分治策略
分治算法及其典型应用
分治算法及其典型应用
分治算法是一种重要的算法设计策略，它将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，得到原问题的解。
分治算法在计算机科学和算法设计中有着广泛的应用，可以解决许多实际问题，下面将介绍一些典型的应用。
1. 排序算法。
分治算法在排序算法中有着重要的应用。
其中最著名的就是归并排序和快速排序。
在归并排序中，算法将数组分成两个子数组，分别进行排序，然后合并这两个有序的子数组。
而在快速排序中，算法选择一个基准值，将数组分成两个子数组，分别小于和大于基准值，然后递归地对这两个子数组进行排序。
2. 搜索算法。
分治算法也可以用于搜索问题，例如二分搜索算法。
在这种算法中，将搜索区间分成两个子区间，然后递归地在其中一个子区间中进行搜索，直到找到目标元素或者子区间为空。
3. 求解最大子数组问题。
最大子数组问题是一个经典的动态规划问题，也可以用分治算法来解决。
算法将数组分成两个子数组，分别求解左右子数组的最大子数组，然后再考虑跨越中点的最大子数组，最后将这三种情况的最大值作为整个数组的最大子数组。
4. 矩阵乘法。
分治算法也可以用于矩阵乘法。
在矩阵乘法中，算法将两个矩阵分成四个子矩阵，然后递归地进行矩阵乘法，最后将四个子矩阵的结果合并成一个矩阵。
总的来说，分治算法是一种非常重要的算法设计策略，它在许多实际问题中有着广泛的应用。
通过将一个大问题分解成若干个规模较小的子问题，然后递归地解决这些子问题，最后将它们的解合并起来，我们可以高效地解决许多复杂的问题。
NOIP基础算法讲解2
while(i<=mid)do begin temp[p]:=a[i];inc(p);inc(i);end while(j<=right)do begin temp[p]:=a[j];inc(p);inc(i);end for i:=left to right do a[i]:=temp[i]; end;
数据范围：n≤10^6。所有数之和不超过10^9。
例题8：快速幂
【问题】计算an mod k的值 ，其中n<=109。
方法1：朴素算法。每次乘以a，时间复杂度O(n)。 function power(a,n:longint):longint; var x:longint; begin x:=1; for i:=1 to n do x:=x*a; power:=x; end;
时间效率不尽如人意….. 问题出现在哪里呢？？
方法2：分治策略
采用分治求解: ➢划分问题：把序列分成元素个数尽量相等的两半； ➢递归求解：统计i和j均在左边或者均在右边的逆序对个数； ➢合并问题：统计i在左边，但j在右边的逆序对个数。
记数列a[st]~a[ed]的逆序对数目为d(st,ed); mid=(st+ed)/2,则有：
三、分治的三步骤
①划分问题：将要解决的问题分解成若干个规模较 小的同类子问题；
②递归求解：当子问题划分得足够小时，求解出子 问题的解。
③合并问题：将子问题的解逐层合并成原问题的解。
四、分治的框架结构
procedure Divide() begin
五大常用算法
回溯法
基本概念 回溯法是一种选优搜索法，按选优条件向前搜索，以达到目标。但当探索到某一步时，发 现原先选择并不是最优或达不到目标，就退回一步重新选择，这种走不通就退回再走的方 法称为回溯法。 基本思想 在包含问题的所有解的解空间树中，按照深度优先搜索的策略，从根结点出发深度探索解 空间树。当探索到某一结点时，要先判断该结点是否包含问题的解，如果包含，就从该结 点出发继续探索下去，如果该结点不包含问题的解，则逐层向其祖先结点回溯。（其实回 溯法就是对隐式图的深度优先搜索算法）。 若用回溯法求问题的所有解时，要回溯到根，且根结点的所有可行的子树都要已被搜索遍 才结束。 而若使用回溯法求任一个解时，只要搜索到问题的一个解就可以结束 。
Your company slogan
贪心算法
例 在漆黑的夜里，四位旅行者来到了一座狭窄而且没有护栏的桥边。如果不借助手电筒的 话，大家是无论如何也不敢过桥去的。不幸的是，四个人一共只带了一只手电筒，而桥窄得 只够让两个人同时过。如果各自单独过桥的话，四人所需要的时间分别是1、2、5、8分钟； 而如果两人同时过桥，所需要的时间就是走得比较慢的那个人单独行动时所需的时间。问题 是，如何设计一个方案，让这四人尽快过桥 。
2012年林清华等人提出一种新型快速中值滤波算法，主要应用于医学图像.文中方法利 用中值滤波算法对滤波窗口内其他像素点的排列顺序不作要求的特点，将基于排序寻找中 值的过程转换为基于分治查找中值的过程。在分治查找过程中，利用医学图像未受干扰时 图像中像素值的变化是渐变的特性，优先选用中心点附近的像素值进行分治查找，以达到
图1 动态规划决策过程示意图 实际应用中可以按以下几个简化的步骤进行设计： （1）分析最优解的性质，并刻画其结构特征。 （2）递归的定义最优解。 （3）以自底向上或自顶向下的记忆化方式（备忘录法）计算出最优值。 （4）根据计算最优值时得到的信息B→ 2 A←1 AC → 5 A←1 AD → 8 一共就是2+1+5+1+8=17分钟。
如何应用分治算法求解问题
如何应用分治算法求解问题分治算法，英文名为Divide and Conquer Algorithm，是一种高效的算法设计策略，在计算机科学中有着广泛的应用。
该算法将一个大问题分解成多个小问题，各自独立地解决，再将结果合并起来得到最终结果。
在本文中，我们将阐述如何应用分治算法求解问题，并通过几个实例来具体说明该算法的应用。
一、分治算法的原理分治算法的核心思想是将一个大问题分解成若干个小问题来解决，然后将这些小问题的解组合起来生成大问题的解。
其具体步骤如下：1. 分解：将原问题划分成若干个规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决每个子问题。
