辽宁省抚顺市八年级下学期期末数学试卷解析版

A .这10名同学的体育成绩的众数为 50
辽宁省抚顺市八年级（下）期末数学试卷
、选择题（每小题 2分，共20 分） 1 •若二次根式 * 有意义，则x 的取值范围为（
）
A . x v 1
B . x > 1
C . x w 1
D . x > 1
2 .下列给出的四个点中，不在直线 y = 2x - 3上的是（
）
A . （ 1,- 1）
B . （ 0,- 3）
C .（ 2, 1）
D . （- 1, 5）
3.某校举行课间操比赛，甲、乙两个班各选出 20名学生参加比赛，两个班参赛学生的平均身高都
为1.65m ,其方差分别是 S 甲2= 3.8, S 乙2= 3.4，则参赛学生身高比较整齐的班级是（ ）
x+3相交于点A ，若y 1 >y 2,则x 的取值范围是（
D . x v 1
7.某校随机抽查了 10名参加2016年云南
成绩（分） 46 47 48 49 50 人数（人）
1
2
1
2
4
4. A .甲班
乙班
C .同样整齐
D .无法确定
在矩形ABCD 中，对角线
AC , BD 交于点 O , 0E // BC 交 CD 于 E ,若 0E = 3cm , CE = 2,
15
C . 20
D . 22
C .
( 2 -
_
)( 3+ T
)= 4
B.
( 1 - 7)( 1+ 7)=- 1
D
. ( : + '■) 2= 5
C . x > 1 B .
F 列计算正确的是（
)
如图直线 y 1 = =与y 2=-
B .这10名同学的体育成绩的中位数为 48
C.
这10名同学的体育成绩的方差为 50
D •这10名同学的体育成绩的平均数为 48 8•如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线BD 的中点，
E ,
F 分别是AB , CD 的中点，AD = BC ,/ PEF = 25°，则/ EPF 的度数是（
9.如图，有一个矩形纸片 ABCD 沿直线AE 折叠，顶点D 恰好落在BC 边上F 处，已知CE = 3, AB
A . 5
B . 6
C . 7
D . 8
10 •如图所示的是“滴滴顺风车”与“滴滴快车”的行驶里程 x （千米）与计费y （元）之间的函数
关系图象.有下列说法 ①“快车”行驶里程不超过
5千米计费8元；②“顺风车“行驶里程超
过2千米的部分，每千米计费 1.2元；③点A 的坐标是（6.5, 10.4）④甲、乙两地之间的路程是
11.若矩形的边长分别为 2和4,则它的对角线长是 ______________
12 .如图，？ABCD 的对角线 AC,BD 相交于点0,且AC = 4, BD = 7,CD = 3,则厶ABO 周长是 ___________
B . 120°
C . 130 °
D . 150 °
3.4元其中，正确的个数为（
）
C . 3
A . 100°
)
”少用
、填空题（每小题 2分共16分）
B
13.在射
击比赛中，某运动员的 6次射击成绩（单位：环）为： 7, 8, 10, 8, 9, 6,计算这组数据
的方差为
14.如图所示，在△ ABC 中，/ B = 90° , AB = 3, AC = 5,线段AC 的垂直平分线 DE 交AC 于D
交BC 于丘，则厶ABE 的周长为
15•如图，菱形 ABCD 中，点M 、N 分别在AD , BC 上，且AM = CN , MN 与AC 交于点0,连接
16•如图，边长分别为 4和8的两个正方形 ABCD 和CEFG 并排放在一起，连结 BD 并延长交EG
17•如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形•若 正方形A 、B 、C 、D 的面积分别为2, 5, 1, 2，则最大正方形 E 的面积是
2 2
18•如图，在平面直角坐标系中，直线
y = . x -.与矩形ABC0的边0C 、BC 分别交于点E 、F
,
o
0DC =
(2)已知X = 7+1 , y = T- 1，求代数式 ,
it, -y*
20.（ 8分）如图，平面直角坐标系中的每个小正方形边长为
四.解答题（8 分）
（1）请观察规律，并写出第 ④个等式:
（2）请用含n （n 》1）的式子写出你猜想的规律: （3）请证明（2）中的结论. 五.解答题（10 分）
22. （ 10分）某校在一次献爱心捐款活动中，学校团支部为了解本校学生的各类捐款人数的情况, 进行了一次统计调查，并绘制成了统计图 ①和②，请解答下列问题.
