2019届高三一轮文科数学课件：10.3-用样本估计总体(含答案)
人教版高中数学高考一轮复习--用样本估计总体(课件)
样本估计总体.在随机抽样中,样本平均数、样本方差和样本标准差依赖于
样本的选取,具有随机性.
频率
1.在频率分布直方图中,纵坐标表示
组距
频率
,不是频率,频率=组距×
组距
小长方形高的比等于频率比.
2.若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为,方差为 s2,则数据 mx1+a,mx2+a,
由题意可知数据3x1+1,3x2+1,3x3+1,…,3xn+1的平均数为3×5+1=16,方差
为32×2=18.
4.(多选)已知某滑冰比赛有9位评委进行评分,第一这9位评委给出某选手
的原始评分,然后评定该选手的得分时,从9个原始评分中去掉一个最高分、
一个最低分,得到7个有效评分,则7个有效评分与9个原始评分相比,可能变
第二环节
关键能力形成
能力形成点1
频率散布直方图及其应用
例1 (202X天津,4)从一批零件中抽取80个,测量其直径(单位:mm),将所得
数据分为9组:[5.31,5.33),[5.33,5.35),…,[5.45,5.47),[5.47,5.49],并整理得到
如下频率散布直方图,则在被抽取的零件中,直径落在区间[5.43,5.47)内的
2.平均数、方差的公式推广:
(1)若数据 x1,x2,…,xn 的平均数为,则 ax1+b,ax2+b,ax3+b,…,axn+b 的平均数是
a+b.
(2)若数据 x1,x2,…,xn 的方差为 s2,则
1 2
2
2
2
2019版高考数学(文)大一轮(全国通用版)课件：第55讲用样本估计总体
考情分析 2017·全国卷 Ⅰ，12 2017·山东卷， 8 2017·北京卷， 17 2016·四川卷， 16 2015·江苏卷， 4
命题趋势
根据样本 数据求基本 的 数 字 特 征，利用随 机抽样的方 法和样本估 计总体的思 想解决一些 简单的实际 问题．
分值：5～12分
ห้องสมุดไป่ตู้ 栏目导 航
板 块 一
板 块 二
• 3．如图是100位居民月均用水量的频率分 25 布直方图，则月均用水量为 [2,2.5)范围内的居 民数有_________人．
•
解析 由图可知，在[2,2.5)范围内的居民人
• 4．一个容量为200的样本的频率分布直方 0.2,40 图如图所示，则样本数据落在 [5,9)内的频率和 频数分别为____________.
8
9
9
3
7
1 6 4 0 2
• •
A．91.5和91.5 C．91和91.5
B．91.5和92 D．92和92
91＋92 解析 将这组数据从小到大排列，得 87,89,90,91,92,93,94,96.故中位数为 2 ＝91.5， 87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96 平均数为 x－＝ ＝91.5. 8
第 十 章
算法初步、统计、统计案例
第55讲 用样本估计总体
考纲要求 1. 了解分布的意义和作用，会列 频率分布表，会画频率分布直方 图、频率折线图、茎叶图，体会 它们各自的特点． 2 ．理解样本数据标准差的意义 和作用，会计算数据标准差． 3 ．能从样本数据中提取基本的 数字特征 ( 如平均数、标准差 ) ， 并做出合理的解释． 4 ．会用样本的频率分布估计总 体分布，会用样本的基本数字特 征估计总体的基本数字特征，理
2019版一轮理数(人教版A版)课件：第十章 第三节 用样本估计总体
第二步： 分组 ，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间， 最后一组取闭区间； 第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．
(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图． 如图：
频率 组距 ，每个小矩形的面积表 横轴表示样本数据，纵轴表示_____
示样本落在该组内的 频率 ．
(3)茎叶图的画法： 第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分； 第二步：将最小茎与最大茎之间的数按 大小 次序排成一 列，写在左(右)侧； 第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．
考点二
考点三
பைடு நூலகம்
[跟踪训练] 某中学初中部共有 110 名教师，高中部共有 150 名教师，其性别 比例如图所示，则该校女教师的人数为( C )
A．93 C．137
B．123 D．167
由扇形统计图可得，该校女教师人数为 110×70%＋150×(1 －60%)＝137.故选 C.
解析 答案
考点一
考点二
(2)标准差、方差 ①标准差：表示样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示， s＝ 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ]. 2 n n 1
②方差：标准差的平方 s2 叫作方差．
1 2 2 2 [( x － x ) ＋ ( x － x ) ＋„＋ ( x － x ) ] 1 2 n 2 n s＝ ，其中 xi(i＝
1,2,3，„，n)是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数．
[三基自测] 1．一个容量为 32 的样本，已知某组样本的频率为 0.25，则 该组样本的频数为( B ) A． 4 C．12 B．8 D．16
2 ．已知一个样本中的数据为 1,2,3,4,5 ，则该样本的方差为 ( B ) A． 1 C． 3 B． 2 D． 4
2019届高考数学一轮必备考情分析学案：10.2《用样本估计总体》(含解析)
10.2用样本估计总体考情分析统计的基本思想方法就是用样本估计总体，而用样本估计总体是高考考查的重点，频率分布直方图，频率分布表，茎叶图在高考中都有考查，特别是频率分布直方图、方差（标准差）是高考的热点。
基础知识1. 作频率分布直方图的步骤（1）求极差（即一组数据中最大值与最小值的差） （2）决定组距与组数; （3）将数据分组 （4）列频率分布表 （5）画频率分布直方图. 2. 频率分布折线图和总体密度曲线（1）频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点,就得到频率分布折线图;（2）总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，即总体密度曲线. 3. 众数、中位数、平均数（1）在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数.（2）将一组数据按大小依次排列，把处在中间位置的一个数据（或中间两个数据的平均数）叫做这组数据的中位数.[:（3）如果有n 个数12,,n x x x ，那么12nx x x n+++叫做这n 个数的平均数.（4）利用频率分布直方图估计样本的数字特征(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数的值．(2)平均数：平均数的估计值等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘以小矩形底边中点的横坐标之和．(3)众数：在频率分布直方图中，众数是最高的矩形的中点的横坐标． 4、茎叶图的优点用茎叶图表示数据有两个突出的优点：一是在统计图上没有原始信息的损失，所有的数据信息都可以从茎叶图中得到； 二是茎叶图可以在比赛时随时记录，方便记录与表示．[: 5、标准差设样本的元素为1x ，2x ，…，n x ，样本的平均数为 ，（1）样本方差222212()()()n x x x x x x s n-+-++-=（2）标准差s =注意事项1.(1)众数、中位数与平均数的异同①众数、中位数及平均数都是描述一组数据集中趋势的量，平均数是最重要的量．②由于平均数与每一个样本数据有关，所以，任何一个样本数据的改变都会引起平均数的改变，这是中位数、众数都不具有的性质.③众数考查各数据出现的频率，其大小只与这组数据中的部分数据有关．当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往更能反映问题．④某些数据的变动对中位数可能没有影响．中位数可能出现在所给数据中，也可能不在所给数据中．当一组数据中的个别数据变动较大时，可用中位数描述其集中趋势．(2)标准差与方差的异同标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度就越大；标准差、方差越小，数据的离散程度则越小，因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然方差与标准差在刻画样本数据的分散程度上是一样的，但在解决实际问题时，一般多采用标准差．2.利用频率分布直方图估计样本的数字特征：(1)中位数：在频率分布直方图中，中位数左边和右边的直方图的面积相等，由此可以估计中位数值．(2)平均数：平均数的估计值等于每个小矩形的面积乘以矩形底边中点横坐标之和．(3)众数：最高的矩形的中点的横坐标．题型一频率分布直方图的绘制与应用【例1】某雷达测速区规定：凡车速大于或等于70 km/h的汽车视为“超速”，并将受到处罚，如图是某路段的一个检测点对200辆汽车的车速进行检测所得结果的频率分布直方图，则从图中可以看出被处罚的汽车大约有 ( ) A．30辆B．40辆C．60辆D．80辆答案：B解析：由题图可知，车速大于或等于70 km/h的汽车的频率为0.02×10＝0.2，则将被处罚的汽车大约有200×0.2＝40(辆)．【训练1】有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图估计，样本数据落在区间[10,12)内的频数为( )．A．18 B．