如果子问题足够小，则直接求解。
3. 合并：将所有子问题的解合并成原问题的解。
分治算法的主要优点在于它可以有效地缩小问题规模，从而缩短整个算法的执行时间。
另外，该算法天然适用于并行计算，因为每个子问题都是独立求解的。
二、分治算法的应用分治算法在各种领域都有广泛应用，包括数学、自然科学、计算机科学等。
以计算机科学领域为例，分治算法常常用于解决以下类型的问题：1. 排序问题2. 查找问题3. 字符串匹配问题4. 最大子序列和问题5. 矩阵乘法问题6. 图形问题下面我们将一一讲解这些问题的分治算法实现。
1. 排序问题排序问题是在一组数据中将其按指定规律进行排列的问题。
在计算机科学中，排序算法是十分重要的一类算法。
其中，分治算法由于其高效性和可并行性被广泛应用。
常用的分治排序算法包括归并排序和快速排序。
归并排序的基本思想是将待排序元素以中心点为界分成两个序列，对每个序列进行排序，然后将两个序列合并成一个有序序列；而快速排序则利用了分割的思想，通过每次选取一个元素作为“轴点”，将数组分成小于轴点和大于轴点的两部分，对这两部分分别进行快速排序。
2. 查找问题查找问题是在一组数据中寻找某个元素的问题。
分治算法在查找问题中的应用主要体现在二分查找中。
在二分查找中，我们首先将已排序的数组分成两半，在其中一半中查找目标值。
论分治策略算法的具体实现
3 分解问题的实现
分解问题的过程主要是依据原问题的本 质将其分解。显然这个步骤中最主要的是分 析问题的本质， 找到问题的要素。 所谓 “ 问题的要素”就是影响问题的解 的内容， 是问题的本质， 是最终所建立的算法 中的参数 。 以对一个数组 a [n]排序为例: 排序本质上 是按照数组中各个元素a[i]的大小调整它们在 数组的位置， 即改变原来的下标 ; 这里就可以 得知排序问题的要素应该是元素的大小和元
r et ur nj ;
5 合并子问题的实现
这个步骤最主要注意的是 前面的 “ 分解 问题” 递归解问题” 、“ 中 是否真正的解问题了， 这个问题下面进行阐 述; 在合并的时候， 各子问题的关系即 “ 分 解问题的分界线处于什么样的地位” 例如 ， “ 最接近点对问题”中， 由于处于分界线两边 (子问题之间) 的点对也有可能构成最近的距 离， 所以必须考虑。 下面仍然以对一个数组 a [n ]排序为例。 ( 1)按照元素的大小来分解: 由于在分解问题的时候， 已经对原问题(元 素的大小)进行了解， 而且问题的分界线符合原 问题的要求， 所以直接将各个子问题连接起来 就可以了， 对于例子的实际情况就是下标的连 接， 而在问题分解的过程中并没有对各个子问 题中的元素重新给出下标， 是直接利用原问题 中的下标， 所以， 可以省略。
Hale Waihona Puke func2_3(a[],Q ,left ,i,right)/ / 当 前要合 并的是a 中left 到right 的元素 lintm=left ,/ / 左半部的当 前下标 intn=right ,/ / 右半部的当 前下标 intl=left s/ / 暂存数组的当前下标 while(m< =i)&&(n< =right)
用分治法解决问题
分治法所能解决的问题具有以下几个特征： 分治法所能解决的问题具有以下几个特征：
1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 1.该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决； 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决 2.该问题可以分解为若干个规模较小且基本相同的子问 2.该问题可以分解为若干个规模较小且基本相同的子问 题。 3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的 3.利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的 解；
分治策略解决问题
问题1 问题1：找出伪币
一个装有1 6枚硬币的袋子 一个装有1 6枚硬币的袋子，1 6枚硬币中有一个 枚硬币的袋子， 6枚硬币中有一个 是伪造的， 是伪造的，并且那个伪造的硬币比真的硬币要轻 一些。你的任务是找出这枚伪造的硬币。 一些。你的任务是找出这枚伪造的硬币。 为了帮助你完成这一任务， 为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用来比 较两组硬币重量的仪器，比如天平。 较两组硬币重量的仪器，比如天平。利用这台仪 可以知道两组硬币的重量是否相同。 器，可以知道两组硬币的重量是否相同。
找金块的示例图
方法2 方法2：
n≤2，识别出最重和最轻的金块，一次比较就足够 ≤2，识别出最重和最轻的金块， 了。 n＞2，第一步，把这袋金块平分成两个小袋A和B。 第一步，把这袋金块平分成两个小袋A 第二步，分别找出在A 中最重和最轻的金块。 第二步，分别找出在A和B中最重和最轻的金块。设 A中最重和最轻的金块分别为HA 与LA，以此类推， 中最重和最轻的金块分别为HA LA，以此类推， B中最重和最轻的金块分别为HB 和LB。第三步， 中最重和最轻的金块分别为HB LB。第三步， 通过比较HA HB，可以找到所有金块中最重的； 通过比较HA 和HB，可以找到所有金块中最重的； 通过比较LA LB，可以找到所有金块中最轻的。 通过比较LA 和LB，可以找到所有金块中最轻的。 在第二步中， 则递归地应用分而治之方法。 在第二步中，若n＞2，则递归地应用分而治之方法。
分治法的求解过程
分治法的求解过程
分治法是一种解决问题的策略，它将一个复杂的问题分解为两个或更多的相同或相似的子问题，直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治法的求解过程可以分为以下几个步骤：
