山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试.docx

2015届山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试
文科数学
第Ⅰ卷（共50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设复数
21i
z i -=
+，则z =
A ．
1322i -
B ．
13
22i +
C ．i 31-
D ．i 31+ 2．设集合
(){}{}2,ln 1,30,U U R A x y x B x x x A C B ===-=-≥⋂=
则
A ．{}01x x <<
B ．{}1x x <<3
C ．
{}03x x <<
D ．
{}1x x <
3．某射击手射击一次命中的概率是0．7，连续两次均射中的概率是0．4，已知某次射中，则随后一次射中的概率是
A ．7
10
B ．67
C ．47
D ．25
4．把函数f （x ）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数x
y e =的反函数图像重合，则f （x ）=
A ．ln 1x -
B ．ln 1x +
C ．ln(1)x -
D ．ln(1)x +
5．下列说法不正确的是 A ．若“p 且q ”为假，则p ，q 至少有一个是假命题
B ．命题“2,10x R x x ∃∈--<”的否定是“
2
,10x R x x ∀∈--≥” C ．“
2π
ϕ=
”是“()sin 2y x ϕ=+为偶函数”的充要条件
D ．当0α<时，幂函数
()
0,y x α=+∞在上单调递减
6．执行如图所示的程序框图，输出的T=
A ．29
B ．44
C ．52
D ．62
7．将函数
()sin 6f x x π⎛
⎫=+ ⎪
⎝⎭的图象上各点的纵坐标不变，横坐标扩大到原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是
A ．
12x π
=-
B ．
12x π
=
C ．
3x π
=
D ．
23x π
=
8．变量,x y 满足线性约束条件320,2,1,x y y x y x +-≤⎧⎪
-≤⎨⎪≥--⎩目标函数z kx y =-仅在点
()0,2取得最小值，则k 的取值范围是
A ．3k <-
B ．1k >
C ．31k -<<
D ．11k -<<
9．函数()1
2sin 241y x x x π=-
-≤≤-的所有零点之和为
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8
10．对于函数
()
y f x =，部分x y 与的对应关系如下表：
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 y
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列
{}n x 满足：11x =，且对于任意n N *∈，点()1,n n x x +都在函数()y f x =的图象上，则
122015x x x ++⋅⋅⋅+=
A ．7539
B ．7546
C ．7549
D ．7554
第Ⅱ卷（共100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．已知函数
()2log ,0,1431,0,x x x f x
f f x >⎧⎛⎫⎛⎫=⎨ ⎪ ⎪
+≤⎝⎭⎝⎭⎩则的值是_________． 12．已知双曲线()2222
10,0x y a b a b -=>>的左焦点()125,0F -，右焦点()
225,0F ，离心率5
e =．若
点P 为双曲线C 右支上一点，则
12PF PF -=
__________．
13．若某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积是______．
14．已知实数,x y 满足
102x y x y >>+=
，且，则213x y x y +
+-的最小值为________．
15．在平面直角坐标系xOy 中，设直线2y x =-+与圆()2220x y r r +=>交于A,B 两点，O 为坐标原点，
若圆上一点C 满足
43
45+=
，则r =________．
三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．（本小题满分12分）
在ABC ∆中，已知
()11
1sin ,cos 2142A B ππ⎛⎫+=-=-
⎪⎝⎭． （Ⅰ）求sinA 与B ∠的值；
（Ⅱ）若角A,B,C 的对边分别为,,5,a b c a b c =，且，求的值．
17．（本小题满分12分）
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：
第一组[)
13,14
，第二组
[)
14,15
，……，第五组
[]
17,18
．下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．
按上述分组方法得到的频率分布直方图．
（Ⅰ）若成绩大于或等于14秒且小于16秒认为良好，求该班在这次百米测试中成绩良好的人数；
（Ⅱ）设m,n表示该班某两位同学的百米测试成绩，且已知
[)[]
,13,1417,18.
