数学建模案例之线性规划

划模型的方法
理解单纯形法的计算步骤
重点、难点：
重点：线性规划模型的建立与软件求解 难点：线性规划问题的理论求解方法—单纯形法
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简介
线性规划是最简单、应用最广泛的一种数学规划方法，也是 应用最早的一种最优化方法；
线性规划的数学模型是目标函数和全部约束式都是变量的线 性函数；
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LP问题的一般概念
3.将一般线性规划模型转化为标准形
例题：将下述LP模型转化成标准形式
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t
.
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
数学规划模型分类:
引言
“数学规划是运筹学和管理科学中应用及其广泛的分支。在许多情况下，应用数学规划 取得的如此成功，以致它的用途已超出了运筹学的范畴，成为人们日常的规划工
具。”[H.P.Williams.数学规划模型的建立]。
数学规划包括线性规划、非线性规划、整数规划、几何规划、多目标规划等，用数学
在代数上的一个基可行解，因此，单纯形法求解线性规划问题只
需要关心基可行解。
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LP问题的一般概念
基本理论参见任何一本运筹学教材上的相关内容，下面仅以
一个例子说明单纯形法的步骤。
利用单纯形法求解下述LP问题。
max w 1000 x1 1500 x2
s
.t
.
9 x1 5 x2 350 4 x1 5 x2 200
2 x1 5 x2 150
x1, x2 0
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LP问题的一般概念
Step1. 将一般的 LP 问题划成标准形式
引入松弛变量x3，x4，x5 将原问题化成标准形式
min z (1000x1 1500x2 )
s.t.
9x1 5x2 x3 4x1 5x2 x4
规划方法解决实际问题，就要将实际问题经过抽象、简化、假设，确定变量与参数，建 立适当层次上的数学模型，并求解。
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引言
建立数学规划模型的步骤:
当你打算用数学建模的方法来处理一个优化问题的时候，首先要确定寻求的决策是什 么，优化的目标是什么，决策受到那些条件的限制（如果有限制的话），然后用数学 工具（变量、常数、函数等）表示它们，最后用合适的方法求解它们并对结果作出一 些定性、定量的分析和必要的检验。
自由变量 （无）
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LP问题的一般概念
化成标准型为：
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t
.
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
• A1的获利增加到 30元/公斤，应否改变生产计划?
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模型构成
引入决策变量
x1 桶牛奶生产 A1， x2 桶牛奶生产 A2 （每天）
目标函数（每天获利）
生产 A1 获利： 24×3x1 生产 A2 获利： 16×4 x2 每天获利总额：z=72x1+64x2
约束条件
LP问题的一般概念
4.单纯形法
G.B.Dantzig的单纯形法（Simplex method）是一个顶点 迭代算法，即从一个顶点出发，沿着凸多面体的棱迭代到另一个
顶点，使目标函数值下降（至少不升），由顶点个数的有限性， 可以证明经过有限次迭代一定可以求得最优解或者判定该问题无
最优解，这就是单纯形法的基本思想。而几何上一个的顶点对应
这是一个多元函数的条件极值问题，其中 x = [ x 1 , x 2 , … , x n ]。
许多实际问题归结出的这种优化模型，但是其决策变量个数 n 和约束条件个数
m 一般较大，并且最优解往往在可行域的边界上取得，这样就不能简单地用 微分法求解，数学规划就是解决这类问题的有效方法。
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线性规划是学习运筹学的首要课程之一； 1947年，丹茨格（Dantzig）提出了单纯形法，使线性规划的
算法趋于成熟；
在数学上讲，线性规划问题就是研究一类条件极值问题，即 在一组线性约束条件（包括等式及不等式约束）下，找出一个线 性函数的最大值或最小值。
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例1：加工奶制品的生产计划
max z 4 x1 5 x2 7 x3 x4
s.t
.
x1 x2 2 x3 x4 1 2 x1 6 x2 3 x3 x4 3
x1 4 x2 3 x3 2 x4 5
x1 , x2 , x3 , x4 0
小于等于约束
2x1-6x2+3x3+x4 ≤-3 添加松弛变量 x6 ≥0 -2x1+6x2-3x3-x4-x6=3
原料供应： x1+x2≤50 劳动时间： 12x1+8x2≤480 加工能力： 3x1≤100 非负约束： x1 , x2 ≥0
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模型构成
数学模型：
m ax z 72 x1 64 x2
s
.
t
.
x1 x2 50 12 x1 8 x2 480
3 x1 100
判断方法：
计算检验数 rj=cj-zj，其中zj=cBTaij，j=1,2,…,n.