1. 分解：将原问题分解为若干个子问题，这些子问题应具有以下特点：
* 相互独立：各个子问题之间相互独立，即一个子问题的解不影响其他子问题的解。
* 规模较小：子问题的规模应比原问题小，这样求解子问题就变得相对简单。
2. 求解子问题：分别求解这些子问题。
如果子问题仍然较大，可以继续分解为更小的子问题，直到子问题可以简单直接求解。
3. 合并：将各个子问题的解合并起来，得到原问题的解。
这一步通常涉及对子问题的解进行汇总、整合或合并。
分治法的典型例子包括归并排序、快速排序和堆排序等。
以归并排序为例，该算法首先将数组分成两半，分别对它们进行排序，然后将排序后的两部分合并成一个有序数组。
这个过程可以递归地进行，直到每个部分都只包含一个元素，然后将这些元素逐一合并起来。
分治政策实验报告总结
一、实验背景分治策略是一种常用的算法设计思想，它将一个复杂的问题分解成若干个相互独立、规模较小的子问题，分别解决这些子问题，再将子问题的解合并，从而得到原问题的解。
本实验旨在通过具体案例，深入理解分治策略的基本思想，掌握其应用方法，并分析其实际效果。
二、实验目的1. 理解分治策略的基本思想；2. 掌握分治策略的应用方法；3. 分析分治策略在解决实际问题中的效果；4. 提高算法设计与分析能力。
三、实验内容1. 分治策略案例分析实验中，我们选择了以下案例进行分析：（1）归并排序归并排序是一种典型的分治策略应用。
它将待排序的序列分为两半，分别对这两半进行归并排序，然后将两个有序序列合并为一个有序序列。
（2）二分查找二分查找也是一种分治策略应用。
它将待查找的序列分为两半，根据查找目标值与中间值的大小关系，确定目标值所在的一半，然后在该半序列中继续查找。
2. 分治策略实现（1）归并排序实现```cvoid mergeSort(int arr[], int left, int right) {if (left < right) {int mid = (left + right) / 2;mergeSort(arr, left, mid);mergeSort(arr, mid + 1, right);merge(arr, left, mid, right);}}void merge(int arr[], int left, int mid, int right) { int n1 = mid - left + 1;int n2 = right - mid;int L[n1], R[n2];for (int i = 0; i < n1; i++)L[i] = arr[left + i];for (int j = 0; j < n2; j++)R[j] = arr[mid + 1 + j];int i = 0, j = 0, k = left;while (i < n1 && j < n2) {if (L[i] <= R[j]) {arr[k] = L[i];i++;} else {arr[k] = R[j];j++;}k++;}while (i < n1) {arr[k] = L[i];i++;k++;}while (j < n2) {arr[k] = R[j];j++;k++;}}```（2）二分查找实现```cint binarySearch(int arr[], int left, int right, int target) { while (left <= right) {int mid = (left + right) / 2;if (arr[mid] == target)return mid;else if (arr[mid] < target)left = mid + 1;elseright = mid - 1;}return -1;}```3. 分治策略效果分析（1）归并排序归并排序的平均时间复杂度为O(nlogn)，空间复杂度为O(n)。
分治策略凸多边形的相交检测算法
分治策略凸多边形的相交检测算法1.引言1.1 概述分治策略凸多边形的相交检测算法是一种用于判断两个凸多边形是否相交的方法。
在计算机图形学和计算几何学中，相交检测是一个重要的问题，因为它可以应用于很多实际应用中，例如物体碰撞检测、路径规划等。
本文主要介绍了分治策略在凸多边形相交检测中的应用。
分治策略是一种将大问题划分为小问题并分别解决的方法，它可以有效地降低问题的复杂度。
在凸多边形相交检测中，我们可以将问题划分为多个子问题，然后通过递归地解决这些子问题来得到最终的结果。
凸多边形的定义与性质是分治策略凸多边形相交检测算法的基础。
凸多边形是指没有凹角的多边形，每条内部线段都包含在多边形内部。
凸多边形具有很多特性，例如任意两个顶点之间的线段都完全包含在多边形内部，任意两边不相交等。
在本文中，我们将详细介绍分治策略凸多边形相交检测算法的实现过程，并给出其正确性证明。
同时，我们还将进行算法的复杂度分析，通过对算法的时间复杂度和空间复杂度进行评估，来评判算法的效率和可行性。
总之，本文通过引言部分的概述，为读者提供了对分治策略凸多边形相交检测算法的整体认识。
接下来的正文部分将更加详细地介绍其中的关键内容和步骤。
通过阅读本文，读者将能够全面理解并应用该算法。
1.2 文章结构本文旨在介绍分治策略在凸多边形的相交检测算法中的应用。
文章分为引言、正文以及结论三个部分。
引言部分首先对文章的整体内容进行概述，介绍了本文所要解决的问题以及使用的方法。
接着，详细说明了文章的结构安排，将对分治策略和凸多边形的定义与性质进行深入探讨。
正文部分是本文的核心内容，首先详细介绍了分治策略的概念和基本原理，并阐述了其在解决凸多边形相交检测问题中的应用。
然后，对凸多边形的定义进行了详细说明，并探讨了凸多边形的一些重要性质。
通过结合分治策略和凸多边形的特性，提出了一种有效的相交检测算法。
