2019高考数学一轮复习 第9章 平面解析几何 第5讲 椭圆 第1课时分层演练 文

第5讲 椭圆 第1课时
一、选择题
1．椭圆x 2m ＋y 2
4
＝1的焦距为2，则m 的值是( )
A ．6或9
B ．5
C ．1或9
D ．3或5
解析：选D ．由题意，得c ＝1， 当椭圆的焦点在x 轴上时， 由m －4＝1，解得m ＝5； 当椭圆的点在y 轴上时， 由4－m ＝1，解得m ＝3， 所以m 的值是3或5，故选D ．
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b ，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半
径的圆与直线x －y ＋6＝0 )
．x 2＋y 2B ．x 212＋y 2
9＝1 D ．x 26＋y 2
4
＝1
e 2＝c 2a 2＝a 2－b 2a 2＝14，即a 2
＝43
b 2．以原点为圆心，
2
＋y 2
＝b 2
，由题意可知b ＝62
＝3，所以a 2＝4，b
2
C ． 3．设椭圆4＋3＝1的焦点为F 1，F 2，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2是直角三角形，则△PF 1F 2
的面积为( )
A ．3
B ．3或3
2
C ．32
D ．6或3
解析：选C ．由已知a ＝2，b ＝3，c ＝1，则点P 为短轴顶点(0，3)时，∠F 1PF 2＝π
3
，
△PF 1F 2是正三角形，若△PF 1F 2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P ，只能是焦点F 1(或
F 2)为直角顶点，此时|PF 1|＝b 2a ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫或|PF 2|＝b 2a ，S △PF 1F 2＝12·b 2
a ·2c ＝
b 2
c a ＝3
2
．故选C ．
4．已知F 是椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的左焦点，A 为右顶点，P 是椭圆上一点，PF ⊥x 轴，
|PF |＝1
4
|AF |，则该椭圆的离心率是( )
A ．14
B ．34
C ．12
D ．
32
解析：选B ．由题可知点P 的横坐标是－c ，代入椭圆方程，有c 2a 2＋y 2b 2＝又
|PF |＝14|AF |，即b 2
a ＝14(a ＋c )，化简得4c 2＋ac －3a 2＝0，即4e 2
＋e －3＝0，解得e ＝34或e
＝－1(舍去)．
5．如图，椭圆x 2a 2＋y 2
2
＝1(a >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，P 点在椭圆上，若 |PF 1|＝4，
∠F 1PF 2＝120°，则a 的值为( )
B ．3 D ．5
|F 1F 2|＝2a 2
－2，又|PF 1|＝4，|PF 1|＋|PF 2|＝2a ，|°＝42
＋（2a －4）2
－（2a 2
－2）2
2×4×（2a －4）＝－1
2，化简得8a
2的直线与椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原
点，则△OAB 的面积为( )
A ．43
B ．53
C ．54
D ．103
解析：选B ．由题意知椭圆的右焦点F 的坐标为(1，0)，则直线AB 的方程为y ＝2x －2．联
立⎩⎪⎨⎪⎧x 25＋y 2
4＝1，y ＝2x －2，
解得交点A (0，－2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫53，43，所以S △OAB ＝12·|OF |·|y A －y B |＝
12×1×⎪
⎪⎪⎪⎪⎪－2－43＝53，故选B ．
二、填空题
7．已知方程x 2
2－k ＋y 2
2k －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则实数k 的取值范围是
________．
解析：因为方程x 2
2－k ＋y
2
2k －1
＝1表示焦点在y 轴上的椭圆，则由⎩⎪⎨⎪⎧2－k >0，
2k －1>0，2k －1>2－k 得⎩⎪⎨⎪⎧k <2，k >12，
k >1，
故k 的取值范围为(1，2)．
答案：(1，2)
8．已知两圆C 1：(x －4)2
＋y 2
＝169，C 2：(x ＋4)2
＋y 2
＝9，动圆在圆C 1内部且和圆C 1相内切，和圆C 2相外切，则动圆圆心M 的轨迹方程为________．
解析：设圆M 的半径为r ，则|MC 1|＋|MC 2|＝(13－r )＋(3＋r )＝16>8＝|C 1C 2|， 所以M 的轨迹是以C 1，C 2为焦点的椭圆， 且2a ＝16，2c ＝8，
故所求的轨迹方程为x 264＋y 2
48＝1．
答案：x 264＋y 2
48
＝1
9．已知椭圆C 的中心在原点，一个焦点F (－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶3，则椭圆C 的方程是__________________．
解析：设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)．
由题意知⎩⎨⎧
a 2＝
b 2＋
c 2，
a ∶
b ＝2∶
3，解得a 2
＝16，b 2
＝12.c ＝2，
所以椭圆C 的方程为x 216＋y 2
12＝1．
答案：x 2
16＋y 2
12
＝1
10．如图，焦点在x 轴上的椭圆x 24＋y 2b 2＝1的离心率e ＝1
2
，F ，A 分别是椭圆的一个焦点
和顶点，P 是椭圆上任意一点，则PF →·PA →
的最大值为________．
解析：设P 点坐标为(x 0，y 0)．由题意知a ＝2，
因为e ＝c a ＝12
，所以c ＝1，b 2＝a 2－c 2
＝3．
故所求椭圆方程为x 24＋y 2
3＝1．
所以－2≤x 0≤2，－3≤y 0≤3． 因为F (－1，0)，A (2，0)， PF →
＝(－1－x 0，－y 0)，PA →