36C．54 D．72解析样本数据落在区间[10,12)内的频率1－(0.19＋0.15＋0.05＋0.02)×2＝0.18，所以数据落在此区间的频数为200×0.18＝36.答案 B题型二茎叶图的应用【例2】对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图(如图所示)，则该样本中的中位数、众数、极差分别是( )A．46,45,56 B．46,45,53C．47,45,56 D．45,47,53答案：A解析：本题主要考查茎叶图数据的读取和数据特征的简单计算，由所给的茎叶图可知所给出的数据共有30个，其中45出现3次为众数，处于中间位置的两数为45和47，则中位数为46；极差为68－12＝56.故选A.【变式2】在一项大西瓜品种的实验中，共收获甲种大西瓜13个、乙种大西瓜11个，并把这些大西瓜的重量(单位：斤，1斤＝500克)制成了茎叶图，如图所示，据此茎叶图写出对甲乙两种大西瓜重量的两条统计结论是：(1)__________________________________________；(2)__________________________________________．解析从这个茎叶图可以看出，甲种大西瓜的重量大致对称，平均重量、众数及中位数都是30多斤；乙种大西瓜的重量除了一个51斤外，也大致对称，平均重量、众数及中位数都是20多斤，但甲种大西瓜的产量比乙种稳定，总体情况比乙好．答案(1)甲种大西瓜的平均重量大于乙种大西瓜(2)甲种大西瓜的产量比乙种大西瓜稳定题型三用样本的数字特征估计总体的数字特征【例3】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：答案：甲解析：x甲＝x乙＝9环，s2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65>s2甲，故甲更稳定，故填甲．【变式3】甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛，他们分别射击了5次，成绩如下表(单位：环)：[:如果甲、乙两人中只有1解析x甲＝x乙＝9环，s2甲＝15[(9－10)2＋(9－8)2＋(9－9)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝25，s 2乙＝15[(9－10)2＋(9－10)2＋(9－7)2＋(9－9)2＋(9－9)2]＝65＞s 2甲，故甲更稳定，故填甲．答案 甲重难点突破【例4】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数．乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X 表示．(1)如果X ＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；(2)如果X ＝9，分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数为19的概率． (注：方差s 2＝1n [(x 1－x )2＋(x 2－x )2＋…＋(x n －x )2]，其中x 为x 1，x 2，…，x n 的平均数)[解析] (1)当X ＝8时，由茎叶图可知，乙组同学的植树棵数是：8,8,9,10，所以平均数为 x ＝8＋8＋9＋104＝354. 方差为s 2＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫8－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫9－3542＋⎝ ⎛⎭⎪⎫10－3542＝1116. (2)记甲组四名同学为A 1，A 2，A 3，A 4，他们植树的棵数依次为9,9,11,11；乙组四名同学为B 1，B 2，B 3，B 4，他们植树的棵数依次为9,8,9,10.分别从甲、乙两组中随机选取一名同学，所有可能的结果有16个，它们是： (A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 1，B 4)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 2，B 4)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 3，B 4)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 4，B 4)，[:用C 表示：“选出的两名同学的植树总棵数为19”这一事件，则C 中的结果有4个，它们是：(A 1，B 4)，(A 2，B 4)，(A 3，B 2)，(A 4，B 2)．故所求概率为P(C)＝416＝14.巩固提高1.样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均值为1，则样本方差为( ) A.65B. 65C. 2D. 2答案：D解析：∵a ＋0＋1＋2＋35＝1，得a ＝－1，∴s 2＝15[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.2.为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分值的中位数为m e ，众数为m 0，平均值为x ，则( )A. m e＝m0＝xB. m e＝m0<xC. m e<m0<xD. m0<m e<x答案：D解析：由图可知，30名学生的得分情况依次为：2个人得3分，3个人得4分，10个人得5分，6个人得6分，3个人得7分，2个人得8分，2个人得9分，2个人得10分．中位数为第15,16个数(分别为5,6)的平均数，即m e＝5.5,5出现次数最多，故m0＝5，x＝2×3＋3×4＋10×5＋6×6＋3×7＋2×8＋2×9＋2×1030≈5.97.于是得m0<m e<x.3.一组数据中的每一个数据都乘以2，再都减去80，得一组新数据，若求得新数据的平均数是1.2，方差是4.4，则原来数据的平均数和方差分别是 ( )A. 40.6,1.1B. 48.8,4.4C. 81.2,44.4D. 78.8,75.6答案：A解析：记原数据依次为x1，x2，x3，…，x n，则新数据依次为2x1－80,2x2－80,2x3－80，…，2x n－80，且1＋x2＋…＋x n－80nn ＝1.2，因此有x1＋x2＋…＋x nn＝1.2＋802＝40.6，结合各选项知正确选项为A.4.在某次测量中得到的A样本数据如下：82,84,84,86,86,86,88,88,88,88.若B样本数据恰好是A样本数据每个都加2后所得数据，则A，B两样本的下列数字特征对应相同的是( )A．众数B．平均数C．中位数D．标准差答案：D解析：本题考查众数、平均数、中位数及标准差的概念，考查推理论证能力，容易题. 当每个样本数据加上2后，众数、平均数、中位数都会发生变化，不变的是数据的波动情况，即标准差不变．5.某中学组织了“迎新杯”知识竞赛，从参加考试的学生中抽出若干名学生，并将其成绩绘制成频率分布直方图(如图)，其中成绩的范围是[50,100]，样本数据分组为[50,60)，[60,70)，[70,80)， [80,90)，[90,100]，已知样本中成绩小于70分的个数是36，则样本中成绩在[60,90)内的学生人数为________．[:答案：90人解析：根据给定的频率直方图可得，小于70分的人数占有的频率为 (0.01＋0.02)×10＝0.3，所以样本总36 0.3＝120人，则成绩在[60, 90)内的学生人数为120×(0.2＋0.3＋0.25)＝90.体为。
10-3用样本估计总体2019高三一轮复习课件幻灯片
基础诊断
考点突破
(2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比率 分别为550＝0.1，580＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1，0.16. (3)由所给茎叶图知，市民对甲部门的评分的中位数高于对乙部门的 评分的中位数，而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准 差要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价 较高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差分布直方图(多维探究) 命题角度一 用频率分布直方图求频率、频数 【例 2－1】 (2016·山东卷改编)某高校调查了 200 名学生每周的自
基础诊断
考点突破
4．(2016·江苏卷)已知一组数据 4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方 差是________． 解析 易求 x ＝15(4.7＋4.8＋5.1＋5.4＋5.5)＝5.1， ∴方差 s2＝15[(－0.4)2＋(－0.3)2＋02＋0.32＋0.42]＝0.1. 答案 0.1
况，随机访问了50位市民．根据这50位市民对这两部门的 评分(评分越高表明市民的评价越高)，绘制茎叶图如下：
基础诊断
考点突破
(1)分别估计该市的市民对甲、乙两部门评分的中位数； (2)分别估计该市的市民对甲、乙两部门的评分高于 90 的概率； (3)根据茎叶图分析该市的市民对甲、乙两部门的评价． 解 (1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大排序， 排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以该市的市民对 甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 66,68， 故样本中位数为66＋2 68＝67，所以该市的市民对乙部门评分的中位 数的估计值是 67.
