2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版

2022版高考数学一轮复习第5章数列第1节数列的概念与简单表示法教学案理北师大版
第一节数列的概念与简单表示法
[考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图像、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．
1．数列的有关概念概念数列数列的项数列的通项通项公式前n项和2.数列的表示方法数列有三种表示法，它们分别是列表法、图像法和解析法．3．an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn，则an＝
S1，n＝1，
含义按照一定顺序排列的一列数数列中的每一个数数列{an}的第n项an数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n 项和Sn－Sn－1，n≥2.
4．数列的分分类标准项数类型有穷数列无穷数列递增数列项与项间的大小关系[常用结论]an≥an－1，
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用
an≥an＋1.an≤an－1，
或
an≤an＋1
满足条件项数有限项数无限an＋1＞anan＋1＜anan＋1＝an其中
n∈N某递减数列常数列
(n≥2，n∈N)
某
(n≥2，n∈N)求解，也可以转化为函数的最值问题或利用数形结合思想求解．
[基础自测]
某
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“某”)(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．(2)一个数列中的数是不可以重复的．(3)所有数列的第n项都能使用公式表达．
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．[答案](1)某(2)某(3)某(4)√111
2．已知数列，，，…，1某22某33某4nA.
n＋
，…，下列各数中是此数列中的项的是()
()()()()
1111
B．C.D．35424854
nn＋
2
B[该数列的通项an＝，结合选项可知B正确．]
3．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为
()A．15B．16C．49D．64A[a8＝S8－S7＝8－7＝15.故选A.]4．(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋3582A.B．C.D．2353D[∵a1＝1，∴a2＝1＋
－
2
2
2
－
nan－1
(n≥2)，则a5等于()
a1
＝1＋1＝2；
a3＝1－＝1－＝；
a222a4＝1＋＝1＋2＝3；a3a5＝1－＝1－＝.]
a433
5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式an＝________.
2
111
5n－4[{an}是以1为首项，5为公差的等差数列，∴an＝1＋(n－1)某5＝5n－4.]
由an与Sn的关系求通项公式
122
1．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n＋n＋3，则数列{an}的通项公式an＝________.
4347
12，n＝1152n＋12，n≥2
1247
[当n＝1时，a1＝S1＝＋＋3＝.
4312
又当n≥2时，an＝Sn－Sn－11221n－
＝n＋n＋3－43415＝n＋.212
4712，n＝1，∴a＝15
n＋212，n≥2.
n2
2
＋n－3
＋3
]
21
2．若数列{an}的前n项和Sn＝an＋，则{an}的通项公式an＝________.
33(－2)
n－1
21
[由Sn＝an＋得
33
21
当n≥2时，Sn－1＝an－1＋，
331212
∴an＝Sn－Sn－1＝an＋－an－1＋
333322
＝an－an－1.33
即an＝－2an－1，(n≥2)．21
又a1＝S1＝a1＋，∴a1＝1.
33
∴数列{an}是以首项为1，公比为－2的等比数列，∴an＝(－2) n－1
.]
2
3．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝3n－2n＋1，求an.[解]设a1＋2a2＋3a3＋4a4＋…＋nan＝Tn，当n＝1时，a1＝T1＝3某1－2某1＋1＝2，当n≥2时，
2
nan＝Tn－Tn－1
＝3n－2n＋1－[3(n－1)－2(n－1)＋1]＝6n－5，
2
2
6n－5
因此an＝，
n显然当n＝1时，不满足上式．2，n＝1，
故数列的通项公式为an＝6n－5
，n≥2.n[规律方法]已知Sn求an的三个步骤(1)先利用a1＝S1求出a1.(2)用n－1替换Sn中的n得出Sn－1，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式．(3)看a1是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应写成分段的形式．易错警示：利用an＝Sn－Sn－1求通项时，应注意n≥2这一前提条件，易忽视验证n＝1致误．由递推关系式求数列的通项公式【例1】分别求出满足下列条件的数列的通项公式．(1)a1＝2，an＋1＝an＋3n＋2(n∈N)；(2)a1＝1，an＝
某
nn－1
an－1(n≥2，n∈N某)；
某
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2(n∈N)．[解](1)∵an＋1－an＝3n＋2，∴an－an－1＝3n－1(n≥2)，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝
nn＋
2
(n≥2)．
当n＝1时，a1＝某(3某1＋1)＝2符合公式，
232n∴an＝n＋.22(2)当n≥2，n∈N时，
某
a2a3anan＝a1某某某…某a1a2an－1
23n－2n－1n＝1某某某…某某某＝n，
12n－3n－2n－1当n＝1时，也符合上式，
∴该数列的通项公式为an＝n.
(3)∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，又a1＝1，∴a1＋1＝2，
故数列{an＋1}是首项为2，公比为3的等比数列，∴an＋1＝2·3
n－1
，因此an＝2·3
－1.
[规律方法]由数列的递推关系求通项公式的常用方法(1)已知a1，且an－an－1＝f(n)，可用“累加法”求an.(2)已知a1(a1≠0)，且an＝
f(n)，可用“累乘法”求an.an－1(3)已知a1，且an＋1＝qan＋b，则an ＋1＋k＝q(an＋k)(其中k可由待定系数法确定)，可转化为{an＋k}为等比数列．易错警示：本题(1)，(2)中常见的错误是忽视验证a1是否适合所求式．1(1)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln1＋，则an等于() n
A．2＋lnnC．2＋nlnn
(2)若a1＝1，an＋1＝3an＋3(1)A(2)n·3－2·3
nn－1
n＋1
B．2＋(n－1)lnnD．1＋n＋lnn
，则an＝________.
1n＋1，
[(1)∵an＋1－an＝ln1＋＝ln
n
n
23n，n≥2，
∴a2－a1＝ln，a3－a2＝ln，…，an－an－1＝ln12n－1
∴a2－a1＋a3－a2＋…＋an－an－1＝ln某某…某＝lnn，
n－112
∴an－a1＝lnnan＝2＋lnn(n≥2)．
将n＝1代入检验有a1＝2＋ln1＝2与已知符合，故an＝2＋lnn.(2)因为an＋1＝3an＋3
n＋1
，所以n＋1＝n＋1，
33
an＋1anan＋1ana11
所以n＋1－n＝1，又＝，
3333
an1
所以数列n是以为首项，1为公差的等差数列．
33
an12
所以n＝＋(n－1)＝n－，
333
所以an＝n·3－2·3数列的性质
nn－1
.]。