【高考复习】2018年高考数学 数列 综合题专项练习(含答案)

2018年高考数学 数列 综合题专项练习
一、选择题：
1.在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，若34825a a a ++=，则9S =( ) A.60 B.75 C.90 D.105
2.已知数列{a n }为等差数列，其前n 项和为S n ，7825a a -=，则11S 为（ ） A.110 B.55 C.50 D.不能确定
3.若数列{a n }，{b n }的通项公式分别为a a n n ∙-=+2016
)
1(，n
b n n 2017
)1(2+-+=，且n n b a <，对任意
*∈N n 恒成立，则实数a 的取值范围是( )
A.)21
,1[- B.[-1,1） C.[-2,1) D.)2
3,2[- 二、填空题：
4.已知等差数列{a n }的公差d ≠0，若a 2
1＋a 2=1，a 2
2＋a 3=1，则a 1=________.
5.已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=－3，S 5=10，则a 9的值是 . 三、解答题：
6.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1＋2，S 3=9＋32. (1)求数列{a n }的通项公式及其前n 项和； (2)设b n =n
S n
，求证：数列{b n }中任意不同的三项都不可能成等比数列.
7.已知数列{a n }的前n 项和1n n S a λ=+，其中λ错误！未找到引用源。

0. （1）证明{a n }是等比数列，并求其通项公式. （2）若531
32
S =
，求λ.
8.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，且3S n =a n+1﹣1. （1）求数列{a n }的通项公式；
（2）设等差数列{b n }的前n 项和为T n ，a 2=b 2，T 4=1+S 3，求的值.
9.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 1=1，2
11(21)20n n n n a a a a ++---=.
（1）求23,a a ；
（2）求{}n a 的通项公式.
10.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.
（1）证明数列{a n ﹣2n
}是等差数列，并求{a n }的通项公式；
（2）设b n =，求b n 的前n 和S n .
11.已知{a n }是各项均为正数的等比数列，且a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3 （1）求数列{a n }通项公式；
（2）{b n }为各项非零的等差数列，其前n 项和为S n 。

