2-2极限(3)

m>n m=n m<n
∞ an bm ≠ 0 ) ( ∞
注意 涉及无穷大的极限问题 ( ±∞ ) + ( ±∞ ) ( ±∞ ) − ( ±∞ ) ∞⋅∞ ∞ = ∞ 有界量即可 A+ ∞ + ∞ 肯定型） （肯定型） A A ⋅ ∞ ( A ≠ 0) 极限存在 0 ln x 2 lim lim lim =∞ 例 x → 0+ ln x = −∞ ⇒ x → 0 ( x + ln x ) = ∞ , x → 0
存在 可推广至有限个的情形 ，则
★由lim C = C，可得 lim C f ( x ) = C lim f ( x ) n n lim f x ★ lim f ( x ) = lim f ( x )
证明： 利用极限基本定理． 证明： 利用极限基本定理．
x → x0
lim α ( x ) = lim β ( x ) = 0
x → x0
x → x0
lim α ( x ) + β ( x ) = 0
注意
无限多个无穷小的和未必是无穷小. 无限多个无穷小的和未必是无穷小.
定理2: 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小
除非
须区别对待． 须区别对待． 【例7】 lim x →∞
lim
2 x arctan x x + ( arctan x )
→∞
ln G ， ∀ G > 0 ，若使 | q |> G， 得 n > ln | q | ln G 取 N= ． 则当n > N时, 成立 | q n |> G． ln | q | lim q n = ∞． 说明数列 {q n } 发散． 发散． 即
【证明】 证明】
n
n→ ∞
数列为 1, 1, 1, L ,1, L 显然收敛于 1． 说明 q = 1 时， q = −1 时， 数列为 − 1, 1, − 1, 1, L ,−1, 1, L 发散 .
→
+ +
不定型
x
x−3 【例4】求 y = 2 的渐近线. 的渐近线. x −9 【解】 x−3 lim 2 y = 0 为水平渐近线． 为水平渐近线． = 0, x→∞ x − 9
x−3 1 lim 2 = , x→3 x − 9 6 x − 3 = ∞, lim x→ − 3 x 2 − 9
x = －3 为垂直渐近线． 为垂直渐近线．
无穷小
⇒ f ( x ) ± g ( x ) → A ± B, f ( x ) g ( x ) → AB
思考： 思考： 对极限 lim ( f ( x ) + g ( x ) ) 若lim f ( x ) , lim g ( x ) 都存在， 都存在， 则 lim ( f ( x ) + g ( x ) )必存在． 必存在． 若lim f ( x ) 存在，而 lim g ( x )不存在， 存在， 不存在， 则 lim ( f ( x ) + g ( x ) ) 必不存在． 必不存在． 若lim f ( x ) , lim g ( x ) 都不存在， 都不存在， 则 lim ( f ( x ) + g ( x ) ) 可能存在也可能不存在． 可能存在也可能不存在．
x → +∞
n→ ∞
= 0．
【例6】lim x sin 1 × x ⋅ lim sin 1 不 存 在 = lim x→0 x→0 x→0 x x =0 ＝0 注意 (有界函数与无穷小的乘积是无穷小) 有界函数与无穷小的乘积是无穷小) 内有极限或有界才为无穷小，其他情形 内有极限或有界才为无穷小， 1 arctan x x = lim 2 ＝0 x →∞ arctan x 1+ x 2⋅
公共信箱: 密码： 公共信箱 gaodshux@ 密码：abcdef
复习 1. 极限定义： 极限定义：
x → x0 , x → ∞,
x → x0
x → x0 , x → +∞ ,
+
x → x0 x → −∞
−
f ( x) → A
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x 0 + 0 ) = f ( x 0 − 0 ) = A
∧
∧ ∧
f (x)在 N ( a , δ ) 内无界． 内无界．
无穷量： 无穷量： G > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ N ( a , δ ) ⇒ f ( x ) > G ∀ 思考：当 x → 0 时，f ( x ) = 思考： 是否为无界量？ 是否为无界量？
1 1 是否为无穷大？ cos 是否为无穷大？ x x
1 1 1 + 4⋅ 2 − 3⋅ 3 6x − 5x + 4x − 3 x x x = lim 【例3】lim 3 =2 x→∞ 1 1 1 x →∞ 3 x − 4 x 2 + 5 x − 6 3 − 4⋅ + 5⋅ 2 − 6⋅ 3 x x x
3 2
6 − 5⋅
2x3 + x + 1 6x3 + 4x − 3 lim 4 = 0 , lim 2 = ∞ x →∞ 3 x + x 3 + x − 6 x →∞ x + 5 x − 6 结论： 结论： n 0 an x + L + a1 x + a0 lim = an bm m x →∞ b x + L + b x + b m 1 0 ∞
| q |< 1 0 1 q=1 n ∴ lim q = ． n →∞ | q |> 1 ∞ 不 定 q = −1
【例】验证： lim e x = + ∞ . 验证：
x →+ ∞
【证】 ∀G > 0, 要使 e x > G , 只要 x > ln G .
