对数函数及其图象学案新人教A版高中数学必修1

第1课时对数函数及其图象

1．理解对数函数的概念．

2．掌握对数函数的图象和简单性质．

3．了解对数函数在生产实际中的简单应用．

1．对数函数的概念

函数y＝log a x(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，＋∞)．

温馨提示：(1)对数函数y＝log a x是由指数函数y＝a x反解后将x、y互换得到的．

(2)无论是指数函数还是对数函数，都有其底数a>0且a≠1.

2．对数函数的图象及性质

温馨提示：底数a与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降”：当a>1时，对数函数的图象“上升”；当0<a<1时，对数函数的图象“下降”．

3．当底数不同时对数函数图象的变化规律

作直线y ＝1与所给图象相交，交点的横坐标即为对数的底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可得b>a>1>d>c>0.

1．作出函数y ＝log 2x 和y ＝log 1

2

x 的图象如下：

(1)函数y ＝log 2x 的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？

(2)函数y ＝的定义域、值域、函数值的情况及单调性如何？

(3)若将函数y ＝log 2x 与y ＝的图象画在同一坐标系中，其图象有什么关系？

[答案] (1)定义域为(0，＋∞)，值域为R ，在(0，＋∞)上是增函数 (2)定义域为(0，＋∞)，值域为R ，在(0，＋∞)上是减函数 (3)关于x 轴对称

2．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对数函数的定义域为R .( )

(2)y ＝log 2x 2

与log x 3都不是对数函数．( ) (3)对数函数的图象一定在y 轴的右侧．( )

(4)对数函数y ＝log a x(a>0且a≠1)，在定义域上是增函数．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)√ (4)×

题型一对数函数的概念

【典例1】指出下列函数哪些是对数函数？

(1)y＝3log2x；(2)y＝log6x；

(3)y＝log x3；(4)y＝log2x＋1.

[思路导引] 紧扣对数函数的定义判断．

[解](1)log2x的系数是3，不是1，不是对数函数．

(2)符合对数函数的结构形式，是对数函数．

(3)自变量在底数位置上，不是对数函数．

(4)对数式log2x后又加1，不是对数函数．

依据3个形式特点判断对数函数

判断一个函数是对数函数必须是形如y＝log a x(a>0且a≠1)的形式，即必须满足以下条件：

(1)系数为1.

(2)底数为大于0且不等于1的常数．

(3)对数的真数仅有自变量x.

[针对训练]

1．若对数函数y＝f(x)满足f(4)＝2，则该对数函数的解析式为( )

A．y＝log2x B．y＝2log4x

C．y＝log2x或y＝2log4x D．不确定

[解析]设对数函数的解析式为y＝log a x(a>0，且a≠1)，由题意可知log a4＝2，∴a2＝4，∴a＝2.

∴该对数函数的解析式为y＝log2x.

[答案] A

题型二对数型函数的定义域

【典例2】求下列函数的定义域．

(1)y＝3

log2x；(2)y＝log0.5(4x－3)；

(3)y＝log0.5(4x－3)－1；(4)y＝log(x＋1)(2－x)．

[解] (1)定义域为(0，＋∞)．

(2)由⎩⎪⎨

⎪⎧

4x －3>0，4x －3≤1，

解得3

4

<x≤1，

∴定义域为⎝ ⎛⎦

⎥⎤34，1. (3)由⎩

⎪⎨⎪⎧

4x －3>0，4x －3≤1

2，解得34<x≤7

8

，

∴定义域为⎝ ⎛⎦

⎥⎤34，78.

(4)由⎩⎪⎨⎪

⎧

x ＋1>0，x ＋1≠1，

2－x>0，

解得－1<x<0或0<x<2，

∴定义域为(－1,0)∪(0,2)．

求对数函数定义域的注意事项

求与对数函数有关的函数定义域时，除遵循前面已学习过的求函数定义域的方法外，还要对这种函数自身有如下要求：一是要特别注意真数大于零；二是要注意对数的底数大于零且不等于1.

[针对训练]

2．求下列函数的定义域． (1)y ＝

log 0.4(x －1)2x －1；(2)y ＝1

log 0.5(x －1)

；

(3)y ＝log a (4x －3)(a>0且a≠1)． [解] (1)⎩⎪⎨⎪

⎧

x －1>0，log 0.4(x －1)≥0，

2x －1≠0，解得1<x≤2

∴定义域为{x|1<x≤2}．

(2)⎩

⎪⎨

⎪⎧

x －1>0，log 0.5(x －1)>0，解得1<x<2

∴定义域为{x|1<x<2}．

(3)当0<a<1时，0<4x －3≤1⇒3

4<x≤1，∴定义域为⎩⎨⎧⎭

⎬⎫x | 34<x≤1；

当a>1时，4x －3≥1⇒x≥1，∴定义域为{x|x≥1}. 题型三对数函数的图象

【典例3】 (1)已知a>0，且a≠1，则函数y ＝a x

与y ＝ log a (－x)的图象只能是( )

(2)函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点________． [思路导引] 利用对数函数的图象特征求解．

[解析] (1)解法一：若0<a<1，则函数y ＝a x

的图象下降且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x)的图象上升且过点(－1,0)，以上图象均不符合．若a>1，则函数y ＝a x

的图象上升且过点(0,1)，而函数y ＝log a (－x)的图象下降且过点(－1,0)，只有B 中图象符合．

解法二：首先指数函数y ＝a x

的图象只可能在上半平面，函数y ＝log a (－x)的图象只可能在左半平面，从而排除A 、C ；再看单调性，y ＝a x

与y ＝log a (－x)的单调性正好相反，排除D.只有B 中图象符合．

(2)因为函数y ＝log a x (a>0，且a≠1)的图象恒过点(1,0)，则令x ＋1＝1得x ＝0，此时y ＝log a (x ＋1)－2＝－2，所以函数y ＝log a (x ＋1)－2(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，－2)．

[答案] (1)B (2)(0，－2)

[变式] 若本例(2)的函数改为“y＝log a 2x ＋1

x －1＋2”，则图象恒过定点坐标是________．

[解析] 令2x ＋1

x －1＝1，得x ＝－2，此时y ＝2，

∴函数y ＝log a 2x ＋1

x －1＋2过定点(－2,2)．

[答案] (－2,2)