＝(2－x 0，－y 0)，
所以PF →·PA →＝x 20－x 0－2＋y 2
0＝14x 20－x 0＋1
＝14
(x 0－2)2
． 即当x 0＝－2时，PF →·PA →
取得最大值4． 答案：4 三、解答题
11．已知椭圆C ：x 2
＋2y 2
＝4． (1)求椭圆C 的离心率．
(2)设O 为原点．若点A 在直线y ＝2上，点B 在椭圆C 上，且OA ⊥OB ，求线段AB 长度
的最小值．
解：(1)由题意，椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
2＝1．
所以a 2
＝4，b 2
＝2，从而c 2
＝a 2
－b 2
＝2． 因此a ＝2，c ＝2． 故椭圆C 的离心率e ＝c a ＝
22
． (2)设点A ，B 的坐标分别为(t ，2)，(x 0，y 0)，其中x 0≠0． 因为OA ⊥OB ，所以OA →·OB →
＝0， 即tx 0＋2y 0＝0，
解得t ＝－2y 0x 0
．又x 20＋2y 20＝4，所以|AB |2＝(x 0－t )2＋(y 0－2)2＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫x 0＋2y 0x 02＋(y 0－2)2
＝x 2
＋y 20
＋4y 20x 20＋4＝x 20＋4－x 202＋2（4－x 20）x 2
0＋4＝x 2
02＋8x 20
＋4(0<x 2
0≤4)． 因为x 20
2＋8x 20≥4(0<x 2
0≤4)，
当且仅当x 2
0＝4时等号成立， 所以|AB |2≥8．
故线段AB 长度的最小值为22．
12．(2018·陕西质量检测)已知椭圆与抛物线y 2
＝42x 有一个相同的焦点，且该椭圆的离心率为
22
． (1)求椭圆的标准方程；
(2)过点P (0，1)的直线与该椭圆交于A ，B 两点，O 为坐标原点，若AP →＝2PB →
，求△AOB 的面积．
解：(1)依题意，设椭圆的标准方程为
x 2a 2＋y 2
b 2
＝1(a >b >0)， 由题意可得c ＝2，又e ＝c
a ＝2
2
，所以a ＝2． 所以b 2
＝a 2
－c 2
＝2，
所以椭圆的标准方程为x 24＋y 2
2＝1．
(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，
由AP →＝2PB →
，得⎩
⎪⎨⎪⎧－x 1＝2x 21－y 1＝2（y 2－1），
验证易知直线AB 的斜率存在，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1，代入椭圆方程整理，得(2k 2＋1)x 2
＋4kx －2＝0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1·x 2＝－22k 2＋1
．
将x 1＝－2x 2代入上式可得，(4k 2k ＋1)2＝1
2k ＋1，
解得k 2
＝114
．
所以△AOB 的面积S ＝1
2|OP |·|x 1－x 2|
＝（x 1＋x 2）2－4x 1x 22＝12·28k 2
＋22k 2
＋1＝3148
．
1．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的焦距为4，且经过点P ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2，53． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 经过M (0，1)，与C 交于A ，B 两点，MA →
＝－23MB →，求直线l 的方程．
解：(1)依题意，2c ＝4，则椭圆C 的焦点为F 1(－2，0)，F 2(2，0)， 由椭圆的定义可得2a ＝|PF 1|＋|PF 2| ＝
（2＋2）2＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫532
＋（2－2）2
＋⎝ ⎛⎭
⎪⎫532
＝133＋5
3＝6，
即有a ＝3，则b 2
＝a 2
－c 2
＝5， 故椭圆C 的方程为x 29＋y 2
5
＝1．
(2)若l 与x 轴垂直，则l 的方程为x ＝0，
A ，
B 为椭圆短轴的两个端点，不符合题意．
若l 与x 轴不垂直，设l 的方程为y ＝kx ＋1，
由⎩⎪⎨⎪⎧x 29＋y 2
5＝1，y ＝kx ＋1
得(9k 2＋5)x 2＋18kx －36＝0． Δ>0，
y 2－1)
⎝⎭⎪⎫－9k 2＋5＝9k 2＋5
，解得k ＝±13，故直线l 的方程为y ＝13x ＋1或y ＝－1
3
x ＋1．
2．(2018·揭阳一中期末)已知椭圆E ：x 2a ＋y 2b ＝1(a >b >0)的离心率为2
2
，右焦点为F (1，
0)．
(1)求椭圆E 的标准方程；
(2)设点O 为坐标原点，过点F 作直线l 与椭圆E 交于M ，N 两点，若OM ⊥ON ，求直线l
的方程．
解：(1)依题意可得⎩⎪⎨⎪⎧1a ＝22，
a 2＝
b 2＋1，
解得a ＝2，b ＝1，
所以椭圆E 的标准方程为x 2
2＋y 2
＝1．
(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，
①当MN 垂直于x 轴时，直线l 的方程为x ＝1，不符合题意； ②当MN 不垂直于x 轴时，设直线l 的方程为
y ＝k (x －1)．
联立得方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2
2＋y 2＝1，
y ＝k （x －1），
消去y ，整理得(1＋2k 2
)x 2
－4k 2
x ＋2(k 2
－1)＝0， 所以x 1＋x 2＝4k 2
1＋2k 2，x 1x 2＝2（k 2
－1）
1＋2k 2
． 所以y 1y 2＝k 2
[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－k
2
1＋2k
2．
因为OM ⊥ON ， 所以OM →·ON →
＝0，
所以x 1x 2＋y 1y 2＝k 2－2
1＋2k
2＝0，
所以k ＝±2，
即直线l 的方程为y ＝±2(x －1)．。