结论部分对本文所提出的算法的有效性进行总结和评价，指出了该算法在凸多边形相交检测中的优势和适用性。
分治法
一、分治法在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
分治法的设计思想是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n ，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
3) 利用该问题分解出的子问题的解可以合并为该问题的解；4) 该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，即子问题之间不包含公共的子问题。
上述的第一条特征是绝大多数问题都可以满足的，因为问题的计算复杂性一般是随着问题规模的增加而增加；第二条特征是应用分治法的前提，它也是大多数问题可以满足的，此特征反映了递归思想的应用；第三条特征是关键，能否利用分治法完全取决于问题是否具有第三条特征，如果具备了第一条和第二条特征，而不具备第三条特征，则可以考虑用贪心法或动态规划法。
分冶策略(讲课稿)
分治策略(Divide and Conquer)一、算法思想任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题规模越小，解题所需的计算时间往往也越少，从而也越容易计算。
想解决一个较大的问题，有时是相当困难的。
分治法的思想就是，将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分而治之方法与软件设计的模块化方法非常相似。
为了解决一个大的问题，可以：1) 把它分成两个或多个更小的问题；2) 分别解决每个小问题；3) 把各小问题的解答组合起来，即可得到原问题的解答。
小问题通常与原问题相似，可以递归地使用分而治之策略来解决。
1、解决算法实现的同时，需要估算算法实现所需时间。
分治算法时间是这样确定的：解决子问题所需的工作总量（由子问题的个数、解决每个子问题的工作量决定）合并所有子问题所需的工作量。
2、分治法是把任意大小问题尽可能地等分成两个子问题的递归算法3、分治的具体过程：begin ｛开始｝if ①问题不可分then ②返回问题解else begin③从原问题中划出含一半运算对象的子问题1；④递归调用分治法过程，求出解1；⑤从原问题中划出含另一半运算对象的子问题2；⑥递归调用分治法过程，求出解2；⑦将解1、解2组合成整修问题的解；end;end; {结束}二、分治策略的应用（1）二分搜索（折半查找）算法思想：将数列按有序化(递增或递减)排列，查找过程中采用跳跃式方式查找，即先以有序数列的中点位置为比较对象，如果要找的元素值小于该中点元素，则将待查序列缩小为左半部分，否则为右半部分。
通过一次比较，将查找区间缩小一半。
折半查找是一种高效的查找方法。
它可以明显减少比较次数，提高查找效率。
但是，折半查找的先决条件是查找表中的数据元素必须有序。
算法步骤描述：step1 首先确定整个查找区间的中间位置：mid = （left + right ）/ 2step2 用待查关键字值与中间位置的关键字值进行比较；●若相等，则查找成功●若大于，则在后（右）半个区域继续进行折半查找●若小于，则在前（左）半个区域继续进行折半查找Step3 对确定的缩小区域再按折半公式，重复上述步骤。
分治算法探讨分治策略与应用场景
分治算法探讨分治策略与应用场景随着计算机科学的快速发展，算法成为了解决问题的重要工具。
其中，分治算法在很多场景下展现出强大的能力，被广泛应用于各个领域。
本文将探讨分治策略的原理和常见应用场景。
一、分治策略的基本原理分治策略是一种将大问题划分为细分的子问题，并通过解决子问题来解决原始问题的思想。
其基本思路可以概括为以下三个步骤：1. 分解：将原始问题划分为若干规模较小的子问题。
2. 解决：递归地解决各个子问题。
3. 合并：将各个子问题的解合并为原始问题的解。
通过将大问题递归地划分为越来越小的子问题，最终解决各个子问题，再将子问题的解合并为原始问题的解，分治策略能够高效地解决很多复杂的问题。
二、分治策略的应用场景1. 排序算法排序是计算机科学中一个重要的问题，各种排序算法都可以使用分治策略来实现。
例如，快速排序和归并排序就是使用分治策略的经典排序算法。
在快速排序中，通过选择一个基准元素将问题划分为两个子问题，然后递归地排序子问题。
最后，再将排序好的子数组合并为原始数组的有序序列。
在归并排序中，通过将问题划分为两个子问题，递归地排序子数组。
最后，再将排序好的子数组合并为原始数组的有序序列。
归并排序的特点是稳定性好，适用于大规模数据的排序。
2. 查找问题分治策略也可以应用于查找问题。
例如，在有序数组中查找某个元素可以使用二分查找算法，该算法也采用了分治思想。
二分查找算法通过将问题划分为两个子问题，然后根据子问题的规模逐步缩小查找范围，最终找到目标元素。
这种分治思想使得二分查找具有高效性。
3. 矩阵乘法矩阵乘法是一个常见的数学运算问题。
通过分治策略，可以将矩阵乘法划分为多个小问题，并递归地解决这些小问题。
然后，再将这些小问题的解进行合并，得到原始问题的解。
分治法用于矩阵乘法算法的优化，可以减少运算量，提高计算效率。
4. 搜索问题分治策略也可以应用于搜索问题。
例如，在搜索引擎中，分治策略可以用于并行搜索，从而加快搜索速度。
分治策略
分治过程
比较过程
分析
• 从图例可以看出，当有8个金块的时候，方法1需 要比较15~16次，方法2只需要比较10次,那么形成 比较次数差异的根本原因在哪里? • 其原因在于方法2对金块实行了分组比较。 • 对于N枚金块，我们可以推出比较次数的公式： 假设n是2的次幂，c(n)为所需要的比较次数。 方法1： c(n)=2n-1 方法2：c(n) = 2c(n/2 ) + 2。 由c(2)=1, 使用迭代方法可知c(n) = 3n/2 - 2。在本 例中，使用方法2比方法1少用了2 5％的比较次数。
