高中物理竞赛习题天体运动
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2 2
2
解：【分析】考查万有引力定律的基本使用 【解答】近似认为由引力提供全部的重力 mg = 得 g= 改变至 R′ = (1 − 0.0150)R g′ = g GM R2 (22) GM m R2 (21)
R2 = 10.1ms−2 R ′2
(23)
8. 用不同的方法估算银河系的质量，所得结果也不相同. 以下是诸多估算方法中的一种：根据观 测结果估计，从银河系中心到距离为 R = 3 × 109 R0 （R0 表示地球绕日轨道半径）的范围内 集中了质量 M1 = 1.5 × 1011 M0 （M0 表示太阳质量） . 在上面所指的范围内星体运转周期为 T = 3.75 × 108 年. 求银河系“隐藏”的质量是太阳质量的多少倍，即在半径为 R 的球体内未被 观察到的物质质量. 计算中可以认为银河系的质量都集中在其中心.
在东经 98◦ 的大圆中，由余弦定理，卫星到嘉峪关的距离为 d= √ r2 + R2 − 2Rr cos α (3)
由于光速远大于卫星的线速度，忽略传播过程中地球和卫星的运动，用时： √( ) ) ( t=
R2 gT 2 4π 2 2/3
+ R2 − 2R c
R2 gT 2 4π 2
1/3
cos α
第 5 页 (共 37 页)
(32)
对 (M − m) 径向动力学方程：
Gm 4π 2 = r2 r2 T2 GM 4π 2 = r r2 T2 ( m+M −m M )1 3 )
(33)
解得：
(34)
即： r=
(
GM T 2 4π 2
(35)
11. 卫星在地球附近的赤道平面内运动，运动方向或者顺地球自转方向，或者与之相反. 在地面参照 系中，求卫星在第二种情况下的动能是第一种情况的多少倍？
2 3
解：【分析】最小周期出现在轨道半长轴最小时 【解答】 （1）设地月半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m，密度分别为 ρE , ρM ，则当 表面卫星运动时引力提供向心力，地球表面： 4π 2 GM R= 2 T2 R 月球表面： Gm 4π 2 r= 2 T2 r 因此得到： R3 M = r3 m (39) (38) (37)
2
3
为 h = 1m）
解：【分析】掌握逃逸速度的概念即可. 【解答】以 v 表示运动员起跳速度，若他一跳能跃出此星球引力范围，则需满足 0 又该星球质量应为 M= 4 3 πR ρ, 3 (8) E= 1 GM m mv 2 − , 2 R (7)
运动员在地球上和在该行星上起跳的初速度应该相等，即都为 v ，设在地球上跳高时，运动 员的重心能升高 h，则 v 值又满足 v 2 = 2gh, 联立以上三式可解得 M 取 h = 1m，并以题给各已知量代入可得 M 3.71 × 1014 kg. (11) ( )3/2 ( )1/2 . (10) (9)
第 2 页 (共 37 页)
解：【分析】本题要分析清楚需要几个同步卫星，利用对称性将问题集中在一个几何参量 上，再判断单调性即可. 【解答】设同步卫星轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π /T 得 r= ( R2 gT 2 4π 2 )1/3 = 4.23 × 107 m (16) GM m r2 (15)
由上两式可解得 M= 可见银河系“隐藏”的质量为 ∆m = M − M1 = 4.2 × 1010 M0 . (27)
2 R 3 T0 M0 = 1.92 × 1011 M0 . 3 2 R0 T
(26)
第 4 页 (共 37 页)
9. 三个质量皆为 m 的质点 A、B 、C 位于一个边长为 a 的等边三角形的三个顶点上，如图所示. 质点间有万有引力作用. 为使此三角形保持不变，三个质点皆应以角速度 ω 绕通过它们的质心 O 并垂直于三角形平面的轴旋转. 试求此角速度的大小.
(31)
10. 双星是由两颗星组成的一个系统，两星在引力作用下绕系统的质心旋转. 设两星的总质量为 M ， 旋转周期等于 T . 求两颗星之间的距离.