高考数学一轮复习 用样本估计总体课件
C． 3
D． 4
解析：四种说法都正确，甲队的平均进球数多于乙队，故
第一句正确；乙队标准差较小，说明技术水平稳定；甲队
平均进球数是3.2，但其标准差却是3，离散程度较大，由
此可判断甲队表现不稳定；平均进球数是1.8，标准差只有
0.3，每场的进球数相差不多，可见乙队的确很少不进球． 答案：D
4．如图是某兴趣小组学生在一次数学测验中 的得分茎叶图，则该组男生的平均得分与
图的一部分(如下图)，已知从左到右前5个小组的频率分别 为0.04，0.10,0.14,0.28,0.30.第6小组的频数是7.
(1)请将频率分布直方图补充完整；
(2)该校参加这次铅球测试的男生有多少人？
(3)若成绩在8.0米以上(含8.0米)的为合格，试求这次铅球 测试的成绩的合格率； (4)在这次测试中，你能确定该校参加测试的男生铅球成 绩的众数和中位数各落在哪个小组内吗？
(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两 种形式，前者准确，后者直观． (4)众数为最高矩形中点的横坐标． (5)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线 与横轴交点的横坐标．
为了了解某校初中毕业男生的体能状况，从该校 初中毕业班学生中抽取若干名男生进行铅球测试，把所得
数据(精确到0.1米)进行整理后，分成6组画出频率分布直方
[(5－7)2＋(6－7)2＋(9－7)2＋(10－7)2＋(5－7)2]＝
∴乙稳定．
答案：乙
频率分布直方图反映样本的频率分布：
(1)频率分布直方图中横坐标表示组距，纵坐标表示
频率＝组距×
，
(2)频率分布直方图中各小长方形的面积之和为1，因此在 频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高 的比也就是频率比．
高考文科数学《用样本估计整体》课件
(Ⅲ)36 名工人中年龄在 x －s 与 x ＋s 之间有多少人？所占的百分比是
多少(精确到 0.01%)?
解：(Ⅰ)根据系统抽样的方法，抽取容量为 9 的样本，因此分成 9 组，每组 4 人，由于第一组中用随机抽样抽到的年龄数据为 44，且编号间隔为 4，因此，
(Ⅱ)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替．当 w＝3 时，估计该市居 民该月的人均水费．
解：(Ⅰ)由用水量的频率分布直方图知， 该市居民该月用水量在区间[0.5，1]，(1，1.5]，(1.5，2]，(2，2.5]，(2.5，3]内的 频率依次为 0.1，0.15，0.2，0.25，0.15． 所以该月用水量不超过 3 立方米的居民占 85%，用水量不超过 2 立方米的居民占 45%． 依题意，w 至少定为 3． (Ⅱ)由用水量的频率分布直方图及题意，得居民该月用水费用的数据分组与频率 分布表：
组号 1 2 3 4 5 6 7 8
(10， (12， (17， (22， 分组 [2，4] (4，6] (6，8](8，10]
12] 17] 22] 27]
频率 0.1 0.15 0.2 0.25 0.15 0.05 0.05 0.05
标准差的__________．通常用样本方差估计总体方差，当样本容量接近总体容量时，样 本方差很接近总体方差．
自查自纠：
1．(1)频率分布 分布 数字特征 数字特征
频率 (2)组距
各小长方形的面积
1
(3)折线图 组数 总体密度曲线 总体在各个范围内取值的百分比 (4)保留所有信息 随时记录
2．(1)最多 平均数 1n(x1＋x2＋…＋xn) 相等
(3) 连 接 频 率 分 布 直 方 图 中 各 小 长 方 形 上 端 的 中 点 ， 就 得 到 频 率 分 布
2019届高考文数一轮复习课件：第9章 第2讲 用样本估计总体
②由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 的比 5 8 率分别为50＝0.1，50＝0.16，故该市的市民对甲、乙部门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1,0.16. ③由所给茎叶图知， 市民对甲部门评分的中位数高于对乙部门的 评分的中位数， 而且由茎叶图可以大致看出对甲部门的评分的标准差 要小于对乙部门的评分的标准差，说明该市市民对甲部门的评价较 高、评价较为一致，对乙部门的评价较低、评价差异较大．
A．3,5 C．3,7
B．5,5 D．5,7
[ 解析 ]
由题意，甲组数据为 56,62,65,70 ＋ x,74 ，乙组数据为
59,61,67,60＋y,78.要使两组数据中位数相等，有 65＝60＋y，所以 y 56＋62＋65＋70＋x＋74 ＝ 5 ， 又 平 均 数 相 同 ， 则 ＝ 5 59＋61＋67＋65＋78 ，解得 x＝3.故选 A. 5
[解] ①由所给茎叶图知， 50 位市民对甲部门的评分由小到大排 序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以该市的市 民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的是 66＋68 66,68，故样本中位数为 2 ＝67，所以该市的市民对乙部门评分 的中位数的估计值是 67.
[解析] 甲网店极差为 58－6＝52，乙网店极差为 58－5＝53，A 错；甲网店中位数为 44，B 错；乙网店的众数为 13，C 错；甲网店 1 平均数10(6＋11＋12＋32＋43＋47＋45＋51＋58＋51)＝35.6， 乙网店 1 平均数为10(5＋7＋13＋13＋13＋22＋34＋42＋42＋58)＝24.9，所以 甲网店的业绩好．故选 D.