问题1：找出伪币
• 给你一个装有1 6枚硬币的袋子。1 6枚硬币中 有一个是伪造的，并且那个伪造的硬币比真 的硬币要轻一些。你的任务是找出这枚伪造 的硬币。 • 为了帮助你完成这一任务，将提供一台可用 来比较两组硬币重量的仪器，比如天平。利 用这台仪器，可以知道两组硬币的重量是否 相同。
方法1
• 任意取1枚硬币，与其他硬币进行比较，若发现 轻者，这那枚为伪币。最多可能有15次比较。
二分过程
procedure Merge_Sort(var A: ListType; P, R: Integer); var Q: Integer; begin if P <> R then begin {若子序列A中不止一个元素} Q := (P + R - 1) div 2; {计算中间下标Q} Merge_Sort(A, P, Q); {继续对左子序列递归排序} Merge_Sort(A, Q +, Q, R) {对左右子序列归并} end; end;
分治策略
• 所谓分治法就是将问题分而治之。有将问题一 分为二，也有将问题一分为三或一分为N 等份。 对每一等份分别进行解决后，原问题就可以很 快得以解决。因此一个问题能否用分治法解决， 关键是看该问题是否能将原问题分成 n 个规模 较小而结构与原问题相似的子问题。递归的解 决这些子问题，然后合并其结果就得到原问题 的解。当n=2时的分治法又称二分法。 • 使用分治策略的问题常常要借助递归的结构， 逐层求解，当问题规模达到某个简单情况时， 解容易直接得出，而不必继续分解。
【算法-分治策略应用】循环赛日程表问题
【算法-分治策略应⽤】循环赛⽇程表问题⼀、分治策略基本思想1、Divide将原始问题划分或者归结为规模较⼩的⼦问题（多数情况下是划分成2个）2、Conquer递归或迭代求解每个⼦问题3、Combine将⼦问题的解综合得到原问题的解注意：1、⼦问题与原始问题性质完全⼀样2、⼦问题之间可彼此独⽴地求解3、递归停⽌时⼦问题可直接求解⽐较典型的应⽤例⼦是“归并排序法”和“快速排序法”，详细可以参考屈婉玲等编著的《算法设计与分析》（第2版）P26和P37，此处不再赘述。
⼆、题⽬分析和建模1. 问题描述设有n=2k个选⼿要进⾏⽐赛，设计的⽐赛⽇程表需要满⾜以下要求：1）每个选⼿必须与其他n-1个选⼿各赛⼀次；2）每个选⼿⼀天只能赛⼀次；3）整场循环赛⼀共进⾏n-1天。
2. 题⽬建模将⽐赛⽇程表设计成n⾏×n-1列的⼀个表，表中第i⾏第j列的元素表⽰第i个选⼿在第j天所遇到的选⼿。
（1）⾸先看只有两个选⼿的⽇程表（k=1，n=2，2⾏×1列表格，循环赛进⾏1天）：表1 循环赛⽇程表（2⼈）（2）四个选⼿的⽇程表（k=2，n=4，4⾏×3列表格，循环赛进⾏3天）：⾸先n=22，所以应该退化到求解两个2⼈循环赛的问题，⽇程表构建如下：表1 循环赛⽇程表（2⼈） 表2 循环赛⽇程表（2⼈）将表2抄在表1右侧构成表1*，将表1抄在表2右侧构成表2*，将表1*与表2*按次序上下拼接，构成表3：表3 循环赛⽇程表（4⼈）由于表1和表2中运动员完全不同，拼接之后每⼀⾏和每⼀列都不会存在两个相同号码，也就是说拼接后不会产⽣⼀个选⼿在同⼀天和另外⼀个选⼿⽐赛两次的情况，说明这种拼接是合理的。
（3）⼋个选⼿的⽇程表（k=3，n=8，8⾏×7列表格，循环赛进⾏7天）n=23，⾸先应该退化到4⼈循环赛问题，再退化到2⼈循环赛问题，4⼈退化到2⼈已在（2）中详细描述，此处只说明如何退化到4⼈问题：表3 循环赛⽇程表（4⼈） 表4 循环赛⽇程表（4⼈）拼接⽅法与（2）中相同，构成表5：表5 循环赛⽇程表（8⼈）三、算法设计（1）设计思想：设n=2k采⽤分治策略，将所有参加⽐赛的选⼿分成两部分，n=2k个选⼿的⽐赛⽇程表就可以通过两个n=2k-1个选⼿的⽐赛⽇程表来决定。
算法设计与分析：第02章 递归与分治策略
A(1,0) 2 A(0, m) 1 m0 A(n,0) n 2 n2 A(n, m) A( A(n 1, m), m 1) n, m 1
2.1
递归的概念
例3 Ackerman函数 前2例中的函数都可以找到相应的非递归方式定义：
n! 1 2 3 (n 1) n
课件第2章
递归与分治策略
算法总体思想
• 将要求解的较大规模的问题分割成k个更小规模的子问 对这k个子问题分别求解。如果子问题的规模仍然不够 小，则再划分为k个子问题，如此递归的进行下去，直 题。 到问题规模足够小，很容易求出其解为止。
T(n)
=
n
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
T(n/2)
算法总体思想
下面来看几个实例。
2.1
递归的概念
边界条件
例1 阶乘函数 阶乘函数可递归地定义为：
n0 1 n! n(n 1)! n 0
递归方程 边界条件与递归方程是递归函数的二个要素，递归函 数只有具备了这两个要素，才能在有限次计算后得出 结果。
2.1
递归的概念
例2 Fibonacci数列 无穷数列1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，…，被 称为Fibonacci数列。它可以递归地定义为：
2.1
递归的概念
例6 Hanoi塔问题 public static void hanoi(int n, int a, int b, int c) 当n=1时，问题比较简单。此时，只要将编号为1的圆盘从塔座a直 在问题规模较大时，较难找到一般的方法，因此我们尝试 接移至塔座b上即可。 用递归技术来解决这个问题。 { 思考题：如果塔的个数变为a,b,c,d 当n＞1时，需要利用塔座c作为辅助塔座。此时若能设法将n-1个 if (n > 0) 四个，现要将n个圆盘从a全部移动 较小的圆盘依照移动规则从塔座a移至塔座c，然后，将剩下的最 { 到d，移动规则不变，求移动步数最 大圆盘从塔座a移至塔座b，最后，再设法将n-1个较小的圆盘依照 hanoi(n-1, a, c, b); 小的方案。 移动规则从塔座c移至塔座b。 move(a,b); 由此可见，n个圆盘的移动问题可分为2次n-1个圆盘的移动问题， hanoi(n-1, c, b, a); 这又可以递归地用上述方法来做。由此可以设计出解Hanoi塔问题 的递归算法如下。 } }
