共线，又有公共点A ，∴A ，B ，M 三点共线．能力提升题组已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若(m a ＋n b )∥(a －2b )，则mn 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．－12 解析 由题意得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，∵(m a ＋n b )∥(a －2b )，∴－(2m －n )－4(3m ＋2n )＝0，∴m n ＝－12已知|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且OC →与OA →的夹角为30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，则mn 的值为( )A ．2 C ．3 D ．4 解析 ∵OA →·OB→＝0，∴OA →⊥OB →，以OA 为x 轴，OB 为y 轴建立直角坐标系，OA →＝(1,0)，OB →＝(0，3)，OC →＝mOA →＋nOB →＝(m ，3n )．∵tan 30°＝3n m ＝33，∴m ＝3n ，即m n ＝3如图，在△OAB 中，P 为线段AB 上的一点，OP →＝xOA →＋yOB →，且B P →＝2P A →，则( )A ．x ＝23，y ＝13B ．x ＝13，y ＝23C ．x ＝14，y ＝34D ．x ＝34，y ＝14 解析 由题意知O P →＝O B →＋B P →，又B P →＝2P A →，∴O P →＝O B →＋23B A →＝O B →＋23(O A →－O B →)＝23O A →＋13O B →，∴x ＝23，y ＝13.已知点A (－1,2)，B (2,8)，AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，则CD →的坐标为________解析 设点C ，D 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)．由题意得AC →＝(x 1＋1，y 1－2)，AB →＝(3,6)，DA →＝(－1－x 2,2－y 2)，BA →＝(－3，－6)．∵AC →＝13AB →，DA →＝－13BA →，∴有⎩⎨⎧ x 1＋1＝1，y 1－2＝2和⎩⎨⎧－1－x 2＝1，2－y 2＝2.解得⎩⎨⎧ x 1＝0，y 1＝4和⎩⎨⎧x 2＝－2，y 2＝0.∴点C ，D 的坐标分别为(0,4)，(－2,0)，从而CD→＝(－2，－4)．已知向量a ＝(1,1)，b ＝(1，－1)，c ＝(2cos α，2sin α)(α∈R )，实数m ，n 满足m a ＋n b ＝c ，则(m －3)2＋n 2的最大值为________解析 由m a ＋n b ＝c ，可得⎩⎨⎧m ＋n ＝2cos α，m －n ＝2sin α，故(m ＋n )2＋(m －n )2＝2，即m 2＋n 2＝1，故点M (m ，n )在单位圆上，则点P (3,0)到点M 的距离的最大值为|OP |＋1＝3＋1＝4，故(m －3)2＋n 2的最大值为42＝16.已知△ABC 和点M 满足MA→＋MB →＋MC →＝0.若存在实数m ，使得AB →＋AC →＝mAM →成立，则m ＝________.解析∵MA→＋MB →＋MC →＝0，∴M 为△ABC 的重心．如图所示，连接AM 并延长交BC 于D ，则D 为BC 的中点． ∴AM →＝23AD →.又AD →＝12(AB →＋AC →)，∴AM →＝13(AB →＋AC →)， 即AB →＋AC →＝3AM →，∴m ＝3.如图所示，A ，B ，C 是圆O 上的三点，线段CO 的延长线与BA 的延长线交于圆O 外的一点D ，若OC →＝mOA→＋nOB →，则m ＋n 的取值范围是________ 解析 由题意得，OC→＝kOD →(k ＜0)，又|k |＝|OC→||OD →|＜1，∴－1＜k ＜0.又∵B ，A ，D 三点共线，∴OD →＝λOA →＋(1－λ)OB →，∴mOA→＋nOB →＝kλOA →＋k (1－λ)OB →， ∴m ＝kλ，n ＝k (1－λ)，∴m＋n＝k，从而m＋n∈(－1,0)．。
平面向量的坐标与基本定理
平面向量的坐标与基本定理平面向量是解决平面几何问题的重要工具之一。
在平面直角坐标系中，我们可以用坐标表示平面中的向量，并且可以利用向量的坐标进行运算和推导。
