济南奥体馆屋盖结构风振响应和等效静力风荷载
等效风荷载计算方法分析
等效静力风荷载的物理意义从风洞试验获取屋面风荷载气动力信息，到得到结构的风振响应整个过程来看，计算过程中涉及到风洞试验和随机振动分析等复杂过程，不易为工程设计人员所掌握，因此迫切需要研究简便的建筑结构抗风设计方法。
等效静力风荷载理论就是在这一背景下提出的。
其基本思想是将脉动风的动力效应以其等效的静力形式表达出来，从而将复杂的动力分析问题转化为易于被设计人员所接受的静力分析问题。
等效静力风荷载是联系风工程研究和结构设计的纽带[3]，是结构抗风设计理论的核心内容，近年来一直是结构风工程师研究的热点之一。
等效静力风荷载的物理意义可以用单自由度体系的简谐振动来说明[45, 108]。
kcP(t)x(t)图1.3 气动力作用下的单自由度体系对如图1.3的单自由度体系，在气动力P t作用下的振动方程为：mx cx kxP t(1.4.1)考虑粘滞阻尼系统，则振动方程可简化为：200222P t xf x f xm(1.4.2)式中12f k m 为该系统的自振频率，2c km为振动系统的临界阻尼比。
假设气动力为频率为f 的简谐荷载，即20i ftP tF e ，那么其稳态响应为：2020012i ftF kx tef f if f (1.4.3)进一步化简有：2i ftx tAe(1.4.4)其中022212F kAf f f f ，22arctan1f f f f ，A 为振幅，为气动力和位移响应之间的相位角。
现在假设该系统在某静力F 作用下产生幅值为A 的静力响应，那么该静力应该为：22212F F kAf f f f (1.4.5)如果不考虑相位关系，静力F 与简谐气动力P t 将产生一致的幅值响应，则这两种荷载之间存在一种“等效”的关系，那么F 可以称为P t 的“等效静力风荷载”。
从上面这个简单的实例可以很清楚的体会到，所谓等效静力风荷载是指这样一种静力荷载，当把它作用于结构上时，其在结构上产生的静力响应（不仅指代位移响应，也包括内力响应等）与外加气动力荷载产生的动力响应最大幅值是完全相等的。
高层建筑结构设计中的风荷载
高层建筑结构设计中的风荷载随着现在建筑美学的发展和使用功能的要求，现代建筑结构朝着高层和大跨度的方向发展。
因此在结构设计中风荷载越来越重要，有时至起决定性的作用。
该文主要阐述作用在结构上的风压、风力和风振系数、高层建筑结构风振系数和风振响应的精确方法，并介绍了高层建筑的风振控制的多种方法。
目前世界上正在经历着史无前例的高层、超高层建筑建设高峰。
芝加哥西尔斯大厦（Sears tower）曾以443m的高度稳坐世界最高建筑物宝座26年。
而现在世界上，拟建、在建和已建的400m以上的结构有37栋，尤以正在建造且已超过700m的迪拜大厦（Burj Dubai）为首。
发达国家甚至提出了千米高度量级的“空中城市”的概念。
随着结构高度的增加和高强材料的使用，低阻尼、高柔结构的风振响应更加显著，使得强风作用下的结构风荷载成为结构安全性和舒适性设计的控制荷载。
从Davenport最早将随机概念和方法引入建筑结构的抗风研究30多年以来，在建筑结构的顺风向荷载及响应的研究方面，已逐渐形成比较完善的计算理论和方法，主要成果也反映在多数国家的建筑结构荷载规范中。
风的特征及风压风是空气相对于地面的运动。
由于太阳对地球上大气加热和温度上升的不均匀性，从而在地球相同高度的两点之间产生压力差，这样使不同压力差的地区产生了趋于平衡的空气流动，便形成了风。
大量的统计资料表明，近地风的平均风速随着高度的升高而增大，同时对应于不同的地面粗糙度具有不同的变化规律。
通常可采用风速剖面来描述平均风。
平均风剖面是微气象学研究风速变化的一种方法。
