中考数学常见几何模型专题06 相似模型-母子型(共角共边模型)和A(X)字型(原卷版)

专题06 相似模型-母子型（共角共边模型）和A （X ）字型 相似三角形是初中几何中的重要的内容，常常与其它知识点结合以综合题的形式呈现，其变化很多，是中考的常考题型。

如果大家平时注重解题方法，熟练掌握基本解题模型，再遇到相似三角形的问题就信心更足了．本专题重点讲解相似三角形的母子模型与A （X ）字模型．
模型1.“母子”模型(共边角模型)
【模型解读与图示】“母子”模型的图形（通常有一个公共顶点和另外一个不是公共的顶点，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀），也是有一个“公共角”，再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．“双垂线”型是其特例。

“ 母子”模型（斜射影） 双垂直（射影定理） “母子型”的变形
斜射影结论：
△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC .
双垂直结论：
①△ABD ∽△ACB ，AB 2＝AD ·AC ；②△ADC ∽△ACB ，AC 2＝AD ·AB ；③△CDB ∽△ACB ，CB 2＝BD ·BA . 1．（2022·贵州贵阳·中考真题）如图，在ABC 中，D 是AB 边上的点，B ACD ∠=∠，:1:2AC AB =，则ADC 与ACB △的周长比是（ ）
A ．
B ．1:2
C ．1:3
D ．1:4
2．（2022·陕西汉中·九年级期末）如图，CD 是等腰直角ABC 斜边AB 的中线，以点D 为顶点的EDF ∠绕点D 旋转，角的两边分别与AC 、BC 的延长线相交，交点分别为点E 、F ，DF 与AE 交于点M ，DE 与BC
交于点N ，且45EDF ∠=︒．(1)如图1，若CE CF =，求证：DE DF =；
(2)如图2，若CE CF ≠，求证：2CD CE CF =⋅；
(3)如图2，过D 作DG BC ⊥于点G ，若2CD =，CF =DN 的长．
3．（2022·浙江绍兴·九年级期末）如果两个相似三角形的对应边存在2倍关系，则称这两个相似三角形互为母子三角形．（1）如果DEF 与ABC 互为母子三角形，则DE AB
的值可能为（ ） A ．2 B ．12 C ．2或1
2
（2）已知：如图1，ABC 中，AD 是BAC ∠的角平分线，2,AB AD ADE B =∠=∠．
求证：ABD △与ADE 互为母子三角形．
（3）如图2，ABC 中，AD 是中线，过射线CA 上点E 作//EG BC ，交射线DA 于点G ，连结BE ，射线BE 与射线DA 交于点F ，若AGE 与ADC 互为母子三角形．求AG GF 的值．
4．（2022.浙江中考模拟）如图，在ABC 中，∠ACB ＝90°，CD∠AB ．
（1）图1中共有 对相似三角形，写出来分别为 （不需证明）：
（2）已知AB ＝5，AC ＝4，请你求出CD 的长：
（3）在（2）的情况下，如果以AB 为x 轴，CD 为y 轴，点D 为坐标原点O ，建立直角坐标系（如图2），若点P 从C 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段CB 运动，点Q 出B 点出发，以每秒1个单位的速度沿线段BA 运动，其中一点最先到达线段的端点时，两点即刻同时停止运动；设运动时间为t 秒是否存在点P ，
使以点B、P、Q为顶点的三角形与∠ABC相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
模型2. “A”字模型
【模型解读与图示】
“A”字模型图形（通常只有一个公共顶点）的两个三角形有一个“公共角”（是对应角），再有一个角相等或夹这个公共角的两边对应成比例，就可以判定这两个三角形相似．
1．（2022·湖南怀化·中考真题）如图，∠ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，若S△ADE＝2，则S△ABC＝_____．
2．（2022·浙江杭州·中考真题）如图，在ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，连接DE，EF，已
知四边形BFED是平行四边形，DE1
BC4
=．(1)若8
AB=，求线段AD的长．(2)若ADE的面积为1，求平行四
边形BFED的面积．
3．（2022·浙江宁波·中考真题）(1)如图1，在ABC 中，D ，E ，F 分别为,,AB AC BC 上的点，
,,DE BC BF CF AF =∥交DE 于点G ，求证：DG EG =．
(2)如图2，在（1）的条件下，连接,CD CG ．若,6,3⊥==CG DE CD AE ，求DE BC
的值． (3)如图3，在ABCD 中，
