2021年高考物理最新模拟题精练专题4.18 单导体棒切割磁感线问题(计算题)(能力篇)(解析版)

2021年高考物理100考点最新模拟题千题精练（选修3-2）
第四部分 电磁感应
专题4.18 单导体棒切割磁感线问题（计算题）（能力篇）
计算题
1．（9分）（2020北京海淀一模）如图19所示，MN 、PQ 为足够长的光滑平行金属导轨，两导轨的间距L=0.50m ，导轨平面与水平面间夹角θ=37°，N 、Q 间连接一阻值R=0.40Ω的定值电阻，在导轨所在空间内有垂直于导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度B=0.20T 。

将一根金属棒垂直于MN 、PQ 方向置于导轨的ab 位置，金属棒与导轨接触的两点间的电阻r=0.10Ω，导轨的电阻可忽略不计。

现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与导轨垂直，且与导轨接触良好。

当金属棒滑行至cd 处时，其速度大小v=4.0m/s ，已知重力加速度g=10m/s 2，sin37°=0.60，cos37°=0.80。

求：
（1）金属棒沿导轨开始下滑时的加速度大小a ； （2）金属棒滑至cd 处时电阻R 两端的电压大小U ； （3）金属棒滑至cd 处时电阻R 的电功率大小P 。

【名师解析】（9分）
（1）金属棒沿导轨开始下滑时受重力和轨道对其的支持力，设其质量为m ，根据牛顿第二定律，沿轨道斜面方向有 mg sin θ=ma ……………………………（1分）
解得 a=g sin θ=6.0m/s 2………………………………………………………………（2分） （2）金属棒达到cd 处时的感应电动势E=BLv=0.40V…………………………（2分） 根据闭合电路欧姆定律可知，电阻R 两端的电压
U=
E
R R r
=0.32V…………………………………………………（2分） （3）电阻R 上的电功率P=U 2/R=0.256W…………………………………………（2分）
2.（20分）（2020高考模拟示范卷4）如图所示，水平面上有两条相互平行的光滑金属导轨PQ 和MN 间距为d ，左侧P 与M 之间通过一电阻R 连接，两条倾角为θ的光滑导轨与水平导轨在N 、Q 处平滑连接，水平导轨的FDNQ 区域有竖直方向的匀强磁场，磁感应强度为B ，磁场区域长度为x 。

P ，M 两处有套在导轨上的两根完全相同的绝缘轻质弹簧，其原长为PF ，现用某约束装量将两弹簧压缩到图中虚线处，只要有微
图19
小扰动，约束装置就解除压缩。

长度为d ，质量为m ，电阻为R 的导体棒，从AC 处由静止释放，出磁场区域后向左运动触发弹簧。

由于弹簧的作用，导体棒向右运动，当导体棒进入磁场后，约束装置重新起作用，将弹簧压缩到原位置.
（1）若导体棒从高水平导轨高h 的位置释放，经过一段时间后重新滑上斜面，恰好能返回原来的位置，求导体棒第一次出磁场时的速率
（2）在（1）条件下，求每根弹簧被约束装置压缩后所具有的弹性势能。

（3）要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，则导体神初始高度H 及每根弹簧储存的弹性势能需要满足什么条件？
【参考答案】 (1)v 22gh -222B d x mR (2) E p 2222B d x gh R (3) H ＞442228B d x m gR 且E P ≥442
2
4B d x mR
【名师解析】（1）导体棒在倾斜轨道上向下滑动的过程中，根据机械能守恒定律有： mgh =
2
112
mv 解得：v 12gh 导体棒越过磁场的过程中，根据动量定理可得： -BdIt =mv 2-mv 1，
根据电荷量的计算公式q =It =
R =Bdx R
解得v 22gh 222B d x
mR
； （2）设解除弹簧约束，弹簧恢复压缩后导体棒的速度为v 3，根据导体棒与弹簧组成的系统机械能守恒可得：
2312mv =2
212
mv +2E p ； 导体棒向右通过磁场的过程中，同理可得：
v 4=v 3-222B d x mR
； 由于导体棒恰好能回到原处，所以有v 4=v 1，
联立解得：E p=
22
2
2
B d x
gh
R
；
（3）导体棒穿过磁场才能把弹簧压缩，故需要满足v2＞0，
即H＞
442
22 8
B d x m gR
要使导体棒不断地运动下去，导体棒必须要回到NQ位置，则：
E P=
22
2
2
B d x
gH
R
≥
442
2
4
B d x
mR
要使导体棒最终能在水平导轨与倾斜导轨间来回运动，H＞
442
22
8
B d x
m gR
，且弹簧的弹性势能满足E P≥
442
2
4
B d x
mR。

