【数学】安徽省淮南市第二中学2014届高三模拟考试(理)

安徽省淮南二中2014届高三下学期第三次
模拟考试理数试题
考生注意：
1.考试时间120分钟，试题满分150分，答题前，考生务必将自己的考号、姓名填写在答题卡上．
2.选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．非选择题用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上作答，切勿超出矩形边框．若在试题卷上作答，答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题5分）
i i zi +=2
2.设集合{}
41<<=x x A ，0322
≤--=x x x B ，则()=B C A R （）
（A ）(1，4) （B ）(3，4) （C ）(1，3) （D ）(1，2)
3．各项为正的等比数列
{}
n a 中，4a 与14a 的等比中项为则=+11272log log a a （ ）
（A ）4 （B ）3 （C ）2 （D ）1
4．某程序框图如图所示，该程序运行后输出的结果是（ ）
（A ）
21 （B ）32 （C ）43 （D ）5
4 5．若R b a ∈,，则“b a b a +=+”是“0>ab ”的（ ）条件
（A ）充分不必要条件 （B ）必要不充分条件
（C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件
6．某几何体的三视图如图所示,其侧视图是一个等边三角形,则这个几何体的体积为（ )
（A
B C ）D 7．已知实数y x ,满足1
122x y x y x y +⎧⎪
--⎨⎪-⎩
≥≥≤且y ax z 2+=仅在点(1，0)处取得最小值，则a 的取值
范围是（ ） （A ）(－1，2) （B ）(－2，4) （C ）(－4，0] （D ）(－4，2) 8.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A 只能出现在第一步或最后一步，程序B 和C 实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有（ ）种 （A ）24 （B ）48 （C ）96 （D ）144
9．已知21F F ，是双曲线：C 22
221x y a b
-=)00>>b a ，（的左、右焦点，过1F 的直线l 与C 的左、右两支分别交于B A ，两点．若5:4:3::22=AF BF AB ，则双曲线的离心率为（ ） （A （B （C ）2 （D 10.定义域为],[b a 的函数()y f x =图像的两个端点为A 、B ，),(y x M 是()f x 图象上任意一点，其中b a x )1(λλ-+=，x ],[b a ∈，已知向量)1(λλ-+=（O 为坐标原点）.k ≤恒成立，则称函数()f x 在],[b a 上“k 阶线性近似” .已知函数1
y x x
=-
在]2,1[上“k 阶线性近似”，则实数k 的取值范围为（ ） （A ）[0,)+∞ （B ）1
[
,)12
+∞ （C ）3[)2
++∞
（D ）3[)2
-+∞
二、填空题（共5小题，每小题5分）
11.若在1
)n x
-的展开式中，第4项是常数项，则n ＝ ．
12．随机变量),1(~2σN X ，若3
2
)1|1(|=<-X P ，则=≥)0(X P ______． 13.已知11OA OB = ，≤，且1
4
OAB S ∆=，则OA 与OB 夹角的取值范围是 ．
14．在直角坐标平面内，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极
坐标系，已知点M 的极坐标为(4
2，
π4
1
)，曲线C 的参数方程为⎩⎨
⎧=+=α
α
sin 3cos 31y x (α为参数)，则过点M 与曲线C 相切的直线方程为． 15.设函数c bx x x x f ++=)(,给出下列四个命题：
①当00==c b ，时，)(x f 为R 上的增函数； ②当00>=c b ，时，方程0)(=x f 只有一个实数根； ③函数)(x f y =的图象关于点),0(c 对称；
④当0>x 时，函数c bx x x x f ++=)(，则()f x 的最小值是4
2
b c -；
其中正确的命题序号是________（写出所有正确的命题序号）
三、解答题（共6小题，共75分，解答时需要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.） 16．（本小题满分12分）
已知函数()2cos23f x x x =++ (Ⅰ)求()f x 的最小正周期与单调递减区间；
(Ⅱ)在ABC ∆中，,,a b c 分别是角,,A B C
的对边，若()4a f A ==，求b c +的最大值．
17.（本小题满分12分）
乒乓球赛规定一局比赛,双方比分在10平前,一方连续发球2次后,对方再连续发球2 次,依次轮换,每次发球,胜方得1分,负方得0分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得1 分的概率为5
3,各次发球的胜负结果相互独立，甲、乙的一局比赛中,甲先发球. (Ⅰ)求开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率;
(Ⅱ)ξ表示开始第4次发球时乙的得分,求ξ的分布列与数学期望.
18.（本小题满分12分）
如图，ABCD 是边长为3的正方形，DE ⊥平面ABCD ，
//AF DE ，3DE AF =，BE 与平面ABCD 所成的角60 .
(Ⅰ)求二面角F BE D --的余弦值；
(Ⅱ)设点M 是线段BD 上一动点，试确定M 的位置，使得 //AM 平面BEF ，并证明你的结论.
19.（本小题满分13分）
已知P 为抛物线C ：22y px =(0)p >的图像上位于第一象限内的一点，F 为抛物线C 的焦点，O 为坐标原点，过O 、F 、P 三点的圆的圆心为Q ，点Q 到抛物线的准线的距离
为
32
. （Ⅰ）求抛物线C 的方程;
C
F
（Ⅱ）过点(4,0)N -作x 轴的垂线l ，S 、T 为l 上的两点，满足OS OT ⊥，过S 及T 分别作l 的垂线与抛物线C 分别相交于A 与B ，直线AB 与x 轴的交点为M ，求证：M 是定点，并求出该点的坐标. 20．（本小题满分13分）
已知函数211
()2
f x x =，2()ln f x a x =（其中0a >）．
（Ⅰ）求函数12()()()f x f x f x =⋅的极值；
（Ⅱ）若函数12()()()(1)g x f x f x a x =-+-在区间1(,)e e
内有两个零点，求正实数a 的取值
范围；
（Ⅲ）求证：当0x >时，231
ln 04x
x x e
+->．（说明：e 是自然对数的底数， 2.71828e =⋅⋅⋅）.
21.（本小题满分13分）
已知数列{}n a 满足1a 1=，121n n a a +=+(n N +∈). （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）若数列{}n b 满足121
11
444(1)n n b b b b n a ---⋅⋅⋅=+ (n N +∈),证明{}n b 是等差数列;
（Ⅲ）证明
2
31213221n
a a a a a a n n n ＜＜++⋯++- (n N +∈).
三模理科数学答案
选择题 DBBCB DDCAD 填空题：
11. 18； 12.
56； 13. 5[,
]66
ππ
； 14.724680x y -+=和4x =； 15. ①②③ 解答题
16.解：（Ⅰ）()2cos23f x x x ++
2sin(2)36
x π
=+
+ ……………3分
∴()f x 的最小正周期22
T π
π== ……………4分 由3222,2
6
2k x k k Z π
π
πππ+
≤+
≤+
∈得2,63
k x k k Z ππππ+≤≤+∈ ∴()f x 的单调递增区间为2[,],6
3
k k k Z π
π
ππ+
+
∈ ……………6分 （Ⅱ）由()4f A =得4362sin 2=+⎪⎭⎫
⎝
⎛+πA ，2162sin =⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+πA ∵0A π<<∴
6136
26
ππ
π
<
+
<A ∴6
562ππ=+A ,3π=A ……………8分
23B C π
∴+=
法一：又
sin sin sin a b c
A B c
==，
2(sin sin )2[sin sin()]3b c B C B B π∴+=+=++
)6
B π
=+≤
∴当3
B π
=
时，b c +最大为 ……………12分 法二：A bc c b a cos 22
22-+=即
2
2222)2
(
3)(3)(3c b c b bc c b bc c b +-+≥-+=-+= 32,12)(2≤+≤+c b c b ；当且仅当c b =时等号成立。