本文将介绍平面向量的坐标表示方法以及基本定理的应用。
一、平面向量的坐标表示方法1. 平面直角坐标系在平面直角坐标系中，我们通常将横轴称为x轴，纵轴称为y轴。
一个平面向量可以用其在x轴和y轴上的投影（即坐标）表示。
例如，一个向量a在x轴上的投影为aₓ，在y轴上的投影为aᵧ。
那么向量a的坐标表示为(aₓ,aᵧ)。
2. 向量的坐标运算（1）向量的加法运算：设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，则它们的和向量c=a+b的坐标表示为(cₓ,cᵧ)，其中cₓ=aₓ+bₓ，cᵧ=aᵧ+bᵧ。
（2）向量的数乘运算：设有一个向量a=(aₓ,aᵧ)和一个实数k，那么向量ka的坐标表示为(kaₓ,kaᵧ)，其中kaₓ=kaₓ，kaᵧ=kaᵧ。
二、平面向量的基本定理1. 向量共线定理如果有两个非零向量a和b，它们的坐标表示分别为(aₓ,aᵧ)和(bₓ,bᵧ)，那么a与b共线的充要条件是存在一个不为零的实数k，使得ka=b。
即a与b共线的条件是：aₓ/bₓ=aᵧ/bᵧ。
2. 平行四边形定理设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么以a和b为邻边的平行四边形的面积S等于向量a和b的叉乘的模长。
即S=|a×b|=|aₓbᵧ-aᵧbₓ|。
3. 向量的数量积向量的数量积是指两个向量之间的乘积。
设有两个向量a=(aₓ,aᵧ)和b=(bₓ,bᵧ)，那么向量a和b的数量积a·b等于aₓbₓ+aᵧbᵧ。
三、平面向量的应用1. 判断向量共线根据向量共线定理，我们可以通过计算向量的坐标比值来判断向量是否共线。
如果两个向量的坐标比值相等，则它们共线；否则，它们不共线。
2. 计算平行四边形的面积根据平行四边形定理，我们可以通过计算向量的叉乘的模长来求平行四边形的面积。
平面向量的基本定理及坐标运算
平面向量的基本定理及坐标运算好啦，今天我们来聊聊平面向量的基本定理和坐标运算。
这可是个很有趣的话题，别被那些数学术语吓跑哦！你知道吗，向量其实就像是一把钥匙，可以打开很多数学大门。
听上去挺高大上的，但实际上，我们生活中处处都离不开它们，就像你每天都离不开饭一样。
想象一下，你在操场上跑来跑去，运动会的时候，标记你起跑的地方和终点的地方。
用坐标来表示，就是一个个的点，比如 (2, 3) 代表着你起跑的地方，(5, 7) 是终点。
平面向量就像是连接这两个点的一根线，从 A 点到 B 点的过程就叫做向量的运算。
听起来是不是有点神秘？其实也没那么复杂。
向量不仅有方向，还有长度，这样一来，我们就能把它当成一个小箭头，指向目标，越远越好，嘿嘿。
再来看看坐标运算，简单来说，就是把这些向量在坐标系上转来转去。
比如说你要把一条向量从起点搬到终点，怎么搬？很简单，向量的加法就可以搞定。
想象一下，你有一个从 (2, 3) 到 (5, 7) 的向量，再加上一个从 (5, 7) 到 (8, 10) 的向量，结果就是从 (2, 3) 直接到 (8, 10)。
这就像你在操场上先跑到朋友那儿，然后一起跑到更远的地方，简直爽翻了。
向量的减法也好玩，想象你在吃汉堡，先吃了一个大汉堡，接着又吃了一个小汉堡。
这样一来，你的胃口就会受到影响嘛，向量的减法就是把一部分“胃口”给减掉。
把(5, 7) 的向量减去 (2, 3)，就好比把你吃过的那部分减掉，最后留下的结果就是 (3, 4)。
这就像是记账，进账和出账的过程，清清楚楚，明明白白。
平面向量的基本定理告诉我们，两个向量如果相加，结果其实就是个新向量。
这和我们日常生活的积累特别像，不管是友情还是经历，都是点点滴滴积累起来的。
你在学校交了朋友，跑步时又认识了新伙伴，这些都是向量的相加。
每个人都是一个小向量，带着自己独特的方向和长度，拼凑起来就是一幅美丽的画面。
再说说方向和大小，向量的大小就是它的长度，方向就是箭头指向的地方。
平面向量的基本定理及坐标表示
∵A，B，C三点共线，∴―A→B ，―A→C 共线，
∴－2×(4－k)＝－7×(－2k)，
解得k＝－23．
课前·双基落实
答案：A
课·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
2．(2017·贵阳监测)已知向量m＝(λ＋1,1)，n＝(λ＋2,2)，若 (m＋n)∥(m－n)，则λ＝________． 解析：因为m＋n＝(2λ＋3,3)，m－n＝(－1，－1)，又 (m＋n)∥(m－n)，所以(2λ＋3)×(－1)＝3×(－1)，解得 λ＝0． 答案：0
a∥b⇔ x1y2－x2y1＝0 .