3.（2019北京顺义一模）固定在水平面内的两条平行光滑金属导轨，间距L＝0.6m，左端连接一阻值R＝2.0Ω
的定值电阻，导轨所在空间存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度B＝1.0T，其俯视图如图所示。

长度恰好等于导轨间距的导体棒MN放在导轨上，其质量m＝0.6kg、电阻r＝1.0Ω，与导轨始终垂直且接触良好，导轨的电阻可忽略不计。

现用平行于导轨的拉力F作用在导体棒上，使其沿导轨向右匀速运动，速度v0＝5m/s。

（1）求匀速运动过程中MN两点的电势差，并且指出M、N两点哪点电势高；
（2）某时刻撤去外力F，求撤去外力F后至速度变为v1＝2.0m/s的过程中
a．电流流过外电阻R产生的焦耳热；
b．导体棒MN向右移动的距离。

（3）在上述情景中，金属棒MN相当于一个电源，这时的非静电力与棒中自由电子所受洛伦兹力有关。

请根据电动势的定义，推导金属棒MN中的感应电动势E＝BLV。

【名师解析】（1）切割磁感应线产生的感应电动势E＝BLv0＝1×0.6×5V＝3V，
MN两端的电势差大小，
根据右手定则可知，N端为电源的正极，所以N点电势高；
（2）a、根据能量守恒可得回路产生的焦耳热Q＝，
解得：Q＝6.3J，
另有 ；
b 、设导体棒移动的距离为x ，所用时间为t ，据动量定理得，化简得﹣BLq ＝mv 1﹣
mv 0，
据电磁感应的电荷量推论公式，
联立解得：x ＝15m ；
（3）棒向右运动时，电子具有向右的分速度，受到沿棒向上的洛伦兹力为：f ＝evB 电子在f 的作用下，电子从M 移动到N 的过程中，非静电力做功为：W ＝evBL 根据电动势定义为：E ＝， 解得：E ＝Blv ；
4．(2019·南阳模拟)如图甲所示，相距d 的两根足够长的金属棒制成的导轨，水平部分左端ef 间连接一阻值为2R 的定值电阻，并用电压传感器实际监测两端电压，倾斜部分与水平面夹角为37°.长度也为d 、质量为m 的金属棒ab 电阻为R ，通过固定在棒两端的金属轻滑环套在导轨上，滑环与导轨上MG 、NH 段动摩擦因数μ＝1
8(其余部分摩擦不计)．MN 、PQ 、GH 相距为L ，MN 、PQ 间有垂直轨道平面向下、磁感应
强度为B 1的匀强磁场，PQ 、GH 间有平行于斜面但大小、方向未知的匀强磁场B 2，其他区域无磁场，除金属棒及定值电阻，其余电阻均不计，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，当ab 棒从MN 上方一定距离由静止释放通过MN 、PQ 区域(运动过程中ab 棒始终保持水平)，电压传感器监测到Ut 关系如图乙所示．
(1)求ab 棒刚进入磁场B 1时的速度大小； (2)求定值电阻上产生的热量Q 1；
(3)多次操作发现，当ab 棒从MN 以某一特定速度进入MNQP 区域的同时，另一质量为2m 、电阻为2R 的金属棒cd 只要以等大的速度从PQ 进入PQHG 区域，两棒均可同时匀速通过各自场区，试求B 2的大小和方向．
【名师解析】：(1)ab 棒刚进入磁场B 1时电压传感器的示数为U ，根据闭合电路欧姆定律得E 1＝U ＋U 2R
·R ， 解得E 1＝1.5U ，
根据法拉第电磁感应定律得：E 1＝B 1dv 1，
解得v 1＝1.5U
B 1d
；
(2)设金属棒ab 离开PQ 时的速度为v 2，根据图乙可知．定值电阻此时两端电压为2U ，根据闭合电路的欧姆定律可得
