江苏省无锡市江阴四校2017-2018学年高二下学期期中考试数学(理)试题(解析版)

2017-2018学年第二学期高二期中考试数学试题（理科）
一、填空题（每题5分，满分70分，将答案填在答题纸上）
1.复数的虚部为__________．
【答案】
【解析】
分析：利用复数除法的运算法则化简复数为的形式，即可得到复数虚部.
详解：，则复数的虚部，故答案为.
点睛：本题主要考查的是复数的乘法、除法运算，属于中档题．解题时一定要注意和
以及运算的准确性，否则很容易出现错误.
2.用反证法证明命题“若a、b∈N，ab能被2整除，则a，b中至少有一个能被2整除”，那么反设的内容是．【答案】a、b都不能被2整除．
【解析】
试题分析：先写出要证明题的否定，即为所求．
解：根据用反证法证明数学命题的步骤，应先假设要证命题的否定成立，而要证命题的否定为：“a，b都不能被2整除”，
故答案为：a、b都不能被2整除．
点评：本题主要考查用反证法证明数学命题的方法和步骤，求一个命题的否定，属于中档题．
3.设复数虚数单位),的共轭复数为，则________.
【答案】
【解析】
分析：由，可得，代入，利用复数乘法运算法则整理后，直接利用求模公式求解即可. 详解：因为，所以，
，故答案为.
点睛：本题主要考查的是共轭复数的概念与运算以及复数的乘法的运算，属于中档题．解题时一定要注意
和
4.用数学归纳法证明“对于的自然数都成立”时，第一步证明中的起始值应取_____________．【答案】5
【解析】
由于n=1时，;n=2时，;n=3时，,n=4时，;n=5时，.所以当时，成立
5.三段论推理“①矩形是平行四边形；②正方形是矩形；③正方形是平行四边形”中的小前提是．(填写序号)
【答案】②
【解析】
试题分析：小前提是特殊的对象，题中②正方形相对于长方形是特殊对象，因此②是小前提．
考点：演绎推理．
6.观察下列等式
1－＝，
1－＋－＝＋，
1－＋－＋－＝＋＋，
…
据此规律，第n个等式可为________________.
【答案】1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋
【解析】
试题分析：观察等式知：第n个等式的左边有个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到的连续正整数，等式的右边是.
故答案为.
考点：归纳推理.
7.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数有__________ 个
【答案】
【解析】
分析：用组成无重复数字的五位奇数，可以看作是个空,要求个位是奇数,其它位置无条件限制,因此先从个奇数中任选个填入个位,其它个数在个位置上全排列即可.
详解：要组成无重复数字的五位奇数，则个位只能排中的一个数，共有3种排法，然后还剩个数，剩余的个数可以在十位到万位个位置上全排列，共有种排法，由分步乘法计数原理得，由组成的无重复数字的五位数中奇数有个，故答案为.
点睛：本题主要考查分步计数原理及位置有限制的排列问题，属于中档题.元素位置有限制的排列问题有两种方法：（1）先让特殊元素排在没限制的位置；（2）先把没限制的元素排在有限制的位置.
8.设，那么______．
【答案】
【解析】
分析：根据函数表达式含义，准确判断出与项数变化规律以及之间的关系即可得到结论.
详解：，，
，
故答案为.
点睛：项数的变化规律，是利用数学归纳法解答问题的基础，也是易错点，要使问题顺利得到解决，关键是注意两点：一是首尾两项的变化规律；二是相邻两项之间的变化规律.
9.已知，则_________.
【答案】
【解析】
分析：由组合数性质得，解方程求出，进而能求出的值.
详解：，
，
化简得，
，
，解得或（舍去），
，故答案为.
点睛：本题主要考查组合式的运算，解答这类问题，一定注意记忆常见组合式：（1）；（2）
；（3）.
10.的展开式中的系数为70，则________．
【答案】
【解析】
分析：先求出二项式展开式的通项公式,再令的幂指数等于,求得的值,即可求得展开式中的的系数,再根据
的系数为70 ,求得的值.
详解：的展开式中通项公式的为，
令，求得，故的系数为，
则，故答案为.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
11.在数列中，，可以猜测数列通项的表达式为_________.
【答案】
【解析】
分析：根据，，，依次由，分别求出，仔细观察，总结规律，可猜想.
详解：，
，
，
由此猜测，故答案为.
