人教版初中数学八年级上册期中测试题(2019-2020学年湖北省恩施州市

2019-2020学年湖北省恩施州利川民中、都亭中学
八年级（上）期中数学试卷
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
2．（3分）下列四个图形是四款车的标志，其中轴对称图形有几个（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
3．（3分）下列每组数分别是三条线段的长度（单位：cm），它们首尾相连能围成三角形的是（）
A．3，3，5B．1，10，12C．8，11，20D．7，8，15
4．（3分）一个等腰三角形的两边分别为4cm和10cm，则该等腰三角形的周长为（单位：cm）（）
A．14B．18C．24D．18或24
5．（3分）若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E为AD上一点，连接BE，CE，那么图中共有全等三角形（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A 与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠P AE．则说明这两个三角形全等的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
8．（3分）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
9．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴的对称点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限10．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角为（）A．30°B．75°C．30°或60°D．75°或15°
11．（3分）点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（）
A．∠A＞∠2＞∠1B．∠A＞∠1＞∠2C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A 12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）六边形的对角线有条．
14．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，若a＝8cm，b＝10cm，则边长c的取值范围是．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为cm．
16．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC 和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有．（把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（共72分）
17．（10分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；并直接写出A1，B1，C1的坐标．
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．
18．（10分）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC上异于B、C的任意两点，连接AD和AE，且AD＝AE．
（1）图中有几组全等三角形？请分别写出来；
（2）选择其中的一组证明两三角形全等．
19．（8分）求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
20．（12分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
22．（10分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
23．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
2019-2020学年湖北省恩施州利川民中、都亭中学八年级（上）
期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共36分）
1．（3分）用直角三角板，作△ABC的高，下列作法正确的是（）
A．B．
C．D．
【分析】根据高线的定义即可得出结论．
【解答】解：A、B、C均不是高线．
故选：D．
【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知三角形高线的定义是解答此题的关键．2．（3分）下列四个图形是四款车的标志，其中轴对称图形有几个（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：第2个、第3个图形是轴对称图形，共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合．
3．（3分）下列每组数分别是三条线段的长度（单位：cm），它们首尾相连能围成三角形的
A．3，3，5B．1，10，12C．8，11，20D．7，8，15
【分析】根据三角形三边关系定理（①三角形两边之和大于第三边，②三角形的两边之差小于第三边）逐个判断即可
【解答】解：A、3+3＜5，3+5＞5，符合三角形三边关系定理，故本选项正确；
B、1+10＜12，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
C、8+11＜20，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
D、7+8＝15，不符合三角形三边关系定理，故本选项错误；
故选：A．
【点评】本题考查了对三角形的三边关系定理的应用，主要考查学生对定理的理解能力和计算能力，注意：①三角形两边之和大于第三边，②三角形的两边之差小于第三边．4．（3分）一个等腰三角形的两边分别为4cm和10cm，则该等腰三角形的周长为（单位：cm）（）
A．14B．18C．24D．18或24
【分析】题中没有指出哪个底哪个是腰，故应该分情况进行分析，注意应用三角形三边关系进行验证能否组成三角形．
【解答】解：当4cm是腰时，4+4＜10cm，不符合三角形三边关系，故舍去；
当10cm是腰时，周长＝10+10+4＝24cm
故该三角形的周长为24cm
故选：C．
【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形三边关系的运用；已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答，这点非常重要，也是解题的关键．
5．（3分）若一个多边形的内角和为外角和的3倍，则这个多边形为（）A．八边形B．九边形C．十边形D．十二边形
【分析】多边形的外角和是360°，则内角和是3×360°＝1080°．设这个多边形是n 边形，内角和是（n﹣2）•180°，这样就得到一个关于n的方程组，从而求出边数n的值．【解答】解：设这个多边形是n边形，根据题意，得
（n﹣2）•180°＝3×360°，
解得：n＝8，即这个多边形为八边形．
【点评】根据多边形的内角和定理和外角和的特征，求边数的问题就可以转化为解方程的问题来解决．
6．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的高，E为AD上一点，连接BE，CE，那么图中共有全等三角形（）
A．1对B．2对C．3对D．4对
【分析】由SSS证明△ABD≌△ACD，得出对应角相等∠BAE＝∠CAE，由SAS证明△ABE≌△ACE，得出对应边相等BE＝CE，由SSS证明△BDE≌△CDE．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的高，
∴BD＝CD．
在△ABD和△ACD中，，
∴△ABD≌△ACD（SSS）；
∴∠BAE＝∠CAE．
在△ABE和△ACE中，，
∴△ABE≌△ACE（SAS）；
∴BE＝CE．
在△BDE和△CDE中，，
∴△BDE≌△CDE（SSS）．
故选：C．
【点评】本题考查了全等三角形的判定方法，等腰三角形的性质；熟练掌握三角形全等的判定方法，并能进行推理论证是解决问题的关键．