（1）本次共调查了多少名学生.
1，△ ABC 的顶点在网格的格点上. (1) 画线段 AD // BC ,且使 AD = BC ,连接BD ;此时 点的坐标是 (2) 直接写出线段AC 的长为 ,AD 的长为
,BD 的长为
三角形，四边形ADBC 面积是
c
A
—
\
\
\
1
\
5
21.（ 8分）观察下列各式： ①
19.( 8 分)(1)计算： 2 — - 6 +3 T
(3) 直接写出厶ABD 为
，②
(2) 补全条形统计图.
(3) ______________________________ 这些学生捐款数的众数为，中位数为
(4) 求平均每个学生捐款多少元.
(5) 若该校有600名学生，那么共捐款多少元.
图1 图2
六、解答题(共1小题，满分10分)
23. (10分)某商场计划购进A, B两种新型节能台灯共100盏，这两种台灯的进价、售价如下表:
类型价格进价(元/盏) 售价(元/盏)
A型3045
B型5070
(1)若商场预计进货款为3500元，则这两种台灯各进多少盏.
(2)若设商场购进A型台灯m盏，销
售完这批台灯所获利润为P,写出P与m之间的函数关系式.
(3)若商场规定B型灯的进货数量不超过A型灯数量的4倍，那么A型和B型台灯各进多少盏售完
之后获得利润最多？此时利润是多少元.
七、解答题(10分)
24. (10分)如图，在△ ABC中，AB = AC, AD平分/ BAC交BC于点D，在线段AD上任到一点P (点A
除外)，过点P作EF // AB，分别交AC、BC于点E、F，作PQ// AC,交AB于点Q , 连接QE与AD 相交于点G .
(1) 求证：四边形AQPE是菱形.
(2) 四边形EQBF是平行四边形吗？若是，请证明；若不是，请说明理由.
(3) 直接写出P点在EF的何处位置时，菱形AQPE的面积为四边形EQBF面积的一半.
八. 解答题(10分)
25 • (10分)如图，已知在平面直角坐标系
xOy 中，正比例函数 y = kx 与一次函数y =-
相交于点A ( 4, 3) •过点P ( 2, 0)作x 轴的垂线，分别交正比例函数的图象于点 函数的图象于点 C ，连接OC • (1)求这两个函数解析式; (2)求厶OBC 的面积
;
x+b 的图象 B ,交一次
M ，使△ AOM 是以OA 为腰的等腰三角形？若有，直接写出
M 点的
(3)在坐标轴上是否存在点
辽宁省抚顺市八年级(下)期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(每小题 2 分，共20 分)
1．【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x 的范围．【解答】解：根据题意，得：1-x> 0,
解得：X W 1.
故选：C．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数.
2. 【分析】只需把每个点的横坐标即x的值分别代入y= 2x- 3,计算出对应的y值，然后与对应的
纵坐标比较即可.
【解答】解：A、当x= 1时，y=- 1,( 1, - 1)在直线y= 2x- 3上；
B、当x= 0 时，y= - 3,( 0, - 3)在直线y= 2x- 3 上；
C、当x= 2 时，y= 1,( 2, 1)在直线y= 2x- 3 上;
D、当x=- 1 时，y=- 5,( - 1, 5)不在直线y= 2x- 3 上.
故选： D .
【点评】本题考查的知识点是：在这条直线上的各点的坐标一定适合这条直线的解析式.