…………12分
17. 解记i A 为事件“第i 次发球,甲胜”, 3,2,1=i , 则53)()(21=
=A P A P ，5
2)(3=A P （1）“开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2”为事件
321321321A A A A A A A A A ++，其概率为
125
44
5252525352532)(321321321=⨯⨯+⨯⨯⨯=++=A A A A A A A A A P
即开始第4次发球时,甲、乙的比分为1比2的概率为125
44
……………5分 （2）由题意0,1,2,3ξ=.
12518525353)0(=⨯⨯==ξP 125
51
)53(5253522)1(3=+⨯⨯⨯==ξP
12544)2(=
=ξP 125
12
535252)3(=⨯⨯==ξP ……………………10分 所以5
7
125123125442125511125180=⨯+⨯+⨯+⨯
=ξE ……………12分
18.解：(1)证明：因为DE ⊥平面ABCD ，所以DE ⊥AC . 因为ABCD 是正方形，所以AC ⊥BD ，从而AC ⊥平面BDE . 因为DA ，DC ，DE 两两垂直，
所以建立空间直角坐标系D －xyz 如图所示．
因为BE 与平面ABCD 所成角为60°，即∠DBE ＝60°， 所以ED
DB ＝ 3.因为正方形ABCD 的边长为3，所以BD ＝32，
所以DE ＝36，AF ＝ 6.则A (3,0,0)，F (3,0，6)，E (0,0,36)，B (3,3,0)，C (0，3,0)，
所以BF ＝(0，－3，6)，EF
＝(3,0，－26)，设平面BEF 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，
则⎩⎪⎨⎪⎧
n ·BF ＝0，n ·EF
＝0，
即⎩⎨⎧
－3y ＋6z ＝0，3x －26z ＝0，令z ＝6，则n ＝(4,2，6)． 因为AC ⊥平面BDE ，所以CA 为平面BDE 的一个法向量，CA
＝(3，－3,0)，
所以cos 〈n ，CA 〉＝n ·CA
|n ||CA |
＝626×32＝13
13.
因为二面角为锐角，所以二面角F －BE －D 的余弦值为13
13
.……………7分 (2)点M 是线段BD 上一个动点，设M (t ，t,0)．
则AM ＝(t －3，t,0)，因为AM ∥平面BEF ，\所以AM ·n ＝0，即4(t －3)＋2t ＝0，解
得t ＝2.此时，点M 坐标为(2,2,0)，BM ＝1
3
BD ，符合题意。

