计量经济学知识点整理：联立方程

联立方程模型
一、概念：
联立方程模型系统将变量分为内生变量和外生变量两大类。

内生变量：是具有某种概率分布的随机变量，是由模型系统决定的，取值也是由系统决定的，同时也对模型系统产生影响，它会受到随机项的影
响。

一般都是经济变量。

每一个内生变量的值都要利用模型中的全
部方程才能决定。

外生变量：是不由系统决定的变量，是系统外变量，取值由系统外决定。

一般是确定性变量，或者是具有临界概率分布的随机变量，其参数不是
模型系统研究的元素。

外生变量影响系统，但本身不受系统的影响。

外生变量一般是经济变量、条件变量、政策变量、虚变量。

先决变量：外生变量和滞后内生变量
注：联立方程模型中有多少个内生变量就必定有多少个方程
结构式模型：根据经济理论和行为规律建立的描述经济变量之间直接结构关系的计量经济学方程系统称为结构式模型。

结构方程的正规形式：将一个内生变量表示为其他内生变量、先
决变量和随机干扰项的函数形式
完备的结构式模型：g个内生变量、k个先决变量、g个结构方程
行为方程：描述变量之间经验关系的方程，含有未知的参数和随
机扰动项。

例如：凯恩斯收入决定模型中的消费函数
制度方程：由法律、制度、政策等制度性规定的经济变量之间的
函数关系，如税收方程。

恒等式：定义方程式和平衡方程。

简化式模型：用所有先决变量作为每个内生变量的解释变量所形成的模型。

参数关系体系：描述简化式参数与结构式参数之间的关系。

二、识别
方程之间的关系有严格的要求，一个方程模型想要能估计，必须可识别。

∴进行模型的估计之前需要判断模型是否可以识别（即是否能被估计）。

1、识别的基本定义：是否具有确定的统计形式。

注：识别的定义是针对结构方程而言的。

模型中每个需要估计其参数的随机方程都存在识别问题。

如果一个模型中的所有随机方程都是可以识别的，则认为该联立方程模型系统是可以识别的。

反之不识别。

恒等方程由于不存在参数估计问题，所以也不存在识别问题。

但是，在判断随机方程的识别性问题时，应该将恒等方程考虑在内。

恰好识别：某一个随机方程只有一组参数估计量
过度识别：某一个随机方程具有多组参数估计量
方程的线性组合是否得到的新方程具有与消费方程相同的统计形式，决定了方程也是否是可以识别的。

2、如何修改模型使不可识别的方程变成可以识别
（1）或者在其它方程中增加变量；
（2）或者在该不可识别方程中减少变量。

（3）必须保持经济意义的合理性。

3、识别条件
结构式:B Y+ΓX=N
用B0Γ0表示第i个方程中未包含的变量在其他g-1个方程中对应系数
组成的矩阵，则：不可识别：R（B0Γ0）<g-1
可识别：R（B0Γ0）=g-1恰好识别：k-ki=gi-1
过度识别：k-ki>gi-1
简化式：
不可识别：R（Π2）<gi-1
可识别：R（Π2）=gi-1恰好识别：k-ki=gi-1
过度识别：k-ki>gi-1
注：可以从数学上严格证明，简化式识别条件和结构式识别条件是等价的
t
[BΓ]=⎢⎢0
⎣⎦例题：
C t=α0+α1Y t+α2C t-1+α3P-1+μ1t
I t=β0+β1Y t+β2Y t-1+μ2t
Y t=C t+I t
⎡10
1
⎢-1-1
-α1
-β1
1
-α0
-β0
-β2
-α2
-α3⎤
0⎥
0⎥判断第1个结构方程的识别状态
所以，该方程可以识别。

因为k-k1=1=g1-1
所以，第1个结构方程为恰好识别的结构方程。

判断第2个结构方程的识别状态
所以，该方程可以识别。

因为k-k2=2>g2-1
所以，第2个结构方程为过度识别的结构方程。

第3个方程是平衡方程，不存在识别问题。

综合以上结果，该联立方程模型是可以识别的。

与从定义出发识别的结论一致。

三、估计
∑ x
y β ˆ1 = ∑ x 后解出： 在大样本下成立，即 OLS 估计量具有一致性。

然而，
β
1 = 关于β 0 的估计，仍用β 0 = Y -β 1 X 完成。

β = (Z 'X ) -1
Z 'Y 联立方程计量经济学模型的估计方法分为两大类：单方程估计方法和系统 估计方法。

联立方程模型的单方程估计方法不同于单方程模型的估计方法 。

1、狭义的工具变量法 IV
解决结构方程中与随机误差项相关的内生解释变量问题（才方便用 OLS 估计）
工具变量：在模型估计过程中被作为工具使用，以替代模型中与随机误差项
相关的随机解释变量。