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[小题体验] 1．已知a＝(4,2)，b＝(－6，m)，若a∥b，则m的值为______．
答案：－3 2．(教材习题改编)已知a＝(2,1)，b＝(－3,4)，则3a＋4b＝_____．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
[谨记通法]
平面向量坐标运算的技巧 (1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法 则来进行求解的，若已知有向线段两端点的坐标，则应先求向 量的坐标． (2)解题过程中，常利用向量相等则其坐标相同这一原则， 通过列方程(组)来进行求解．
课前·双基落实 课堂·考点突破
课后·三维演练
平面向量的基本定理及坐标表示 结 束
考点二 平面向量的坐标运算
[题组练透]
1．向量a，b满足a＋b＝(－1,5)，a－b＝(5，－3)，则b为( )
A．(－3,4)
B．(3,4)
C．(3，－4)
平面向量的基本定理及坐标表示
例3、已知 ABCD的三个顶点 A、B、C的坐标分别为(2,1)、 (1,3)、(3, 4)，求顶点D的坐标.
巩固练习： 已知A(1,1)、B(3, 0)、C(2, 5)是 平行四边形的三个顶点，求第 四个顶点D的坐标.
四、向量平行的坐标表示
设a (x1, y1)，b (x2, y2 )，其 中b 0，则a b的充要条件是
a b x1 x2且y1 y2
4、向量平行的坐标表示
a b x1y2 x2 y1 0
六、作业
➢习题5.4第3、4、 7、8题.
➢ 完成《三维设计》
谢谢同学们
再 见
例1、如图，用基底i、j表示向量a、
b、c、d，并求出它们的坐标.A2 5 Nhomakorabea4
b
a
3
2
A
1 j -4 -3 -2 -1 o i 1 2 3
-1
-2
c
-3 d
-4
B
A1 4x
-5
三、平面向量的坐标运算
已知a (x1, y1)，b (x2, y2 )，则
a b __(x_1___x_2_, _y_1 __y_2_)_____;
一、复 习 引 入
1、平面向量基本定理
已知e1、e2是同一平面内的两不共线向量， 那么对这一平面内的任意向量a，有且
只有一对实数1、2，使a 1e1 2 e2.
2、什么是平面向量的基底？
不共线向量e1、e2叫做这一平面内所有 向量的一组基底.
二、平面向量的坐标表示
在直角坐标系中，我们分别取与x轴、
a b _(_x_1___x_2_, _y_1 ___y_2 )_____; a ___(__x_1_, __x_2 )__________ .
6.3.1平面向量的基本定理及坐标表示
6.3 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+=B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________. 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4B ．4C ．-1D ．1【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2) B.(1,2) C.(5,6)D.(2,0)(2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4B ．-4C ．14D ．14-(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6B ．2-C ．6-D ．2【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭ D ．3,--【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e =D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15-B ．15C ．75-D ．753.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,24.已知()5,2a =-，()4,3b =-，(),c x y =，若220a b c -+=，则c 等于（ ） A ．(1，4)B ．13,42⎛⎫⎪⎝⎭C ．13,42⎛⎫-⎪⎝⎭D ．13,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭5.已知()13A ，，()41B -，，则与向量AB 共线的单位向量为（ ） A ．4355⎛⎫ ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫- ⎪⎝⎭，B ．3455⎛⎫- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫- ⎪⎝⎭， C ．4355⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或4355⎛⎫ ⎪⎝⎭， D ．3455⎛⎫-- ⎪⎝⎭，或3455⎛⎫ ⎪⎝⎭， 6.设向量a =(1，4)，b =(2，x )，c a b =+.若//a c ，则实数x 的值是（ ） A ．-4B ．2C ．4D ．87.若(3,cos ),(3,sin ),a b αα==且a //b ,则锐角α=__________ . 8.