B 1dv 2
2R ＋R
·2R ＝2U ， 解得v 2＝3U
B 1d
，
棒ab 从MN 到PQ ，根据动能定理可得：mg sin 37°·L －μmg cos 37°·L －W 安＝12mv 22－12mv 2
1， 根据功能关系可得产生的总焦耳热Q 总＝W 安，则定值电阻产生的焦耳热为Q 1＝2R
2R ＋R
Q 总， 联立解得Q 1＝13mgL －9mU 24B 21d
2；
(3)两棒以相同的初速度进入场区，匀速经过相同的位移，对ab 棒，根据共点力的平衡可得
mg sin 37°－μmg cos 37°－B 21d 2v
2R
＝0，
解得v ＝mgR
B 21d
2.
对cd 棒，因为2mg sin 37°－μ·2mg cos 37°＞0，故cd 棒安培力必须垂直导轨平面向下，根据左手定则可知磁感应强度B 2沿导轨平面向上，cd 棒也匀速运动，则有
2mg sin 37°－μ(2mg cos 37°)＋B 2×12×B 1dv 2R ×d ＝0，
将v ＝mgR
B 21d
2代入解得B 2＝32B 1.
答案：(1)1.5U B 1d (2)13mgL －9mU 2
4B 21d
2 (3)32B 1 方向沿导轨平面向上
5．(14分)如图17所示，在坐标xOy 平面内存在B ＝2.0 T 的匀强磁场，OA 与OCA 为置于竖直平面内的光滑金属导轨，其中OCA 满足曲线方程x ＝0.50sin
π
5
y m ，C 为导轨的最右端，导轨OA 与OCA 相交处的O 点和A 点分别接有体积可忽略的定值电阻R 1和R 2，其中R 1＝4.0 Ω、R 2＝12.0 Ω．现有一足够长、质量m ＝0.10 kg 的金属棒MN 在竖直向上的外力F 作用下，以v ＝3.0 m/s 的速度向上匀速运动，设棒与两导轨接触良好，除电阻R 1、R 2外其余电阻不计，g 取10 m/s 2，求：
图17
(1)金属棒MN 在导轨上运动时感应电流的最大值； (2)外力F 的最大值；
(3)金属棒MN 滑过导轨OC 段，整个回路产生的热量． 【名师解析】
(1)金属棒MN 沿导轨竖直向上运动，进入磁场中切割磁感线产生感应电动势．当金属棒MN 匀速运动到C 点时，电路中感应电动势最大，产生的感应电流最大．金属棒MN 接入电路的有效长度为导轨OCA 形状满足的曲线方程中的x 值．因此接入电路的金属棒的有效长度为L ＝x ＝0.5sin π
5
y ，L m ＝x m ＝0.5 m ，
由E m ＝BL m v ，得E m ＝3.0 V ， I m ＝
E m R 并，且R 并＝R 1R 2
R 1＋R 2
， 解得I m ＝1.0 A
(2)金属棒MN 匀速运动的过程中受重力mg 、安培力F 安、外力F 外作用，金属棒MN 运动到C 点时，所受安培力有最大值，此时外力F 有最大值，则
F 安m ＝I m L m B ，F 安m ＝1.0 N ， F 外m ＝F 安m ＋mg ，F 外m ＝2.0 N.
(3)金属棒MN 在运动过程中，产生的感应电动势 e ＝3.0sin π5y ，有效值为E 有＝E m 2.
金属棒MN 滑过导轨OC 段的时间为t t ＝
y Oc v ，y ＝52 m ，t ＝56
s 滑过OC 段产生的热量 Q ＝E 2有
R 并
t ，Q ＝1.25 J.
6.(20分) （2019湖北名校联盟三模）如图所示，一折角θ=45°的导体框架水平固定放置，处于垂直纸面向里的匀强磁场中，一根足够长的截面均匀的导体棒放在导体框架上。