目前，气象学家认为用对数律表示大气底层强风风速廓线比较理想，其表达式为式中——大气底层内高度处的平均风速；——摩擦速度或流动剪切速度；K——卡曼（Karman）常数，k 0.40；——地面粗糙长度（m）；——有效高度（m）：=，其中z——离地高度（m）；——零平均位移（m）。
风压是建筑结构设计中的基本设计依据之一，其取值的大小对高层（高耸）和大跨度结构的安全性、适用性、耐久性及是否经济有密切的关系.基本风压系以当地比较空旷平坦地面上离地比较离地10m 高统计所得的50年一遇10min平均最大风速、按确定的风压。
大跨屋盖结构风致背景响应和共振响应实用组合方法
大跨屋盖结构风致背景响应和共振响应实用组合方法李玉学;杨庆山;田玉基;向敏【摘要】The analysis formulas of wind-induced background response and resonant response considering modal coupling effects and the coupling effect between background response and resonant response for large-span roofs were derived based on the random vibrationtheory.Furthermore,the theoretical combination formulas of total fluctuating wind-induced response considering modal coupling effects were proposed.On the basis of this,the coupling effect modification coefficient was introduced,and the proposed combination formulas were simplified according to the dynamic characteristics of the roofs and the features of fluctuating wind loads,the corresponding practical combination formulas were obtained to realize the combination of the background response,the resonant response,and their coupling of the large-span roofs efficiently.At last,the effectiveness of the proposed method was verified using the combination computing of fluctuating wind-induced background response and resonant response of the National Stadium main roof structure.%以随机振动理论为基础，推导了大跨屋盖结构风致背景响应及其模态耦合项、共振响应及其模态耦合项以及背景响应和共振响应耦合项的计算公式，提出了考虑耦合效应的脉动风总响应组合方法；在此基础上，引入耦合效应修正系数，并根据结构动力特性与风荷载特性对提出的脉动风总响应组合公式进行了简化分析，得到了相应的实用组合公式，据此可以实现大跨屋盖结构考虑耦合效应的风致背景响应和共振响应实用高效组合。
济南奥体馆屋盖结构风振响应和等效静力风荷载
工
程
学
Ｅ
共振模 态 有 较 好 分 离 的 结 构 （ 高层建筑、 高 耸 结 构 等） 误 差 不大 ， 然而 对 于 大跨 度 空 间柔 性 结 构 ， 这 一 耦合 分量 理论上 是需 要考 虑 的。