3. 【分析】根据方差的意义可作出判断.方差是用来衡量一组数据波动大小的量,方差越小,表明
这组数据分布比较集中,各数据偏离平均数越小,即波动越小,数据越稳定
【解答】解：S甲2= 3.8, S乙2= 3.4,
••• S 甲2> S 乙2,
• ••参赛学生身高比较整齐的班级是乙班，
故选：B.
【点评】此题主要考查了方差,方差是反映一组数据的波动大小的一个量.方差越大,则平均值
的离散程度越大,稳定性也越小；反之,则它与其平均值的离散程度越小,稳定性越好.
4. 【分析】由矩形ABCD中，对角线AC和BD交于点O, 0E // BC,可得0E是厶ACD的中位线, 根据三
角形中位线的性质,即可求得AD、CD 的长.进而解答即可.
【解答】解：：•四边形ABCD是矩形，
• OA= OC, AD/ BC,
=49；
平均数=
=48.6,
•/ OE // BC , ••• OE / AD ,
••• OE 是厶ACD 的中位线， •/ OE = 3cm ,
• . AD = 2OE = 2 X 3 = 6 （cm ）. •/ CE = 2, • CD = 4,
•矩形ABCD 的周长=20, 故选：C .
【点评】此题考查了矩形的性质以及三角形中位线的性质•此题比较简单，注意掌握数形结合思 想的应用.
【解答】解：从图象上得出，当 y i > y 2时，x > 2. 故选：A .
【点评】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用•解决此类问题关键 是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合. 6. 【分析】根据二次根式的混合运算顺序和运算法则逐一计算可得.
【解答】解：A 3 --2「=：,此选项错误；
B 、 （ 1- 「）（ 1+「）= 12-（ 7） 2= 1 - 2=- 1,此选项正确；
C 、 （ 2- 一）（ 3+ 7）= 6+2 7- 3 7- 2= 4- 「，此选项错误；
D 、 （二+ 7） 2= 5+2 7,此选项错误； 故选：B .
【点评】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和 运算法则.
7. 【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解即可.
【解答】解：10名学生的体育成绩中 50分出现的次数最多，众数为 50；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为:
5. 【分析】直线y i ==与y 2=-
x+3相交于点A （2, 1），根据图象可知当 x >2时，y 1的函数值大.
49+聖
11 2 2 2 2
方差=「［(46 - 48.6) +2 X( 47 - 48.6) + (48 - 48.6) +2 X( 49 - 48.6) +4 X( 50 - 48.6) 2］工50；
•••选项A正确，B、C、D错误；
故选：A.
【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的关键.
&【分析】根据三角形中位线定理得到PE = _ AD , PF = ,. BC,根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算即可.
【解答】解：••• P是对角线BD的中点，E, F分别是AB, CD的中点，
PE=S D PF =丄BC
2 ' 2 ，
•/ AD = BC,
• PE= PF ,
•••/ PFE = Z PEF = 25°,
•••/ EPF = 130°,
故选：C.
【点评】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边
的一半是解题的关键.
9. 【分析】根据矩形的性质得到CD = AB= 8，根据勾股定理求出CF，根据勾股定理列方程计算即
可.
【解答】解：•••四边形ABCD是矩形，
CD = AB= 8,
••• DE = CD - CE = 5,
由折叠的性质可知，EF = DE = 5, AF = CD = BC,
在Rt △ ECF 中，CF ='讣二■二-.-=4,
由勾股定理得，AF2= AB2+BF2，即(BF+4) 2= 82+BF2,
解得，BF = 6,
故选：B.
【点评】本题考查的是翻转变换的性质，翻转变换是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图
形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.