点睛：归纳推理的一般步骤: 一、通过观察个别情况发现某些相同的性质. 二、从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题(猜想）. 常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：(1) 数的归纳包括数的归纳和式子的归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；(2) 形的归纳主要包括图形数目的归纳和图形变化规律的归纳.
12.记等差数列得前项和为，利用倒序相加法的求和办法，可将表示成首项，末项与项数的一个关
系式，即；类似地，记等比数列的前项积为，类比等差数列的求和方法，可将表示为首项，末项与项数的一个关系式，即公式______．
【答案】
【解析】
分析：由等差数列类比等比数列，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中乘积，从而可得结果，.
详解：在等差数列得前项和为，
因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，
所以各项均为正的等比数列的前项积，
故答案为.
点睛：本题主要考查类比推理，属于中档题.类比推理问题，常见的类型有：（1）等差数列与等比数列的类比；（2）平面与空间的类比；（3）椭圆与双曲线的类比；（4）复数与实数的类比；（5）向量与实数的类比.
13.已知，则__________．
【答案】180
【解析】
，，，故答案为.
【方法点晴】本题主要考查二项展开式定理的通项与系数，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二项展开式的通项公式
；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用.
14.学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手．现要求：如果男生甲入选，则女生乙必须入选．那么不同的组队形式有
_________种．
【答案】
【解析】
分析：分三种情况讨论，分别求出甲乙都入选、甲不入选，乙入选、甲乙都不入选,，相应的情况不同的组队形
式的种数，然后求和即可得出结论.
详解：若甲乙都入选，则从其余人中选出人，有种，男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；
若甲不入选，乙入选，则从其余人中选出人，有种，女生乙不适合担任四辩手，则有种，故共有种；
若甲乙都不入选，则从其余6人中选出人，有种，再全排，有种，故共有种，综上所述，共有，故答案为.
点睛：本题主要考查分类计数原理与分步计数原理及排列组合的应用，属于难题.有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
二、解答题（本大题共6小题，共90分。

请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
15.(1)设.
①求；
②求；
③求；
（2）求除以9的余数．
【答案】（1）①，②，③；（2）.
【解析】
分析：(1)①利用赋值，令即可计算的值；②令，结合①即可求出的值；
③令，结合二项式系数和即可求出结果；（2）利用二项式系数和，把分解为的倍数形式，从而可得结果. 详解：(1)①令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16.
②令x＝－1得，a0－a1＋a2－a3＋a4＝(－3－1)4＝256，
而由(1)知a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝(3－1)4＝16，两式相加，得a0＋a2＋a4＝136.
③令x＝0得a0＝(0－1)4＝1，
得a1＋a2＋a3＋a4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4－a0＝16－1＝15.
（2）解
＝89－1＝(9－1)9－1
，
显然上式括号内的数是正整数．
故S被9除的余数为7.
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及各项系数和，属于简单题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，求二项展开式各项系数和往往利用利用赋值法：（1）令可求得；（2）令结合（1）可求得与的值.
16.已知复数满足为虚数单位）．
（1）求；
（2）设，在复平面内求满足不等式的点构成的图形面积．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
分析：（1）利用复数除法的运算法则即可得出；（2）结合（1），利用复数模的几何意义可得在复平面内求满足
不等式的点构成的图形是一个圆环，面积圆的方程及其面积计算公式即可得出点构成的图形面积.
详解：（1）∵w（1+2i）=4+3i，∴；
（2）在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形为一个圆环，
其中大圆为：以（2，﹣1）为圆心，2为半径的圆；小圆是：以（2，﹣1）为圆心，1为半径的圆,在复平面内求满足不等式1≤|z﹣w|≤2的点Z构成的图形面积=22π﹣12×π=3π．
点睛：复数的模的几何意义是复平面内两点间的距离，所以若，则表示点与点的距离，
表示以为圆心，以为半径的圆.
17.（1）证明：当时，；
（2）已知，且，求证：与中至少有一个小于2．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
分析：（1）利用分析法证明，将不等式两边平方整理后，可得，再平方比较与的大小可得答案；（2）本题证明结论中结构较复杂，而其否定结构简单，故可用反证法证明，假设与均不小于，可得
，与已知相矛盾，其否定不成立，以此来证明结论成立.