12分
19.解：（Ⅰ）由题意可得：点Q 的横坐标为4
p
，则2,23)2(4==--p p p
所以抛物线C 的方程为x y 42=
（Ⅱ）设),4(),,4(),,4(),,4(221y y y T y S -=-=--则 所以16-,0162121==+=⋅y y y y OT OS 即
由题意4-4-0),,4
(),,4(212121212
2
121====+y y y y y y y y B y y A ，，则时，当 ）
过定点（直线，，0,4),44(),44(AB B A - 当21212121214
))((4
1
0y y y y y y y y k y y AB +=-+-=≠+时，
直线AB 方程为=
-1y y 2
14y y +4440),4(2
1212121=+--==-y y y y x y y x 得令 即),0,4(M 综上过定点)0,4(M .
20.解：（Ⅰ）2121
()()()ln 2
f x f x f x ax x =⋅=⋅，
∴11
()ln (2ln 1)22
f x ax x ax ax x '=+=+（0x >，0a >），
由()0f x '>，得12
e
x -
>，由()0f x '<，得12
0e
x -
<<，
故函数()f x 在12
(0,e )-上单调递减，在12
(e ,)-+∞上单调递增， 所以函数()f x 的极小值为12
(e )4e
a
f -=-，无极大值． ··········· 4分 （Ⅱ）函数2
1()ln (1)2g x x a x a x =
-+-， 则2(1)()(1)a x a x a g x x a x x
+--'=-+-=()(1)
x a x x +-=
， 令()0g x '=，∵0a >，解得1x =，或x a =-（舍去）， 当01x <<时，()0g x '<，()g x 在(0,1)上单调递减； 当1x >时，()0g x '>，()g x 在(1,)+∞上单调递增．
函数()g x 在区间1
(,e)e
内有两个零点，
只需1()0,e (1)0,(e)0,g g g ⎧>⎪⎪<⎨⎪>⎪⎩即22
110,2e e 110,2e (1)e 0,2a a a a a -⎧++>⎪⎪
⎪+-<⎨⎪⎪+-->⎪⎩∴22
2e 1,2e 2e 1,22e e ,2e 2a a a -⎧>⎪+⎪⎪<⎨⎪⎪->
⎪-⎩
故实数a 的取值范围是22e 11
(,)2e 2e 2
-+．·················· 9分
（Ⅲ）问题等价于22
3ln e 4
x x x x >-．由（Ⅰ）知2()ln f x x x =的最小值为12e -．
设2
3
()e 4
x x h x =-，(2)()e x x x h x -'=-得()h x 在(0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减．
∴max 243
()(2)e 4
h x h ==-，
∵2143()2e e 4---231442e e =--=222
3e 2e 16(3e 8)(e 2)04e 4e
---+==>， ∴min max ()()f x h x >，∴2
23
ln e 4
x x x x >-，故当0x >时，231ln 04e x x x +->． 13分
21解：（I ）解：*
121(),n n a a n N +=+∈ 112(1),n n a a +∴+=+ {}1n a ∴+是以112a +=为首项，2为公比的等比数列。

12.n n a ∴+=*21().n n a n N =-∈…………………………….3分
（II ）证法一：n n b n b b b a )1(4441
1
121+=--- ，1
2
42n
n
b b b n nb +⋅⋅⋅-∴=
122[(...)],n n b b b n nb ∴+++-= ①
12112[(...)(1)](1).n n n b b b b n n b ++++++-+=+ ② ②－①，得112(1)(1),n n n b n b nb ++-=+-即1(1)20,n n n b nb +--+=③
21(1)20.n n nb n b ++-++=④
③－④，得 2120,n n n nb nb nb ++-+= 即 2120,n n n b b b ++-+=*
211(),n n n n b b b b n N +++∴-=-∈
{}n b ∴是等差数列。

证法二：同证法一，得1(1)20n n n b nb +--+=
令1,n =得1 2.b =
设22(),b d d R =+∈下面用数学归纳法证明 2(1).n b n d =+- （1）当1,2n =时，等式成立。

（2）假设当(2)n k k =≥时，2(1),k b k d =+-那么
122[2(1)]2[(1)1].1111
k k k k b b k d k d k k k k +=
-=+--=++----- 这就是说，当1n k =+时，等式也成立。

根据（1）和（2），可知2(1)n b n d =+-对任何*
n N ∈都成立。

{}1,n n n b b d b +-=∴ 是等差数列。

…………………………………..8分
（III ）证明：
1121211
,1,2,...,,1212
2(2)2
k k k k k k a k n a ++--==<=--
12231 (2)
n n a a a n
a a a +∴
+++<
111211111111.,1,2,...,,2122(21)2 3.222232
k k k k k k
k k a k n a +++-==-=-≥-=--+-
1222311111111
...(...)(1),2322223223
n n n n a a a n n n a a a +∴
+++≥-+++=-->- *122311...().232
n n a a a n n
n N a a a +∴-<+++<∈…………………………….13分。