第一章直角三角形的边角关系第四章统计与概率

第一章 直角三角形的边角关系

§1.1 从梯子的倾斜程度谈起

学习目标:

1.经历探索直角三角形中边角关系的过程.

2.理解正切、正弦、余弦等锐角三角函数的意义,并能够举例说明.

3.能够运用tanA,sinA,cosA 表示直角三角形中两边的比.

4.能够根据直角三角形中的边角关系,进行简单计算.

学习方略:

一.关于正切

1.在直角三角形中,一个锐角A 的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切.这里的对边、邻边都是指直角边,通常与一个锐角相邻的边有两条,一条是斜边,一条是直角边.这里的邻边是直角边,记作tanA,用式子可表示成:tanA=的邻边

的对边A A ∠∠. 2.一个锐角正切值的大小与这个锐角的大小有关,在0~90°间角度越大,正切值越大.如果这个角是梯子与地面所成的角,则梯子越陡;如果这个角是梯子与墙所成的角,则梯子越平缓.

3.当不知道一个锐角的大小,而又要求这个角的正切值时,通常用这个锐角的对边与邻边的比来刻画,即用正切的定义去求.一个锐角的正切值,与这个锐角的对边与邻边大小无关,只与对边与邻边的比值有关.即当角度一定时,这个角的对边变大,正切值还是不变,因为这个角的邻边也相应变大了;这个角的对边变小,正切值还是不变,因为这个角的邻边相应会变小.反过来,如果一个锐角的对边与邻边的比确定,也就是这个锐角的正切值也就确定了,这个锐角也就是一定的,不变了.

二.关于正弦、余弦

1.一个锐角A 的正弦用sinA 表示,即sinA=斜边

的对边A ∠ 一个锐角A 的余弦用cosA 表示,即cosA=斜边

的邻边A ∠ 2.正弦、余弦的学习可以用学习正弦的方法类比来学习.如果∠A 是表示梯子与地面所成的锐角,则锐角A 越大,sinA 的值越大,梯子越陡;cosA 的值越小, 梯子越陡.反过来也是对的,梯子越陡,sinA 的值越大,cosA 的值越小,锐角A 越大.当锐角A 确定,∠A 的对边与斜边的比随之确定,邻边与斜边的比随之确定;反过来也成立.

3.正弦与余弦有关系:①sinA=cos(90°-A),cosA=sin(90°-A).特别在Rt △

ABC 中, ∠C=90°,sinA=cosB,cosA=sinB.②sin 2A+cos 2A=1.这两个关系都可通过正弦、余弦的定义较易地得到证明.

三.关于三角函数

1.锐角A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的三角函数.因为我们可以把∠A 看作自变量,三个比值看作因变量,当∠A 确定时,三个比值分别唯一确定;当∠A 变化时,三个比值也分别有唯一确定的值与之对应.

2.sinA 、cosA 、tanA 之间有关系:tanA=A A cos sin ,因为A

A cos sin =斜边的对边A ∠: 斜边的邻边A ∠=邻边

的对边A A ∠∠=tanA. 四.典型例题:

例1:如图,△ABC 中,高BD 、CE 交于点H,在不增加其它的字母和线段的情况下,写出所有等于∠A 的正切和正弦的线段比. A

解: ∠A 位于Rt △ABD 、Rt △ACE 中, E

∠EHB=∠DHC=∠A D

∴tanA=HD

CD HE BE AE CE AD BD === H sinA=CH

CD BH BE AC CE AB BD === B C 例2:已知α∠为锐角,sin α=5

4,求cos α、tan α. 解:如图,把α∠放在Rt △ABC 中,

设α∠的对边BC=4x ,斜边AB=5x (x >0),

则α∠的邻边AC=2

2)4()5(x x -=3x B ∴cos α=5

353==x x AB AC , A α tan α=3

434==x x AC BC C 自我测评:

§1.1(一)

一.填空题

1.Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=1,AB=2,则tanA=_________

2.Rt △ABC 中,∠C=90°,BC=3,tanB=3,则AC=_________

3.等腰三角形的周长为36,一边长为10,则底角的正切值为_________

4.直角三角形中,一锐角的正切值为4

3,周长为24,则斜边长=_________ 二.选择题

1.在Rt △ABC 中,各边的长度都扩大两倍,那么锐角A 的正切值( )

A.扩大两倍

B.缩小到一半

C.不变

D.不能确定

2.如图,在直角△ABC 中,CD 是AB 边上的高,在不增加其它的点和线段的情况下,表示∠A 的正切的线段比有( )种 C A.一种 B.二种 C.三种 D.四种

A D B

3.若α、β表示甲、乙两把梯子与地面所成的锐角,且α>β,则下列说法正确的是( )

A.乙梯子更陡

B.tan α>tan β

C.tan α<tan β

D.不能比较甲、乙谁更陡

三.解答题

1.如图,在梯形ABCD 中,AB ∥CD,AD=CB,DE ⊥AB 于E,AB=8,CD=4,DE=6,求tanA 的值. D C

A E B

2.如图,山坡AB 的坡度为5:12,一辆汽车从山脚下A 处出发,把货物送到距山脚800m 高的B 处,求汽车从A 处到B 处行驶的路程. B

A C

拓展探究:

如图,AD 是△ABC 斜边BC 上的高,若BD=2,DC=8,求tanB 的值.

A

B C D

§1.1(二)

一.填空题

1.Rt △ABC 中,∠C=90°,sinB=5

4,AC=2,AB=_________