（1）与所替代的随机解释变量高度相关；
（2）与随机误差项不相关；
（3）与模型中其它解释变量不相关，以避免出现多重共线性。

工具变量的应用：
y i = β1 x i + μ i
用 OLS 估计模型，相当于用 xi 去乘模型两边、对 i 求和、再略去∑xi μi 项
i i
2
i
如果 Xi 与μi 相关，即使在大样本下，也不存在 (∑xi μi)/n →0 ，则结果在大 样本下也不成立，OLS 估计量不具有一致性。

如果选择 Z 为 X 的工具变量，那么在上述估计过程可改为:
∑ z i y
= β1 ∑ z i x i + ∑ z i μi i
利用 E(zi μi)=0，在大样本下可得到：
~ ∑ z i y ∑ z i x
i i
~ ~
基本步骤为：
（1）选择适当的工具变量代替结构式方程左边的作为解释变量的内生变量。

（2）分别用已选定的工具变量去乘结构方程，并对 T 次观察求和，得到方程个
数与未知结构参数个数相同的一个线性联立方程组。

（3）求解所得到的线性方程组，求得结构参数估计值。

矩阵的参数估计量为：
~
2、间接最小二乘法 ILS
联立方程模型的结构方程中包含有内生解释变量，不能直接采用OLS估计
其参数。

但是对于简化式方程，可以采用OLS直接估计其参数。

满足条件：被估计的结构式方程必须是恰好识别的；
每个简约式模型的随机扰动项应满足最小二乘法的假设；
前定变量之间不存在高度多重共线性。

基本步骤：对联立方程组模型进行识别；
将结构式模型转化为简约式模型；
对每个简约式方程用OLS进行估计得到简约式参数的估计值；
根据参数关系体系有简约式参数估计值确定结构式参数的估计值。

3、二阶段最小二乘法2SLS
在实际的联立方程模型中，恰好识别的结构方程很少出现，一般情况下结
构方程都是过度识别的。

2SLS是一种既适用于恰好识别的结构方程，又适用于
过度识别的结构方程的单方程估计方法。

假设条件:结构方程中的随机扰动项为0均值，常数协方差且序列埠相关。

所有前定变量同随机扰动序列不相关；
前定变量之间不存在渐进的多重共线性；
样本容量足够大，至少大于方程中出现的签订变量个数；
结构式方程必须可以识别。

一般步骤：第一阶段：对内生解释变量的简化式方程使用OLS。

用估计量代替
结构方程中的内生解释变量，得到新的模型
第二阶段：对该模型应用OLS估计，得到的参数估计量即为原结构
方程参数的二阶段最小二乘估计量
4、三阶段最小二乘法3SLS
假设基础：1、联立方程组模型是可以识别的
2、全部方程式均已用代换方法消除
3、模型中的所有结构方程都是正确设定的
4、每个结构式方程的随机扰动项具有零均值，同方差并且无自相关。

5、不同的结构式方程的随机扰动项是同期相关的。

步骤：1、用普通最小二乘法估计简约式参数II，并且对每个方程计算Yi拔。

2、估计出两阶段最小二乘法的参数估计量，并计算出方差—协方差矩阵
3、用广义最小二乘法进行估计
其基本思路是3SLS=2SLS+GLS
特点：（1）如果联立方程模型系统中所有结构方程都是可以识别的，并且非奇异，则3SLS估计量是一致性估计量。

（2）3SLS估计量比2SLS估计量更有效。

（3）如果Σ是对角矩阵，即模型系统中不同结构方程的随机误差项之间无相关性，那么可以证明3SLS估计量与2SLS估计量是等价的。

（4）这反过来说明，3SLS方法主要优点是考虑了模型系统中不同结构方程的随机误差项之间的相关性。