已知O 为单位圆，A 、B 在圆上，向量OA ，OB 的夹角为60°，点C 在劣弧AB 上运动，若OC xOA yOB =+，其中,x y R ∈，则x y +的取值范围___________.9.在ABC 中，D 为BC 的中点，P 为AD 上的一点且满足3BA BC BP +=，则ABP △与ABC 面积之比为（ ） A ．14B ．13C ．23D ．1610.已知ABC 所在的平面内一点P （点P 与点A ，B ，C 不重合），且523AP PO OB OC =++，则ACP △与BCP 的面积之比为（ ） A ．2:1B ．3:1C ．3:2D ．4:36.3.1 平面向量的基本定理及坐标表示【知识一】平面向量基本定理1.平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e2.2.基底：若e 1，e 2不共线，我们把{e 1，e 2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 【知识二】平面向量的正交分解及坐标表示1.正交分解：把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.2.坐标表示：（1）在平面直角坐标系中，设与x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量分别为i ，j ，取{i ，j }作为基底.对于平面内的任意一个向量a ，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x ，y ，使得a ＝x i ＋y j .平面内的任一向量a 都可由x ，y 唯一确定，我们把有序数对(x ，y )叫做向量a 的坐标，记作a ＝(x ，y ).（2）在直角坐标平面中，i ＝(1,0)，j ＝(0,1)，0＝(0,0). 【知识三】平面向量加、减运算的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，已知点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么向量AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，即任意一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标. 【知识四】平面向量数乘运算的坐标表示1.数乘：已知a ＝(x ，y )，则λa ＝(λx ，λy )，即：实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.2.共线：设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0.则a ，b 共线的充要条件是存在实数λ，使a ＝λb . 如果用坐标表示，可写为(x 1，y 1)＝λ(x 2，y 2)，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b (b ≠0)共线. 注意：向量共线的坐标形式极易写错，如写成x 1y 1－x 2y 2＝0或x 1x 2－y 1y 2＝0都是不对的，因此要理解并熟记这一公式，可简记为：纵横交错积相减.【例1-1】下列各组向量中，可以作为基底的是（ ） A ．()()120,0,1,2e e ==B ．()()121,2,5,7e e =-=C ．()()123,5,6,10e e ==D ．()12132,3,,24e e ⎛⎫=-=-⎪⎝⎭【答案】B【解析】对A ：因为零向量和任意向量平行，故A 中向量不可作基底； 对B ：因为710-≠，故B 中两个向量不共线；对C ：因为31056⨯=⨯，故C 中两个向量共线，故C 中向量不可作基底； 对D ：因为312342⎛⎫⨯-=-⨯ ⎪⎝⎭，故D 中两个向量共线，故D 中向量不可作基底.故选：B. 【变式1-1】已知向量{a ，b }是一个基底，实数x ，y 满足(3x －4y )a ＋(2x －3y )b ＝6a ＋3b ，则x －y ＝________. 【答案】3【解析】因为{a ，b }是一个基底， 所以a 与b 不共线，由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －4y ＝6，2x －3y ＝3，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6，y ＝3，所以x －y ＝3.【例1-2】如图，已知在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点，设AD →＝a ，AB →＝b ，试用{a ，b }为基底表示DC →，EF →，FC →.【解析】因为DC ∥AB ，AB ＝2DC ，E ，F 分别是DC ，AB 的中点， 所以FC →＝AD →＝a ，DC →＝AF →＝12AB →＝12b .EF →＝ED →＋DA →＋AF →＝－12DC →－AD →＋12AB →＝－12×12b －a ＋12b ＝14b －a .【变式1-2】如图，在正方形ABCD 中，设AB →＝a ，AD →＝b ，BD →＝c ，则以{a ，b }为基底时，AC →可表示为________，以{a ，c }为基底时，AC →可表示为________.【答案】a ＋b 2a ＋c【解析】以{a ，b }为基底时，AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ； 以{a ，c }为基底时，将BD →平移，使B 与A 重合， 再由三角形法则或平行四边形法则即得AC →＝2a ＋c .