五大常用算法
五大常用算法之一：分治算法分治算法一、基本概念在计算机科学中，分治法是一种很重要的算法。
字面上的解释是“分而治之”，就是把一个复杂的问题分成两个或更多的相同或相似的子问题，再把子问题分成更小的子问题……直到最后子问题可以简单的直接求解，原问题的解即子问题的解的合并。
这个技巧是很多高效算法的基础，如排序算法(快速排序，归并排序)，傅立叶变换(快速傅立叶变换)……任何一个可以用计算机求解的问题所需的计算时间都与其规模有关。
问题的规模越小，越容易直接求解，解题所需的计算时间也越少。
例如，对于n个元素的排序问题，当n=1时，不需任何计算。
n=2时，只要作一次比较即可排好序。
n=3时只要作3次比较即可，…。
而当n较大时，问题就不那么容易处理了。
要想直接解决一个规模较大的问题，有时是相当困难的。
二、基本思想及策略分治法的设计思想是：将一个难以直接解决的大问题，分割成一些规模较小的相同问题，以便各个击破，分而治之。
分治策略是：对于一个规模为n的问题，若该问题可以容易地解决（比如说规模n较小）则直接解决，否则将其分解为k个规模较小的子问题，这些子问题互相独立且与原问题形式相同，递归地解这些子问题，然后将各子问题的解合并得到原问题的解。
这种算法设计策略叫做分治法。
如果原问题可分割成k个子问题，1<k≤n，且这些子问题都可解并可利用这些子问题的解求出原问题的解，那么这种分治法就是可行的。
由分治法产生的子问题往往是原问题的较小模式，这就为使用递归技术提供了方便。
在这种情况下，反复应用分治手段，可以使子问题与原问题类型一致而其规模却不断缩小，最终使子问题缩小到很容易直接求出其解。
这自然导致递归过程的产生。
分治与递归像一对孪生兄弟，经常同时应用在算法设计之中，并由此产生许多高效算法。
三、分治法适用的情况分治法所能解决的问题一般具有以下几个特征：1) 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易地解决2) 该问题可以分解为若干个规模较小的相同问题，即该问题具有最优子结构性质。
谈分治策略的应用
ｐｒ ｃ ｄｕｒ ＤＡＮＤＣ （ ｏｅ ｅ Ｐ． ｑ）
ｌｃ ｌ ，ｔ ｏａ Ｓ ｔｐ ０ ｏ一
／ 定 义 局 部 变 量 Ｓ ／ ／ ，ｔ ／ ／ 置 栈 为 空 ．ｔｐ为 栈 顶 指 针 ／ ／ ｏ ／
ｔ ｎ ｈｅ
ｒｔ ｒ （ （ ，ｑ ） ｅｕ ｎ Ｇ Ｐ ）
ｅｓ ｌｅ
／ 对 输 入 规 模 为 ｑｐ １ ／ －＋
的子 问题 求 解 （ ＭＡＬ （ ，ｑ 为 真 时 ） ／ Ｓ Ｌ ｐ ） ／
２ 分 治 策 略 及 其 描 述
分治策略是一 种在 实际 中应用 最多 的 有效算 法 之一 ， 它 的 基 本 思 想 是 将 问 题 分 解 成 若 干 子 问 题 ，然 后 求 解 子 问 题 ，最 后通 过 合 并 子 问 题 的 解 而 得 到 原 问 题 的 解 。子 问 题 较 原 问 题要 容 易 些 ． 由此 可 以 快 速 得 出 原 问题 的 解 ，就 是
ｍ－ ＤＩ Ｉ Ｅ （ ，ｑ ， ＶＤ － － Ｐ ）
／ 对 输 入 规 模 为 ｑｐ １ ／ —＋
的 子 问 题 进 一 步 分 解 ，返 回 值 为 ［ ，ｑ 区 间 进 一 步 的 分 ｐ ］
割 点 （ ＭＡＬ （ ，ｑ 为真 时 ） ≤ ｍ＜ ｑ／ Ｓ Ｌ Ｐ ） ；ｐ ／
ｒｔ ｒ （ ｅ ｕｎ ＣＯＭ ＢＩ ＮＥ （ ＤＡＮＤＣ （ ， ｒ ） ＤＡＮＤＣ （ ＋ Ｐ ｈ ， ｍ
１ ） ）／ （ＭＢ ＮＥ （ ，ｙ ：子 结 果 的 合 并 函 数 ，将 区 ，ｑ ） ／Ｃ ） Ｉ Ｘ ） 间 Ｅ ，ｍ］ 和 ［ ｐ ｍ＋ １ ｑ 上 的 子 问 题 的 解 合 并 成 上 级 区 ， ］ 间 ［ ，ｑ 上 的 “ 完 整 ” 的 解 。 当 ｐ １ — ｎ时 ，就 得 ｐ ］ 较 一 ，ｑ
NOIP基础算法综合---分治与贪心
分析
• B、求方程的所有三个实根
• 所有的根的范围都在-100至100之间，且根与根之差的绝 对值>=1。因此可知：在[-100,-99]、[-99,-98]、……、[99， 100]、[100，100]这201个区间内，每个区间内至多只能 有一个根。即：除区间[100，100]外，其余区间[a,a+1]， 只有当f(a)=0或f(a)·f(a+1)<0时，方程在此区间内才有解。 若f(a)=0 ，解即为a；若f(a)·f(a+1)<0 ，则可以利用A中所 述的二分法迅速出找出解。如此可求出方程的所有的解。
while(i<=mid)temp[p++]=a[i++]; while(j<=right)temp[p++]=a[j++]; for(i=left;i<=right;i++)a[i]=temp[i]; }
【变形1】逆序对数目
• 例题：求“逆序对”。 • 给定一整数数组A=(A1,A2,…An), 若i<j且Ai>Aj,
核心参考代码
void divide(double x1,double x2) { double x0,y0,y1,y2;
x0=(x1+x2)/2; y1=cal(x1);y2=cal(x2);y0=cal(x0); if(x2-x1<0.00001&&y1*y2<0)
{printf("%.4f ",(x2+x1)/2);return;} if(y1*y0<0||x0-x1>1) divide(x1,x0); if(y0*y2<0||x2-x0>1) divide(x0,x2); }