t =0时导体棒与O 点的距离为l 0，此时在外力作用下以初速度v 0开始运动。

已知导体棒中的感应电流与时间的关系是I =I 0+kt （I 0与k 均为常
量且已知），在时刻，导体棒的电功率为P 0。

除导体棒外，其余各部分电阻均不计。

求：
（1）试推导出导体棒的速度随时间的变化关系；
（2）在时刻，导体棒与O点的距离；
（3）匀强磁场的磁感应强度。

【名师解析】（1）设导体棒单位长度的电阻为R0，磁感应强度为B，则：
在t=0时刻，根据闭合电路的欧姆定律可得：
在某一时刻t，根据闭合电路的欧姆定律可得：I=I0+kt=
联立解得：v=v0+t
（2）由于v=v0+t，所以导体棒做匀加速直线运动，其加速度a=
在时刻，导体棒的速度v=v0+t=3v0，
此过程中导体棒的位移：
导体棒与O点的距离L=l0+x=l0+；
（3）在时刻，导体棒的电功率为P0．此时导体棒的有效切割长度为L=l0+；
电流强度为I=I0+kt=3I0，
根据电功率的计算公式可得P0=BILv
解得：。

7.（2019四川内江二模）如图所示，两光滑平行金属导轨abcd、d'c'b'a'，aa'之间接一阻值为R的定值
电阻，dd'之间处于断开状态，abb'a'部分为处于水平面内，且ab=bb'=b'a'=a'a=L，bcdb'c'd'部分为处于倾
角为θ的斜面内，bc=cd=dd'=d'c'=c'b'=b'b=L．abb'a'区域存在一竖直向下的磁场B1，其大小随时间的变化规律为B1=kt（k为大于零的常数）；cdd'c'区域存在一垂直于斜面向上的大小恒为B2的磁场。

一阻值为r、质量为m的导体棒MN垂直于导轨从bb'处由静止释放。

不计导轨的电阻，重力加速度为g。

求：（1）导体棒MN到达cc'前瞬间，电阻R上消耗的电功率；
（2）导体棒MN从bb'到达cc'的过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）若导体棒MN到达cc'立即减速，到达dd'时合力恰好为零，求导体棒MN从cc'到dd'运动的时间。

【名师解析】（1）因磁场B1随时间的变化规律为B1=kt，所以，
abb'a'所组成回路产生的感应电动势为：
流过电阻R的电流为：
电阻R消耗的功率为：
联立以上各式求得：；
（2）电阻R的电荷量为：
其中
根据牛顿第二定律有：mg sinθ=ma
导体棒从MN从bb'到达cc'中，通过的位移为：
联立解得：；
（3）根据（2）问，求得导体棒到达cc'时的速度为：
到达dd'时合力为0，则有：
解得：
导体棒MN从cc'到达dd'过程中，运用动量定理有：
从cc'到达dd'过程中，流过导体棒MN的电荷量为：
联立以上式子，求得：
（式中，）
答：（1）导体棒MN到达cc'前瞬间，电阻R上消耗的电功率；
（2）导体棒MN从bb'到达cc'的过程中，通过电阻R的电荷量；
（3）若导体棒MN到达cc'立即减速，到达dd'时合力恰好为零，导体棒MN从cc'到dd'运动的时间
（式中）。

8.(2016·河南洛阳模拟)如图所示，两完全相同的金属棒垂直放在水平光滑导轨上，其质量均为m＝1 kg，导轨间距d＝0.5 m，现两棒并齐，中间夹一长度不计的轻质压缩弹簧，弹簧弹性势能为E p＝16 J。