45,︒∠=ADC AC 与BD 交于点O ，E 为AO 上一点，EG BD ∥交AD 于点G ，⊥EF EG 交BC 于点F ．若40,︒∠=EGF FG 平分,10∠=EFC FG ，求BF 的长．
4．（2022·辽宁·中考真题）如图，在ABC 中，4AB AC BC ===，D ，
E ，
F 分别为,,AC AB BC 的中点，
连接,DE DF ．(1)如图1，求证：DF =；(2)如图2，将EDF ∠绕点D 顺时针旋转一定角度，得到PDQ ∠，当射线DP 交AB 于点G ，射线DQ 交BC 于点N 时，连接FE 并延长交射线DP 于点M ，判断FN 与EM 的数量关系，并说明理由；(3)如图3，在（2）的条件下，当DP AB ⊥时，求DN 的长．
模型3. “X”字模型（“8”模型）
【模型解读与图示】
“X”字模型图形的两个三角形有“对顶角”，再有一个角相等或夹对顶角的两边对应成比例就可以判定这两个三角形相似．
1．（2022·河北·中考真题）如图是钉板示意图，每相邻4个钉点是边长为1个单位长的小正方形顶点，钉点A，B的连线与钉点C，D的连线交于点E，则
（1）AB与CD是否垂直？______（填“是”或“否”）；（2）AE＝______．
2．（2022·四川内江·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，点M、N分别在AB、AD上，且MN∠MC，点E为CD的中点，连接BE交MC于点F．
(1)当F为BE的中点时，求证：AM＝CE；(2)若EF
BF
＝2，求
AN
ND
的值；(3)若MN∠BE，求
AN
ND
的值．
3．（2022·广西贵港·中考真题）已知：点C ，D 均在直线l 的上方，AC 与BD 都是直线l 的垂线段，且BD 在AC 的右侧，2BD AC =，AD 与BC 相交于点O ．
(1)如图1，若连接CD ，则BCD △的形状为______，AO AD
的值为______； (2)若将BD 沿直线l 平移，并以AD 为一边在直线l 的上方作等边ADE ．
①如图2，当AE 与AC 重合时，连接OE ，若32
AC =，求OE 的长； ②如图3，当60ACB ∠=︒时，连接EC 并延长交直线l 于点F ，连接OF ．求证：OF AB ⊥．
4．（2022·江苏镇江·九年级期末）梅涅劳斯（Menelaus ）是古希腊数学家，他首先证明了梅涅劳斯定理，定理的内容是：如图（1），如果一条直线与△ABC 的三边AB ，BC ，CA 或它们的延长线交于F 、D 、E 三点，那么一定有••1AF BD CE FB DC EA
=．
下面是利用相似三角形的有关知识证明该定理的部分过程：
证明：如图（2），过点A 作AG BC ∥，交DF 的延长线于点G ， 则有AF AG FB BD =，CE CD EA AG =，∠1AF BD CE AG BD CD FB DC EA BD DC AG
••=••=． 请用上述定理的证明方法解决以下问题：
(1)如图（3），△ABC 三边CB ，AB ，AC 的延长线分别交直线l 于X ，Y ，Z 三点，证明：1BX CZ AY XC ZA YB
⋅⋅=． (2)如图（4），等边△ABC 的边长为2，点D 为BC 的中点，点F 在AB 上，且2BF AF =，
CF 与AD 交于点E ，则AE 的长为________．
(3)如图（5），△ABC 的面积为2，F 为AB 中点，延长BC 至D ，使CD BC =，连接FD 交AC 于E ，则四边形BCEF 的面积为________．
课后专项训练：
1．（2022•江苏中考模拟）对于两个相似三角形，如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相同，那么称这两个三角形互为顺相似；如果沿周界按对应点顺序环绕的方向相反，那么称这两个三角形互为逆相似．例如，如图（1），∠CDE∠∠CAB，且沿周界CDEC与CABC环绕的方向（同为逆时针方向）相同，因此∠CDE和∠CAB 互为顺相似；如图（2），∠CDE∠∠CBA，且沿周界CDEC与CBAC环绕的方向相反，因此∠CDE和∠CBA互为逆相似．
（1）根据以上材料填空：
①如图（3），AB∠CD，则∠AOB∠∠COD，它们互为相似（填“顺”或“逆”，下同）；
②如图（4），Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，CD∠AB于点D，则∠ABC∠，它们互为相似；
③如图（5），若∠DAB＝∠EBC＝90°，并且BD∠CE于点F，则∠ABD∠，它们互为相似；
（2）如图（6），若∠AOB∠∠COD，指出图中另外的一对相似三角形并说明理由，同时指出它们互为顺相似还是互为逆相似；
（3）如图（7），在Rt∠ABC中，∠C＝90°，AC＝20，BC＝15，点P在∠ABC的斜边上，且AP＝16，过点P画
直线截∠ABC ，使截得的一个三角形与∠ABC 相似，则满足的截线共有 条．