常见算法设计策略
常见算法设计策略引言在计算机科学中，算法是解决问题的一系列步骤或指令。
设计一个高效的算法是计算机科学领域的核心问题之一。
常见的算法设计策略可以帮助我们解决各种复杂的问题，并提高算法的效率和性能。
本文将介绍一些常见的算法设计策略，包括分治策略、贪心策略、动态规划和回溯等。
我们将详细讨论每种策略的原理、应用场景以及优缺点。
分治策略分治策略是将一个大问题划分为多个相同或类似的子问题，并逐个解决这些子问题，最后合并得到整体解决方案。
它通常包括三个步骤：分解、求解和合并。
分治策略适用于那些可以被划分为多个独立子问题且子问题具有相同结构的情况。
经典例子包括归并排序和快速排序。
优点： - 可以有效地利用并行计算资源。
- 可以将复杂问题简化为相对简单的子问题。
- 可以提高程序运行效率。
缺点： - 在某些情况下，分解和合并的开销可能会超过问题本身。
- 某些问题不容易划分为子问题。
贪心策略贪心策略是一种通过每一步选择当前最优解来达到全局最优解的算法设计策略。
它通常适用于那些具有贪心选择性质的问题，即通过局部最优解来得到全局最优解。
贪心策略的基本思想是每一步都选择当前状态下的最佳操作，并希望通过这种选择能够得到最终的最优解。
经典例子包括霍夫曼编码和Prim算法。
优点： - 算法简单易实现。
- 可以在某些情况下得到近似最优解。
- 时间复杂度通常较低。
缺点： - 不能保证得到全局最优解。
- 对于某些问题，贪心策略可能不适用。
动态规划动态规划是一种将复杂问题分解成更小的子问题并进行求解的方法。
与分治策略相似，动态规划也是将一个大问题拆分成多个相同或类似的子问题，但与分治策略不同的是，动态规划会保存已经求解过的子问题的解，以避免重复计算。
动态规划通常包括以下步骤：定义状态、确定状态转移方程、初始化边界条件和计算最优解。
经典例子包括背包问题和最长公共子序列。
优点： - 可以避免重复计算，提高算法效率。
- 可以解决一些难以通过分治策略求解的问题。
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分治法的设计思想是： 将一个难以直接解决的大问
题，分割成一些规模较小的
相同问题，以便各个击破，
分而治之。
1、分治策略的定义；
2、分治法解题的步骤；
3、典型例题与练习；
1、分治策略的定义
对于一个规模为n的问题，若该问题 可以容易地解决（比如说规模n较小）则 直接解决，否则将其分解为k个规模较小 的子问题，这些子问题互相独立且与原问
• • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • • •
var i,j,k,kk:integer; begin if ed-st>0 then begin merge(st,(st+ed) div 2); merge((st+ed) div 2+1,ed); aaa[st,ed]:=aaa[st,(st+ed) div 2]+aaa[(st+ed) div 2+1,ed]; i:=st; j:=(st+ed) div 2+1; while (i<=(st+ed) div 2+1) and (j<=ed) do if a[i]>a[j] then begin aaa[st,ed]:=aaa[st,ed]+ed-j+1; i:=i+1; end else j:=j+1; i:=st; j:=(st+ed) div 2+1; k:=st; while (i<=(st+ed) div 2) and (j<=ed) do if a[i]>a[j] then begin aa[k]:=a[i];k:=k+1;i:=i+1;end else begin aa[k]:=a[j];k:=k+1;j:=j+1;end; if i<=(st+ed) div 2 then for kk:=i to (st+ed) div 2 do begin aa[k]:=a[kk];k:=k+1;end; if j<=ed then for kk:=j to ed do begin aa[k]:=a[kk];k:=k+1;end; for k:=st to ed do a[k]:=aa[k]; end; end;
三趟归并后： [13
27 38
49
65
76
97]
program gbpx; const maxn=7; type arr=array[1..maxn] of integer; var a,b,c:arr; i:integer; procedure merge(r:arr;l,m,n:integer;var r2:arr); var i,j,k,p:integer; begin i:=l;j:=m+1;k:=l-1; while (i<=m)and (j<=n) do begin k:=k+1; if r[i]<=r[j] then begin r2[k]:=r[i];i:=i+1 end else begin r2[k]:=r[j];j:=j+1 end end; if i<=m then for p:=i to m do begin k:=k+1;r2[k]:=r[p] end; if j<=n then for p:=j to n do begin k:=k+1;r2[k]:=r[p] end; end;
f[st,(st+ed) div 2,ed]的求解方法 如果a[st,(st+ed) div 2]和a[(st+ed) div 2+1,ed] 两个子序列都已排好序， 则求f[st,(st+ed) div 2,ed]时会很容易。 因为求解的过程是由小段子序列合并求解大 段序列，且要求小段子序列已排好序，所以 可以在程序中融入归并排序算法。