详解：证明：（1）要证，
只要证，
只要证，只要证，
由于，只要证，
最后一个不等式成立，所以
（2）（反证法）假设均不小于2，即≥2，≥2，
∴1+x≥2y，1+y≥2x．将两式相加得：x+y≤2，与已知x+y＞2矛盾，
故中至少有一个小于2．
点睛：本题主要考查利用反证法以及分析法证明不等式，属于难题.分析法证明不等式的主要事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误的作为“逆推”，分析法的过程仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接关键词. 18.有男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1名.选派5人外出比赛,在下列情形中各有多少种选派方法？
(1)男运动员3名，女运动员2名；
(2)至少有1名女运动员；
(3)既要有队长，又要有女运动员.
【答案】（1）共有(种)选法；（2）246；（3）191.
【解析】
试题分析：（1）第一步：选3名男运动员，有种选法.第二步：选2名女运动员，有种选法.（2）将“至少1名女运动员”转化为其反面“全是男运动员”.(种).（3）当有女队长时，其他人选法任意，不选女队长时，必选男队长.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法
试题解析：
⑴第一步：选3名男运动员，有种选法.
第二步：选2名女运动员，有种选法.
共有(种)选法.
⑵“至少1名女运动员”的反面为“全是男运动员”.
从10人中任选5人，有种选法，其中全是男运动员的选法有种.
所以“至少有1名女运动员”的选法有(种).
(3)当有女队长时，其他人选法任意，共有种选法.不选女队长时，必选男队长，共有种选法.其中不含女运动员的选法有种，所以不选女队长时共有种选法.故既要有队长，又要有女运动员的选法有
(种).
点睛：做排列组合问题时首先将题意分析清楚，当遇到正面情况比较多时，可以先求其反面然后再求解，对于情况比较多的可以根据元素分析法逐一讨论分析，务必要注意讨论的完整性
19.已知在的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是．
（1）求展开式中的所有有理项；
（2）求展开式中系数绝对值最大的项；
（3）求的值.
【答案】（1）T1=x5和T7=13400 ,（2）,（3）.
【解析】
试题分析：（1）先利用二项展开式的通项公式得到第5项的系数与第3项的系数，依题意得到
，求解可得，进而化简该二项展开式的通项公式得到，由为整数可得出的值，进而得到所有的有理项；（2）先求出二项展开式中的系列，并设第项系数绝对值最大，列出不等式组，从中求解即可得出的值，进而可写出展开式中系数绝对值最大的项；（3）先根
据二项开展式的特征将变形为，逆用二项式定理即可得结果.
（1）由，解得2分
因为通项：3分
当为整数，可取0，6 4分
于是有理项为和6分
（2）设第项系数绝对值最大，则（8分）
注：等号不写扣（1分）
解得，于是只能为7 10分
所以系数绝对值最大的项为11分
（3）
13分
16分
考点：二项式定理及其应用.
20.已知数列是等差数列，.
(1)求数列的通项公式；
(2)设数列的通项(其中且)记是数列的前项和，试比较与的大小，并证明你的结论.
【答案】（1）；（2）当时，,当时，，证明见解析.
【解析】
分析：（1）根据数列是等差数列，由，利用建立的方程，解之即可；（2）要比较与的大小，可先比较与的大小，利用用数学归纳法证明，可得当
时，；当时， .
详解：(1) 设数列{b n}的公差为d,
由题意得,∴b n=3n－2 .
(2)证明：由b n=3n－2知S n=log a(1+1)+log a(1+)+…+log a(1+)
=log a［(1+1)(1+)…(1+ )］
而log a b n+1=log a,于是，比较S n与log a b n+1的大小
比较(1+1)(1+)…(1+)与的大小
取n=1，有(1+1)=
取n=2，有(1+1)(1+
推测(1+1)(1+)…(1+)＞(*)
①当n=1时，已验证(*)式成立
②假设n=k(k≥1)时(*)式成立，即(1+1)(1+)…(1+)＞
则当n=k+1时，
,
即当n=k+1时，(*)式成立
由①②知，(*)式对任意正整数n都成立于是，当a＞1时，S n＞log a b n+1 ,当 0＜a＜1时，S n＜log a b n+1 .
点睛：本题主要考查等差数列的通项公式、求和公式、归纳推理的应用以及数学归纳法证明不等式，属于难题.利用数学归纳法证明结论的步骤是:(1)验证时结论成立；（2）假设时结论正确，证明时结论正确（证明过程一定要用假设结论）；（3）得出结论.。