10. 【分析】①根据“滴滴快车”的行驶里程x （公里）与计费y （元）之间的函数关系图象的拐点为（5，
8）,即可得知结论成立；②根据“单价=超出费用十超出距离”即可算出）“顺风车”
行驶里程超过2公里的部分，每公里计费价格，从而得知结论成立；③设出“滴滴顺风车”与“滴滴快车”超出部分的函数解析式，利用待定系数法求出两个函数解析式，再联立成方程组，解方
程组即可得出A点的坐标，从而得知结论成立；④将x = 15分别带入y中，求出费用即可判
定结论成立.
【解答】解：①根据“滴滴快车”的行驶里程x （公里）与计费y （元）之间的函数关系图象可知：
行驶里程不超过5公里计费8元，即①正确；
②“滴滴顺风车”行驶里程超过2公里的部分，每公里计费为（14.6 - 5）+（10-2） = 1.2（元）, 故②
正确；
③设x> 5时，“滴滴快车”的行驶里程x（公里）与计费y （元）之间的函数关系式为y1 = bx+br 将点
（5, 8）、（10, 16）代入函数解析式得：
严计，解得:卜"
[16-LOki + bj [g 二0
••• “滴滴快车”的行驶里程x （公里）与计费y （元）之间的函数关系式为y1 = 1.6x;
将点（2, 5）、（10, 14.6）代入函数解析式得:
2
14. 6=10k2 + b£，
联立y1、y2得: ly=l. 2x+2.
尸10. 4
• A点的坐标为（6.5, 10.4），故③正确;
④令x= 15, y1= 1.6 X 15= 24 ；令x= 15, y2= 1.2 X 15+2.6 = 20.6.
• y1 —y2 = 24 —20.6 = 3.4 （兀）.
即甲、乙两地之间的里程是15公里，则“顺风车”要比“快车”少用 3.4元，故④正确.
综上可知，正确的结论个数为4个.
故选：D.
“滴滴顺风车”的行驶里
程
x （公里）与计费y （元）之间的函数关系式为y2= 1.2x+2.6.
当x>2时，设“滴滴顺风车”的行驶里程x（公里）与计费y（元）之间的函数关系式为y2= k2x+b2,
【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及解二元一次方程组，解题的 关键是：结合图象找出点的坐标，结合点的坐标利用待定系数法求出函数解析式. 、填空题(每小题 2分共16分)
11. 【分析】 根据矩形的性质得出/ ABC = 90°, AC = BD ，根据勾股定理求出 AC 即可.
•••四边形ABCD 是矩形, •••/ ABC = 90°, AC = BD ,
在Rt △ ABC 中，AB = 2, BC = 4,由勾股定理得： AC = 雪U 二卡 .BD = AC = 2“-,「, 故答案为：2 -
【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理的应用，题目比较好，难度适中.
7
12.
【分析】 直接利用平行四边形的性质得出 AO = CO = 2,
BO = DO = ,. , DC = AB = 3，进而得出 答案.
【解答】解：：•四边形ABCD 是平行四边形， ••• AO = CO , BO = DO , AB = CD = 3, •/ AC = 4, BD = 7,
7
• AO = 2, OB =,.,
7
•••△ ABO 的周长=AO+OB+AB = 2+ +3= 8.5.
故答案为：8.5.
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质以及三角形周长的计算，正确得出 AO+BO 的值是解
题关键.
13. 【分析】先计算出这组数据的平均数，然后根据方差公式求解.
【解答】 解：平均数= 一(7+8+10+8+9+6 )= 8,
&
2 22 2 2 2 2 、
所以方差 S = — [ (7 - 8) +( 8 - 8) + (10 - 8) + (8 — 8) + (9 — 8) + (6 - 8)]=—
【解
故答案为1 .
3
【点评】本题考查方差：一般地设n个数据，X1, X2,…X n的平均数为，•，则方差S2=—[ (X1 - n
2 2 2
.：)+ (X2- -.：) +…+ (x n -.：)]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反
之也成立.
14. 【分析】根据勾股定理求出BC,根据线段垂直平分线得出AE= CE,求出△ ABE的周长=AB+BC,
代入求出即可.