m n∈⋃
求事件
“
1
m n
->
”发生的概率．
18．（本小题满分12分）
ABC
∆是边长为4的等边三角形，ABD
∆是等腰直角三角形，AD BD
⊥，平面ABC⊥平面ABD且
EC⊥平面ABC，EC=2．
（Ⅰ）证明：DE//平面ABC；
（Ⅱ）证明：AD BE
⊥．
19．（本小题满分12分）
已知数列{}
n
a
的前n项和为
()
2
,2,
n n
S S n n n N*
=+∈
且
．
（Ⅰ）求数列{}
n
a
的通项公式；
（Ⅱ）设集合
{}{}
2,22
n
P x x a n N Q x x n N
**
==∈==+∈
，
，等差数列
{}
n
c
的任一项
n c P Q
∈⋂，其中
1
c 是P Q ⋂中的最小数，
10110115
c <<，求数列
{}n c 的通项公式．
20．（本小题满分13分） 已知以C 为圆心的动圆过定点
()
30A -，，且与圆
()2
2:364
B x y -+=（B 为圆心）相切，点
C 的轨迹为曲
线T ．设Q 为曲线T 上（不在x 轴上）的动点，过点A 作OQ （O 为坐标原点）的平行线交曲线T 于M,N 两点． （Ⅰ）求曲线T 的方程；
（Ⅱ）是否存在常数λ，使2
λ=⋅总成立？若存在，求λ；若不存在，说明理由．
21．（本小题满分14分）
已知函数()21
ln ,2f x x ax x a R
=-+∈．．
（Ⅰ）若()10
f =，求函数
()
f x 的最大值；
（Ⅱ）令
()()()
1g x f x ax =--，求函数
()
g x 的单调区间；
（Ⅲ）若2a =-，正实数
12
,x x 满足
()()12120
f x f x x x ++=，证明
121
2x x +≥
．
2015届山东省滕州市善国中学高三5月模拟考试
文科数学参考答案
一、选择题：AACDC ADCDD
二、填空题：11．109
； 12．8； 13．22
3；14
．； 15
三、解答题：本大题共6小题，共75分．
16．解：（Ⅰ）∵πsin()cos 2A A +=，
11cos 14A ∴=
，
又∵0πA <<
，
sin A ∴=
．
∵
1
cos(π)cos 2B B -=-=-
，且0πB <<，
π
3B ∴=
．………………………………………………………………………………6分
（Ⅱ）由正弦定理得sin sin a b A B =，sin 7sin a B
b A ⋅∴==，……………………………8分
另由2222cos b a c ac B =+-得2
49255c c =+-，
解得8c =或3c =-（舍去），
7b ∴=，8c =． ………………………………………………………………12分
17．解：（Ⅰ）由直方图知，成绩在[14,16)内的人数为：500.16500.3827⨯+⨯=（人）， 所以该班成绩良好的人数为27人． ……………………………4分 （Ⅱ）由直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人， 设为x ,y ,z ； 成绩在[17,18]的人数为500.084⨯=人，设为A ,B ,C ,D ．
若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况； ……………………………6分 若,[17,18]m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况； …………………8分 若,m n 分别在[13,14)和[17,18]内时，
A B C D
x x A x B x C x D
y y A y B y C y D
z z A z B z C z D
共有12种情况．
所以基本事件总数为21种，事件“||1
m n
->”所包含的基本事件个数有12种．∴
124
(1)
217
P m n
->==．………………………12分18．证明：（Ⅰ）取AB的中点O，连结DO、CO，
∵ABD
∆是等腰直角三角形，AD BD
⊥，∴DO AB
⊥，
1
2
2
DO AB
==
，又∵平面ABD⊥平面ABC，
平面ABD I平面ABC AB
=，∴DO⊥平面ABC，
由已知得EC⊥平面ABC，
∴//
DO EC，又2
EC DO
==，
∴四边形DOCE为平行四边形，
∴//
DE OC，……………………………………4分而DE⊄平面ABC，OC⊂平面ABC，
∴//
DE平面ABC．………………………………………………………………6分（Ⅱ）∵O为AB的中点，ABC
∆为等边三角形，
∴OC AB ⊥，
又∵平面ABD ⊥平面ABC ， 平面ABD I 平面ABC AB = OC ∴⊥平面ABD ，而AD ⊂平面ABD ， ∴OC AD ⊥，又∵//DE OC ，
∴DE AD ⊥，而BD AD ⊥，DE I BD D =， AD ∴⊥平面BDE ，又BE ⊂平面BDE ，
∴AD ⊥BE ．………………………………………………………………………12分 19．解：（Ⅰ）∵2*2,(N )
n S n n n =+∈．
当2n ≥时，121n n n a S S n -=-=+，
当1n =时，
113a S ==满足上式，
所以数列{}
n a 的通项公式为
21