鉴 于此 ， 在 模态 加速度 法 和荷 载一 响应 相关 法 的
引 言
间的耦 合项 而直 接采 用 Ｓ ＲＳ Ｓ方法 组 合背 景 和共 振
分 量来 获得 总脉 动 风致 响应 ， 这 一 作 法 对 于背 景 和
Hale Waihona Puke 首先 给 出本 文理 论推导 过程 中涉 及到 的主要 参 数 符号 和含义 ：
收 稿 日期 ： ２ ０ １ １ － １ １ － ３ ０ ； 修 订 日期 ： ２ Ｏ ｌ ２ － ０ ５ — ２ ２ 基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 资 助 项 目（ ９ ０ ７ １ ５ ０ ３ ９ ） 和科 技 部 国家 重 点 实 验 室 基 础 研 究 项 目（ Ｓ Ｌ Ｄ Ｒ Ｃ Ｅ ０ ８ 一 Ｃ 一 ０ ２ ）
模 态 间的耦 合项求 解难 题 ； （ ２ ） 采 用准静 力方 法求 解
背 景分 量 以考虑所 有模 态对 于背 景响应 的贡献 。值
１ Ｃ Ｃ Ｍ 理 论 推导
１ ． １ 背景、 共 振和 交叉项 的定 义
得 注 意 的是 ， 这些 方 法 均 不考 虑 背 景 与共 振 模 态 之
Ｖ
振
能忽略 、 共 振 分 量 相 比背 景 和交 叉 项 分 量 起 主 导 作 用 ； Ｃ Ｃ Ｍ 方法可作为此类结构风振精细化分析的有效方法。 关键词 ： 风 振 响应 ；弦 支 穹 顶 屋 盖 ； Ｃ Ｃ Ｍ 方法 ； 等 效 静 风 荷 载 ；耦合 项
等效风荷载计算方法
等效静力风荷载的物理意义从风洞试验获取屋面风荷载气动力信息，到得到结构的风振响应整个过程来看，计算过程中涉及到风洞试验和随机振动分析等复杂过程，不易为工程设计人员所掌握，因此迫切需要研究简便的建筑结构抗风设计方法。
等效静力风荷载理论就是在这一背景下提出的。
其基本思想是将脉动风的动力效应以其等效的静力形式表达出来，从而将复杂的动力分析问题转化为易于被设计人员所接受的静力分析问题。
等效静力风荷载是联系风工程研究和结构设计的纽带[3]，是结构抗风设计理论的核心内容，近年来一直是结构风工程师研究的热点之一。
等效静力风荷载的物理意义可以用单自由度体系的简谐振动来说明[45, 108]。
图1.3 气动力作用下的单自由度体系对如图1.3的单自由度体系，在气动力()P t 作用下的振动方程为：()mx cx kx P t ++= (1.4.1)考虑粘滞阻尼系统，则振动方程可简化为：()()()200222P t x f x f x mξππ++=(1.4.2)式中0f =为该系统的自振频率，ξ=为振动系统的临界阻尼比。
假设气动力为频率为f 的简谐荷载，即()20i ft P t F e π=，那么其稳态响应为：()()()2020012i ft F kx t e f f i f f πξ=-+⋅ (1.4.3)进一步化简有：()()2i ft x t Ae πψ-= (1.4.4)其中A =，()0202arctan1f f f f ξψ=-，A 为振幅，ψ为气动力和位移响应之间的相位角。
现在假设该系统在某静力F 作用下产生幅值为A 的静力响应，那么该静力应该为：F kA ==(1.4.5)如果不考虑相位关系，静力F 与简谐气动力()P t 将产生一致的幅值响应，则这两种荷载之间存在一种“等效”的关系，那么F 可以称为()P t 的“等效静力风荷载”。
从上面这个简单的实例可以很清楚的体会到，所谓等效静力风荷载是指这样一种静力荷载，当把它作用于结构上时，其在结构上产生的静力响应（不仅指代位移响应，也包括内力响应等）与外加气动力荷载产生的动力响应最大幅值是完全相等的。
大跨度屋盖结构考虑模态耦合的抖振共振响应分析方法
Ｍ ｙ ＋ ｃ ＋ Ｋｙ — Ｒｐ（ ） ｔ
（） １
