空间向量测试题

2．A
【解析】直线 l 的一个方向向量 a 2, 2, 2 ，平面 α 的一个法向量为 b 1,1, 1
且 a 2b ，即 a / /b .
所以 l α.
应选 A. 3．B
【解析】假设 与 平行，那么存在实数 使得 ＝
a
b
a
b
经过验证，只有 2 2 ， 3 3 ,两组满足条件。
以 ka b ·a 0 ，那么1k 1 k 1 02 0，即 k 1 ，应选 B 2
14．C
【解析】
∵
两点的坐标分别是
，
∴
15．C 【解析】
，应选C.
依题意设
16．D 【解析】
，根据
，解得
，所以选 .
试题分析：
0,
2,
4
4
0,
1 2
,
1
，所以向量
0,
2,
4
与
0,
1 2
,
1
共线
考点：向量共线 17．D 【解析】
A.
B.
C.
或
D.
16．与向量 a ＝〔0，2，－4〕共线的向量是〔 〕
A．〔2，0，－4〕
B．〔3，6，－12〕
C．〔1，1，－2〕
D．
0,
1 2
,
1
17．假设向量 a 1,2,0， b 2,0,1 ，那么
A． cos a,b 120
B． a b
C． a∥b
D． a b
22．点 P2, 1,3 在坐标平面 xOz 内的投影点坐标为______________；
B. 2 a 1 b 1 c 322
C. 1 a 1 b 2 c 223
D. 2 a 2 b 1 c 332
12．在空间直角坐标系 O xyz 中，点 1, 2, 2 关于点 1,0,1 的对称点是 〔 〕
A. 3, 2, 4 B. 3, 2,4 C. 3, 2,4 D. 3, 2, 4
8
8
那么 x : y : z
．
26．向量 a (2,1,2) , b (4,2,m),且 a b ，那么 m 的值为
27．在空间坐标系中，三点 A〔1，0，0〕，B〔0，1，0〕，C〔0，0，1〕，那么平面 ABC 的单位法
向量是
．
28．假设向量
a
(4,2,4),b
(6,3,2)
5,12,6，
AD x0 4, y0 1, z0 3 ，
BC AD ， ∴ x0 4 y0 1 z0 3 ②，
5 12 6
联立①②，
解出： x0 1， y0 13， z0 3．
应选 A ． 5．C
【解析】以向量 e1 的起点为原点，向量 e1 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系。设正方形
A. 10 , 6 3
B. - 10 , 6 6 3
C. -6, 10 , 6 3
D. 6,- 10 , 6 3
9．假设 a =(2，3)， b = 4, 1 y，且 a ∥ b ，那么 y =〔 〕
A. 6 B. 5 C. 7 D. 8
10．向量 a 2, 1, 2,b 2, 2,1 ，以 a、b 为邻边的平行四边形的面积〔 〕
23．向量
，
，且 与 互相垂直，那么 的值是_______．
， 24． a ( 3, 1,0),b (k,0,1),a,b 的夹角为60 ,则k
.
25．假设 A(0, 2, 19) ，B(1, 1, 5) ，C(2,1, 5) 是平面 内的三点，设平面 的法向量 a (x, y, z) ，
8
21．如下图的长方体
中，
，
，
为__________，
___________．
，那么 的中点 的坐标
〔1〕求正方体各顶点的坐标； 〔2〕求 的长度.
31．〔2021 秋•河西区期末〕
．
〔1〕假设
，务实数 k 的值
〔2〕假设
，务实数 k 的值．
32．P 是平面 ABCD 外的点，四边形 ABCD 是平行四边形， AB (2，1， 4), AD (4，2,0),
B． 5
C． 7
D． 1
19．点 A2,3,6 与点 B3,5, 4 ，那么 AB 的中点坐标为__________．
20．在如下图的长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，A1(a,0，c)，C(0，b,0)，那么点 B1 的坐标为________．
30．如图建立空间直角坐标系，正方体的棱长为 .