若所有的 rj≥0，j=1,2,…,n，则现行解为最优解。
cj→
-1000 -1500
0
0
系数 基变量
x1
x2
x3
x4
0
x3
9
5
1
0
0
x4
4
5
0
1
0
x5
用决策变量表示的利润、成本等。
Step 4. 寻找约束条件
决策变量之间、决策变量与常量之间的联系。
第一来源：需求；
第二来源：供给；
其它来源：辅助以及常识。
Step 5. 构成数学模型
将目标以及约束放在一起，写成数学表达式。
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内容：
如何建立线性规划模型举例 线性规划模型的求解方法 要求： 掌握线性规划模型的建立方法 掌握利用数学软件 LINDO 、Matlab等求解线性规
制。试为该厂制定一个生产计划，使每天获利最大? 并进一步讨论以下三个附加问题：
1）若用35元可以买到一桶牛奶，应否作这项投资？若投 资，每天最多购买多少桶牛奶？
2）若可以聘用临时工人以增加劳动时间，付给临时工人的 工资最多是每小时多少元？
3）由于市场需求变化，每公斤A1的获利增加到30元，应否
改变生产计划？
x1
x2
x3
x4
0
x3
9
5
1
0
0
x4
4
5
0
1
0
x5
2
5
0
0
检验数rj
-1000 -1500
0
0
求出基本可行解 x(0)=(0,0,350,200,150)T，
求出目标函数值 z0=0
0
x5
b
0
350
0
200
1
150
0
0
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LP问题的一般概念
Step3. 判断现行解是否是最优解。若是，计算结束；否则转第4步。
一奶制品加工厂用牛奶生产A1，A2两种奶制品，一桶牛奶可 以在设备甲上用12小时加工成3公斤A1，或者在设备乙上用8小时 加工成4公斤A2。根据市场需求，生产的A1、A2全部能够售出，且 每公斤A1获利24元，每公斤A2获利16元。现在加工厂每天能够得 到50桶牛奶的供应，每天正式工人总的劳动时间为480小时，并 且设备甲每天至多能加工100公斤A1，设备乙的加工能力没有限
划，否则应制订多阶段生产计划
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问题分析
1桶 牛奶 或
12小时 8小时
3公斤A1 4公斤A2
获利24元/公斤 获利16元/公斤
每 天 50桶牛奶
时间480小时
至多加工100公斤A1
制订生产计划，使每天获利最大
• 35元可买到1桶牛奶，买吗？若买，每天最多买多少?
• 可聘用临时工人，付出的工资最多是每小时几元?
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引言
Step 1. 寻求决策，即回答什么？必须清楚，无歧义。
阅读完题目的第一步不是寻找答案或者解法，而是……
Step 2. 确定决策变量 第一来源：Step 1的结果，用变量固定需要回答的决策 第二来源：由决策导出的变量（具有派生结构）
其它来源：辅助变量（联合完成更清楚的回答） Step 3. 确定优化目标
xi对目标函数的“贡献” 与xj取值无关
A1,A2每公斤的获利是与相互产
量无关的常数
性
xi对约束条件的“贡献”
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时
与xj取值无关
间是与相互产量无关的常数
连续性
xi取值连续
加工A1,A2的牛奶桶数是实数
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LP问题的一般概念
1. LP模型的一般形式
利润最高； 调度人员要在满足物质需求和装载条件下安排从各供应点
到需求点的运量和路线，使运输总费用最低；
投资者要选择一些股票,债券下注,使收益最大,而风险最小
…………
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引言
一般地，优化模型可以表述如下：
m inzf(x) s.t. gi(x)0， i=1,2, ,m
x1 , x2 , x3 , x4 0
解：转化分为目标函数、大于等于约束、小于等于约束和自由约
束变量几个不同部分。
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LP问题的一般概念
目标函数
max z=4x1+5x2+7x3-x4 min z1=-4x1-5x2-7x3+x4
约束条件
大于等于约束
x1+x2+2x3-x4 ≥1 添加剩余变量 x5 ≥0 x1+x2+2x3-x4-x5=1
数学建模案例之线性规划
奶制品的生产与销售
第一页，编辑于星期三：二点 十一分。
引言
优化问题及其一般模型：
优化问题是人们在工程技术、经济管理和科学研究等领域中最常 遇到的问题之一。例如：
设计师要在满足强度要求等条件下选择材料的尺寸， 使 结构总重量最轻；
公司经理要根据生产成本和市场需求确定产品价格，使所获
350 200
2x1 5x2
x5 150
x1, x2 , x3 , x4 , x5 0
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LP问题的一般概念
Step2. 建立初始单纯形表，求出初始的基本可行解x(0)及对应的
目标函数值ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
建立初始单纯形表
cj→
-1000 -1500
0
0
系数 基变量
求一组决策变量x1,x2,…,xn的值，使其满足约束条件：
n
( I )
aij x j bi , i 1, 2, ..., l;
j1
n
( II ) a ij x j bi , i l 1, ..., t; j1
n
( III ) a ij x j bi , i t 1, ..., m .
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问题分析
企业内部的生产计划有各种不同的情况。
空间层次
工厂级：根据外部需求和内部设备、人力、原料等条件，以最大利润为目
标制订产品生产计划
车间级：根据生产计划、工艺流程、资源约束及费用参数等，以最小成本
为目标制订生产批量计划
时间层次
若短时间内外部需求和内部资源等不随时间变化，可制订单阶段生产计
j1
并使目标函数
z 取 得n 最c j 大x j （或最小)值，其中
aij,bi,cj为已知量。
j1
第十五页，编辑于星期三：二点 十一分。
LP问题的一般概念
2.标准形式 其中
m in z cT x ,
s
.
t
.
Ax b
,
x0.
A (a ij)m n,x (x 1 ,x 2 ,...,x n )T ,c (c 1 ,c 2 ,...,c n )T , b (b 1 ,b 2 ,...,b m )T ,且 b 0 ,r a n k (A ) m n .
x1 0, x2 0
LP 模型
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线性规划模型具有的三条性质
xi对目标函数的“贡献”
比 与xi取值成正比
例 性
xi对约束条件的“贡 献”与xi取值成正比
A1,A2每公斤的获利是与各自
产量无关的常数
每桶牛奶加工出A1,A2的数量和时
间是与各自产量无关的常数
可 加
原始形式
标准形式
min z1 4x1 5x2 7x3 x4
s.t
.
x1 2 x1
6
x2 x2
2 x3 3 x3
x4 x5 1 x4 x6 3
x1 4x2 3x3 2x4 5
x1, x2 , x3 , x4 , x5 , x6 0
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