2019版高考数学(文)第一轮全国经典版课件：用样本估计总体
解析 设中间一个小长方形面积为 x， 其他 8 个长方形 5 5 2 面积为2x，因此 x＋2x＝1，∴x＝7. 2 所以中间一组的频数为 140×7＝40.故选 B.
5．[2015· 湖北高考]某电子商务公司对 10000 名网络购 物者 2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额(单位： 万元)都在区间[0.3,0.9]内，其频率分布直方图如图所示．
3 (1)直方图中的 a＝________ ；
(2)在这些购物者中，消费金额在区间[0.5,0.9]内的购物 6000 ． 者的人数为________
解析
(1) 由 0.1×1.5 ＋ 0.1×2.5 ＋ 0.1×a ＋ 0.1×2.0 ＋
0.1×0.8＋0.1×0.2＝1，解得 a＝3. (2)区间[0.3,0.5)内的频率为 0.1×1.5＋0.1×2.5＝0.4， 故[0.5,0.9]内的频率为 1－0.4＝0.6. 因此，消费金额在区间 [0.5,0.9] 内的购物者的人数为 0.6×10000＝6000.
2．[2017· 芜湖模拟]某市中心购物商场在“双 11”开展 的“买三免一”促销活动异常火爆，对当日 8 时至 22 时的 销售额进行统计， 以组距为 2 小时的频率分布直方图如图所 示，已知 12 时至 16 时的销售额为 90 万元，则 10 时至 12 时销售额为( )
A.120 万元 B．100 万元
第9章
统计、统计案例
第2讲 用样本估计总体
板块一 知识梳理· 自主学习
[必备知识] 考点 1 用样本的频率分布估计总体分布 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值 与 最小值 的差)． (2)决定 组距 与 组数． (3)将数据 分组． (4)列 频率分布表． (5)画 频率分布直方图．
高三一轮总复习文科数学课件：-用样本估计总体 ppt8
①方差：s2＝1n[(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]；
②标准差：s＝
1n[x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2].
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
10
(3)关于平均数、方差的有关性质 ①若 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数 为 m x ＋a. ②数据 x1，x2，…，xn 与数据 x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方 差相等，即数据经过平移后方差不变． ③若 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，那么 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差为 a2s2.
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
25
(1)从总体的 400 名学生中随机抽取一人，估计其分数小于 70 的概率； (2)已知样本中分数小于 40 的学生有 5 人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的 人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于 70，且样本中分数不小于 70 的男女生人 数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．
密度曲线．
3．茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以 保留 所有信息，而且可以 随时 记录，这对数据的记
录和表示都能带来方便．
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
Байду номын сангаас
7
4．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数
定义
特点
体现了样本数据
在一组数据中出
众
的最大集中点，
现次数最多的数
数
不受极端值的影
据
响，而且不唯一
答案：9
缘分让我们相遇，缘分让我们在一起
2019版高考数学文一轮复习课件：第十章 第三节 用样本
1,2,3，„，n)是样本数据，n 是样本容量， x 是样本平均数．
过
基
础
小
题
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)在频率分布直方图中，小矩形的高表示频率． (2)频率分布直方图中各个长方形的面积之和为 1. ( ( ) )
(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记 一次． ( )
解：(1)由所给茎叶图知，50 位市民对甲部门的评分由小到大 排序，排在第 25,26 位的是 75,75，故样本中位数为 75，所以 该市的市民对甲部门评分的中位数的估计值是 75. 50 位市民对乙部门的评分由小到大排序，排在第 25,26 位的 66＋68 是 66,68，故样本中位数为 ＝67，所以该市的市民对乙 2 部门评分的中位数的估计值是 67. (2)由所给茎叶图知，50 位市民对甲、乙部门的评分高于 90 5 8 的比率分别为 ＝0.1， ＝ 0.16，故该市的市民对甲、乙部 50 50 门的评分高于 90 的概率的估计值分别为 0.1，0.16.
(2)标准差、方差 ①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用 s 表示，s＝ 1 2 2 2 [ x － x ＋ x － x ＋„＋ x － x ]. 2 n n 1
②方差：标准差的平方 s2 1 s ＝ n [(x1 － x )2 ＋ (x2 － x )2 ＋„＋ (xn － x )2] ，其中 xi(i ＝
3．(教材习题改编)某校为了了 解教科研工作开展状况与教师 年龄之间的关系，将该校不小 于35岁的80名教师按年龄分 组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]， 由此得到频率分布直方图如图，则这80名教师中年龄小于45岁 的有________人．
北京专用2019版高考数学一轮复习第十章概率与统计第四节用样本估计总体课件文
所以样本中分数小于70的频率为1-0.6=0.4. 所以从总体的400名学生中随机抽取一人,其分数小于70的概率估计为
0.4. (2)根据题意,样本中分数不小于50的频率为(0.01+0.02+0.04+0.02)×10=
0.9, 分数在区间[40,50)内的人数为100-100×0.9-5=5.
是 MX;若 N两Y组数据x1,x2,…,xn和y1,y2,…,yn的平均数分别是 和 ,则x x1 y
M N
+y1,x2+y2,…,xn+yn的平均数是 x +y .
与方差有关的结论 (1)若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1,ax2,…,axn的方差为a2s2. (2)若给定一组数据x1,x2,…,xn,其方差为s2,则ax1+b,ax2+b,…,axn+b的方差 为a2s2,特别地,当a=1时,有x1+b,x2+b,…,xn+b的方差为s2,这说明将一组数 据的每一个数据都加上一个相同的常数,方差是不变的,即不影响数据 的波动性.
A.第一季度 B.第二季度 C.第三季度 D.第四季度 答案 B 方差越小数据越稳定,由题图知,第二季度的三个月波动最 小.
4.(2016北京东城二模)下图是一组数据的频率分布直方图,估计该组数
据的中位数是 ( C )
A.10 B.12 C.13 D.16
答案 C 由题图可设该组数据的中位数为10+x, 由题意,得0.04×5+x·0.1=0.5, 解得x=3, 故估计该组数据的中位数是13.
3.茎叶图的优点
茎叶图的优点是可以
保留 原始数据,而且可以
随时 记录.
(福建专版)2019高考数学一轮复习 10.3 用样本估计总体课件 文
2 2017 全国Ⅰ,文
19 2017 全国Ⅲ,文
3
1.高考考查的重点有: 一是频率分布直方图、 折线图、茎叶图;二是样 本的数字特征,如众数、 中位数、平均数、方差、 标准差.对两大重点的 考查以解答题为主. 2.高考对用样本估计总 体的考查常常与概率 知识相结合进行综合 考查,在知识的交汇处 命题,并且以解答题的 形式出现. 3.对茎叶图、频率分布 直方图的考查常常是 以它们为命题的背景 或命题的载体来考查 用样本的数字特征估 计总体的数字特征,考 查频率较高.
