微积分入门(精华)

数是(x)ddxax f(t)dt f(x)
y
证 (x x)a x xf(t)dt
(axb)
( x x ) ( x )
(x)
x x
x
a
f(t)d t f(t)dt a
o
a
x xxb x
30
a xf( t) d t x x xf( t) d a txf( t) dt
0
0
解 令 f(x)exx, x[2,0]
f(x ) 0 , 02(exx)dx 0,
0 exdx
0
xdx,
2
2
于是
2exdx
2
xdx.
0
0
可以直接作出答案
21
性质5的推论：
（1）如 果 在 区 间 [ a , b ] 上 f ( x ) g ( x ) ，
则 a b f( x ) d x a b g ( x ) d .x ( a b )
n
n
n
f (i )xi i2xi xi2xi ,
i1
i1
i 1
14
n
i1
i n
2
1 n
1
n3
n
i2
i 1
n 13n(n1)62 (n1)
161n12n1, x0n
1 x2dx 0
n
lim 0 i1
i2xi
lim 11121 1 . n6 n n 3
15
五、定积分 的性质
16
A if(i) xi
4
曲边梯形面积的近似值为
n
Af(i )xi
i1
当 分 割 无 限 加 细 ,记 小 区 间 的 最 大 长 度 或 者 (x)
xmax{x1,x2, xn}
趋 近 于 零 (x 0或 者 0)时 ，
n
曲边梯形面积为
Alim
0i1
f(i)xi
5
实例2 （求变速直线运动的路程）
11
四、定积分的几何意义 f(x)0, abf(x)dxA 曲边梯形的面积 f(x)0, abf(x)dxA曲的负边值梯形的面积
A1 A2
A3 A4
a bf(x )d x A 1 A 2 A 3 A 4
12
几何意义：
它是介x于轴、函数 f(x)的图形及两条 直线xa, xb之间的各部分面数 积和 的． 代 在x轴上方的面积取在 正x号轴；下方的面 积取负号．
设某物体作直线运动，已知速度v v(t)是 时 间 间 隔 [T1 ,T2 ]上 t 的 一 个 连 续 函 数 ， 且 v(t) 0，求物体在这段时间内所经过的路程.
思路：把整段时间分割成若干小段，每小段上 速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便 得到路程的近似值，最后通过对时间的无限细 分过程求得路程的精确值．
f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 的 最 大 值 及 最 小 值 ，
则 m ( b a ) a b f(x ) d M x ( b a ) .
证 m f ( x ) M ,
b
b
b
am d xaf(x)d xaM,dx
b
m (b a ) af(x ) d x M (b a ).
13
例1 利用定义计算定积分 1 x2dx. 0
解 将 [0 ,1 ]n 等 分 ， 分 点 为 x i n i， (i 1 ,2 , ,n )
小 区 间 [x i 1 ,x i]的 长 度 x i n 1 ， (i 1 ,2 , ,n )
取 i x i ， ( i 1 , 2 , , n )
每 一 个 取 定 的 x值 ， 定 积 分 有 一 个 对 应 值 ， 所 以
它 在 [a,b]上 定 义 了 一 个 函 数 ，
记
x
(x)a f(t)d.t
积分上限函数
29
x
(x)a f(t)d.t
定理１如果f(x)在[a,b]上连续，则积分上限的函
数(x)ax f(t)dt在[a,b]上具有导数，且它的导
故 x 为极大点， x 为极小点,
4
2
M f ( ) 2 2 ,m f ( ) 2 ,
4
2
ba , 24 4
2 4
2
4
sin x dx x
2 2 , 4
1 2
2 Байду номын сангаас
4
sin x dx x
2. 2
25
性质7（Th5.1 定积分第一中值定理）
如 果 函 数 f( x ) 在 闭 区 间 [ a ,b ] 上 连 续 ，
而 与 积 分 变 量 的 字 母 无 关 .
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dtab
f
(u)du
（2）定义中区间的分法和i 的取法是任意的.
（ 3 ） 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 存 在 时 ，
称 f(x )在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
( 3 ) d cos x t 2 e t 2 dt dx 1
7
二、定积分的定义
定义 设 函 数 f(x )在 [a ,b ]上 有 界 ， 在 [a ,b ]中 任 意 插 入
若干个分点a x x x x x b
012
n 1 n
把 区 间 [ a , b ] 分 成 n 个 小 区 间 ， 各 小 区 间 的 长 度 依 次 为
x i x i x i 1 ， ( i 1 , 2 , ) ， 在 各 小 区 间 上 任 取
一 点 i （ i x i） ， 作 乘 积 f ( i ) x i( i 1 , 2 , )
n
并 作 和 Sf(i)xi，
i1
记 x max{x1,x2, ,xn}，
如 果 不 论 对 [a,b]
8
怎样的分法，也 不 论 在 小 区 间 [ x i 1 ,x i] 上
点 i怎 样 的 取 法 ， 只要当 x 0时，和 S总 趋 于
6
（1）分割 T 1 t 0 t 1 t 2 t n 1 t n T 2
ti titi1 siv(i) ti
部分路程值
某时刻的速度
n
（2）求和 s v(i )ti
i1
（3）取极限 m t 1 , t a 2 , , t x n }{
n
路程的精确值 slim 0i1v(i)ti
定积分
第一节 定积分的概念与性质
1
一、问题的提出
实例1 （求曲边梯形的面积）
y
曲 边 梯 形 由 连 续 曲 线
yf(x)
yf(x)(f(x)0)、
x轴 与 两 条 直 线 xa、
A?
xb所 围 成 .