【例1-3】在三角形ABC 中，M 为AC 的中点，若(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．1λμ+= B ．3λμ-=C ．20λμ+=D ．20λμ-=【答案】C【解析】因为M 为AC 的中点，所以1122BM BA BC =+，所以2AB BM BC =-+， 又(),AB BM BC λμλμ=+∈R ，所以2λ=-，1μ=，故选：C.【变式1-3】如图，已知OAB ，若点C 满足2AC CB =，(),OC xOA yOB x y R =+∈，则11x y+=（ ）A ．14B ．34C ．92D ．29【答案】C【解析】由2AC CB =得()2OC OA OB OC -=-，即1233OC OA OB =+， 又(),OC xOA yOB x y R =+∈，所以1323x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，因此1139322x y +=+=.故选：C. 【例2-1】如图，在平面直角坐标系xOy 中，OA ＝4，AB ＝3，∠AOx ＝45°，∠OAB ＝105°，OA →＝a ，AB →＝b .四边形OABC 为平行四边形.(1)求向量a ，b 的坐标； (2)求向量BA →的坐标； (3)求点B 的坐标.【解析】(1)作AM ⊥x 轴于点M ，则OM ＝OA ·cos 45° ＝4×22＝22， AM ＝OA ·sin 45° ＝4×22＝2 2. ∴A (22，22)，故a ＝(22，22).∵∠AOC ＝180°－105°＝75°，∠AOy ＝45°， ∴∠COy ＝30°. 又∵OC ＝AB ＝3，∴C ⎝⎛⎭⎫－32，332，∴AB →＝OC →＝⎝⎛⎭⎫－32，332，即b ＝⎝⎛⎭⎫－32，332.(2)BA →＝－AB →＝⎝⎛⎭⎫32，－332.(3)OB →＝OA →＋AB →＝(22，22)＋⎝⎛⎭⎫－32，332＝⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.∴点B 的坐标为⎝⎛⎭⎫22－32，22＋332.【变式2-1】已知点M (5，－6)，且MN →＝(－3,6)，则N 点的坐标为________.【答案】 (2,0)【解析】∵MN →＝(－3,6)，设N (x ，y )， 则MN →＝ON →－OM →＝(x －5，y ＋6)＝(－3,6).∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －5＝－3，y ＋6＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝0.即N (2,0). 【例2-2】已知()0,1A -，()0,3B ，则AB =（ ）A ．2BC ．4D ．【解析】由题得AB =（0,4）所以||0(31)4AB =++．故选C【变式2-2】已知()3,2M -，()5,1N -，若NP MN =，则P 点的坐标为（ ） A ．（3，2）B ．（3，-1）C ．（7，0）D ．（1，0）【解析】设点P 的坐标为(),x y ，则(5,1)NP x y =-+，(53,12)(2,1)MN =--+=，因为NP MN =，即(5,1)(2,1)x y -+=，所以5211x y -=⎧⎨+=⎩，解得70x y =⎧⎨=⎩，所以()7,0P .故选：C.【变式2-4】已知点()3,2A ，()5,1B ，则与AB 反方向的单位向量为（ ）A ．⎝⎭B ．⎛ ⎝⎭C ．⎛ ⎝⎭D ．⎝⎭【答案】B【解析】()3,2A ，()5,1B ,2,1AB，则22AB ==，所以与AB 反方向的单位向量为255,55AB AB.故选：B.【变式2-5】已知向量(),2a m =，()1,2b =-，若0a b +=，则实数m 的值为（ ） A ．-4 B ．4C ．-1D ．1【答案】C【解析】由题意，向量(),2a m =，()1,2b =-，所以()()1,00,0a b m +=+=， 可得50m +=，解得1m =-.故选：C .【例3-1】(1)已知向量a ＝(1,2)，2a ＋b ＝(3,2)，则b 等于( ) A.(1，－2)B.(1,2)C.(5,6)D.(2,0)【答案】B【解析】由题意得b －a ＝(3,1)－(1,2)＝(2，－1). (2)已知向量AB →＝(2,4)，AC →＝(0,2)，则12BC →等于( )A.(－2，－2)B.(2,2)C.(1,1)D.(－1，－1)【答案】D【解析】12BC →＝12(AC →－AB →)＝12(－2，－2)＝(－1，－1).【变式3-1】已知a ＝(－1,2)，b ＝(2,1)，求： (1)2a ＋3b ；(2)a －3b ；(3)12a －13b .【解析】(1)2a ＋3b ＝2(－1,2)＋3(2,1) ＝(－2,4)＋(6,3)＝(4,7). (2)a －3b ＝(－1,2)－3(2,1) ＝(－1,2)－(6,3)＝(－7，－1). (3)12a －13b ＝12(－1,2)－13(2,1) ＝⎝⎛⎭⎫－12，1－⎝⎛⎭⎫23，13＝⎝⎛⎭⎫－76，23. 【例3-2】已知点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，与向量AB 平行的向量的坐标可以是（ ）A ．14,33⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．97,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．