解：【分析】分别对每颗星进行分析即可 【解答】设其中一个质量为 m，则另一个为 (M − m) 对 m 径向动力学方程： G(M − m) 4π 2 = r1 r2 T2
GM = R3
g = 1.24 × 10−3 rad/s R
(6)
第 1 页 (共 37 页)
3. 设某行星的密度与地球密度相等，约为 5.5 × 103 kg/m ，若一个在地球上的跳高运动员在该 行星上一跃即可逸出此星球，则该星球的质量至多只能为多少？ （地球表面的重力加速度为 g = 9.8 m/s ，万有引力常数为 G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 。作为估算运动员在地球上的成绩取
√ m2 3G 2 , a
(28)
FA 的方向由 A 指向 O. 质点 A 绕 O 旋转，FA 即为其作圆周运动的向心力，则有 FA = mω 2 RAO . 由于三者质量相同，它们的质心即位于 ∆ABC 的重心处，乃有 RAO = 代入前式可解得 ω= 对其他两质点同理也有同样的 ω 值. 2 1 a cos 30◦ = √ a, 3 3 √ 3Gm . a3 (30) (29)
smin c 3
√ = 2 (r − R) + 2 r2 − R2 > smin
(20)
= 0.32s
6. 要使一颗人造地球通信卫星（同步卫星）能覆盖赤道上从东经 75.0◦ 到东经 135.0◦ 之间的区域，
第 3 页 (共 37 页)
已知地球半径 R0 = 6.37 × 106 m，地球表面处的重力加速度 g = 9.80m/s . 可知所在位置的经度 应有一个范围. (1) 则该卫星应定位在东经多少度以东的上空？ (2) 该卫星应定位在东经多少度以西的上空？ 7. 已知地球表面重力加速度的值为 9.80m/s ，若地球半径缩小 1.50% 而其质量不变，则地球表面 重力加速度的值将变为多少 m/s ？
其中已经利用了：V1 = 7900m/s，T = 24 × 3600s，R = 6.4 × 106 m
12. (1) 假定地球表面附近的一个地球卫星每 90 分钟转一周，还假定月球表面附近的一个月球卫星 也需 90 分钟转一周. 关于月球的密度与地球密度之比值. (2) 求中子星卫星绕中子星旋转的最小可能周期（秒） . 已知中子星密度 ρ = 1017 kg/m ， G = 6.67 × 10−11 N · m2 /kg .
解：【分析】此题利用常见物理常量估计不常见物理常量，不要直接 google 太阳和地球质 量 ...... 【解答】地球公转向心力由太阳提供： 4π 2 GM = l · l2 T2 ( )3 3 × 108 × 500 × 4π 2 6.67 × 10−11 × (365 × 24 × 3600)
gh G
3 4πρຫໍສະໝຸດ 4. 已知月球绕地球运行的周期约为 28 天，则月球与地球间的距离约为多少 km？
解：【分析】万有引力定律的基础运用 【解答】设月球轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π/T 得 r= 代入 T = 28 × 86400s 得 r = 3.9 × 105 km (14) ( GM m r2 )1/3 (13) (12)
√ ds 2r cos ϕ =√ ( R2 + r2 − 2Rr sin ϕ − R) 2 2 dϕ R + r − 2Rr sin ϕ ϕ
范围内导数
恒为正，所以 s 关于 ϕ 单调递增. 两卫星的最短路径为 (19)
若欲安排三个及以上个卫星以得到比上面更短的结果，则第一个卫星和最后一个卫星的连线 必须穿过地球内部，否则中间那些卫星只是增加了路程，那么从第一个卫星到最后一个卫星 √ 的总路程就有下界 2 r2 − R2 . 而两地到卫星轨道最短连线均为 r − R，故 s 于是 tmin =
路径不允许穿过地球内部，所以至少需要两个同步卫星，且最短路径应该是对称的，应该在 一个平面内. 设 ϕ 如图，则总路程为 s=2 √ R2 + r2 − 2Rr sin ϕ + 2r sin ϕ (17) (18)
π 2
由三角不等式
√ R2 + r2 − 2Rr sin ϕ − R > r − R > 0，故在 arcsin R r √ smin = 2 r2 − R2 + 2R = 9.64 × 107 m
解：【分析】速度和动能都是跟参考系相关的量 【解答】设地球半径和自转周期分别为 R 和 T ，可以得到在太阳参照系中卫星的速度分别 为 V1 −
2π R T
和 V1 +
2π R，于是得到动能之比为： T 1 m(V1 2 1 m(V1 2
η=
+ −
2π R)2 T 2π R)2 T
= 1.266
(36)
(4)
2. 假设地球自转的角速度发生变化，而导致由于地球自转使其自身发生破裂，则此临界转速为多 少？已知地球半径为 6.4 × 103 km.