Ｍ ， Ｋ 分 别 是 阶质 量 、 Ｃ， 阻尼 及 刚度 矩 阵 ；
Ｙ ， 分 别是 结 构 的位 移 、 ， ｊ ； 速度 和 加 速度 向量 ； 是 由０和 １组 成 的 × 矩 阵 ， 即力 指示 矩 阵 ， 将 它
部 ） 即 ，
间结 构对 共 振激 励 将 更敏 感 ， 因而 能考 虑 多阶 模 态 耦 合效 应 的共振 等效 风荷 载计算 尤 为重 要 。
１ 计 算 共振 分 量 的修 正 Ｓ Ｓ法 ＲＳ
１ １ 考 虑耦合 效 应的 共振 分量近 似 形式 ．
） ∑ ∑ ＲＥ ；ｉ Ｈ （ ］ ＋ 一 ｅ （ ） ・ｏ Ｓ Ｈ ｗ ｉ Ｄ
亦 即
Ｓ （） ∑ ∑ Ｈ （ ） ・ ｙ 一 ｙ ｉ ｏ Ｊ
ＲＳｐ （ ｐ ） 日 ＾ ｉＤ （ｏ （ ２）
Ｓ（） ｙ 一∑ ∑ Ｈ （ｗ）， Ｈ（ ） ｙ ｉ ｓ （） 。 ， ｉ
式 中 为第 － 模 态 向 Ｌ， 阶
，
（ ３ ）
（ ｎ为第 阶模 态频 ｏ 量 Ｈ ｉ）
中图 分 类 号 ： ＴＵ３ １ ３ Ｕ３ ２ ． １ ． ；Ｔ １ １ 文 献标 识 码 ： Ａ 文章 编 号 ：１ ０ — ５ ３ ２ ０ ） ２ ０ ７ — ５ ０ ４４ ２ （ ０ ６ ０ — １ ９ ０
抖 振荷 载作 用下 的运 动方 程 为
引 言
式中 大跨 度 屋 盖结 构 一 般质 量 轻 、 性 大 、 尼小 ， 柔 阻 风荷 载通 常是 结构设 计 的控制 荷载 。由于屋 盖结 构 往往 有 明显 的三维气 动力 特征 ， 且结 构模 态密 集 ， 并 进 行 随 机风 振 响应 计 算 时 ， 不但 要 考 虑 多模 态 的贡 献， 而且应 该 考虑不 同模 态之 间 的相互 影 响Ｌ 。 １ ｑ］ 周 印 、 明 等 根据 Ｄ ｖ ｎ ｏ ｔ 出 的把 顺 风 向 顾 ａｅｐ ｒ 提 响应 处 理为平 均 、 背景 和共 振分 量 的思想 ， 出 了用 提
条文说明08
8风荷载8.1 风荷载标准值及基本风压影响结构风荷载因素较多，计算方法也可以有多种多样，但是它们将直接关系到风荷载的取值和结构安全，要以强制性条文分别规定主体结构和围护结构风荷载标准值确实定方法，以到达保证结构安全的最低要求。
对于主要受力结构，风荷载标准值的表达可有两种形式，其一为平均风压加上由脉动风引起结构风振的等效风压；另一种为平均风压乘以风振系数。
由于在高层建筑和高耸结构等悬臂型结构的风振计算中，往往是第1振型起主要作用，因而我国与大多数国家相同，采用后一种表达形式，即采用平均风压乘以风振系数βz ，它综合考虑了结构在风荷载作用下的动力响应，其中包括风速随时间、空间的变异性和结构的阻尼特性等因素。
对非悬臂型的结构，如大跨空间结构，计算公式〔8,1.1-1〕中风荷载标准值也可理解为结构的静力等效风荷载。
对于围护结构，由于其刚性一般较大，在结构效应中可不必考虑其共振分量，此时可仅在平均风压的基础上，近似考虑脉动风瞬间的增大因素，可通过局部风压体型系数μsl 和阵风系数βgz 来计算其风荷载。
基本风压确实定方法和重现期直接关系到当地基本风压值的大小，因而也直接关系到建筑结构茌风荷载作用下的安全，必须以强制性条文作规定。
确定基本风压的方法包括对观测场地、风速仪的类型和高度以及统计方法的规定，重现期为50年的风压即为传统意义上的50年一遇的最大风压。
基本风压w 0是根据当地气象台站历年来的最大风速记录，按基本风速的标准要求，将不同风速仪高度和时次时距的年最大风速，统一换算为离地10m 高，自记10min 平均年最大风速数据，经统计分析确定重现期为50年的最大风速，作为当地的基本风速υ0，再按以下贝努利公式计算得到：20021ρυ=w 详细方法见本标准附录E 。
对风荷载比较敏感的高层建筑和高耸结构，以及自重较轻的钢木主体结构，这类结构风荷载很重要，计算风荷载的各种因素和方法还不十分确定，因此基本风压应适当提高。