14,33⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．(7，9)【答案】ABC【解析】由点()4,6A ，33,2B ⎛⎫- ⎪⎝⎭，则972，AB ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭选项A . 91473023⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以A 选项正确.选项B. 9977022⎛⎫-⨯--⨯= ⎪⎝⎭,所以B 选项正确. 选项C . ()91473023⎛⎫⎛⎫-⨯---⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以C 选项正确.选项D. 979702⎛⎫-⨯--⨯≠ ⎪⎝⎭,所以选项D 不正确故选：ABC 【例3-3】(1)已知非零向量a ，b ，c ，若()1,a x =，()4,1b =-，且//a c ，//b c 则x =（ ） A ．4 B ．-4 C ．14D ．14-【答案】D【解析】由题意知//a c ，//b c ，所以//a b ；又(1,)a x =，(4,1)b =-，所以1(1)40x ⨯--=，解得14x =-．故选：D(2)若()0,2A ，()1,0B -，(),2-C m 三点共线，则实数m 的值是（ ） A ．6 B ．2-C ．6-D ．2【答案】B【解析】因为三点()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -共线，所以(1,2),(1,2)AB BC m =--=+- , 若()0,2A ，()1,0B -，(),2C m -三点共线，则AB 和BC 共线 可得：(1)(2)(2)(1)m --=-+，解得2m =-；故选：B 【变式3-2】与(1,3,2)a =-平行的一个向量的坐标是（ ）A ．1,1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．13,,122⎛⎫-- ⎪⎝⎭D ．3,--【答案】C【解析】若向量b 与向量a 平行，则b a λ=，(1,3,2)a =-，则(,3,2)b λλλ=- 设向量(),,b x y z =，则x 与y 符号相同，y 与z 符号相反，所以可知A ，B ，D 不成立， 选项C ：若12λ=-，则12x =-，32y =-，1z =，故C 正确.故选：C.【变式3-3】已知()3,a m →=，()21,1b m →=+，则“1m =”是“//a b →→”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由//a b →→可得()213m m +=，解得32m =-或1m =，所以“1m =”是“//a b →→” 充分不必要条件.故选：A.【变式3-4】已知向量()1,1a =，()2,1b =-，若()()2//a b a b λ+-，则实数λ=（ ） A ．8 B ．8-C ．2D ．2-【答案】D【解析】由()1,1a =，()2,1b =-，可得()24,2a b λλλ+=+-，()1,2a b -=-， 因为()()2//a b a b λ+-，所以()()()24210λλ+--⨯-=，解得2λ=-.故选：D.课后练习题1．下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）． A ．()10,0e =，()21,2e =- B ．()11,2e =-，()25,7e = C ．()13,5e =，()26,10e = D ．()12,3e =-，213,24e ⎛⎫=-⎪⎝⎭ 【答案】B【解析】因为()11,2e =-与()25,7e =不共线，其余选项中1e 、2e 均共线，所以B 选项中的两向量可以作为基底．故选：B2.在平行四边形ABCD 中，点E ，F 分别满足12BE BC =，13DF DC =．若λ=+BD AE μAF ，则实数λ＋μ的值为（ ） A ．15- B ．15C ．75-D ．75【答案】B【解析】由题意，设AB a AD b ，==，则在平行四边形ABCD 中，因为12BE BC =，13DF DC =，所以点E 为BC 的中点，点F 在线段DC 上，且2CF DF =， 所以1123AE a b AF a b =+=+，， 又因为BD AE AF λμ=+，且BD AD AB b a =-=-，所以11112332a b AE AF a b a b a b λμλμλμλμ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+=+=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3.已知()1,1A ，()1,1B --，则向量AB 为（ ） A ．()0,0 B ．()1,1C ．()2,2--D ．()2,2【答案】C【解析】由题意可得()()()1,11,12,2AB =---=--.故选：C.所以113112λμλμ⎧+=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得8595λμ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以15λμ+=。
平面向量的基本定理及坐标表示
小结作业
1.平面向量基本定理是建立在向量加 法和数乘运算基础上的向量分解原理， 同时又是向量坐标表示的理论依据，是 一个承前起后的重要知识点.