2．（2022·吉林·中考真题）下面是王倩同学的作业及自主探究笔记，请认真阅读并补充完整．
【作业】如图①，直线12l l ∥，ABC 与DBC △的面积相等吗？为什么？
解：相等．理由如下：设1l 与2l 之间的距离为h ，则12ABC S BC h =⋅，12DBC S BC h =⋅△．∠ABC DBC S S =．
【探究】(1)如图②，当点D 在1l ，2l 之间时，设点A ，D 到直线2l 的距离分别为h ，h '，则ABC DBC S h S h ='
△△．
证明：∠ABC S
(2)如图③，当点D 在1l ，2l 之间时，连接AD 并延长交2l 于点M ，则ABC DBC S AM S DM
=△△．
证明：过点A 作AE BM ⊥，垂足为E ，过点D 作DF BM ⊥，垂足为F ，则90AEM DFM ∠=∠=︒， ∠AE ∥ ．
∠AEM △∽ ．
∠AE AM DF DM
=． 由【探究】（1）可知
ABC DBC S S =△△ ，∠ABC DBC S AM S DM =△△． (3)如图④，当点D 在2l 下方时，连接AD 交2l 于点E ．若点A ，E ，D 所对应的刻度值分别为5，1.5，0，ABC DBC
S S △△的值为 ．
3．（2022·上海·九年级专题练习）如图，在Rt ABC ∆中，90ACB ∠=︒，60BAC ∠=︒，6AC =，AD 平分BAC ∠，交边BC 于点D ，过点D 作CA 的平行线，交边AB 于点E ． （1）求线段DE 的长；（2）取线段AD 的中点M ，联结BM ，交线段DE 于点F ，延长线段BM 交边AC 于点G ，求EF DF
的值．
4．（2022·上海市奉贤区古华中学九年级期中）已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，在边AB的延长线上截取BE＝AB，点F在AE的延长线上，CE和DF交于点M，BC和DF交于点N，联结BD．
（1）求证：△BND△△CNM；（2）如果AD2＝AB•AF，求证：CM•AB＝DM•CN．
5．（2022•安庆模拟）在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．
（1）如图①，若四边形ABCD为矩形，过点O作OE⊥BC，求证：OE＝CD．
（2）如图②，若AB∥CD，过点O作EF∥AB分别交BC、AD于点E、F．求证：＝2．
（3）如图③，若OC平分∠AOB，D、E分别为OA、OB上的点，DE交OC于点M，作MN∥OB交OA于一点N，若OD＝8，OE＝6，直接写出线段MN长度．
6．（2022•重庆中考模拟）问题提出：如图1，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，DB ＝b ，AE ＝c ，EC ＝d ，则S ∠ADE ，S ∠ABC 和a ，b ，c ，d 之间会有怎样的数量关系呢？
问题解决：探究一：（1）看到这个问题后，我们可以考虑先从特例入手，找出其中的规律．如图2，若DE ∠BC ，则∠ADE ＝∠B ，且∠A ＝∠A ，所以∠ADE ∠∠ABC ，可得比例式：a c
a b c d
=++而根据相似三角形面积之比等于相似比的平方．可得
()
2
2
ADE ABC
S a S
a b =
+．根据上述这两个式子，可以推出：
()
()()
2
2
ADE ABC
S a a a a c ac S
a b a b a b c d a b c d a b =
=
⋅=⋅=+++++++． （2）如图
3，若∠ADE ＝∠C ，上述结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；着不成立，请说明理由． 探究二：回到最初的问题，若图1中没有相似的条件，是否仍存在结论：
()()ADE ABC
S
ac
S
a b c d =
++？方法回顾：
两个三角形面积之比，不仅可以在相似的条件下求得，当两个三角形的底成高具有一定的关系时，也可以
解决．如图4，D 在∠ABC 的边上，做AH ∠BC 于H ，可得：
1
212
ABD ADC
BD AH
S BD S
DC DC AH ⋅==⋅．借用这个结论，请你
解决最初的问题．
延伸探究：（1）如图5，D 、E 分别在∠ABC 的边AB 、AC 反向延长线上，连接DE ，已知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，则
ADE ABC
S
S
= ．（2）如图6，E 在∠ABC 的边AC 上，D 在AB 反向延长线上，连接DE ，已
知线段AD ＝a ，AB ＝b ，AE ＝c ，AC ＝d ，
ADE ABC
S
S
= ．
结论应用：如图7，在平行四边形ABCD 中，G 是BC 边上的中点，延长GA 到E ，连接DE 交BA 的延长线于F ，若AB ＝5，AG ＝4，AE ＝2，∠ABCD 的面积为30，则∠AEF 的面积是 ．