解：【分析】考查基本技能，完全由引力提供赤道上的向心力时破裂. 【解答】记 R = 6.4 × 103 km，设临界角速度为 ω ，考查赤道上的一小块，其动力学方程为 mω 2 R = 由此 ω= √ √ GM m R2 (5)
R2 gT 2 4π 2
5. 设 A、 B 为地球赤道圆的一条直径的两端，利用同步卫星将一讯号由 A 点传至 B 点，至少 需要经历的时间为多少？ （要求有 2 位有效数字）已知地球半径 R = 6.4 × 106 m，重力加速度 g = 9.8ms−2 ，自转周期 T = 8.64 × 104 s.
第 6 页 (共 37 页)
于是有： ρM = ρE 即： ρM : ρE = 1 （2）最小可能周期出现在星球表面运行的卫星，由第（1）问可得： 4π 2 4 = πρG 2 T 3 得到： T = √ 3π = 1.19 × 10−3 s ρG (42) (41) (40)
(43)
13. 已知太阳光从太阳射到地球需 8 分 20 秒，地球公转轨道可近似看成圆轨道，地球半径约为 6.4 × 106 米. 试估算太阳质量 M 与地球质量之比为多少？ （取 1 位有效数字）
高中物理竞赛练习题 天体部分
1. 2000 年 1 月 26 日，我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经 98◦ 的经线在同一平面内. 若 把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经 98◦ 和北纬 α = 40◦ ，已知地球半径为 R，地球自 转周期为 T ，地球表面重力加速度为 g （视为常量） ，光速为 c. 试求该同步卫星发出的微波讯号 传到嘉峪关处的微波接收站所需的时间（要求用题给已知量的符号表示）.
2
(44) = 2.009 × 1030 kg
M= 地球质量：
(45)
Gm =g 2 RE ( )2 9.8 × 6.4 × 106 m= = 6.018 × 1024 kg 6.67 × 10−11 因此有： M 2.009 × 1030 = = 3 × 105 m 6.018 × 1024
解：【分析】分析受力，合成两个引力，即可由动力学方程求解 【解答】质点 B 对质点 A 的引力为 FBA = G 万有引力为 FCA = G m2 ，方向由 A 指向 B . 质点 C 对质点 A 的 a2
m2 ，方向由 A 指向 C . 质点 A 受到的合力为 a2 FA = FBA cos 30◦ + FCA cos 30◦ =
解：【分析】根据观察范围边界上的天体的运动求出真实的全部质量，再减去已观测到的部 分即可. 【解答】对于地球绕太阳转动有动力学方程 GM0 m 2 R0 , = mω0 2 R0 有 M0 =
3 4π 2 R0 2 . GT0
(24)
设题述半径为 R 的范围内的总质量为 M ，则同上应有 M= 4π 2 R3 . GT (25)
解：【分析】先求同步卫星轨道半径，由几何关系求解. 还要对常见参数的量级有一定了解， 才会忽略在相对运动中地球自转带来的影响. 【解答】设同步卫星轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π/T 得 r= ( R2 gT 2 4π 2 )1/3 (2) GM m r2 (1)
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解：【分析】考查万有引力定律的基本使用 【解答】近似认为由引力提供全部的重力 mg = 得 g= 改变至 R′ = (1 − 0.0150)R g′ = g GM R2 (22) GM m R2 (21)
R2 = 10.1ms−2 R ′2
(23)
8. 用不同的方法估算银河系的质量，所得结果也不相同. 以下是诸多估算方法中的一种：根据观 测结果估计，从银河系中心到距离为 R = 3 × 109 R0 （R0 表示地球绕日轨道半径）的范围内 集中了质量 M1 = 1.5 × 1011 M0 （M0 表示太阳质量） . 在上面所指的范围内星体运转周期为 T = 3.75 × 108 年. 求银河系“隐藏”的质量是太阳质量的多少倍，即在半径为 R 的球体内未被 观察到的物质质量. 计算中可以认为银河系的质量都集中在其中心.
