chp2-单自由度系统的振动-2-学生版

请思考：为了减少振动引起的动张力，应当采取什么措施？
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
2.2 无阻尼的自由振动
例题： 重物落下，与简支梁做完全非弹性碰撞，梁长l ，质量 不计，抗弯刚度 EI。
m h
l/2
0
l/2
求：1. 梁的自由振动频率
2. 梁的最大挠度。
第2章 单自由度系统的振动
d L L 单自由度保守系统的运动微分方程： 0 dt x x
ke n me
方法一：公式法
me x ke x 0
能量法（Lagrange方程）也广泛用于确定系统的运动微分方程。
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算
2.2 无阻尼的自由振动
2 A x0 ( x0 / n ) 2
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
• 初始条件的确定 • 求最大振幅或最大张力
x0 arctan n x0
• 求响应函数
第2章 单自由度系统的振动
2.2 无阻尼的自由振动
课后作业 2-3 ：如图所示，定滑轮和鼓轮固结在一起，对 O 轴 的转动惯量为I, 其半径分别为r1和r2，质块的质量为m，弹簧的
m k
零势能位置
k l

动能
势能
a
固有圆频率：
牛顿第二运动定律
思考：试写出运动微分方程？
mx F
me x ke x 0
Lagrange方程
d L L 0 dt x x
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
x(t ) x0 cos(n t )
Theory of Vibration with Applications
第2章 单自由度系统的振动
2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程
弹簧原长位置
2.2 无阻尼的自由振动
m
0

静平衡位置
k
m
弹簧原长位置
0

静平衡位置
mg k
k
x x
不考虑恒力和及由其引起的静变形，将坐标原点选在静 平衡位置，可以得到无阻尼自由振动的一般微分方程：
sin(n t ) sin(nt 2 ) sin n t 2 / n sin n t T
cos(n t ) cos(nt 2 ) cos n t 2 / n cos n t T
刚度为k，试建立系统的振动微分方程，并求系统的固有频率。
k
Io
r1
r2
m
第2章 单自由度系统的振动
2.2 无阻尼的自由振动
课后作业2-4 ：如图所示，一小车的质量为m，自高度h处沿着 斜面滑下，与缓冲器相撞后，随同缓冲器一起做自由振动。设 弹簧刚度为k，斜面倾角为α，小车与斜面之间的摩擦力忽略不 计，求系统振动的周期和振幅，并写出振动运动函数。
2.2 无阻尼的自由振动
x(0) x0 x(0) x0
振动速度：x(t ) c1n sin(nt ) c2n cos(nt )
c1 x0 ; c2 x0 / n
初始条件
则初始条件下系统的自由振动响应：
x(t ) x0 cos(n t )
n
x0
sin(n t ) A cos nt
则有： n
m g k
k
m
பைடு நூலகம்
0

静平衡位置
k g m
x
对于不易得到 m 和 k 的系统，若能测出静变形 ，则用该式 计算较为方便（静变形法）
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算
k
2.2 无阻尼的自由振动
微幅摆动
k
J

30o
1 2 d 4G J mr ; k 2 32l
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
2.2 无阻尼的自由振动
解： 以梁承受重物时的静平衡位置为坐标原点建立坐标系
m gl3 计算静变形： 48EI
m h
固有圆频率为 ：
l/2
0

l/2
静平衡位置
x
撞击时刻为零时刻，t=0 时，有：
则自由振动振幅为 ：
梁的最大扰度：
第2章 单自由度系统的振动
《振动理论及应用》讲授内容

绪论 单自由度线性系统的振动 两自由度线性系统的振动 多自由度线性系统的振动


连续体振动
工程振动及应用
机械工程学院
机械装备与控制工程系
第2章 单自由度系统的振动
2.1 振动系统模型及其简化 2.2 无阻尼的自由振动
2.3 有阻尼的自由振动
2.4 谐波激励下的强迫振动 2.5 周期激励下的强迫振动 2.6 任意激励下的强迫振动
n
x0
0
A
t
n
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
x(t ) x0 cos(n t )
2.2 无阻尼的自由振动
n
x0
sin(n t ) A cos nt
初始条件：
位置
x0 2,
0 0 x
固有圆频率从左到右：
n , 2n , 3n
h