2.向量的夹角是反映两个向量相对位置 关系的一个几何量，平行向量的夹角是 0°或180°，垂直向量的夹角是90°.
3.向量的坐标表示是一种向量与坐标 的对应关系，它使得向量具有代数意义. 将向量的起点平移到坐标原点，则平移 后向量的终点坐标就是向量的坐标.
探究(二):平面向量的正交分解及坐标表示
思考1：不共线的向量有不同的方向，对 于两个非零向量a和b，作OA a，OB b， 如图.为了反映这两个向量的位置关系， 称∠AOB为向量a与b的夹角.你认为向量 的夹角的取值范围应如何约定为宜？
ab
B
b [0°，180°]
O aA
思考2：如果向量a与b的夹角是90°，则 称向量a与b垂直，记作a⊥b. 互相垂直 的两个向量能否作为平面内所有向量的 一组基底？
探究（一）：平面向量基本定理
思考1：给定平面内任意两个向量e1，e2， 如何求作向量3e1＋2e2和e1－2e2？
e1-2e2
B
e2
2e2
C
e1
O e1 D
3e1 A
3e1＋2e2
思考2：如图，设OA，OB，OC为三条共
点射线，P为OC上一点，能否在OA、OB
上分别找一点M、N，使四边形OMPN为平
y
Aa
A(x,y)
j
Oi
x
理论迁移
例1 如图，已知向量e1、e2，求作向 量－2.5e1＋3e2.
e1
e2
C
B
3e2
A －2.5e1 O
例2 如图，写出向量a，b，c，d的坐标.
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第17讲 平面向量的基本定理及其坐标表示
第一部分 知识梳理
1.平面向量的基本定理：如果21,e e 是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数21,λλ，使得2211e e a λλ+=。
我们把不共线的向量21,e e 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底。
2.对于两个非零向量a 与b ，通过平移使他们的起点重合，比如a oA =，b oB =，则() 1800≤≤=∠θθAOB 叫做向量a 与b 的夹角。
3. 平面向量的正交分解及坐标表示
（1）向量的分解：一个平面向量a 用一组基底21,e e 表示成2211e e a λλ+=,(R ∈21,λλ）的形式，我们称之为向量的分解
（2）向量的正交分解：把一个向量分解成两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解，这两个互相垂直的向量称为正交基底。
（3） 平面向量的坐标表示：在平面直角坐标系中，分别去与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量j i ,作为基底，对于平面捏的任一向量a ，由平面向量基本定理可以知，有且只有一对实数y x ,，使得j y i x a +=，这样，平面内的任一向量a 都可以由y x ,唯一确定，我们把有序的实数对()y x ,叫做向量a 的坐标，记作),(y x a =，其中x 叫做a 在x 轴上的坐标，y 叫做a 在y 轴上的坐标，),(y x a =叫做向量的坐标表示。
4. 平面向量的坐标运算
（1） 两个向量和、差的坐标运算。
已知),(),,(2211y x b y x a ==则 ),(2121y y x x b a ++=+，),(2121y y x x b a --=-
（2） 平面向量数乘的坐标运算。
已知()R y x a ∈=λ,,，则()y x a λλλ,=
（3） 已知A 、B 的坐标，求AB 的坐标。
设),(),,(2211y x B y x A ，则()1212,y y x x AB --=
5. 平面向量共线的坐标表示
已知()11,y x a =，()
0),(22≠=b y x b ，a 与b 共线⇔01221=-y x y x
6. 线段定比分点坐标
若点()111,y x P ，P2（ x2),(222y x P ，()y x P ,，λ为实数，且P 21PP P P λ=,则点P 的坐标y x ,满足：()y x P ,
第二部分 精讲点拨
考点1 平面向量基本定理
（1） 设1e ，2e 是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①1e 与21e e +； ② 212e e -与122e e -；
③ 212e e -与 1224e e - ④ 21e e +与21e e - 其中，不能作为平面内所有向量的一组基底是__________ (写出满足条件的序号）
[].1EX 已知1e ，2e 是平面内两个不共线的向量，,2,232121e e b e e a +-=-=