在东经 98◦ 的大圆中，由余弦定理，卫星到嘉峪关的距离为 d= √ r2 + R2 − 2Rr cos α (3)
由于光速远大于卫星的线速度，忽略传播过程中地球和卫星的运动，用时： √( ) ) ( t=
R2 gT 2 4π 2 2/3
+ R2 − 2R c
R2 gT 2 4π 2
1/3
cos α
第 5 页 (共 37 页)
(32)
对 (M − m) 径向动力学方程：
Gm 4π 2 = r2 r2 T2 GM 4π 2 = r r2 T2 ( m+M −m M )1 3 )
(33)
解得：
(34)
即： r=
(
GM T 2 4π 2
(35)
11. 卫星在地球附近的赤道平面内运动，运动方向或者顺地球自转方向，或者与之相反. 在地面参照 系中，求卫星在第二种情况下的动能是第一种情况的多少倍？
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解：【分析】最小周期出现在轨道半长轴最小时 【解答】 （1）设地月半径分别为 R 和 r，质量分别为 M 和 m，密度分别为 ρE , ρM ，则当 表面卫星运动时引力提供向心力，地球表面： 4π 2 GM R= 2 T2 R 月球表面： Gm 4π 2 r= 2 T2 r 因此得到： R3 M = r3 m (39) (38) (37)
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为 h = 1m）
解：【分析】掌握逃逸速度的概念即可. 【解答】以 v 表示运动员起跳速度，若他一跳能跃出此星球引力范围，则需满足 0 又该星球质量应为 M= 4 3 πR ρ, 3 (8) E= 1 GM m mv 2 − , 2 R (7)
运动员在地球上和在该行星上起跳的初速度应该相等，即都为 v ，设在地球上跳高时，运动 员的重心能升高 h，则 v 值又满足 v 2 = 2gh, 联立以上三式可解得 M 取 h = 1m，并以题给各已知量代入可得 M 3.71 × 1014 kg. (11) ( )3/2 ( )1/2 . (10) (9)
第 2 页 (共 37 页)
解：【分析】本题要分析清楚需要几个同步卫星，利用对称性将问题集中在一个几何参量 上，再判断单调性即可. 【解答】设同步卫星轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π /T 得 r= ( R2 gT 2 4π 2 )1/3 = 4.23 × 107 m (16) GM m r2 (15)
由上两式可解得 M= 可见银河系“隐藏”的质量为 ∆m = M − M1 = 4.2 × 1010 M0 . (27)
2 R 3 T0 M0 = 1.92 × 1011 M0 . 3 2 R0 T
(26)
第 4 页 (共 37 页)
9. 三个质量皆为 m 的质点 A、B 、C 位于一个边长为 a 的等边三角形的三个顶点上，如图所示. 质点间有万有引力作用. 为使此三角形保持不变，三个质点皆应以角速度 ω 绕通过它们的质心 O 并垂直于三角形平面的轴旋转. 试求此角速度的大小.
(31)
10. 双星是由两颗星组成的一个系统，两星在引力作用下绕系统的质心旋转. 设两星的总质量为 M ， 旋转周期等于 T . 求两颗星之间的距离.