n a n =+； …………………………………4分
（Ⅱ）∵*{|42,N }P x x n n ==+∈，
*
{|22,N }Q x x n n ==+∈， ∴P Q P =I ． 又∵n c P Q
∈I ，其中
1
c 是P Q I 中的最小数，∴16
c =，
∵
{}
n c 的公差是4的倍数，∴
*1046(N )
c m m =+∈．
又∵10110115c <<，∴
*
11046115,N ,m m <+<⎧⎨∈⎩ 解得27m =，所以
10114
c =， ………………………………………9分
设等差数列的公差为d ，
则1011146
121019c c d --=
==-，
∴
6(1)12126
n c n n =+-=-，
所以
{}
n c 的通项公式为
126
n c n =-． …………………………………12分
20．解：（Ⅰ）∵)0,3(-A 在圆B 的内部， ∴两圆相内切，所以
AC
BC -=8，
即
AB
AC BC >=+8．
∴C 点的轨迹是以A ,B 为焦点的椭圆，且长轴长82=a ，4=a ，3=c ，
79162
=-=∴b ∴曲线T 的方程为：17162
2=+y x ．…………………………………4分
（Ⅱ）当直线MN
47=
=,72
=OQ ．
∴||||cos π7λAM AN AM AN ⋅=⋅⋅=u u u u r u u u r u u u u r u u u r ，则
167-
=λ；………………………………5分 当直线MN 斜率存在时，设),(11y x M ，),(22y x N ，MN :)3(+=x k y ，则OQ :kx y =，
由22716112,
(3),x y y k x ⎧+=⎨=+⎩得
011214496)167(2
222=-+++k x k x k ， 则2
2
2116796k k x x +-=+，2221167112144k k x x +-=⋅, ………………………………………8分 ∴
()()[]()[]22
21212
212
21167499333k k x x x x k x x k y y +-=
+++=++=． ()()222121167)
1(4933k k y y x x ++-=
+++=⋅．…………………………………10分 由22716112,,x y y kx ⎧+=⎨=⎩得112167222=+x k x ，则
22167112k x +=， ∴
(
)
()
22
2
2
2
2
2
16711121k k x k y x ++=
+=+=，由2λ=⋅可解得167-=λ． 综上，存在常数=
λ167-
，使2
λ=⋅总成立．…………………………13分
21．解：（Ⅰ）因为(1)102
a
f =-
=，所以2a =， …………………………1分 此时2
()ln ,0f x x x x x =-+>，
2121
()21(0)x x f x x x x x
-++'=-+=> , …………………………………… 2分
由()0f x '=，得1x =，所以()f x 在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，
故当1x =时函数有极大值，也是最大值，所以()f x 的最大值为(1)0f =．… 4分 （Ⅱ）2
1()()1)ln (1)12
g x f x ax x ax a x =-=-
+-+-(， 所以21(1)1
()(1)ax a x g x ax a x x
-+-+'=-+-=．
当0a ≤时，因为0x >，所以()0g x '>．
所以()g x 在(0,)+∞上是递增函数， ……………………………… 6分
当0a >时，21
()(1)
(1)1()a x x ax a x a g x x x
-+-+-+'==-
， 令()0g x '=，得1x a
=
． 所以当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a
∈+∞时，()0g x '<，
因此函数()g x 在1(0,)x a ∈是增函数，在1(,)x a
∈+∞是减函数． 综上，当0a ≤时，函数()g x 的递增区间是(0,)+∞，无递减区间；
当0a >时，函数()g x 的递增区间是1(0,)a ，递减区间是1(,)a
+∞． ………10分 （Ⅲ）当2a =-时，2
()ln ,0f x x x x x =++>．
由1212()()0f x f x x x ++=，即22
11122212ln ln 0x x x x x x x x ++++++=． 从而2
12121212()()ln()x x x x x x x x +++=⋅-⋅．
令12t x x =⋅，则由()ln t t t ϕ=-得，1
()t t t
ϕ-'=
．………………………………12分 可知，()t ϕ在区间(0,1)上单调递减，在区间(1,)+∞上单调递增． 所以()(1)1t ϕϕ=≥，
所以2
1212()()1x x x x +++≥，因为120,0x x >>,
因此121
2
x x +≥
成立．…………………………………………… 14分
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