∴ 取X = ln G
2. 极限性质：局部有界性，局部保号性． 极限性质：局部有界性，局部保号性． 3. 无穷小：极限为0的变量． 无穷小：极限为0的变量． 极限基本定理： 极限基本定理：
lim f ( x ) = A ⇔ f ( x ) = A + α ( x )
其中 limα ( x ) = 0
四、无穷小与无穷大
1. 无穷小：极限为零的变量 无穷小： 运算法质 定理1 有限个无穷小的和仍是无穷小． 定理1：有限个无穷小的和仍是无穷小．
有关结论： 有关结论：
x > X ⇒ ex > G 当
（1）无穷大的倒式是无穷小； 无穷大的倒式是无穷小； （2）非零无穷小的倒式是无穷大； 非零无穷小的倒式是无穷大； 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小的讨论. （3）无穷大与有界量之和为无穷大； 无穷大与有界量之和为无穷大； （4）无穷大与无穷大之积仍为无穷大． 无穷大与无穷大之积仍为无穷大． 注意 有界函数与无穷大的乘积不一定是无穷大. 有界函数与无穷大的乘积不一定是无穷大.
设 f (x) 在 N ( x0 , δ 1 )内有界，x → x α ( x ) = 0，则 内有界，lim
0
∧
x → x0limBiblioteka f ( x ) α ( x ) = 0
（ x → ∞ 的情形同样结论） 的情形同样结论）
1 是无穷小． 例 x → 0 时， x arctan 是无穷小． x 1 即 lim x arctan = 0 x→0 x
函数极限的定义
函数 自变量
f ( x) → A f ( x) →∞ f ( x) →+∞ f ( x) →−∞
x → x0
x → x0 + x → x0 −
x→∞
x→+∞
★ ★
x→−∞
【例1】对数列{ qn }，证明 | q | > 1 时, 有 lim q n = ∞． 】对数列{ ， n→ ∞
lim f ( x ) = A, lim g ( x ) = B
⇒ f ( x ) = A + α ( x ) , g ( x ) = B + β ( x ) , 其中α ( x ) → 0, β ( x ) → 0
⇒ f ( x ) ± g ( x ) = A ± B + (α ( x ) ± β ( x ) ) f ( x ) g ( x ) = AB + ( Aβ ( x ) + Bα ( x ) + α ( x ) β ( x ) )
注意
x → +∞
x →+∞
的充分条件， lim f ( x) = a 只是 lim f ( n) = a 的充分条件，
n→ ∞
不存在， 的敛散性． 即若 lim f ( x ) 不存在， 则不能断定a n = f (n) 的敛散性．
不存在， 例如 lim sin π x 不存在，但是 lim sin nπ
例
1 x→0 sin x 1 → x
五、极限的运算法质
1. 极限的四则运算
lim x ) A lim g x 定理: 定理: 设 lim f f( ( x )==A ,, lim g ((x ) = B
lim f ( x ) + g ( x ) = A + B lim f ( x ) − g ( x ) = A − B lim f ( x ) g ( x ) = AB A lim = , B≠0 g ( x) B f ( x)
y
y= 1 x
o
x
1 如图可见， 如图可见，x = 0 恰为曲线 y = 的 x 垂直渐近线． 垂直渐近线．
几何上， 几何上，若 lim f ( x ) = ∞ ，则直线 x = x0是曲线 y = f (x) 的
x → x0
垂直渐近线． 垂直渐近线．
注意 （1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆; 无穷大是变量,不能与很大的数混淆; （2）切勿将 lim f ( x ) = ∞ 认为是极限存在; 认为是极限存在; （3）无穷大量是无界变量，但是无界变量未必是无穷大量. 无穷大量是无界变量，但是无界变量未必是无穷大量. 无界量： 无界量： G > 0, ∃x1 ∈ N ( a , δ ) ⇒ f ( x1 ) > G ∀
推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论1: 常数与无穷小的乘积是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小. 推论2: 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
2. 无穷大：绝对值无限增大的变量 无穷大：
定义： 定义：设 f (x) 在 x0 的某去心邻域内有定义，若 的某去心邻域内有定义， 心邻域内有定义
x2 − 1 【例1】 lim 3 x →1 x − 1
0 极限存在与否不确定 0
x +1 2 = lim 2 = 去零因子） x →1 x + x + 1 3 （去零因子）
3 1 lim − 3 【例2】→−1 x x +1 x +1
12 − x−2 3 x lim = = lim − lim = ∞−∞ = 0 x →−1 x + 1 3 x →−1 x 3 + 1 x →−1 x +1 x−2 = lim 2 x →−1 x − x + 1 = −1
1 >G x
若无穷大 f (x) 在自变量的趋限过程中只取正值(或负值), 在自变量的趋限过程中只取正值(或负值), 则称f 为正（或负）无穷大． 则称f (x) 为正（或负）无穷大．记作
lim f ( x ) = + ∞ or lim f ( x ) = − ∞
1 1 1 1 对 f ( x ) = ，有 lim = + ∞ , lim = − ∞ 而 lim = ∞ x→0 x x → 0+ x x → 0− x x
∀G > 0, ∃δ > 0, 当 0 < x − x0 < δ ⇒ f ( x ) > G
则称函数f 则称函数f (x)为 x → x0 时的无穷大(量)，记作 lim f ( x ) = ∞ 时的无穷大 无穷大(
x → x0
1 验证 lim = ∞ x →0 x 1 > G 只需 x < 1 ∀G > 0, 要 x G 1 ∴ 取δ = , 则当 0 < x < δ 时，恒有 G
1 1 1 【例5】 lim + +L+ n→ ∞ 1 ⋅ 2 2⋅3 n ⋅ ( n + 1)
1 1 1 1 1 = lim 1 − + − + L + − n→ ∞ 2 2 3 n n+1 1 = lim 1 − = 1． n→ ∞ n+1