解：【分析】分别对每颗星进行分析即可 【解答】设其中一个质量为 m，则另一个为 (M − m) 对 m 径向动力学方程： G(M − m) 4π 2 = r1 r2 T2
GM = R3
g = 1.24 × 10−3 rad/s R
(6)
第 1 页 (共 37 页)
3. 设某行星的密度与地球密度相等，约为 5.5 × 103 kg/m ，若一个在地球上的跳高运动员在该 行星上一跃即可逸出此星球，则该星球的质量至多只能为多少？ （地球表面的重力加速度为 g = 9.8 m/s ，万有引力常数为 G = 6.67 × 10−11 Nm2 /kg2 。作为估算运动员在地球上的成绩取
√ m2 3G 2 , a
(28)
FA 的方向由 A 指向 O. 质点 A 绕 O 旋转，FA 即为其作圆周运动的向心力，则有 FA = mω 2 RAO . 由于三者质量相同，它们的质心即位于 ∆ABC 的重心处，乃有 RAO = 代入前式可解得 ω= 对其他两质点同理也有同样的 ω 值. 2 1 a cos 30◦ = √ a, 3 3 √ 3Gm . a3 (30) (29)
smin c 3
√ = 2 (r − R) + 2 r2 − R2 > smin
(20)
= 0.32s
6. 要使一颗人造地球通信卫星（同步卫星）能覆盖赤道上从东经 75.0◦ 到东经 135.0◦ 之间的区域，
第 3 页 (共 37 页)
已知地球半径 R0 = 6.37 × 106 m，地球表面处的重力加速度 g = 9.80m/s . 可知所在位置的经度 应有一个范围. (1) 则该卫星应定位在东经多少度以东的上空？ (2) 该卫星应定位在东经多少度以西的上空？ 7. 已知地球表面重力加速度的值为 9.80m/s ，若地球半径缩小 1.50% 而其质量不变，则地球表面 重力加速度的值将变为多少 m/s ？
其中已经利用了：V1 = 7900m/s，T = 24 × 3600s，R = 6.4 × 106 m
12. (1) 假定地球表面附近的一个地球卫星每 90 分钟转一周，还假定月球表面附近的一个月球卫星 也需 90 分钟转一周. 关于月球的密度与地球密度之比值. (2) 求中子星卫星绕中子星旋转的最小可能周期（秒） . 已知中子星密度 ρ = 1017 kg/m ， G = 6.67 × 10−11 N · m2 /kg .
解：【分析】此题利用常见物理常量估计不常见物理常量，不要直接 google 太阳和地球质 量 ...... 【解答】地球公转向心力由太阳提供： 4π 2 GM = l · l2 T2 ( )3 3 × 108 × 500 × 4π 2 6.67 × 10−11 × (365 × 24 × 3600)
gh G
3 4πρຫໍສະໝຸດ 4. 已知月球绕地球运行的周期约为 28 天，则月球与地球间的距离约为多少 km？
解：【分析】万有引力定律的基础运用 【解答】设月球轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π/T 得 r= 代入 T = 28 × 86400s 得 r = 3.9 × 105 km (14) ( GM m r2 )1/3 (13) (12)
√ ds 2r cos ϕ =√ ( R2 + r2 − 2Rr sin ϕ − R) 2 2 dϕ R + r − 2Rr sin ϕ ϕ
范围内导数
恒为正，所以 s 关于 ϕ 单调递增. 两卫星的最短路径为 (19)
若欲安排三个及以上个卫星以得到比上面更短的结果，则第一个卫星和最后一个卫星的连线 必须穿过地球内部，否则中间那些卫星只是增加了路程，那么从第一个卫星到最后一个卫星 √ 的总路程就有下界 2 r2 − R2 . 而两地到卫星轨道最短连线均为 r − R，故 s 于是 tmin =
路径不允许穿过地球内部，所以至少需要两个同步卫星，且最短路径应该是对称的，应该在 一个平面内. 设 ϕ 如图，则总路程为 s=2 √ R2 + r2 − 2Rr sin ϕ + 2r sin ϕ (17) (18)
π 2
由三角不等式
√ R2 + r2 − 2Rr sin ϕ − R > r − R > 0，故在 arcsin R r √ smin = 2 r2 − R2 + 2R = 9.64 × 107 m
解：【分析】速度和动能都是跟参考系相关的量 【解答】设地球半径和自转周期分别为 R 和 T ，可以得到在太阳参照系中卫星的速度分别 为 V1 −
2π R T
和 V1 +
2π R，于是得到动能之比为： T 1 m(V1 2 1 m(V1 2
η=
+ −
2π R)2 T 2π R)2 T
= 1.266
(36)
(4)
2. 假设地球自转的角速度发生变化，而导致由于地球自转使其自身发生破裂，则此临界转速为多 少？已知地球半径为 6.4 × 103 km.