对风荷载计算的一点认识
目前规范[2]按主体结构和围护结构对风荷载的计 算进行了区分，基本公式如下： wk z s z w0 (2)
wk gz s1 z w0
(3)
上述两个公式分别用于主体结构计算和围护结 构计算，两个公式都是用静力等效的方法把复杂问题 简单化，在基本风压 w0 的基础上分别乘以相应系数。 其中，风压高度变化系数 μz、风荷载体型系数 μs 和局 部体型系数 μs1 主要与风的空间不均匀性有关；风振 系数 βz 和阵风系数 βgz 主要与风的时间脉动性和结构 阻尼特性有关。各参数的相关关系如图 2 所示（引自 中国建筑科学研究院陈凯博士的讲座演示文档）。
(a) 分区归并前体型系数极小值
（b） 分区归并前体型系数极大值
和分区归并等，分区归并是将相近测点的数据进行人 为归并以达到简化模型输入目的。图 4 给出了某体育 场屋盖结构风荷载体型系数分区归并前后的示意。需 要注意的是，当屋面高度变化较大时，归并的区块不
（上接第 32 页） 图 7 所示：9）套筒焊缝高出部分全部打磨平整，外观要求 光滑平整；10）Q100LY 和 Q345 芯材对接前要预热，预热 温度 150℃左右，层间温度不能大于 250℃，最终的预热工 艺与焊条选择需要焊接工艺评定后确定。 3 结论 （1）建立了巨型屈曲约束支撑的 ABAQUS 模型，对
图 3 新旧பைடு நூலகம்范风压高度变化系数对比
2.2.2 横风向、扭转风振等效风荷载的计算 《新荷规》对横风向和扭转风振进行了更明确的 规定。设计人员需了解什么情况下考虑横风向风振作 用，什么情况下考虑扭转风振作用。对体型简单规则 的建筑规范附录提供了简化计算公式，平面和立面体 型复杂的建筑宜通过风洞试验确定。 一般而言，以下两类建筑需要考虑横风向风振的 影响：1）建筑高度超过 150m 或高宽比大于 5 的高层
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济南奥体馆屋盖结构风振响应和等效静力风荷载
弦支穹顶屋盖，作为一种重要的大跨度空间结构形式，已大量应用于体育场馆和工业设施等大型公共建筑。
弦支穹顶自身刚度较小，而且随着结构跨度的不断增大、屋面轻质材料的选用，其对风荷载的作用变得更加敏感，风荷载成为该类结构设计的控制荷载之一，目前缺乏对该类结构风振响应特性的深入认识和精细化的计算方法，没有形成相应的抗风设计指导。
因此，对大跨度的弦支穹顶结构的风振响应和等效静风荷载进行系统研究具有重要的理论意义和价值。
采用Davenport提出的三分量方法对非大变形空间柔性结构的风致响应和作用机理进行分析是目前的主流分析手段，并且自1967年三分量原理首次提出以来，国内外很多学者对其进行了改进[2～14]。
这些改进方法更好地解决了大跨空间结构风致响应的两个重要问题：（1）共振模态的选择及模态间的耦合项求解难题；（2）采用准静力方法求解背景分量以考虑所有模态对于背景响应的贡献。
值得注意的是，这些方法均不考虑背景与共振模态之间的耦合项而直接采用SRSS方法组合背景和共振分量来获得总脉动风致响应，这一作法对于背景和共振模态有较好分离的结构（高层建筑、高耸结构等）误差不大，然而对于大跨度空间柔性结构，这一耦合分量理论上是需要考虑的。
鉴于此，在模态加速度法和荷载响应相关法的基础上，推导出结构脉动风总响应的真实理论组合公式，首次定义了共振和耦合恢复力协方差矩阵，提出用于补偿背景和共振模态间交叉项的一致耦合方法（简称
CCM）来求解结构的风致响应，并在此基础上给出了背景、共振和交叉项等效静风荷载的计算方法，赋予各分量以明确的物理意义。