(2)低于60分的学生所占频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,低 于60分的学生人数为1 000×0.2=200,所以不低于60分的学生人数
为1 000-200=800.
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考点一
考点二
考点三
茎叶图的应用
例2(1) (2017山东,文8)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5 名工人某日的产量数据(单位:件).若这两组数据的中位数相等,且 平均值也相等,则x和y的值分别为( A )
A.56 B.60 C.120D.140 解析:由频率分布直方图可知,这200名学生每周自习时间不少于
22.5小时的频率为(0.16+0.08+0.04)×2.5=0.7,故该区间内的人数 为200×0.7=140.故选D.
知识梳理 考点自测
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5.某次体检,6名同学的身高(单位:米)分别为1.72,1.78,1.75,1.80, 1.69,1.77,则这组数据的中位数是 1.76 (米).
一次. ( × )
(5)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形 式,前者准确,后者直观. ( √ )
2019年高考数学(文)考点一遍过 考点41 用样本估计总体(含解析)
2019年高考数学（文）考点一遍过用样本估计总体（1）了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点.（2）理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.（3）能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释.（4）会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想.（5）会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题.一、数字特征1．众数、中位数、平均数2．极差、方差和标准差极差：即一组数据中最大值与最小值的差． 方差：2222121[()()()]n s x x x x x x n=-+-++-. 标准差：(n s x x =++-注：平均数反映了数据取值的平均水平，方差和标准差反映了数据波动程度的大小．标准差、方差越大，数据的离散程度越大，越波动；标准差、方差越小，数据的离散程度越小，越稳定． 3．性质 （1）若12,,,n x x x 的平均数为x ，那么12,,,n mx a mx a mx a +++的平均数为mx a +.（2）数据12,,,n x x x 与数据1122n n x x a x x a x x a '='='=+++,,,的方差相等，即数据经过平移后方差不变． （3）若12,,,n x x x 的方差为s 2，那么12,,n ax b ax b ax b +++,的方差为22a s .二、茎叶图 1．定义茎叶图是统计中用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶就是从茎的旁边生长出来的数． 2．表示方法（1）对于样本数据较少，且分布较为集中的一组数据：若数据是两位整数，则将十位数字作茎，个位数字作叶；若数据是三位整数，则将百位、十位数字作茎，个位数字作叶．样本数据为小数时做类似处理． （2）对于样本数据较少，且分布较为集中的两组数据，关键是找到两组数据共有的茎． 三、统计表 1．频率分布直方图（1）画频率分布直方图的步骤①求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)； ②决定组距与组数； ③将数据分组； ④列频率分布表；⑤画频率分布直方图(以横轴表示样本分组，纵轴表示频率与组距的比值).（2）频率分布直方图的性质①落在各小组内的频率用各小长方形的面积表示，且各小长方形的面积的和等于1.②频率分布直方图与众数、中位数与平均数的关系a.最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；b.中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；c.平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．2．频率分布折线图和总体密度曲线(1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．(2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．3．各种统计表的优点与不足表示数据较确切考向一数字特征的应用明确数字特征的意义：平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明的描述，它们所反映的情况有着重要的实际意义，平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述其波动大小.典例1 某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，得95分的有1人，得90分的有2人，得85分的有4人，得80分和75分的各1人，则该小组数学成绩的平均数、众数、中位数分别为A．85，85，85 B．87，85，86C．87，85，85 D．87，85，90【答案】C1．若一组数据的方差为1，则的方差为A．1 B．2C．4 D．82．已知一组数据3,5,7,x,10的平均数为6,则这组数据的方差为A．335B．6C．285D．5考向二茎叶图的应用茎叶图的优、缺点：由茎叶图可以清晰地看到数据的分布情况，这一点同频率分布直方图类似．它优于频率分布直方图的第一点是从茎叶图中能看到原始数据，没有任何信息损失；第二点是茎叶图便于记录和表示，其缺点是当样本容量较大时，作图较繁琐.典例2 为了了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校400名授课教师中抽取20名，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示，如图所示．据此可估计上学期该校400名教师中，使用多媒体进行教学次数在[16，30)内的人数为A．100 B．160C．200 D．280【答案】B3．一次数学考试后，某老师从自己所带的两个班级中各抽取6人，记录他们的考试成绩，得到如图所示的茎叶图.-=已知甲班6名同学成绩的平均数为82，乙班6名同学成绩的中位数为77，则x y-A．3 B．3-C．4 D．4考向三频率分布直方图的应用频率分布直方图是用样本估计总体的一种重要方法，是高考命题的一个热点，多以选择题或填空题的形式呈现，试题难度不大，多为容易题或中档题，且主要有以下几个命题角度：(1)已知频率分布直方图中的部分数据，求其他数据．可根据频率分布直方图中的数据求出样本与整体的关系，利用频率和等于1就可求出其他数据．(2)已知频率分布直方图，求某种范围内的数据．可利用图形及某范围结合求解．(3)与概率有关的综合问题，可先求出频率，再利用古典概型等知识求解.典例3 某商店为调查进店顾客的消费水平，调整营销思路，统计了一个月来进店的2000名顾客的消费金额(单位:元)，并从中随机抽取了100名顾客的消费金额按[0,50]，(50,100]，(100,150]，(150,200]，(200,250]进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.已知a,b,c成等差数列，则该商店这一个月来消费金额超过150元的顾客数量约为A．600 B．30C．60 D．300【答案】A4．200辆载着某炮兵团士兵的汽车急赴某地抗洪抢险,如图是汽车途经某大桥时的速度的频率分布直方图,则这200辆汽车的速度的中位数的估计值为A．64 B．63C．63.5 D．65典例4 为了增强学生的环保意识，某中学随机抽取了50名学生举行了一次环保知识竞赛，并将本次竞赛的成绩(得分均为整数，满分100分)进行整理，制成下表：（1）作出被抽查学生成绩的频率分布直方图；（2）若从成绩在[40，50)中选1名学生，从成绩在[90，100]中选2名学生，共3名学生召开座谈会，求[40，50)组中学生A1和[90，100]组中学生B1同时被选中的概率．（2）记[40，50)组中的学生为A1，A2，[90，100]组中的学生为B1，B2，B3，B4，A1和B1同时被选中记为事件M. 由题意可得，全部的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，A1B2B3，A1B2B4，A1B3B4，A2B1B2，A2B1B3，A2B1B4，A2B2B3，A2B2B4，A2B3B4，共12个，事件M包含的基本事件为：A1B1B2，A1B1B3，A1B1B4，共3个，所以学生A1和B1同时被选中的概率为P(M)＝312＝14.5．已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出1吨该商品可获利润0.5万元，未售出的商品，每1吨亏损0.3万元．根据往年的销售经验，得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示．已知电商为下一个销售季度筹备了130吨该商品．现以x （单位：吨，100150x ≤≤）表示下一个销售季度的市场需求量，T （单位：万元）表示该电商下一个销售季度内经销该商品获得的利润．（1）根据频率分布直方图，估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数与中位数的大小； （2）根据频率分布直方图估计利润T 不少于57万元的概率.1．有下列说法：①一组数据不可能有两个众数；②一组数据的方差必须是正数；③将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一常数后，方差不变；④在频率分布直方图中，每个小长方形的面积等于相应小组的频率．其中错误的有 A ．0个 B ．1个 C ．2个D ．3个2．某商场对一个月内每天的顾客人数进行统计，得到如图所示的样本茎叶图，则该样本的中位数和众数分别是A ．46，45B ．45，46C ．45，45D ．47，453．