现释放弹簧(不拴接)，弹簧弹开后，两棒同时获得大小相等的速度开始反向运动，ab棒进入一随时间变化的磁场，已知B＝2＋0.5t(单位：T)，导轨上另有两个挡块P、Q，cd棒与之碰撞时无能量损失，开始时挡块P与cd棒之间的距离为16 m，ab棒与虚线MN之间的距离为16 m，两棒接入导轨部分的电阻均为R＝5 Ω，导轨电阻不计。

若从释放弹簧时开始计时(不考虑弹簧弹开两棒的时间，即瞬间就弹开两棒)，在ab棒进入磁场边界的瞬间，对ab棒施加一外力F(大小和方向都可以变化)，使之做加速度大小为a＝0.5 m/s2的匀减速直线运动，求：
(1)ab 棒刚进入磁场时的外力F 的大小和方向； (2)ab 棒速度为零时所受到的安培力。

【名师解析】 (1)弹簧弹开瞬间，设两棒的速度大小均为v 0，在这个过程中，系统的机械能守恒，则E p ＝2×12mv 20，解得v 0＝4 m/s
ab 棒经t 1＝16
4 s ＝4 s 进入磁场，此时磁感应强度大小为
B 1＝2 T ＋0.5×4 T ＝4 T
ab 棒受到的安培力F 安＝B 21d 2
v 0
2R
＝1.6 N ，方向水平向左
由牛顿第二定律得F 安－F ＝ma
则所加外力F ＝F 安－ma ＝1.1 N ，方向水平向右。

(2)ab 棒进入磁场后，又经t 2＝v 0
a ＝8 s 速度变为零，而cd 棒与两挡块碰撞后反向运动，恰好在a
b 棒速度
为零时到达磁场边界MN ，故此时的电动势E ＝B 2dv 0
其中B 2＝2 T ＋0.5×12 T(此时时间过去了12 s)＝8 T 解得E ＝16 V ，I ＝E
2R
＝1.6 A
所以此时ab 棒受到的安培力F 安′＝B 2Id ＝8×1.6×0.5 N ＝6.4 N ，方向水平向右。

答案 (1)1.1 N 方向水平向右 (2)6.4 N 方向水平向右
9．(10分) （2020新高考冲刺仿真模拟）如图所示，有一倾斜的光滑平行金属导轨，导轨平面与水平面的夹角为θ＝30°，导轨间距为L ，接在两导轨间的电阻为R ，在导轨的中间矩形区域内存在垂直斜面向上的匀强磁场，磁感应强度大小为B ，磁场区域的长度为2L .一质量为m ，有效电阻为0.5R 的导体棒从距磁场上边缘2L 处由静止释放，整个运动过程中，导体棒与导轨接触良好，且始终保持与导轨垂直．不计导轨的电阻，重力加速度为g .
(1)求导体棒刚进入磁场时的速度v 0的大小；
(2)若导体棒离开磁场前已达到匀速，求导体棒通过磁场的过程中，电阻R 上产生的焦耳热Q R .
【参考答案】 (1)2gL (2)43mgL －3m 3g 2R 2
16B 4L 4
【名师解析】 (1)导体棒从静止下滑距离2L 的过程中，由动能定理得mg ·2L sin θ＝12
mv 02－0 解得v 0＝2gL .
(2)设导体棒在磁场中匀速运动的速度为v ，此时导体棒切割磁感线产生的感应电动势E ＝BLv
产生的感应电流为I ＝E R ＋0.5R
产生的安培力为F 安＝BIL
由平衡条件得mg sin θ＝F 安
联立解得v ＝3mgR 4B 2L 2 导体棒从开始释放到刚离开磁场的过程中，由能量守恒定律得
mg ·4L sin θ＝12
mv 2＋Q 总 则在电阻R 上产生的热量为Q R ＝R 1.5R Q 总
解得Q R ＝43mgL －3m 3g 2R 2
16B 4L 4
.。