弧度制和角度制转化练习和答案

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课时作业2弧度制和弧度制与角度制的换算时间:45分钟满分:100分
一、选择题(每小题6分,共计36分)
1.与-13π
3
终边相同的角的集合是( )
A.{π
3
} B.{

3
}
C.{α|α=2kπ+π
3
,k∈Z} D.{α|α=2kπ+
5
3
π,k∈Z}
解析:与-13
3
π终边相同的角α=2kπ-
13
3
π,k∈Z,
∴α=(2k-6)π+6π-13
3
π=2(k-3)π+
5
3
π(k∈Z).
答案:D
2.终边经过点(a,a)(a≠0)的角α的集合是( )
A.{π
4
} B.{
π
4


4
}
C.{α|α=π
4
+2kπ,k∈Z} D.{α|α=
π
4
+kπ,k∈Z}
解析:分a>0和a<0两种情形讨论分析.当a>0时,点(a,a)在第一
象限,此类角可记作{α|α=2kπ+π
4
,k∈Z};当a<0时,点(a,a)在第
三象限,此类角可记作{α|α=2kπ+5
4
π,k∈Z},∴角α的集合为{α|α
=kπ+π
4
,k∈Z}.
答案:D
3.在直径为4cm的圆中,36°的圆心角所对的弧长是( )
A.4π
5
cm B.

5
cm
C.π
3
cm D.
π
2
cm
解析:利用弧长公式l=αr,α=36°=36×π
180

π
5
,r=2cm,
∴l=π
5
×2=

5
(cm).
答案:B
4.若集合A={x|x=kπ
2

π
4
,k∈Z},B={x|-2≤x≤1},则A∩B=
( )
A.{-3π
4
,-
π
4

π
4
} B.{-
π
4

π
4
}
C.{-5π
4
,-

4
,-
π
4
} D.{-
π
4

π
4


4
}
解析:集合A中的元素为:…-5
4
π,-
3
4
π,-
π
4

π
4

3
4
π……,且
-3
4
π<-2,
3
4
π>1,故应选 B.
答案:B
5.一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为( ) A.1 B.
1
2
C.
π
6


6
D.
π
3


3
解析:将该弦记为弦AB,设该弦所对的圆周角为α,则其圆心角∠AOB
=2α或2π-2α,由于弦AB等于半径,所以∠AOB=π
3
,可得2α=
π
3

2π-2α=π
3
,解得α=
π
6
或α=

6
.
答案:C
6.蒸汽机飞轮的半径为 1.2米,以300周/分钟的速度按照逆时针方向旋转,则飞轮每秒转过的弧度数和轮沿上任一点每秒所转过的弧长分别
是( )
A.5π rad和10π米B.10π rad和10π米
C.10π rad和12π米D.5π rad和12π米
解析:由题意知飞轮每分转300周,则每秒转5周,所以飞轮每秒转过2π×5=10π(rad).由飞轮半径为 1.2米,得轮沿上任一点每秒转过的弧长l=10π×1.2=12π(米).故选 C.
答案:C
二、填空题(每小题8分,共计24分)
7.已知角α的终边与π
3
的终边相同,在[0,2π)内终边与
α
3
角的终边
相同的角为______________.
解析:由题意得α=2kπ+π
3
,(k∈Z),
故α
3

2kπ
3

π
9
(k∈Z),又∵0≤
α
3
<2π,
所以当k=0、1、2时有α
3

π
9

7
9
π,
13
9
π满足.
答案:π
9

7
9
π,
13
9
π
8.圆的半径变为原来的3倍,而所对的弧长不变,则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的________倍.
解析:设原来圆的半径R,弧长为l,圆心角为θ,变化后圆的半径为
3R,圆心角为θ′,则θ′=l
3R

1
3
θ,∴该弧所对圆心角是原来圆弧所
对圆心角的1 3 .
答案:1 3
9.已知扇形的周长是 6 cm,面积为 2 cm2,则扇形的圆心角的弧度数是________.
解析:设圆心角为α,半径为r,弧长为l,
则l+2r=6,
1
2
lr=2,
解得r=1,l=4或r=2,l=2,
∴α=l
r
=1或4.
答案:1或4
三、解答题(共计40分,其中10题10分,11、12题各15分)
10.已知α=15°,β=π
10
,γ=1,θ=105°,φ=

12
,试比较
α,β,γ,θ,φ的大小.
解:α=15°=15×π
180

π
12
,θ=105°=105×
π
180


12
.
显然π
12
<
π
10
<1<

12
,故α<β<γ<θ=φ.
11.已知扇形周长为20,当扇形的圆心角为多大时它有最大面积?解:设扇形的圆心角为α,半径为r,弧长为l,则由扇形的周长为
20得l=20-2r.所以S扇=1
2
lr=
1
2
(20-2r)·r=(10-r)·r=-(r-5)2
+25.由l>0知0<r<10,所以r=5时,面积S取最大值.此时,α=l
r

10
5
=2(弧度).
∴当扇形的圆心角为2弧度时,扇形面积最大.
12.如图,用弧度表示顶点在原点,始边重合于x轴的非负半轴,终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界).
解:(1)如图①中以OB为终边的角330°,可看成-30°,化为弧度,
即-π
6
,而75°=75×
π
180


12

∴{θ|2kπ-
π
6
<θ<2kπ+

12
,k∈Z}.(2)如图②,∵30°=
π
6
,210°=

6

∴{θ|2kπ+
π
6
<θ<2kπ+
π
2
,k∈Z}∪
{θ|2kπ+

6
<θ<2kπ+

2
,k∈Z}
={θ|2kπ+
π
6
<θ<2kπ+
π
2
,k∈Z}∪
{θ|(2k+1)π+
π
6
<θ<(2k+1)π+
π
2
,k∈Z}={θ|kπ+
π
6
<θ<kπ+
π
2
,k∈Z}.。

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