某仪器厂从新生产的一批零件中随机抽取40个检测.如图是根据抽样检测后零件的质量（单位：克）绘制的频率分布直方图，样本数据分8组，分别为、，、、、、、，则样本的中位数在A．第3组B．第4组C．第5组D．第6组4．在如图所示的茎叶图中,有一个数字模糊不清,但某同学曾经计算得到该组数据的极差与中位数之和为61,则模糊不清的数字为A．1 B．2C．3 D．45．在某次高中数学竞赛中，随机抽取90名考生，其分数如图所示，若所得分数的平均数，众数，中位数分别为，，，则，，的大小关系为A．B．C．D．6．从某小学随机抽取100名学生,将他们的身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为A ．2B ．3C ．4D ．57．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示,若它们的中位数相同,平均数也相同,则图中的m ,n 的比值=A ．1B ．13 C ．38D ．298．为普及校园安全知识,某校举行了由全部学生参加的校园安全知识考试,从中抽出60名学生,将其成绩分成六段[40,50),[50,60),…,[90,100]后画出如图所示的频率分布直方图.观察图形的信息,估计这次考试的及格率(60分及以上为及格)、平均分分别为A ．75%，71B ．80%，85C ．85%，90D ．70%，659．一个样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{}()2*2n n -∈N 的第2项和第4项，则这个样本的方差是 A ．3B ．410．已知甲、乙两名篮球运动员进行罚球训练,每人练习10组,每组罚球40个,甲、乙两人每组命中个数的茎叶图如图所示,则下列结论中错误的是A．甲命中个数的极差是29 B．乙命中个数的众数是21C．甲的命中率比乙高D．甲命中个数的中位数是2511．某网店在2018年1月的促销活动中,随机抽查了100名消费者的消费情况,并记录了他们的消费金额(单位:千元),将数据分成6组:(0,1],(1,2],(2,3],(3,4],(4,5],(5,6],整理得到频率分布直方图如图所示.若消费金额不超过3千元的人数占总人数的,则消费金额超过4千元的人数为A．12 B．15C．16 D．1812．某市安踏专卖店为了了解某日旅游鞋的销售情况,抽取了部分顾客所购旅游鞋的尺寸,将所得数据整理后,画出频率分布直方图.已知从左到右前3个小组的频率之比为1∶2∶3,第4小组与第5小组的频率分布直方图如图所示,第2小组的频数为10,则第5小组的频数是A．4 B．513．某次知识竞赛中,五个参赛小队的初始积分都是50,在答题过程中,各小队每答对一题可使本队积分增加5,每答错一题本队积分不变,若答题过程中五个小队答对的题数分别是4,7,6,2,5,则这五个小队积分的方差为.14．随着智能手机的普及，网络购物越来越受到人们的青睐，某研究性学习小组对使用智能手机的利与弊随机调查了10位同学，得到的满意度打分如茎叶图所示．若这组数据的中位数、平均数分别为,a b，则,a b的大小关系是__________．15．某市为了增加2018届高三毕业生对各著名高校的了解,从而调动他们的学习动力,利用2017年暑假组织部分有意愿的学生赴部分大学参加夏令营,各大学夏令营的天数都在[2,12]内,现从中抽出100名学生,统计他们参加夏令营的天数,绘制成如图所示的频率分布直方图,则这100名学生中参加夏令营的天数在[6,10)的人数为.16．为组织好“市九运会”,组委会征集了800名志愿者,现对他们的年龄抽样统计后,得到如图所示的频率分布直方图,但是年龄在[25,30)内的数据不慎丢失,依据此图可得:(1)年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为；(2)这800名志愿者中年龄在[25,35)内的人数为.17．某届马拉松招聘志愿者,报名者首先进入笔试,按笔试成绩选出参加面试的人员,最后确定入选名单.现从报名的所有人中按男女比例采用分层抽样的方式抽取了100名,统计了他们的笔试成绩(满分100分),统计结果见如下所示的频率分布表,其中分数在区间[90,100]内的人员直接进入面试阶段,若分数在区间[80,90)内,则需要进行短期的培训后,再参加第二次笔试,从而确定能否参加面试.（1）求a与b的值,并作出频率分布直方图;（2）(i)根据表中数据,估计这100名人员笔试成绩的中位数 (精确到小数点后1位);(ii)分析知,这100名人员在各分数段内的男女比例如下表所示,那么若以频率分布表中的频率近似作为概率,在总共2000名参考人员中,求经过第一次考试就可直接进入面试的男女人数的估计值.18．随着科技发展,手机成了人们日常生活中必不可少的通信工具,现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机了.为了调查某地区高中生一周使用手机的频率,某机构随机调查了该地区100名高中生某一周使用手机的时间(单位:小时),所取样本数据分组区间为,由此得到如图所示的频率分布直方图．(1)求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值;(2)从使用手机时间在的四组学生中,用分层抽样方法抽取13人,则每层各应抽取多少人?19．某市为了制定合理的节电方案,对居民用电情况进行了调查,通过抽样,获得了某年200户居民每户的月均用电量(单位:百千瓦时),将数据按,,,,,分成9组,制成了如图所示的频率分布直方图.(1)求直方图中的值;(2)设该市有100万户居民,估计全市每户居民中月均用电量不低于6百千瓦时的人数及每户居民月均用电量的中位数;(3)政府计划对月均用电量在4百千瓦时以下的用户进行奖励,月均用电量在内的用户奖励20元/月,月均用电量在内的用户奖励10元/月,月均用电量在内的用户奖励2元/月.若该市共有400万户居民,试估计政府执行此计划的年度预算.20．某研究小组为了研究某品牌智能手机在正常使用情况下的电池供电时间，分别从该品牌手机的甲、乙两种型号中各选取6部进行测试，其结果如下：（1）求甲、乙两种手机供电时间的平均值与方差，并判断哪种手机电池质量好；（2）为了进一步研究乙种手机的电池性能，从上述6部乙种手机中随机抽取2部，求这两部手机中恰有一部手机的供电时间大于该种手机供电时间平均值的概率.21．某城市为了满足市民出行的需要和节能环保的要求，在公共场所提供单车共享服务，某部门为了对该城市共享单车进行监管，随机选取了20位市民对共享单车的情况进行问卷调査，并根据其满意度评分值（满分100分）制作的茎叶图如图所示：（1）分别计算男性打分的平均数和女性打分的中位数；（2）从打分在70分以下（不含70分）的市民中抽取3人，求有女性被抽中的概率.1．（2017新课标全国Ⅰ文科）为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x n，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是A．x1，x2，…，x n的平均数B．x1，x2，…，x n的标准差C．x1，x2，…，x n的最大值D．x1，x2，…，x n的中位数2．（2017山东文科）如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件）.若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x和y的值分别为A．3，5 B．5，5C．3，7 D．5，73．（2017新课标全国Ⅲ文科）某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7，8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳4．（2016新课标全国Ⅲ文科）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图.图中A点表示十月的平均最高气温约为15o C，B点表示四月的平均最低气温约为5o C.下面叙述不正确的是A．各月的平均最低气温都在0o C以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均最高气温高于20o C的月份有5个5．（2016山东文科）某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20),[20,22.5),[22.5,25),[25,27.5),[27.5,30].根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是A．56 B．60C．120 D．1406．（2018江苏）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为▲ ．7．（2016上海文科）某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72，1.78，1.75，1.80，1.69，1.77，则这组数据的中位数是_________（米）．8．（2018新课标全国Ⅰ文科）某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：未使用节水龙头50天的日用水量频数分布表使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：（2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率；（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）9．（2018新课标全国Ⅲ文科节选）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动，提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式．为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式．根据工人完成生产任务的工作时间（单位：min）绘制了如下茎叶图：（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高？并说明理由；（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m，并将完成生产任务所需时间超过m和不超过m的工人数填入下面的列联表：10．