数学人教版八年级上册等边三角形专项强化训练题

等边三角形专题训练

一、等边三角形与角度计算专题

例题1如图，△ABC 为等边三角形，且CD=AE ，AD 与BE 相交于点P 。 （1）求∠APN 的度数；（2）探索BP 与PQ 的数量关系。

训练一

1.如图，△ABC 是等边三角形，点B 、C 、D 、E 在一条直线上，且CG=CD ，DF=DE ，则∠E= 。

2.如图，D 为等边三角形ABC 内一点，BD=DA ，BE=AB ，∠DBE=∠DBC,则∠BED 的度数为 。

3.如图，C 为线段AB 上一点，在AB 的同侧作等边△ACM 和等边△BCN ，连接AN 、BM ，若∠MBN=40°，则∠ANB 的大小是 （ ） A 60 B 65 C 70 D 80

4.（2008年广东）（1）如图4，点O 是线段AD 的中点，分别以AO 和DO 为边在线段AD 的同侧作

等边三角形OAB 和等边三角形OCD ，连结AC 和BD ，相交于点E ，连结BC ．求∠AEB 的大小； （2）如图5，ΔOAB 固定不动，保持ΔOCD 的形状和大小不变，将ΔOCD 绕着点O 旋转（ΔOAB

和ΔOCD 不能重叠)，求∠AEB 的大小.

二、等边三角形与线段长度计算专题

B

A O D C

E 图5

E

C

例题2 如图，过边长为1的等边△ABC 的边AB 上一点P ，作PE ⊥AC 于E ，Q 为BC 延长线上一点，当PA=CQ 时，连PQ 交AC 边于D ，求DE 的长

训练二

1. 如图，在△ABC 中, ∠B=15°, ∠C=90°，DE 垂直平分AB ，交BC 于点E ，BE=6cm ，则AC 的长度是 cm 。

2．∠AOE=∠BOE=15°，EF ∥OB,EC ⊥OB,若EC=1，则EF= 。

3. 如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 是△ABC 内两点，AD 平分∠BAC ，∠EBC=∠E=60°，若BE=6cm ，

DE=2cm

，求

BC

的长为

cm 。

4.如图，在等边△ABC 中，D 是AB 的中点，过点D 作DF ⊥AC ，垂足为F.过点F 作FH ⊥BC.若等边三角形ABC 的边长为4，求BH 的长.

三、等边三角形证明专题

例题3已知△ABC 是等边三角形，D 为BC 延长线上一点，CE 平分∠ACD ，CE=BD.判断△ADE 的形状，说明理由.

训练三

1．如图，△ABC 是等边三角形，D 、E 、F 分别是各边上的一点，且DE ⊥BC 、EF ⊥AC 、FD ⊥AB ，则△DEF 是等边三角形.请说明理由.

2. △ABC 为正三角形,∠1=∠2=∠3，△DEF 为等边三角形吗？说明理由.

3. 如图，△ABC 是等边三角形，D 是AB 边上的一点，以CD 为边作

等边三角形CDE ，使点E 、A 在直线DC 的同侧，连结AE 。 求证：AE ∥BC

四、等边三角形综合专题

例题4 .如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O．设AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ、以下五个结论：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°⑥OC平分∠AOE.恒成立的结论有哪些？并证明你的结论。

训练四

1．如图，等边△ABD和等边△CBD的长均为a，现把它们拼合起来，E是AD上异于A、D两点的一动点，F是CD上一动点，满足AE+CF＝a．

(1)E、F移动时，△BEF的形状如何?

(2)当E、F运动到什么位置时，△BEF面积的最小？

2.（2012•遵义）如图，△ABC是边长为6的等边三角形，P是AC边上一动点，由A向C运动（与

A、C不重合），Q是CB延长线上一点，与点P同时以相同的速度由B向CB延长线方向运动（Q不与B重合），过P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．

（1）当∠BQD=30°时，求AP的长；

（2）当运动过程中线段ED的长是否发生变化？如果不变，求出线段ED的长；如果变化请说明理由．

3．如图，点O 是等边△ABC 内一点，∠AOB=110°，∠BOC= α．将△BOC 绕点C 按顺时针方向旋转60°得△ADC ，连接OD.

（1）求证：△COD 是等边三角形；

（2）当α=150°时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； （3）探究：当α为多少度时，△AOD 是等腰三角形？

五、线段之和最小值专题

例题5 （1）两点一线的最值问题

如图，草原上两居民点A ，B 在笔直河流l 的同旁，一汽车从A 处出发到B 处，途中需要到河边加水，问选在何处加水可使行驶的路程最短？并在图中画出这一点

（2）两点两线的最值问题

如图A 点为马厩，B 点为帐篷，牧马人一天要从马厩牵出马，先到草地边某一点牧马，然后到河边去饮水，再回到帐篷，请你确定一天的最短路程。

（3）一点两线的最值问题

如图，点A 是总邮局，想在公路MN 上建一分局B ，在公路EF 上建一分局C ，使得AB+AC+BC 的和最小。

训练五

如图，四边形ABCD 中，∠BAD ＝120°，∠B ＝∠D ＝90°，在BC 、CD 上分别找一点M 、N ，使△AMN 周长最小时，则∠AMN ＋∠ANM 的度数为 （ ）

A ．130°

B ．120°

C ．110°

D ．100°

A

B

C D O 110