试题分析：因为向量 a 1,2,0， b 2,0,1 ，所以 a b 1(2) 20 01 2 ，
排除 B；
a 12 22 02 5, | b | (2)2 02 12 5 ，所以 a b ，应选 D．
cos a,b 1 (2) 2 0 01 2 ，A 错，假如 a / / b 那么存在实数 使 a b ，显
假设 a / /b ，那么 4 2 x ，解得 x 6 . 2 1 3
应选 A. 9．C
【解析】由 a ∥ b ， a =(2，3)， b = 4, 1 y，得 21 y 44 ,解得 y 7 .
应选 C. 10．A
【 解 析 】 由 题 意 ， cosa,b a b
2 2 1 2 21
a
b
b
a
故答案选 B
4．A
【解析】设 D x0, y0, z0 ，
∵ AB 2 4, 5 1,1 3
2,6,2 ．
DC 3 x0,7 y0, 5 z0 ，
在平行四边形 ABCD 中，
AB DC ，
∴ 3 x0 7 y0 5 z0 ①，
2
6
2
又∵ BC 3 2, 7 5, 5 1
【解析】由题意可得
AB
7,
9 2
。
由向量共线的条件可以判断向量 a,b, c 与向量 AB 平行，即向量 a,b, c 与直线 AB 平行。选
C。 7．D
【解析】
，应选 D.
8．A
【解析】向量 a 2, 1,3,b 4, 2, x ,
假设 a b ,那么 a b 8 2 3?x 10 3x 0 ，解得 x 10 . 3
4 ，那么
a b 22 12 22 22 22 12 9
sina,b 65 9
，所以平行四边形的面积为
S 2 1 a b sina,b 33 65 65 ，应选 A.
2
9
11．B
【 解 析 】 由 题 意 ， 以 OA,OB,OC 为 基 底 建 立 空 间 向 量 ， 那 么
MN ON OM OB 1 BC 2 OA 2 OA OB 1 OC OB 2 a 1 b 1 c
的边长为 1，那么 e1 1,0,e2 1,1, a 3,1 。
设 a xe1 ye2 ，那么 3,1 x1,0 y1,1 x y, y ，
x y 3
x 2
∴{ y 1
，解得{ y 1
，所以 a 2e1 e2 。选 C。
点睛：由平面向量根本定理可知，在确定了平面的基底后，平面内的任一向量都可以用这组 基底唯一表示，但并没有给出分解的方法。常用的方法有两种：〔1〕根据向量的线性运算， 将向量向着基底转化；〔2〕先确定向量和基底的坐标，根据待定系数法建立方程组，通过代 数方法求解。 6．C
，那么
2a b
a 2b
_______________.
29．如图，在一个 60°的二面角的棱上有两个点 A，B，AC，BD 分别是在这个二面角的两个半平 面内垂直于 AB 的线段，且 AB=4，AC=6，BD=8，那么 CD 的长为_________。
18．假设向量 a 、b 的坐标满足 a b (2 , 1 , 2) ，a b (4 , 3 , 2) ，那么 a · b 等于 A． 5
35．如图四棱锥 S ABCD 中， SD AD ， SD CD ， E 是 SC 的中点， O 是底面正方形 ABCD 的中心， AB SD 6 。 〔Ⅰ〕求证： EO // 面 SAD ； 〔Ⅱ〕求直线 EO 与平面 ABCD 所成的角。
34．〔本大题 12 分〕如图，在棱长为 ɑ 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，E、F、G 分别是 CB、CD、CC1 的 中点．
〔1〕求直线 A1 C 与平面 ABCD 所成角的正弦的值；
〔2〕求证：平面 A B1D1∥平面 EFG； 〔3〕求证：平面 AA1C⊥面 EFG ．
S E
D
C
O
A
B
36．在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB=2，BC=B1B=1，M、N 分别是 AD、DC 的中点. 〔1〕求证：MN//A1C1; 〔2〕求：异面直线 MN 与 BC1 所成角的余弦值.