（2017新课标全国Ⅱ文科）海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg ）， 其频率分布直方图如下：（1）记A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A 的概率；（2）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；（3）根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较. 附：）22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++.11．（2017北京文科）某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30]，[30，40]，，[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图：（1）从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；（2）已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数；（3）已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．12．（2016新课标全国Ⅱ文科）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：（1）记A为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”，求P(A)的估计值；（2）记B为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160％”，求P(B)的估计值；（3）求续保人本年度的平均保费估计值.13．（2016北京文科）某市居民用水拟实行阶梯水价，每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费，超出w立方米的部分按10元/立方米收费.从该市随机调查了10 000位居民，获得了他们某月的用水量数据，整理得到如下频率分布直方图：（1）如果w为整数，那么根据此次调查，为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米，w至少定为多少？（2）假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替，当w=3时，估计该市居民该月的人均水费.14．（2016四川文科）我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查.通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量（单位：吨），将数据按照[0，0.5）， [0.5，1），…，[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图.0.500.42（1）求直方图中a的值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，说明理由；（3）估计居民月均用水量的中位数.1．【答案】C【解析】若的方差为，则，，，的方差为，故可得当的方差为1时，的方差为，故选C ．2．【答案】C【解析】先根据平均数公式求出x ,再利用方差公式求解. 由题意,得3+5+7+x+10=6×5,得x =5, 所以这组数据的方差s 2=15⨯(9+1+1+1+16)=285. 3．【答案】C4．【答案】D【解析】由频率分布直方图知,前两个小矩形的面积之和为(0.01+0.02)×10=0.3, 由于0.5-0.3=0.2，则0.20.4×10=5， 所以中位数为60+5=65.故选D ．5．【解析】（1）估计一个销售季度内市场需求量x 的平均数为1050.11150.2x =⨯+⨯1250.31350.251450.15126.5+⨯+⨯+⨯=（吨）.由频率分布直方图易知，由于[)100,120x ∈时，对应的频率为()0.010.02100.30.5+⨯=<，而[)100,130x ∈时，对应的频率为()0.010.020.03100.60.5++⨯=>，因此一个销售季度内市场需求量x 的中位数应属于区间[)120,130， 于是估计中位数应为()1200.50.10.20.03126.7+--÷≈（吨）． （2）当[)100,130x ∈时，()0.50.31300.839T x x x =--=-； 当[]130,150x ∈时，0.513065T =⨯=，所以，0.839,10013065,130150x x T x -≤<⎧=⎨≤≤⎩.当[)100,130x ∈时，由0.83957T x =-≥，得120130x ≤<；当[]130,150x ∈时，6557T =≥，所以，利润T 不少于57万元当且仅当120150x ≤≤，于是由频率分布直方图可知，市场需求量[]120,150x ∈的频率为()0.0300.0250.015100.7++⨯=，所以下一个销售季度内的利润T 不少于57万元的概率的估计值为0.7．1．【答案】C2．【答案】A【解析】由茎叶图可知所给数据，其中出现最多的是45，共三次，所以为众数，将所有数据从小到大排列后，中间两数为45,47，故中位数为46．故本题答案为A ． 3．【答案】B【解析】由图计算可得前四组的频数是22，其中第4组的频数为8，故本题正确答案是 4．【答案】B【解析】设模糊不清的数字为x ,由题意知该组数据的极差为48-20=28,所以中位数为61-28=33, 所以+32=33,解得x =2,即模糊不清的数字为2. 5．【答案】D【解析】经计算得平均值,众数为,中位数为,故,选D.6．【答案】B【解析】依题意可得10×(0.005+0.01+0.02+a+0.035)=1,则a =0.03,从而身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生比例为3∶2∶1,所以从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为×18=3,故选B ．7．【答案】C8．【答案】A【解析】及格的各组的频率和是(0.015+0.030+0.025+0.005)×10=0.75,即及格率为75%; 样本的均值为45×0.10+55×0.15+65×0.15+75×0.30+85×0.25+95×0.05=71, 用这个分数估计总体的分数即得总体的平均分数为71.故选A ．【名师点睛】利用频率分布直方图求众数、中位数和平均数时，应注意三点： ①最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数； ②中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；③平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和. 9．【答案】C【解析】∵样本a ，3，5，7的平均数是b ，且a ，b 分别是数列{}()2*2n n N -∈的第2项和第4项，∴224221,24a b --==== C. 10．【答案】D【解析】由茎叶图可知甲命中个数的极差为37-8=29,故A 正确; 易知乙命中个数的众数是21,故B 正确; 甲的命中率为=0.535,乙的命中率为=0.4225,所以甲的命中率比乙高,C 正确;甲命中个数的中位数为=23,所以D 不正确.故选D ．11．【答案】B【解析】∵消费金额不超过3千元的人数占总人数的,∴第4,5,6组的频率之和为1-0.6=0.4,从图中可知第4组的频率为0.25,∴第5,6组的频率之和为0.4-0.25=0.15,∴消费金额超过4千元的人数为15. 12．【答案】B13．【答案】74【解析】由题意知,五个小队的积分分别是70,85,80,60,75, 所以五个小队的积分的平均值为70858060755++++=74,所以五个小队的积分的方差为22222(7074)(8574)(8074)(6074)(7574)5-+-+-+-+-=74.14．【答案】a b =【解析】从图中可知中位数为8387852+=， 平均数为()1757677818387899394958510x =+++++++++=，所以a b =. 15．【答案】58【解析】由频率分布直方图可得参加夏令营的天数在[6,10)的频率为1-(0.04+0.12+0.05)×2=0.58,则参加夏令营的天数在[6,10)的人数为100×0.58=58. 16．【答案】(1)0.04;(2)440【解析】(1)因为所有小长方形的面积之和为1,所以年龄在[25,30)内对应小长方形的高度为[1-(5×0.01+5×0.07+5×0.06+5×0.02)]=0.04.(2)年龄在[25,35)内的频率为0.04×5+0.07×5=0.55,人数为0.55×800=440.17．【解析】（1）由已知得a =0.26×100=26，分数区间[60,70)对应的频数为100-8-42-26-8=16，因而b =16100=0.16. 频率分布直方图如图.。
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考点频 命题趋势 率 5年28 频率分布直 考 方图是重 点考查的， 另外，根 5年44 据频率分 考 布直方图、 茎叶图中 的数据， 计算或估 计平均数、
2
基础自主梳理
「基础知识填一填」 1．作频率分布直方图的步骤 (1)求极差(即一组数据中 最大值 (2)决定 组距 (3)将数据 分组 (4)列 频率分布表 与 ； ； ．
组数 ；
与
最小值 的差)；
(5)画 频率分布直方图
2．频率分布折线图和总体密度曲线 (1)频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的 中点 ，就得到频 率分布折线图． (2)总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时 所分的组数 增加， 组距 减 小，相应的频率折线图会越来越接．茎叶图的优点 茎叶图的优点是不但可以 保留 所有信息，而且可以 随时 记录， 这对数据的记 录和表示都能带来方便．
答案：A
2．已知一组数据的茎叶图如图所示，则这组数据的中位数是(
A．27.5 B．28.5 C．27 D．28
)
1 解析：由茎叶图可知中间两个数为 27,28，故中位数为 (27＋28) ＝27.5，故选 2 A.
