初二第二讲 三线合一

“三线合一”专题
等腰三角形有一个重要的性质：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。

这就是著名的等腰三角形“三线台一”性质。

“三线合一”性质常用来证明两线垂直、两线段相等和两角相等。

反之，如果三角形一边上的中线、这边上的高、这边所对角的角平分线中有两条重合，那么这个三角形就是等腰三角形。

【例题讲解】
例1．如图所示，在等腰△ABC中，AD是BC边上的中线，点E在AD上。

求证：BE=CE。

变式练习1-1 如图，在△ABC中，AB=AC，D是形外一点，且BD=CD。

求证：AD垂直平分BC。

变式练习1-2 已知，如图所示，AD是△ABC，DE、DF分别是△ABD和△ACD的高。

求证：AD垂直平分EF。

例2． 如图△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC ，DE ⊥AB 于E ，
若CD ＝4，且△BDC 周长为24，求AE 的长度。

【巩固练习】
1、等腰三角形一边等于5，另一边等于8，则周长是________。

2、在△ABC 中，已知AB ＝AC ，AD 是中线，∠B ＝70°，BC ＝15cm ， 则∠BAC ＝________，∠DAC ＝________，BD ＝________cm 。

3、在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC 于D ，AB ＝3，AC ＝4，则AD ＝________。

4、已知△ABC 中，∠A ＝n °，角平分线BE 、CF 相交于O ，则∠BOC 的度数应为（ ）
（A ）90°－n 21°（B ）90°＋ n 21°（C ）180°－n °（B ）180°－n 2
1° 5、下列两个三角形中，一定全等的是（ ）
（A ）有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形
（B ）两个等边三角形
（C ）有一个角是100°，底相等的两个等腰三角形
（D ）有一条边相等，有一个内角相等的两个等腰三角形
6、已知：如图，△ABC 中，AB=AC 。

小强想做∠BAC 的平分线，但他没有量角器，只有刻度尺，他如何做出∠BAC 的平分线？
A B C
E D
7、已知：如图，B 、D 、E 、C 在同一直线上，AB=AC ，AD=AE 。

求证：BD=CE 。

8、如图，Rt △ABC 中，∠ABC=90°，D 是AB 上一点，且BD=BC 。

DE ⊥AB 交AC 于E 。

求证：CD ⊥BE 。

9、如图，锐角△ABC 中，∠B=2∠C ，AD 为BC 边上的高，求证：DC=AB+BD 。

10、 如图2，BM ，CN 分别是△ABC 的外角∠BAD 、∠ACE 的平分线。

AM ⊥BM ，M 、N 为垂足。

求证：MN ∥CN 。

A C
B D E
“三线合一”专题答案
【例题讲解】
例1、
证明：∵在等腰△ABC 中，AD 是BC 边上的中线
∴AB=AC AD 是∠BAC 的平分线，即∠BAD=∠CAD
又∵AE=AE ∴△ABE ≌△ACE （SAS ）
∴BE=CE
变式练习1-1
证明：由于AB=AC ，BD=CD ，AD=AD ，所以△ABD ≌△ACD （SSS ）。

故∠BAD=∠CAD 。

AD 平分∠BAC 。

在等腰△ABC 中，由“三线合一”知AD ⊥BC ，且AD 平分BC 。

变式练习1-2
分析：从本题的条件和图形特征看，欲证AD 垂直平分EF ，因为有∠1=∠2，所
以只要证明△AEF 为等腰三角形即可
证明： ∵ DE ⊥AB,DF ⊥AC 、∠1=∠2，AD=AD
∴Rt △AED ≌Rt △AFD
∴AE=AF
又∠1=∠2
∴AD 垂直平分EF
例2．
解：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°∴△ABC 为等腰三角形，∠ABC=∠C=72° 又∵BD 平分∠ABC ∴∠ABD=∠DBC=36°
∴△ABD 为等腰三角形，即AD=BD
∠BDC=∠C=72°
∴△DBC 为等腰三角形，即BD=BC
∵CD=4，△BDC 周长为24，∴BD=BC=10 ∴AC=AD+CD=14 ∵DE ⊥AB ，△ABD 为等腰三角形 ∴DE 为AB 中线
∴AE=2
1AB=7 【巩固练习】
1、18或21
2、40°，20°，7.5
3、
5
12 4、A 5、C 6、解：取BC 的中点D ，连接AD ，则AD 平分∠BAC 。

在△ABC 中，
∵AB=AC ，AD 是底边上的中线
∴AD 是∠BAC 的平分线（三线合一） 7、证明：取BC 中点F ，连接AF
∵AB=AC
∴AF ⊥BC(三线合一)
∵AD=AE,
∴DF=EF(三线合一)
∴BF-DF=CF-EF（等量减等量，差相等）
∴BD=CE
8、证明：在Rt△BCE和Rt△BDE中，BE=BE，BC=BD。

∴Rt△BCE≌Rt△BDE（HL）∴∠CBE=∠DBE
又∵BD=BC，
∴CD⊥BE（三线合一）。

评注：要证明CD⊥BE，考虑到CD是等腰△BDE的底边，联想到“三线合一”，只要证明BE是∠CBD的平分线，问题便能得到解决。

9、证明：在DC边上取点G，使DG=DB，连接AG。

如图。

∵AD⊥BG，DB=DG
∴AB=AG（三线合一）
∴∠B=∠1
又∵∠1=∠2+∠C，∠B=2∠C
∴∠2=∠C
∴CG=AG
∴CG=AB
∵DC=DG+CG
∴DC=AB+DB
评注：利用“三线合一”证明两直线垂直，应具备两个条件：（1）三角形是等腰三角形；（2）两线中一条是这个三角形顶角的平分线或底边上的中线。

若不具备上述两个条件，要设法加以补充。

10、证明：这里有角平分线BM、CN，也有垂直于BM、CN的直线，若延长AM、AN，交CB、BC的延长线于D、E，如图。

由“角平分线和高重合”可知构成了等腰△ABD和等腰△ACE，且M、N分别为这两个等腰三角形底边的中点。

这样，MN是△ADE的中位线，故有MN//BC。