【解答】解：在△ ABC中，/ B= 90°, AB= 3, AC = 5,由勾股定理得：BC= 4,
•••线段AC的垂直平分线DE ,
••• AE= EC,
•••△ABE 的周长为AB+BE+AE = AB+BE+CE= AB+BC= 3+4 = 7,
故答案为：7.
【点评】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个
端点的距离相等是本题的关键.
15. 【分析】首先由在菱形ABCD中，AM = CN,证得△ AOMCON (AAS),即可得0是对角
线AC与BD的交点，继而求得答案.
【解答】解：连接0D ,
•••四边形ABCD是菱形，
••• AB// CD ,
•••/ OAM = Z OCN ,
在厶AOM和厶CON中，
AOM 也厶CON (AAS),
•- OA= OC,
•BD与AC相交于点O,
•••/ ACD = Z BAC = 28°,
•••/ ODC = 90°-/ ACD = 62°.
故答案为62°.
【点评】此题考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质•注意证得BD与AC相交于点O
是解此题的关键.
16. 【分析】根据正方形的对角线平分一组对角可得/
ADB = Z CGE = 45°,再求出/ GDT = 45从而得到厶DGT是等腰直角三角形，根据正方形的边长求出DG,再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的—二倍求解即可.
2
【解答】解：••• BD、GE分别是正方形ABCD，正方形CEFG的对角线，
.•./ ADB = / CGE = 45°,
•••/ GDT = 180° - 90° - 45°= 45° ,
•••/ DTG = 180° -Z GDT-/ CGE = 180°- 45°- 45°= 90°,
•••△DGT是等腰直角三角形，
•••两正方形的边长分别为4, 8,
• - DG = 8 - 4 = 4,
GT= - X 4 = 2 T.
2 v
故答案为：2 ~.
【点评】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质•关键是掌握正方形的对角线平分一组对角.
17. 【分析】根据正方形的面积公式，结合勾股定理，能够导出正方形
A, B, C, D的面积和即为最大正方形的面积.
【解答】解：根据勾股定理的几何意义，可得A、B的面积和为®, C、D的面积和为S2, S+Q
=$,
即S3= 2+5+1+2 = 10.
故答案是：10.
【点评】本题考查了勾股定理的应用•能够发现正方形A, B, C, D的边长正好是两个直角三角
2
18. 【分析】根据直线解析式分别求出点 E 、F 的坐标，然后利用三角形的面积公式求解即可. 【解答】解：
T 当y = 0时，'x - ' = 0，解得x = 1,
3
3
•••点E 的坐标是（1 , 0）,即卩OE = 1, •/ OC = 4,
• - EC = OC - OE = 4- 1 = 3, •••点F 的横坐标是4, ••• y =£x 4-2= 2,即卩 CF = 2,
3 3
• △ CEF 的面积= X CE X CF = X 3X 2= 3
2 2
故答案为：3.
【点评】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，根据直线的解析式求出点 E 、F 的坐标是
解题的关键，同时也考查了矩形的性质，难度不大. 三、解答题（第佃题8分，第20题8分，共计16分） 19. 【分析】（1）先化成最简二次根式，再合并即可；
（2）先化简，再代入求出即可. 【解答】解：（1）原式=4 _-2 一+12 — =14 _
；
(x+y) (x-y)
=^ I .., 当 x =
：+1 , y = ■■- 1,
z 2-y 2
(近卡D
= =
（2）
宀 x 2
-y 2
(3)
(2) _■
2
【点评】本题考查了二次根式的混合运算和求值，能正确根据运算法则进行化简和计算是解此题 的关键. 20. 【分析】(1)根据题意画出图形，进一步得到 D 点
的坐标；
(2) 根据勾股定理可求线段 AC 的长，AD 的长，BD 的长；
(3) 根据勾股定理的逆定理可得△ ABD 为直角三角形，再根据矩形的面积公式即可求解. 【解答】解：(1)如图所示：D 点的坐标是(0，- 4)；
(2)线段AC 的长为甘I.坏！ AD 的长为；1」+ *亠=2弋门：，BD 的长为 =
.