答案：A
3．(2018 届大连模拟)某班级有 50 名同学，一次数学测试平均成绩是 92，如果 学号为 1 号到 30 号的同学平均成绩为 90，则学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 ________．
4．用样本数字特征估计总体 (1)众数、中位数、平均数
定义 在一组数据中出 现次数最多的数 据
特点 体现了样本数据 的最大集中点， 不受极端值的影 响，而且不唯一
众 数
将一组数据按大小顺序依 中位数 次排列，处在最中间位置 的一个数据(或最中间两 个数据的平均数) 平均数 样本数据的算术平均数
中位数不受极端值的影 响，仅利用了排在中间数 据的信息，只有一个 与每一个样本数据有关， 只有一个
B．87 和 92 D．85 和 90
解析：这组数据从小到大为：82,83,84,85,89,92,92,93，众数为 92，中位数为中间
答案：B
2．(2018 届南京模拟)如图是甲、乙两名篮球运动员在五场比赛中所得分数的茎 叶图，则这五场比赛中得分较为稳定 ( 方差较小 ) 的那名运动员的得分的方差为 ________．
解析：设学号为 31 号到 50 号同学的平均成绩为 x， 则 92×50＝90×30＋20x，解得 x＝95.
答案：95
4．某校为了了解教科研工作开展状况与教师年龄之间的关系，将该校不小于 35 岁的 80 名教师按年龄分组，分组区间为[35,40)，[40,45)，[45,50)，[50,55)，[55,60]， 由此得到频率分布直方图如图，则这 80 名教师中年龄小于 45 岁的有________人．
(2)方差和标准差 方差和标准差反映了数据波动程度的大小． 1 ①方差：s ＝ [(x1－ x )2＋(x2－ x )2＋…＋(xn－ x )2]； n
2
②标准差：s＝
1 [x1－ x 2＋x2－ x 2＋…＋xn－ x 2]. n
(3)关于平均数、方差的有关性质 ①若 x1，x2，…，xn 的平均数为 x ，那么 mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a 的平均数 为 m x ＋a. ②数据 x1，x2，…，xn 与数据 x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a 的方 差相等，即数据经过平移后方差不变． ③若 x1，x2，…，xn 的方差为 s2，那么 ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b 的方差为 a2s2.
2019高三一轮总复习
数 学（文）
提高效率 ·创造未来 ·铸就辉煌
必修部分
第十章 算法初步、统计、统计案例
第三节 用样本估计总体
栏 目 导 航
考情分析
1 3
考点疑难突破
基础自主梳理
2 4 课时跟踪检测
1
考 情 分 析
考点分布
考纲要求
1.统计图 1.了解分布的意义和作用，会列频率 表 分布表，会画频率分布直方图、频 率折线图、茎叶图，理解它们各自 2.用样本 的特点． 数字特 征估计 2．理解样本数据标准差的意义和作 总体 用，会计算数据标准差． 3．能从样本数据中提取基本的数字 特征(如平均数、标准差)并给出合 理的解释． 4．会用样本的频率分布估计总体分
「基础小题练一练」 1．在样本频率分布直方图中，共有 11 个小长方形，若中间一个小长方形的面积 1 等于其他 10 个小长方形面积和的 ，且样本容量为 160，则中间一组的频数为( 4 A．32 B．0.2 C．40 D．0.25 )
解析：由频率分布直方图的性质，可设中间一组的频率为 x，则 x＋4x＝1，所以 x＝0.2，故中间一组的频数为 160×0.2＝32.
2．易错提醒 (1)易把直方图与条形图混淆 两者的区别在于条形图是离散随机变量，纵坐标刻度为频数或频率， 直方图是连 续随机变量，连续随机变量在某一点上是没有频率的． 频率 (2)易忽视频率分布直方图中纵轴表示的应为 . 组距 (3)在绘制茎叶图时，易遗漏重复出现的数据，重复出现的数据要重复记录，同 时不要混淆茎叶图中茎与叶的含义．
「应用提示研一研」 1．重要结论 (1)频率分布直方图中各个小矩形的面积之和为 1， 纵轴的单位是频率除以组距的 商，各组数据的频率比等于各小长方形的高度之比． (2)在频率分布直方图中，各组的中点值乘以各组的频率之和即为样本数据平均 值的估计值， (3)在频率分布直方图中，垂直于横轴的直线如果把各个小矩形的面积等分，则 其对应的数据即为中位数的估计值．
解析：由频率分布直方图可知，45 岁以下的教师的频率为 5×(0.040＋0.080)＝ 0.6，所以共有 80×0.6＝48(人)．
答案：48
3
考点疑难突破
茎叶图
[题 组 训 练] 1．(2018 届达州模拟)某 8 人一次比赛得分茎叶图如图所示，这组数据的中位数 和众数分别是( )
A．85 和 92 C．84 和 92 两数的平均数，即(89＋85)÷ 2＝87.