以国内最大跨度弦支穹顶屋盖结构的济南奥体馆为例，采用一致耦合方法以及改进的三分量方法进行风致响应和等效静风荷载计算，通过与全模态CQC计算结果的对比分析，揭示了结构风致响应中背景、共振和耦合分量的参与机理，以及等效静风荷载和风振系数的分布规律，验证了本文方法的高精度和有效性，为此类结构风振响应和等效静风荷载的精确求解和机理研究提供了新的思路。
清晰、简单易用、并且物理意义更加明确。
为了更好地阐述本文方法的理论基础，下一小节给出耦合和共振恢复力协方差矩阵的推导过程。
第2期柯世堂，等：济南奥体馆屋盖结构风振响应和等效静力风荷载振动工程学报第26卷12弹性恢复力协方差
响应Ri的对应的共振等效静风荷载为PeRi=gCppIiTσRi，r （19）综上可知，采用这一思路可以求解背景、耦合分量的风致响应和等效静风荷载。
需要注意的一点是，由式（17）求解的耦合响应协方差矩阵中的元素可能会出现负数的情况，分析其原因：元素为正时说明忽略耦合分量会低估结构的响应，为负时说明忽略耦合分量会高估结构的响应。
在代入到公式（18）求解耦合响应时一律按正值代入，但在组合时必须要考虑其正负影响。
14总风致响应和ESWL的组合
风洞试验模型几何缩尺比为1∶200，所处B类地貌，平均风剖面指
数α=016，模型顶部紊流度约为12%。
试验在同济大学TJ2风洞进行，采用美国Scanivalve扫描阀公司的*****电子压力扫描阀系统对模型表面测点同步测压，样本点数为6 000，采样频率为3125 Hz。
在结构屋面及墙面共布置了1 408个测点，以获得该测点处内外表面的静压力。
22风振响应及等效静风荷载
图3给出了结构前20阶自振频率的分布情况，可以看出结构的自振频率较低，在166到20Hz频率之间存在20阶频率，其低频模态分布十分密集，说明结构风振响应计算时不能忽略各模态之间的耦合效应。
计算时取10 m高的基本风速为283 m/s，阻尼比为002，峰值因子统一采用35。
图4给出了该弦支穹顶结构中心节点的位移响应功率谱密度函数图，从图中可以看出，该节点的风振响应中第1阶模态激发共振效应的能量并不是最大，而是由后面某一阶模态激发的共振效应最为显著，并且总风振响应是由多个模态激发的共振效应和准静力效应组合而成，且准静力效应贡献的背景分量不可忽略，但从响应功率谱图中无法直接观察图3结构固有发布图
背景和共振之间的交叉项所占比重的影响，需要进一步分析。
采用本文提出的CCM方法、改进的三分量方法（即考虑了共振模态之间的耦合效应）以及基于不同模态数目的CQC方法（理论意义上的精确解）对结构进行频域计算，提取几个典型节点的响应根方差。
表1给出了这3种方法计算的结果。
可以发现：（1）对于弦支穹顶这类大跨屋盖结构，必须考虑多阶模态
的贡献，应具体分析后确定参振模态数目，通过逐渐增加计算模态数并和精确解的计算结果对比确定该结构风振分析采用120阶即可；（2）采用改进的3分量方法的计算结果对于弦支穹顶结构的风振响应来说误差较大，其中最大误差达到1699%，说明忽略背景和共振模态之间的耦合分量对于该结构来说偏于危险，需要引起重视；（3）本文的CCM法计算结果和精确解的结果吻合的较好，最大误差值仅为461%，绝对平均误差小于2%，说明本文方法具有较高的精度；（4）节点位移风振系数在不同区域数值波动较大，大致16到30之间取值，在设计时不应取一定值，可采用分区取值或采用静力等效风荷载。
3结束语
笔者简要地讨论了弦支穹顶屋盖结构风振响应和等效静风荷载分布特征，及如何解决求解时共振模态之间的耦合效应、背景和共振之间的交叉项问题。
从随机振动理论出发，推导出用于补偿共振与背景间耦合分量的一致耦合法。
并将其用于济南奥体馆弦支穹顶屋盖的风致响应及等效静风荷载分析，验证了CCM法相比传统的三分量方法可以更加精确地求解结构的背景、共振及交叉项响应，并赋予等效静风荷载以更明确的物理意义。
分析结果表明，对于弦支穹顶屋盖结构，不仅要考虑各共振模态之间的耦合效应，背景和共振之间交叉项同样不能忽略，而本文的CCM方法可以很好的解决这一问题。