高考数学平面向量复数的专项练习试题

高考数学平面向量、复数的专项练习

试题

高考数学关于平面向量、复数的专项练习试题

一、选择题

1.若复数z=m(m-1)+(m-1)(m-2)i是纯虚数，其中m是实数，i2=-1，则等于( )

A. 1

B.- 1

C. 2

D.-2

答案：D 解题思路：因为复数z=m(m-1)+(m-1)·(m-2)i是纯虚数，所以m(m-1)=0且(m-1)(m-2)≠0，所以m=0，则==-.

2.设复数z=-i·sin θ，其中i为虚数单位，θR，则|z|的取值范围是( )

A.[1，3 ]

B.[-1，3]

C.[1， 2]

D.[1，4 ]

答案：D 命题立意：本题考查复数的运算及三角最值的求解，难度中等.

解题思路：据已知得，原式=1-i-isin θ=1-(1+sin θ)i，故|z|=[1， ]，当sin θ=-1,1时分别取得最小值与最大值.

3.(呼和浩特第一次统考)已知a=(1,2)，b=(-2，m)，若a∥b，则|2a+3b|等于( )

A. B.4 C.3 D.2

答案：B 命题立意：本题考查向量的坐标运算，难度中等.

解题思路：由a∥bm+4=0，解得m=-4，故2a+3b=2(1,2)+3(-2，-4)=(-4，-8)，因此|2a+3b|==4.

4.已知向量a，b是夹角为60°的两个单位向量，向量a+λb(λR)与向量a-2b垂直，则实数λ的值为( )

A.1

B.-1

C.2

D.0

答案：D 命题立意：本题主要考查平面向量数量积的运算与平面向量垂直的坐标运算.

解题思路：由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=，而(a+λb)(a-2b)，故

(a+λb)·(a-2b)=0，即a2+λa·b-2a·b-2λb2=0，从而可得1+-1-2λ=0，即

λ=0.

5.已知A，B是单位圆上的动点，且|AB|=，单位圆的圆心为O，则·=( )

A.-

B.

C.-

D.

答案：C 命题立意：本题以单位圆为依托，考查平面向量的数量积、平面向量的基本定理.

解题思路：由题意知，单位圆的弦AB所对的圆心角AOB=120°，故·=·(-

)=·-2=1×1×cos 120°-1=-.故选C.

6.定义一种运算如下：=x1y2-x2y1，复数z=(i是虚数单位)的共轭复数是( )

A.-1+(-1)i

B.-1-(-1)i

C.+1+(+1)i

D.+1-(+1)i

答案：B 命题立意：考查对新概念的理解及复数的运算，难度中等.

解题思路：由题意，得z=(+i)i-(-1)(-i)=-1+(-1)i，共轭复数是-1-(-

1)i，故选B.

易错点拨：注意分析新定义的运算规则中字母的顺序.

7.在直角坐标系中，A(3,1)，B(-3，-3)，C(1,4)，P是和夹角平分线上的一点，且||=2，则的坐标是( )

A. B.(-，)

C. D.(-，1)

答案：A 命题立意：本题考查向量的线性运算与坐标运算，正确地表示出的线性表达式是解答本题的关键，难度中等.

解题思路：因为=(-6，-4)，=(-2,3)，由点P是角平分线上的一点，故

=λ=λ=λ，即||2=λ2×=2λ2=4，解得λ=，故==，故选A.

8.在矩形ABCD中，AB=1，AD=，P为矩形内一点，且AP=.若=λ+μ(λ，

μR)，则λ+μ的最大值为( )

A. B.

C. D.

答案：B 命题立意：本题考查向量数量积的运算及均值不等式的应用，难度中等.

解题思路：据已知||2=(λ+μ)22=λ2+3μ2，整理变形得(λ+μ)2-2λμ=，据均值不等式可得(λ+μ)2-22≤，解得λ+μ≤，故选B.

9.已知ABC中，AB=AC=2，BC=2，点P为边BC所在直线上的一个动点，则关于·(+)的值，正确的是( )

A.最大值为4

B.为定值2

C.最小值为1

D.与P的位置有关

答案：B 命题立意：本题考查向量的运算，难度中等.

解题思路：利用向量的运算法则求解.取BC的中点D，连接AD，

则·(+)=2·=2||2=2，故选B.

举一反三：平面几何图形中的'向量问题要充分应用图象的几何特征，一般解法有建系法和基底法两种.

10.对于单位向量a1，a2，“a1=”是“a1+a2=(，1)”的( )

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分又不必要条件

答案：B 命题立意：本题考查了平面向量的概念及坐标运算公式、充要条件的判断问题，属推理与分析能力考查题型，难度较大.

解题思路： a1，a2均为单位向量，若a1+a2=(，1)，则a1=a2=，反之，若

a1=，则a1+a2=(，1)不一定成立，由此可得“a1=”是“a1+a2=(，1)”的必要不充分条件，故选B.

易错点拨：充要条件的判断需要通过命题的正反角度分别推理，正确判断两个命题的真假方可得出正确的结论.

二、填空题

11.已知向量a=(k，-2)，b=(2,2)，a+b为非零向量，若a(a+b)，则

k=________.

答案：0 命题立意：本题考查向量的坐标运算与数量积，难度中等.

解题思路：依题意得a+b=(k+2,0)≠0，即k+2≠0，(a+b)·a=k(k+2)=0，因此k=0.

12.如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=4，点E为BC的中点，点F在边CD上.若·=2，则·的值是________.

答案：6 命题立意：本题主要考查平面向量的坐标运算，意在考查考生的运算能力.

解题思路：以B为坐标原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴建立平面直角坐

标系，则由题意知A(0,2)，B(0,0)，C(4,0)，D(4,2)，E(2,0)，设F(4，m)，其中0≤m≤2，则=(0，-2)，=(4，m-2).

·=2，

-2(m-2)=2， m=1，

F(4,1)，=(4,1).

又 =(2，-2)，·=8-2=6.

13.在ABC中，B=60°，O为ABC的外心，P为劣弧AC上一动点，且=x+y(x，yR)，则x+y的取值范围为________.

答案：[1,2] 命题立意：本题考查向量的数量积运算及均值不等式的应用，难度中等.

解题思路：据已知得2=x22+2xy·+y22，即1=x2+y2-xy=(x+y)2-3xy，x+y=，

由P为劣弧AC上一动点知x≥0且y≥0(等号不能同时取得)，从而x+y≥1(x，y

中恰有一个为0时取等号).又据均值不等式得x+y=≤(x>0，y>0)，解得0

14.设G为ABC的重心，若ABC所在平面内一点P满足+2+2=0，则的值等于

________.

答案：2 命题立意：本题考查平面向量的线性运算及数形结合思想，难度中等.

解题思路：取BC的中点D，由已知+2+2=0得=2(+)=4，说明P，A，D三点共线，即点P在BC边的中线上，且||=4||，如图所示，故|A|=|A|，||=|A|，因此

=×=2.

15.(东北四市二次联考)对于命题：

若O是线段AB上一点，则有||·+||·=0.