解：【分析】考查基本技能，完全由引力提供赤道上的向心力时破裂. 【解答】记 R = 6.4 × 103 km，设临界角速度为 ω ，考查赤道上的一小块，其动力学方程为 mω 2 R = 由此 ω= √ √ GM m R2 (5)
R2 gT 2 4π 2
5. 设 A、 B 为地球赤道圆的一条直径的两端，利用同步卫星将一讯号由 A 点传至 B 点，至少 需要经历的时间为多少？ （要求有 2 位有效数字）已知地球半径 R = 6.4 × 106 m，重力加速度 g = 9.8ms−2 ，自转周期 T = 8.64 × 104 s.
第 6 页 (共 37 页)
于是有： ρM = ρE 即： ρM : ρE = 1 （2）最小可能周期出现在星球表面运行的卫星，由第（1）问可得： 4π 2 4 = πρG 2 T 3 得到： T = √ 3π = 1.19 × 10−3 s ρG (42) (41) (40)
(43)
13. 已知太阳光从太阳射到地球需 8 分 20 秒，地球公转轨道可近似看成圆轨道，地球半径约为 6.4 × 106 米. 试估算太阳质量 M 与地球质量之比为多少？ （取 1 位有效数字）
高中物理竞赛练习题 天体部分
1. 2000 年 1 月 26 日，我国发射了一颗同步卫星，其定点位置与东经 98◦ 的经线在同一平面内. 若 把甘肃省嘉峪关处的经度和纬度近似取为东经 98◦ 和北纬 α = 40◦ ，已知地球半径为 R，地球自 转周期为 T ，地球表面重力加速度为 g （视为常量） ，光速为 c. 试求该同步卫星发出的微波讯号 传到嘉峪关处的微波接收站所需的时间（要求用题给已知量的符号表示）.
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(44) = 2.009 × 1030 kg
M= 地球质量：
(45)
Gm =g 2 RE ( )2 9.8 × 6.4 × 106 m= = 6.018 × 1024 kg 6.67 × 10−11 因此有： M 2.009 × 1030 = = 3 × 105 m 6.018 × 1024
解：【分析】分析受力，合成两个引力，即可由动力学方程求解 【解答】质点 B 对质点 A 的引力为 FBA = G 万有引力为 FCA = G m2 ，方向由 A 指向 B . 质点 C 对质点 A 的 a2
m2 ，方向由 A 指向 C . 质点 A 受到的合力为 a2 FA = FBA cos 30◦ + FCA cos 30◦ =
解：【分析】根据观察范围边界上的天体的运动求出真实的全部质量，再减去已观测到的部 分即可. 【解答】对于地球绕太阳转动有动力学方程 GM0 m 2 R0 , = mω0 2 R0 有 M0 =
3 4π 2 R0 2 . GT0
(24)
设题述半径为 R 的范围内的总质量为 M ，则同上应有 M= 4π 2 R3 . GT (25)
解：【分析】先求同步卫星轨道半径，由几何关系求解. 还要对常见参数的量级有一定了解， 才会忽略在相对运动中地球自转带来的影响. 【解答】设同步卫星轨道半径为 r，有动力学方程 mω 2 r = 其中 GM = gR2 , ω = 2π/T 得 r= ( R2 gT 2 4π 2 )1/3 (2) GM m r2 (1)