已知S 2n+1=b n b n+1，求数列{}n
n
b a 的前n 项和T n .
12.已知数列{a n }中，a 1=4，a n =a n ﹣1+2n ﹣1+3（n ≥2，n ∈N *）.
（1）证明数列{a n ﹣2n
}是等差数列，并求{a n }的通项公式； （2）设b n
=，求b n 的前n 和S n .
13.已知等差数列{a n }满足a 4﹣a 2=2，且a 1，a 3，a 7成等比数列. （1）求{a n }的通项公式；
（2）设，求数列{b n }的前n 项和S n .
14.等差数列{a n }中，34574,6a a a a +=+=
(1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n =[a n ]，求数列{b n }的前10项和.
其中[x]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]=0,[2.6]=2
15.已知数列{a n }的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（1）求数列{b n }的通项公式；
（2）令1
(1)(2)n n n n
n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
16.已知数列{a n }的首项为1， S n 为数列{a n }的前n 项和，S n+1=S n +1，其中q ﹥0，n ∈N +
(1)若a 2，a 3，a 2+ a 3成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2)设双曲线1222
=-n
a y x 的离心率为e n ，且e 2=2，求e 12+ e 22+…+e n 2
，
17.已知{a n }是各项均为正数的等差数列，公差为d .对任意的*∈N n ，n b 是n a 和1+n a 的等比中项.
（1）设2
21n n n b b c -=+，*∈N n ，求证：数列{c n }是等差数列；
（2）设d a =1，∑=-=
n
k k
k
n b T 21
2)1(，*
∈N n ，求证21211d T n
k k
＜∑
=.
18.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n =2﹣3S n （n ∈N *） （1）求数列{a n }的通项公式 （2）设b n =log 2a n ，求数列{1
1
+n n b b }的前n 项和T n .
19.对于给定的正整数k,若数列la n l 满足：
a a a a a a a --+-++-++++++=1111......2n k n k n n n k n k n k =2ka n （对任意正整数n(n> k) 总成立，
则称数列la n l 是“P(k)数列”.
（1）证明：等差数列la n l 是“P(3)数列”；
（2）若数列la n l 既是“P(2)数列”，又是“P(3)数列”，证明：la n l 是等差数列.
20.已知{a n }是公差为d 的等差数列，{b n } 是公比为q 的等比数列，q ≠±1，正整数组E=（m ，p ，r ）（m ＜p ＜r ）
（1）若a 1+b 2=a 2+b 3=a 3+b 1，求q 的值；
（2）若数组E 中的三个数构成公差大于1的等差数列，且a m +b p =a p +b r =a r +b m ，求q 的最大值.
（3）若b n =（﹣）n ﹣1，a m +b m =a p +b p =a r +b r =0，试写出满足条件的一个数组E 和对应的通项公式a n .（注：本小问不必写出解答过程）
21.已知等差数列{a n }的前n （n ∈N*）项和为S n ，a 3=3，且λS n =a n a n+1，在等比数列{b n }中，b 1=2λ，b 3=a 15+1.
（1）求数列{a n }及{b n }的通项公式； （2）设数列{c n }的前n （n ∈N*）项和为T n
，且，求T n .
22.已知数列{a n }的前n 项和2
38n S n n =+，{}n b 是等差数列，且1n n n a b b +=+.
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）令1
(1)(2)n n n n
n a c b ++=+.求数列{}n c 的前n 项和n T .
参考答案
1.答案为：B.
2.答案为：B ；
3.答案为：D ；
4.答案为：－1或2；
解析：a 21＋a 2=1，a 2
2＋a 3=1，两式相减得()a 2＋a 1()a 2－a 1＋a 3－a 2=0，即d ()a 2＋a 1＋d=0，
因为d ≠0，所以a 2＋a 1=－1，即a 2=－1－a 1，代入a 21＋a 2=1，得a 2
1－a 1－2=0，解得a 1=－1或a 1=2. 5.答案为：20. 6.解：
7.解：（1）由题意得1111a S a λ+==，故1≠λ，λ
-=11
1a ，01≠a . 由n n a S λ+=1，111+++=n n a S λ得n n n a a a λλ-=++11，即n n a a λλ=-+)1(1.
由01≠a ，0≠λ得0≠n a ，所以1
1-=+λλ
n n a a .
因此}{n a 是首项为λ-11，公比为1-λλ的等比数列，于是1
)1
(11---=n n a λλλ.
（2）由（Ⅰ）得n n S )1
(1--=λλ，由32315=
S 得3231
)1(15=--λλ， 即=
-5)1
(λλ321，解得1λ=-. 8.解：
9.解：（1）由题意得4
1,2132==
a a . （2）由02)12(112
=---++n n n n a a a a 得)1()1(21+=++n n n n a a a a .
因为{}n a 的各项都为正数，所以2
1
1=+n n a a . 故{}n a 是首项为1，公比为21的等比数列，因此12
1-=n n a . 10.解：
11.解：（1）设{}n a 公比为q ，由题意0,0n a q >>
由a 1+ a 2 =6, a 1a 2= a 3得：112
1116a a q a a q a q
+=⎧⎨=⎩，解得：122a q =⎧⎨=⎩∴ 2n
n a = （2）设{}n b 首项为1b ，公差为d ∴ 21111(21)2(21)(21)()(21)2
n n n n
S n b d n b nd n b +++=++
=++=+ 又211n n n S b b ++=∴ 21n b n =+∴
212
n n n b n a +=
∴ 1
2335721 222
2n n n T +=
++++
①∴ 0
12-1
357
21
2 222
2
n n n T +=++++
② ②-①得：
1211111
2132(
)2222121
32(1)222552
n n n n n n
n T n n --+=++++-+=+--+=-
12.解：
14.试题分析：
（1）根据等差数列的性质求1a ，d ，从而求得n a ； （2）根据已知条件求n b ，再求数列{}n b 的前10项和.
解：(1)设数列{a n }的公差为d ，由题意有11254,53a d a d -=-=，解得121,5
a d ==， 所以{a n }的通项公式为23
5
n n a +=. （2）由(Ⅰ)知235n n b +⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
，当n=1,2,3时，2312,15n n b +≤<=； 当n=4,5时，2323,25n n b +≤
<=；当n=6,7,8时，2334,35n n b +≤<=； 当n=9,10时，23
45,45
n n b +≤<=，
所以数列{}n b 的前10项和为1322334224⨯+⨯+⨯+⨯=.
17.试题分析：
（Ⅰ）先根据等比中项定义得：2
1n n n b a a +=，从而22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，
因此根据等差数列定义可证：()2
12122n n n n c c d a a d +++-=-=
（Ⅱ） 对数列不等式证明一般以算代证先利用分组求和化简
()221
1n
n
n n k T b ==-∑()()()22
22221234212n n b b b b b b -=-++-++-+()221d n n =+，
再利用裂项相消法求和()222111111111111212121n
n n k k k k
T d k k d k k d n ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅- ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑， 易得结论.
试题解析：
（I ）证明：由题意得2
1n n n b a a +=，有22112112n n n n n n n n c b b a a a a da +++++=-=-=，
因此()2
12122n n n n c c d a a d +++-=-=，所以{}n c 是等差数列.
（II ）证明：()()()
222222
1234212n n n T b b b b b b -=-++-++-+
()()
()22224222212
n n n a a d a a a d d n n +=++
+=⋅
=+
所以()2222
111111111111
12121212n
n n k k k k
T d k k d k k d n d ===⎛⎫⎛⎫==-=⋅-< ⎪ ⎪+++⎝⎭⎝⎭∑∑∑. 18.解：
20.解：
22.试题分析：（1）由题意得⎩⎨
⎧+=+=3
222
11b b a b b a ，解得3,41==d b ，得到13+=n b n 。

（2）由（1）知11
2)1(3)
33()66(=-⋅+=++=n n
n n n n n c ， 从而 ]2)1(242322[31
432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T 利用“错位相减法”即得223+⋅=n n n T
解：（1）由题意当2≥n 时，561+=-=-n S S a n n n ，当1=n 时，1111==S a ；
所以56+=n a n ；设数列的公差为d ，由⎩⎨⎧+=+=322
211b b a b b a ，即⎩⎨⎧+=+=d b d
b 321721111，
解之得3,41==d b ，所以13+=n b n 。

（2）由（Ⅰ）知1
12)1(3)
33()66(=-⋅+=++=n n
n n n n n c ，又n n c c c c T +⋅⋅⋅+++=321， 即]2)1(242322[31
432+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，
所以]2)1(242322[322
543+++⋅⋅⋅+⨯+⨯+⨯=n n n T ，以上两式两边相减得
222
1
43223]2)1(1
2)
12(44[3]2
)1(2
2222[3++++⋅-=+---+=+-+⋅⋅⋅+++⨯=-n n n n n n n n n T 。

所以223+⋅=n n n T。