(3)
： AB = Jy 「= 5
'-, AD = 2常］:,BD = !:,
(2 —) 2+ ( —) 2=( 5 可 2,
•••△ ABD 为 直角三角形，四边形 ADBC 面积是2 — X _ = 20. 故答案为：(0,- 4, 2 — , "T;直角，20.
【点评】考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，矩形的面积，勾股定理：在任何一个直角三角形 中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 四. 解答题(8分)
21. 【分析】(1)认真观察题中所给的式子，得出其规律并根据规律写出第
(2)根据规律写出含 n 的式子即可;
(3)结合二次根式的性质进行化简求解验证即可.
④个等式;
【解答】解：(
/n 2
+2n+l V n+2
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，解答本题的关键在于认真观察题中所给的式子，得 出其规律并根据规律进行求解即可.
五. 解答题（10分）
22. 【分析】（1）由捐款5元的人数及其所占百分比可得总人数；
（2） 总人数乘以对应百分比求得捐 10元、20元的人数，据此补全图形可得; （3） 根据众数和中位数的定义计算可得； （4） 根据加权平均数的定义求解可得；
（5） 总人数乘以样本中每个学生平均捐款数可得. 【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为
8- 16% = 50 （人）；
2 10元的人数为50X 28%= 14 （人），20元的人数为50X 12% = 6 （人）， 补全条形图如下:
1 n+2
（3） 捐款的众数为15元，中位数为: =15 （元）， £
故答案为：15元、15元.
（4） 平均每个学生捐款-■-
：： -■■：1 !
= 13（元）；
50
（5） 600X 13=7800,
答：若该校有600名学生，那么共捐款 7800元.
【点评】本题主要考查了条形统计图及扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从统计图中获取 准确的信息.
六、解答题（共1小题，满分10分）
23. 【分析】（1）设商场应购进 A 型台灯x 盏，表示出B 型台灯为（100-x ）盏，然后根据进货款 =A 型台灯的进货款+B 型台灯的进货款列出方程求解即可； （2） 根据题意列出函数解析式即可；
（3） 设商场销售完这批台灯可获利 P 元，根据获利等于两种台灯的获利总和列式整理，再求出 m 的取值范围，然后根据一次函数的增减性求出获利的最大值.
【解答】解：（1）设商场应购进 A 型台灯x 盏，贝U B 型台灯为（100 -x ）盏， 根据题意得，30x+50 （100 - x ）= 3500, 解得x = 75,
所以，100 - 75= 25,
20A
15 EJI
S2
答：应购进A型台灯75盏，B型台灯25盏;
(2)设商场销售完这批台灯可获利P元，
则P =( 45 - 30) m+ (70 - 50)( 100 - m),
=15m+2000 —20m,
=-5m+2000,
即P =- 5m+2000 ,
(3)v B型台灯的进货数量不超过A型台灯数量的4倍，
•••100 - m< 4m,
/• m> 20,
••• k=- 5v 0, P随m的增大而减小，
•m= 20 时，P 取得最大值，为- 5X 20+2000 = 1900 (元)
答：商场购进A型台灯20盏，B型台灯80盏，销售完这批台灯时获利最多，此时利润为1900元.
【点评】本题考查了一次函数的应用，主要利用了一次函数的增减性，( 3)题中理清题目数量关系并列式求出m的取值范围是解题的关键.
七、解答题(10分)
24. 【分析】(1)先证出四边形AEPQ为平行四边形，关键是找一组邻边相等，由AD平分/ BAC 和PE // AQ可证/ EAP =Z EPA，得出AE = EP，即可得出结论；
(2)只要证明EQ // BC , EF // AB即可；
(3)S菱形AEPQ= EP?h, S平行四边形EFBQ= EF?h,若菱形AEPQ的面积为四边形EFBQ面积的一半，则
EP = \ EF，因此P为EF中点时，S菱形AEPQ= S四边形EFBQ.