oa
bx
2
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
y
oa
b xo a
bx
（四个小矩形）
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近 曲边梯形面积．
o a
为 曲 边 的 曲 边 梯 形 的 面 积
等 于 同 一 底 边 而 高 为 f()
b x 的 一 个 矩 形 的 面 积 。
27
Th5.2(推广的积分第一中值定理）
如果函数 f ( x),g(x)在闭区间[a, b]上连续，
且 g(x)在闭区间[a,b]上可积且不变号,
则在积分区间[a, b]上至少存在一个点 ，使
3
曲边梯形如图所示，
在区 [a,b间 ]内插入若
个分a 点 x0， x1x2 xn1xnb,
把区间[a,b]分成n y
个小区间[xi1, xi ]，
长度为xi xi xi1;
在每个小[区 xi1,间 xi]
上任取一 i，点 o a x 1
b xi1 i x i xn1
x
以 [xi1,xi]为底 f(i， )为高的小矩形面
则 在 积 分 区 间 [a ,b ]上 至 少 存 在 一 个 点 ，
使 a b f(x ) d x f()b ( a ).(a b )
积分中值公式
证 m ( b a ) a b f(x ) d M x ( b a ) mb 1aa bf(x)d xM
由闭区间上连续函数的介值定理知
证 f ( x ) f ( x ) f ( x ) ,
b
b
b
af(x ) d x af(x ) d x af(x ) d ,x
即 a bf(x)d xa bf(x)d.x
说明： |f ( x ) | 在 区 间 [ a , b ] 上 的 可积性是显然的.
23
性质6 设 M 及 m 分 别 是 函 数
补充：不论 a,b,c的相对位置如何, 上式总成立.
例 若 abc,
c
a
f
(x)dx
a bf(x)d xb cf(x)dx
则
b
a
f
c
c
(x)dxaf(x)d xbf(x)dx
c
b
af(x)d xc f(x)d.x
（定积分对于积分区间具有可加性）
19
性质4 a b1d x a bd x ba.
性质5 如 果 在 区 间 [ a ,b ] 上 f(x ) 0 ，
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
曲边梯形的面积 夹在两个矩形之间
24
例2
不计算定积分 估计
2 4
sin xdx x
的大小
解 f(x)sinx, x [ , ] f( x ) 在 [ , ] 上 单 调 下 降 ,
x
42
4 2
f(x ) x c o sx x 2 s in x c o sx (x x 2ta n x ) 0
证 f( x ) g ( x ), g (x ) f(x ) 0 ,
b
a[g(x)f(x)d ] x0,
b
b
ag (x)d x af(x)d x 0 ,
于 是 a b f ( x ) d x a b g ( x ) d . x
22
性质5的推论：
（2）
b
b
af(x)d xaf(x)d.x(ab)
26
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使 f()b 1aabf(x)d,x
即 a b f ( x ) d f ( x ) b ( a ) .(ab)
积分中值公式的几何解释：
y
在 区 间 [a,b]上 至 少 存 在 一
个 点 ， 使 得 以 区 间 [ a ,b ] 为
f ()
底 边 ， 以 曲 线 yf(x )
10
三、存在定理
定理1 当 函 数 f ( x ) 在 区 间 [ a , b ] 上 连 续 时 ， 称 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ] 上 可 积 .
定理2 设 函 数 f( x ) 在 区 间 [ a ,b ]上 有 界 ，
且 只 有 有 限 个 第 一 类 的 间 断 点 ，
则 f(x)在区 间 [ a , b ] 上 可 积 .
b
b
a f (x)g(x)dx f ( )a g(x)dx
当g(x) 1时,即为Th5.1
28
六、积分上限函数及其导数
设 函 数 f(x)在 区 间 [a,b]上 连 续 ， 并 且 设 x
为 [a,b]上 的 一 点 ， 考察定积分
x
a
f
(x)dxax
f
(t)dt
如 果 上 限 x在 区 间 [a,b]上 任 意 变 动 ， 则 对 于
17
性质2 a b k (x ) f d k x a b f(x ) dx k (为 常 数 ) .
证
abkf(x)dxlim 0in1kf(i)xi
n
n
limk 0 i1
f(i)xi
klim
0i1
f(i)xi
b
ka f(x)dx.
18
性质3 假 设 acb
b
c
b
af(x )d x af(x )d x cf(x )d.x
则 a bf(x )d x 0 . (a b )
证 f(x ) 0 ,f(i)0, ( i 1 ,2 , ,n )
n
xi0, f(i)xi 0,
i1 m x 1 , x a 2 , , x x n }{
n
lim
0 i1
f(i
)xi
b
f(x)dx0. a
20
例 1比 较 积 分 值 2 e x d 和 x 2 x d的 x 大 小 .
xx
y
f(t)dt, x
由积分中值定理得
(x)
oa
f() x [x ,x x ],
x xxb x
f (), lim lim f()
x
x 0x x 0
x 0, x (x )f(x ).
31
计算下列导数
(1 ) d x e t 2 dt dx 1
( 2 ) d 1 e t 2 dt dx x
确 定 的 极 限 I， 我们称这个极限 I 为函数 f ( x)
在 区 间 [ a ,b ] 上 的 定 积 分 ， 记为
积分上限 b
积分和
n
af(x )d x I l i0i m 1f(i) x i
积分下限
被 积 函 数
被
积
[a,b] 积分区间
积
分
表
变
达 式
量
9
注意：
（ 1 ） 积 分 值 仅 与 被 积 函 数 及 积 分 区 间 有 关 ，
性质1
b
b
b
a [f(x ) g (x )d ] x af(x ) d x a g (x ) d.x
证
b
a[f(x)g(x)d] x
n
l i0m i1[f(i)g(i) ]xi
n
n
lim 0 i1
f(i)xi
lim 0 i1
g(i
)xi
b
a
b
f (x)dxa g(x)dx.
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）