6．A(4，6)，
B
3,
3 2
，有以下向量：①
a
14,9
；②
b
7,
9 2
；③
c
14 3
,
3
；
④ c 7,9 其中，与直线 AB 平行的向量( )
A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ①②③④
7．三棱锥
，点 分别为 的中点，且
，用 ， ， 表示 ，
A. 1 a 2 b 1 c 232
D1
C1
A1
D
M
A
N
B113 分〕 ABCD A1B1C1D1 是边长为 1 的正方体，求：
〔Ⅰ〕直线 AC1 与平面 AA1B1B 所成角的正切值； 〔Ⅱ〕二面角 B AC1 B1 的大小．
38．在边长是 2 的正方体 ABCD - A1B1C1D1中， E, F 分别为 AB, A1C 的中点. 应用空间向量方法
2
3
3
2
322
，应选 B.
12．A
【解析】设所求点为 x, y, z ，那么 x 1 2, y 2 0, z 2 2，
解得 x 3, y 2, z 4，应选 A.
13．B
【解析】根据题意， ka b k 1,1,0 1,0, 2 k 1, k, 2 ，因为 ka b a ，所
空间向量练习
那么 等于( )
1．在空间直角坐标系中，点 P1，2，3关于平面 xoz 对称的点的坐标是
A. 1， 2，3 B. 1，2，3 C. 1， 2，3 D. 1， 2，3
2．假设直线 l 的一个方向向量 a 2, 2, 2 ，平面 α 的一个法向量为 b 1,1, 1 ，那么
〔〕
A. l α B. l //α C. l α D. A、C 都有可能
为〔 〕．
A. 1,13,3
B. 2,3,1
C. 3,1,5
D.
7 2
,
4,
1
5．如上图，向量 e1 ， e2 ， a 的起点与终点均在正方形网格的格点上，那么向量 a 用基底 e1 ， e2
表示为( )
A.
B.
)
C.
D.
8．向量 a 2, 1,3,b 4, 2, x ，使 a b 成立的 x 与使 a / / b 成立的 x 分别为〔 〕
AP (1，2，1) ,求证 PA 垂直平面 ABCD .
33．长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB 2, BC 1, AA1 1
D1 A1
D
A
C1 B1
C B
〔1〕求直线 AD1与B1D 所成角； 〔2〕求直线 AD1与平面B1BDD1所成角的正弦.
D1
C1
A
1
B1 G
F
C D
A
E B
3．以下四组向量中，互相平行的有〔 〕组．
〔1〕 a 1, 2,1 ， b 1, 2,3 ．〔 2 〕 a 8,4,6 ， b 4,2,3 ．
〔 3 〕 a 0,1, 1， b 0,3,3 ．〔 4 〕 a 3,2,0 ， b 4,3,3 ．
A. 一 B. 二 C. 三 D. 四
4．假设 ABCD 为平行四边形，且 A4,1,3， B2, 5,1， C 3,7, 5 ，那么顶点 D 的坐标
| a || b |
5
然不成立，所以答案为 D． 考点：向量的有关运算． 18．B 【解析】
13．向量 a 1,1,0,b 1,0, 2 ,且 ka b 与 a 互相垂直，那么 k 〔 〕
A. 1
B. 1
C. 1
D. 1
3
2
3
2
14．设一球的球心为空间直角坐标系的原点 ，球面上有两个点 ，其坐标分别为
，
那么
( ) A. 18 B. 12 C.
D.
15．
，点 在 轴上，
，那么点 的坐标是〔 〕
A. 65
B. 65 2
C. 4 D. 8
11．如下图，空间四边形 OABC 中， OA a,OB b,OC c，点 M 在 OA 上，且 OM 2MA，
N 为 BC 中点，那么 MN 等于〔 〕
A. e1 ＋ e2 B. 2 e1 － e2 C. －2 e1 ＋ e2 D. 2 e1 ＋ e2
求解以下问题.
〔1〕求 EF 的长；
〔2〕证明： EF / / 平面 AA1D1D ； 〔3〕证明: EF 平面 A1CD .
参考答案 1．A
【解析】在空间直角坐标系中，两点关于平面 xoz 对称，竖坐标互为相反数，点的坐标是点
P1，2，3关于平面 xoz 对称的点的坐标是 1, 2,3 ，选 A.