【解答】(1)证明：T EF // AB, PQ/ AC ,
•四边形AEPQ为平行四边形，
•••/ BAD = Z EPA,
•/ AB= AC, AD 平分/ CAB,
•••/ CAD = Z BAD ,
•••/ CAD = Z EPA,
•EA= EP,
•••四边形AEPQ为菱形.
(2)解：结论：四边形EQBF是平行四边形.
•••四边形AQPE是菱形，
••• AD丄EQ,即/ AGQ = 90°,
•/ AB= AC, AD 平分/ BAC,
••• AD 丄BC 即/ ADB = 90°,
•EQ// BC,
•/ EF // QB ,
•四边形EQBF是平行四边形.
(3)解：P为EF中点，即AP= ：AD时，S菱形AEPQ= , S四边形EFBQ
o 乙
•••四边形AEPQ为菱形，
•AD丄EQ,
•/ AB= AC, AD 平分/ BAC,
•AD丄BC,
•EQ / BC,
又••• EF // AB,
•四边形EFBQ为平行四边形.
作EN丄AB于N,如图所示：
则S菱形AEPQ= E p?EN=-y EF?EN= —S四边形EFBQ.
【点评】此题主要考查了菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质；熟练掌握等腰三角形的性质，证明四边形是平行四边形是解决问题的关键.
八. 解答题(10分)
25. 【分析】(1)由点A的坐标，禾U用待定系
数法即可求出k、b的值，此题的解；
(2)由点P的坐标可得出点B、C的坐标，进而可得出BC的长度，由OP的长度结合三角形的
坐标为（-5, 0）或（5, 0）或（8, 0） 或(0,- 5)或(0, 5)或(0, 6).
综上所述：假设成立，即在坐标轴上存在点
M ，使△ AOM 是以OA 为腰的等腰三角形，点 M 面积公式即可求出△ OBC 的面积;
（3）假设存在，当点 M 在x 轴上时，设点 M 的坐标为（m , 0）,当点M 在y 轴上时，设点
的坐标为（0，n ），分AO = OM 及AO = AM 两种情况考虑，根据两点间的距离公式结合等腰三 【解答】解：（1）T 正比例函数 y = kx 与一次函数y =-x+b 的图象相交于点 A （ 4, 3）,
3= 4k , 3=- 4+b ,
3
解得：k = , b = 7, 4
•正比例函数解析式为 y = x , —次函数解析式为 y =- x+7.
4
(2)T PC 丄x 轴，P (2, 0),
•••把x = 2分别代入y = x 和y =- x+7中,
4
BC = 5 —= 2 2
又••• OP = x P = 2,
• S A BOC = — BC?OP = —x i 2 =亠
: :: :
的坐标为（0, n ）.
•••△ AOM 是以OA 为腰的等腰三角形,
•••分AO = OM 及AO = AM 两种情况考虑.
①当 AO = OM 时，有.上「= |m|或 2 - 厂「| '= |n|,
解得：m =± 5, n =± 5,
•••点 M 的坐标为（-5, 0）或（5, 0）或（0,- 5）或（0, 5）；
②当 AO = AM 时，有 2 一 「- |；亠；—| ：或 1 — -■ | L 解得：m i = 8, m ?= 0 (舍去)或 n i = 6,
•••点M 的坐标为（8, 0）或（0, 6）.
角形的性质，即可得出关于
m 、n 的方程，解之即可得出结论.
3 得: B (2, ), C (2, 5), （3）假设存在，当点 M 在x 轴上时，设点
M 的坐标为（m , 0）,当点 M 在y 轴上时，设点
n 2= 0 （舍去），
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面
积、两点间的距离公式以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定
系数法求出两函数的解析式；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征找出点B、C的坐标；（3）分AO = OM及AO = AM两种情况求出点M的坐标.。