7．（2022·贵州铜仁·中考真题）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，记COD △的面积为1S ，AOB 的面积为2S ．（1）问题解决：如图①，若AB //CD ，求证：
12⋅=⋅S OC OD
S OA OB
（2）探索推广：如图②，若AB 与CD 不平行，（1）中的结论是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．（3）拓展应用：如图③，在OA 上取一点E ，使OE OC =，过点E 作EF CD ∥交OD 于点F ，点H 为AB 的中点，OH 交EF 于点G ，且2=OG GH ，若
5
6
=
OE OA ，求12S S 值．
8．（2022·湖北随州·九年级期末）请阅读下列材料，并完成相应的任务．
梅涅劳斯（Menelaus ）是公元一世纪时的希腊数学家兼天文学家，著有几何学和三角学方面的许多书籍．梅涅劳斯发现，三角形各边（或其延长线）被一条不过任何一个顶点也不与任何一条边平行的直线所截，这条直线可能与三角形的两条边相交（一定还会与一条边的延长线相交），也可能与三条边都不相交（与三条边的延长线都相交）．他进行了深入研究并证明了著名的梅涅劳斯定理（简称梅氏定理）： 设D ，E ，F 依次是∠ABC 的三边AB ，BC ，CA 或其延长线上的点，且这三点共线，则满足1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=． 这个定理的证明步骤如下：
情况①：如图1，直线DE 交∠ABC 的边AB 于点D ，交边AC 于点F ，交边BC 的延长线与点E ． 过点C 作CM ∠DE 交AB 于点M ，则BE BD EC DM =，AD AF
DM FC
=（依据）， ∠
BE AD EC DM ⋅＝BD AF
DM FC
⋅， ∠BE •AD •FC ＝BD •AF •EC ，即
1AD BE CF
DB EC FA
⋅⋅=．
情况②：如图2，直线DE 分别交∠ABC 的边BA ，BC ，CA 的延长线于点D ，E ，F ． …
（1）情况①中的依据指： ； （2）请你根据情况①的证明思路完成情况②的证明；
（3）如图3，D ，F 分别是∠ABC 的边AB ，AC 上的点，且AD :DB ＝CF :F A ＝2:3，连接DF 并延长，交BC 的延长线于点E ，那么BE :CE ＝ ．
9.（2022长宁一模）已知, 在 △ABC 中,
5,8AB AC BC ===, 点 E 是射线 CA 上的动点, 点 O 是
边 BC 上的动点，且 OC OE =, 射线 OE 交射线 BA 于点 D ．
（1）如图 1, 如果 2OC =, 求 S △ADE
S
△ODB
的值；
（2）联结AO , 如果 AEO △ 是以AE 为腰的等腰三角形，求线段OC 的长； （3）当点E 在边AC 上时, 联结,BE CD DBE CDO ∠∠=、, 求线段OC 的长．
10.（2022松江中考模拟）如图，已知在△ABC 中，BC ＞AB ，BD 平分△ABC ，交边AC 于点D ，E 是BC 边上一点，且BE ＝BA ，过点A 作AG △DE ，分别交BD 、BC 于点F 、G ，联结FE ．（1）求证：四边形AFED 是菱形；（2）求证：AB 2＝BG •BC ；（3）若AB ＝AC ，BG ＝CE ，联结AE ，求
ADE
ABC
S S ∆∆的值．
11．（2022•静安区期末）如图1，四边形ABCD中，△BAD的平分线AE交边BC于点E，已知AB＝9，AE ＝6，AE2＝AB•AD，且DC△AE．（1）求证：DE2＝AE•DC；（2）如果BE＝9，求四边形ABCD的面积；（3）如图2，延长AD、BC交于点F，设BE＝x，EF＝y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．
12．（2022·浙江·九年级单元测试）如图，在Rt∠ABC中，∠ACB＝90°，点D在AB上，且AD
AC
＝
AC
AB
．
（1）求证∠ACD∠∠ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的长．
13．（2021·广西百色·中考真题）如图，∠ABC中，AB＝AC，∠B＝72°，∠ACB的平分线CD交AB于点D，则点D是线段AB的黄金分割点．若AC＝2，则BD＝______．
14．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在ABC 与A B C '''中，点D 、D 分别在边BC 、B C ''上，且
ACD A C D '''∽△△，若___________，则ABD A B D '''△∽△．请从①
BD B D CD C D ''=''；②AB A B CD C D ''
=''
；③BAD B A D '''∠=∠这三个选项中选择一个作为条件（写序号）
，并加以证明．。