k
第2章 单自由度系统的振动
2.1 振动系统模型及其简化 2.2 无阻尼的自由振动
2.3 有阻尼的自由振动
2.4 谐波激励下的强迫振动 2.5 周期激励下的强迫振动 2.6 任意激励下的强迫振动
Theory of Vibration with Applications
2 A x0 ( x0 / n ) 2 振幅 单位：米（m） x0 arctan 初相位角 单位：弧度（rad） n x0
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算 方法一：公式法
2.2 无阻尼的自由振动
kx 0 m x
k n m
弹簧原长位置
在静平衡位置：
时间
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性
2.2 无阻尼的自由振动
自由振动的固有频率仅由系统本身的参数确定，与外界 激励和初始条件无关； 对于确定的系统，自由振动的振幅和初相位角由初始条 件所决定； 单自由度无阻尼系统的自由振动是等幅谐波振动； 两种特殊的初始扰动形式： 在平衡位置给初速度
A x0
x0 0, x0 0
/2
A x0 / n
推离平衡位置，不给初速度 x0 0, x0 0
0
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性 例题： 如图所示提升机系统
2.2 无阻尼的自由振动
重物重量 W 1.47 105 N
钢丝绳的弹簧刚度 k 5.78 106 N/m 重物以 v 15m/min 的速度均匀下降 求：绳的上端突然被卡住时： 1. 重物的振动圆频率； 2. 钢丝绳中的最大张力。 W
说明：如果将m、k称为广义质量及广义刚度，则角振动与直 线振动的数学描述完全相同。
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算
2.2 无阻尼的自由振动
例：如图示复摆，刚体质量m，重心C，对悬点的转动惯量为 I 0 求：复摆在平衡位置附近做微振动时的微分方程和固有频率。 解：由牛顿定律得运动微分方程为 a
kx 0 m x
n k / m
2 x n x0
第2章 单自由度系统的振动
2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程 特征值为纯虚根： s1,2 ni 方程的通解：
2.2 无阻尼的自由振动
x x 0
2 n
x(t ) c1 cos(nt ) c2 sin(nt )
n k / m
T 2 / n
f 1/ T
固有圆频率
周期 频率
单位：弧度/秒（rad/s）
单位：秒（s）
n 2
单位：次/秒（1/s ; Hz）
第2章 单自由度系统的振动
2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程 振动位移： x(t ) c1 cos(nt ) c2 sin(nt )
v
第2章 单自由度系统的振动
2.2.3 无阻尼自由振动的运动特性 解： 振动圆频率 n gk / W 重物匀速下降时处于静平衡位置， 若将坐标原点取在绳被卡住瞬时重 物所在位置，即静平衡位置。 则 t=0 时，有： 振动解：
2.2 无阻尼的自由振动
v
k
静平衡位置
W x
W
绳中的最大张力等于静张力与因振动引起的动张力之和 ：
0
I0
C
固有圆频率 ： 工程中：由已测的固有频率求出绕转轴的转动惯量 再由移轴定理得出绕质心的转动惯量
mg
实验确定复杂形状物体的转动惯量的一个方法
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算
2.2 无阻尼的自由振动
方法二：能量法(保守系统) 1 1 T me x 2 U T V U1 Tmax me ( An )2 Tmax Vmax 2 2 1 1 2 2 U V k A V ke x 2 max e 2 2 Lagrange函数： L T V
2.2.1 无阻尼自由振动的微分方程
2.2 无阻尼的自由振动
x x 0
2 n
x(t ) x0 cos(n t )
n
x0
sin(n t ) A cos nt
2.2.2 固有频率的计算
• 建立系统的振动微分方程
• 求得固有频率
me x ke x 0
n ke / me
例题： 如图所示是测量低频振幅用的传感器的无定向摆， 摇杆质量不计，一端铰接，另一端装敏感质量m， 并在摇杆上连接刚度为k的两弹簧以保持摆在垂直方 向的稳定位置，求系统的固有圆频率。
m k/2 k/2 l a
第2章 单自由度系统的振动
2.2.2 固有频率的计算 解：选取零势能位置。 广义坐标
2.2 无阻尼的自由振动
2.2 无阻尼的自由振动
n
x0
sin(n t ) A cos nt
2
无阻尼的质量弹簧系统受到初始 扰动后，其自由振动是以固有圆 频率为振动圆频率的简谐振动， 并且永无休止。因此，初始条件 是外界能量输入的一种方式： ‒ 初始位移即输入了势能 ‒ 初始速度即输入了动能
x
T