递归：根据分解递推技术设计出的算法是递归算法，在 执行过程中只能靠算法本身达到递归边界，并且原问题的 解由子问题的解合并而成。这种递归的分解递推技术也称 为“分治法”。
分治法解决的问题一般具有的特征： 该问题的规模缩小到一定的程度就可以容易 地解决；
该问题可以分解为若干个规模较小的相同问
题，即该问题具有最优子结构性质。
利用该问题分解出的子问题的解可以合并为
该问题的解；
该问题所分解出的各个子问题是相互独立的，
即子问题之间不包含公共的子子问题。
2、分治法解题的步骤
分治法在每一层递归上都有三个步骤：
分解：将原问题分解为若干个规模较小，相互独
立，与原问题形式相同的子问题；
解决：若子问题规模较小而容易被解决则直接解，
program kspv; const n=7; type arr=array[1..n] of integer; var a:arr; i:integer; procedure quicksort(var b:arr; s,t:integer); var i,j,x:integer; begin i:=s;j:=t;x:=b[i]; repeat while (b[j]>=x) and (j>i) do j:=j-1; if j>i then begin b[i]:=b[j];i:=i+1;end; while (b[i]<=x) and (i<j) do i:=i+1; if i<j then begin b[j]:=b[i];j:=j-1; end until i=j; b[i]:=x; i:=i+1;j:=j-1; if s<j then quicksort(b,s,j); if i<t then quicksort(b,i,t); end;
题形式相同，递归地解这些子问题，然后
将各子问题的解合并得到原问题的解。这
种算法设计策略叫做分治法。
分治策略：
递推的分治策略；
递归的分治策略；
递推：重复“分解”过程，或者依次计算N个子问题的 解，或者将每个子问题化为N个规模更小的相同性质的问 题，依次类推，直至问题的规模减少到最小，以致于方便 的解决。所有子问题的解集的全集就是原问题的解集。
分析：
记a[st,ed]的逆序对个数共有aa[st,ed], 分为两段分别求解：aa[st,(st+ed) div 2] aa[(st+ed) div 2+1,ed] 则aa[st,ed]:=aa[st,(st+ed) div 2]+ aa[(st+ed) div 2+1,ed]+ f[st,(st+ed) div 2,ed]; f[st,(st+ed) div 2,ed]为一个数取a[st,(st+ed) div 2] 令一个数取自a[(st+ed) div 2+1,ed]的逆序对数 目。
初始时： [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27]
例2、归并排序：
初始关键字： [49] [38] [65] [97] [76] [13] [27] 一趟归并后： [38 二趟归并后： [38 49] [65 49 65 97] [13 97] [13 76] [27] 27 76]
例4：求逆序对个数
• 有一实数序列A[1]、A[2] 、A[3] 、……A[n-1] 、 A[n]，若i<j，并且A[i]>A[j]，则称A[i]与A[j]构成了 一个逆序对，求数列A中逆序对的个数。 • n≤10000。 • 例如，5 2 4 6 2 3 2 6，可以组成的逆序对有 （5 2），（5 4），（5 2），（5 3），（5 2）， （4 2），（4 3），（4 2）， （6 2），（6 3），（6 2）， （3 2） • 共：12个
例3：金块问题
• 老板有一袋金块，将有两名最优秀的雇员 每人得到其中的一块，排名第一的得到最 重的那块，排名第二的雇员得到袋子中最 轻的金块。假设有一台比较重量的仪器， 我们希望用最少的比较次数找出最重的金 块。
• 如果n<=2,直接比较得到重和轻的金块。 • 如果n>2,把这部分金块分成两个部分，分 别递归求解。 回溯：分别比较两部分中最轻和最重的金 块。
从大量实践中发现，在用分治法设计算法时， 最好使子问题的规模大致相同。子问题规模大致 相等的做法是出自一种平衡子问题的思想，它几 乎总是比子问题规模不等的做法要好。 如K取2。（k为子问题个数）
3、典型例题与习题
例1：快速排序：
快速排序的基本思想是基于分治法的。对于输入的子序 列L[p..r]，如果规模足够小则直接进行排序，否则分三步处 理： 分解(Divide)：将输入的序列L[p..r]划分成两个非空子序列 L[p..q]和L[q+1..r]，使L[p..q]中任一元素的值不大于L[q+1..r] 中任一元素的值。 递归求解(Conquer)：通过递归调用快速排序算法分别对 L[p..q]和L[q+1..r]进行排序。 合并(Merge)：由于对分解出的两个子序列的排序是就地 进行的，所以在L[p..q]和L[q+1..r]都排好序后不需要执行任 何计算L[p..r]就已排好序。 这个解决流程是符合分治法的基本步骤的。因此，快速排序 法是分治法的经典应用实例之一。
procedure mergesort( var r,r1:arr;s,t:integer); var k:integer; c:arr; begin if s=t then r1[s]:=r[s] else begin k:=(s+t) div 2; mergesort(r,c,s,k); mergesort(r,c,k+1,t); merge(c,s,k,t,r1) end; end; begin write('Enter data:'); for i:= 1 to maxn do read(a[i]); mergesort(a,b,1,maxn); for i:=1 to maxn do write(b[i]:9); writeln; end.