2147e e c -=，试用b a ,表示c
考点2 向量夹角的计算
（2）已知
b a =，且a 与b 的夹角为 120，求b a +与a 的夹角，b a -与a 的夹角。
⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=λλλλ112121y y y x x x
考点3 向量的正交分解及坐标表示
（3） 已知向量)1,0(),0,1(==j i ，对坐标平面的任一向量a ，给出下列四个结论 ① 存在唯一的一对实数y x ,，使得),(y x a =；
② 若R y y x x ∈2121,,,，()()2211,,y x y x a ≠=，则2121,y y x x ≠≠
③ 若R y x ∈,，(),,y x a =且0≠a ，则a 的始点坐标是()y x ,，则()y x a ,=。
其中，正确结论的个数是（ ）
1.A
2.B
3.C
4.D
[].1EX 已知O 是直角坐标系坐标原点，点A 在第一象限，34=OA ， 60=∠xoA ，求向量OA 的坐标。
考点4 平面向量的坐标运算
（4） 已知
)4,3(),3,1(),4,2.(C B A --，若CB CA CM 32+=，求点M 的坐标。
考点5 利用向量坐标证明三点共线
（5） ① 已知)4,3(=OA ,)12,7(=OB ，)16,9(=OC ，求证：点C B A ..共线
② 设向量)12,(k OA =，)5,4(=OB ，),10(k OC =，求当k 为何值时，点C B A ..共线
考点6 定比分点的坐标的计算方法
（6） 若过点()3,21P ,()1,62-P 的直线上一点P ,使
3:21=PP PP ,求出点P 的坐标。
第三部分 检测达标
一、选择题
1. 若A(x ，－1)、B(1，3)、C(2，5)三点共线，则x 的值为
A ． －3
B ． －1
C ． 1
D ． 3
3. 已知AB =(5，－3)，C(－1，3)， CD =2AB ，则点D 坐标
A ．(11，9)
B ．(4，0)
C ．(9，3)
D ．(9，-3)
4. 设a =(
23，sin α)，b =(cos α，31)，且a ∥b ，则锐角α为 A ． 30０ B ． 600 C ． 450 D ． 750
5. 若向量a =(1，－2) ， | b | = 4 |a |，且a ，b 共线，则b 可能是
A ．(4，8)
B ．(－4，8)
C ．(－4，－8)
D ．(8，4)
6.平行四边形ABCD 的三个顶点为A （-2，1）、B （-1，3）、C （3，4），则点D 的坐标是
( )
A ．（2，1）
B ．（2，2）
C ． （1，2）
D ．（2，3）
7.己知P 1(2,－1) 、P 2(0,5) 且点P 在P 1P 2的延长线上,||2||21PP P P =, 则P 点坐标为
( )
A. (－2,11)
B.(
)3,34 C.(3
2,3) D.(2,－7) 8. 已知a =(2,3) , b =(4-,7) ,则a 在b 上的投影值为（ ） A.13 B 、
513 C 、565 D 、65
二、填空题
1.设a =(4，－3)，b =(x ，5)，c =(－1，y)，若a +b =c ，则（x ，y ）= ．
2.若a =(-1，x)与b =(－x ，2)共线且方向相同，则x= ．
3.若A(－1， －1)， B(1，3)， C(x ，5) 三点共线，则x= ．
4.已知a =(3，2)，b =(－2，1)，若λa +b 与a +λb （λ∈R ）平行，则λ= ．
5.已知|a |=10，b =（4，－3），且a ∥b ，则向量a 的坐标是 ．
6.若向量a =(－1，x)，b =(－x ，2)，且a 与b 同向，则a －2b = ．
7.已知点O 是平行四边形ABCD 的对角线交点，AD =(2，5)，AB =(-2，3)，则CD 坐标为 ，DO 坐标为 ，CO 的坐标为 ．
8.已知OA =(x 1，y 1)，OB =(x 2，y 2)，线段AB 中点为C ，则OC 的坐标为 ．
三、解答题
1.已知向量a =（1，2），b =（x ，1），1e =a +2b ，2e =2a -b 且1e ∥2e ，求x ．
2.已知向量()2,3=a ，()1,1-=b ，向量m 与b a 23-平行，且m =4137，
求向量m 的坐标．
3.已知两点A(4，－2)，B(－4，4)，C(1，1)，
(1)求方向与→AB 一致的单位向量；
（2）过点C 作向量→CD 与→AB 共线，且4=→
CD ，求D 点坐标；
（3）若A 、B 、C 都是某个平行四边形的顶点，求另一个顶点D 的坐标。