7．（3分）如图，小敏做了一个角平分仪ABCD，其中AB＝AD，BC＝DC．将仪器上的点A
与∠PRQ的顶点R重合，调整AB和AD，使它们分别落在角的两边上，过点A，C画一条射线AE，AE就是∠PRQ的平分线．此角平分仪的画图原理是：根据仪器结构，可得△ABC≌△ADC，这样就有∠QAE＝∠P AE．则说明这两个三角形全等的依据是（）
A．SAS B．ASA C．AAS D．SSS
【分析】在△ADC和△ABC中，由于AC为公共边，AB＝AD，BC＝DC，利用SSS定理可判定△ADC≌△ABC，进而得到∠DAC＝∠BAC，即∠QAE＝∠P AE．
【解答】解：在△ADC和△ABC中，
，
∴△ADC≌△ABC（SSS），
∴∠DAC＝∠BAC，
即∠QAE＝∠P AE．
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的应用；这种设计，用SSS判断全等，再运用性质，是全等三角形判定及性质的综合运用，做题时要认真读题，充分理解题意．
8．（3分）如图，把矩形纸片ABCD纸沿对角线折叠，设重叠部分为△EBD，那么下列说法错误的是（）
A．△EBD是等腰三角形，EB＝ED
B．折叠后∠ABE和∠CBD一定相等
C．折叠后得到的图形是轴对称图形
D．△EBA和△EDC一定是全等三角形
【分析】对翻折变换及矩形四个角都是直角和对边相等的性质的理解及运用．
【解答】解：∵ABCD为矩形
∴∠A＝∠C，AB＝CD
∵∠AEB＝∠CED
∴△AEB≌△CED（故D选项正确）
∴BE＝DE（故A选项正确）
∠ABE＝∠CDE（故B选项不正确）
∵△EBA≌△EDC，△EBD是等腰三角形
∴过E作BD边的中垂线，即是图形的对称轴．（故C选项正确）
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
9．（3分）在平面直角坐标系中，点P（2，﹣3）关于y轴的对称点在（）A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限
【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于y轴的对称点的坐标是（﹣x，y），即关于纵轴的对称点，纵坐标不变，横坐标变成相反数．这样就可以求出对称点的坐标．【解答】解：点P（2，﹣3）关于y轴的对称点的坐标是（﹣2，﹣3），在第三象限．故选：B．
【点评】此题主要考查了平面直角坐标系关于坐标轴成轴对称的两点的坐标之间的关系．关键是熟练把握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律．
10．（3分）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则这个三角形的底角为（）A．30°B．75°C．30°或60°D．75°或15°【分析】首先根据题意作图，然后分别从等腰三角形一腰上的高在内部与在外部去分析，根据直角三角形中，如果直角边是斜边的一半，则此直角边所对的角是30°角，再由等边对等角的知识，即可求得这个三角形的底角．
【解答】解：如图①：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠A＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB＝＝75°；
如图②：∵CD⊥AB，
∴∠ADC＝90°，
∵CD＝AC，
∴∠CAD＝30°，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB
∴∠DAC＝∠B+∠ACB＝2∠B＝30°，
∴∠B＝∠ACB＝15°．
这个三角形的底角为：75°或15°．
故选：D．
【点评】此题考查了直角三角形的性质与等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关键是注意数形结合思想与分类讨论思想的应用，小心别漏解．
11．（3分）点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1，∠2，∠A的大小关系是（）
A．∠A＞∠2＞∠1B．∠A＞∠1＞∠2C．∠2＞∠1＞∠A D．∠1＞∠2＞∠A 【分析】根据“三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角”可知∠1＞∠2＞∠A．【解答】解：由三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角，可知∠1＞∠2＞∠A 故选：D．
【点评】主要考查了三角形的内角和外角之间的关系．
三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角．
12．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F为垂足，则下列四个结论：（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF；（4）EF垂直平分AD．其中正确的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】利用等腰三角形的概念、性质以及角平分线的性质做题．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC是等腰三角形，AD⊥BC，BD＝CD，∠BED＝∠DFC＝90°
∴DE＝DF
∴AD垂直平分EF
∴（4）错误；
又∵AD所在直线是△ABC的对称轴，
∴（1）∠DEF＝∠DFE；（2）AE＝AF；（3）AD平分∠EDF．
故选：C．
【点评】有两边相等的三角形是等腰三角形；等腰三角形的两个底角相等；（简写成“等边对等角”）
等腰三角形的顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高的重合（简写成“三线合一”）．二、填空题（每小题3分，共12分）
13．（3分）六边形的对角线有9条．
【分析】直接运用多边形的边数与对角线的条数的关系式求解．
【解答】解：六边形的对角线的条数＝＝9．
故答案为9．
【点评】本题考查了多边形的对角线的知识，属于基础题，解答本题的关键是掌握：n 边形对角线的总条数为（n≥3，且n为整数）．
14．（3分）已知a、b、c是三角形的三边长，若a＝8cm，b＝10cm，则边长c的取值范围
是2＜c＜18．
【分析】根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边以及任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围．
【解答】解：∵此三角形的两边长a＝8cm，b＝10cm，
∴第三边长的取值范围是：10﹣8＝2＜c＜8+10＝18．
即：2＜c＜18．
故答案为：2＜c＜18．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，根据第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和是解决问题的关键．
15．（3分）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为15cm，则△ABC的周长为23cm．
【分析】由已知条件，利用线段的垂直平分线的性质，得到线段相等，结合周长，进行线段的等量代换可得答案．
【解答】解：∵DE垂直平分AC，
根据线段垂直平分线的性质可得△ADB为等腰三角形．
∴AD＝CD．
又周长△ABD＝AB+BD+AD＝AB+BD+CD＝15cm，
∴周长△ABC＝AB+BD+CD+AC＝15+2×4＝23．
故答案为：23．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质（垂直平分线上任意一点，和线段两端点的距离相等），难度一般．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．
16．（3分）如图，C为线段AE上一动点（不与点A、E重合），在AE同侧分别作正△ABC 和正△CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连接PQ．以下五个结论：①AD＝BE；②PQ∥AE；③AP＝BQ；④DE＝DP；⑤∠AOB＝60°．恒成立的结论有①②③⑤．（把你认为正确的序号都填上）
【分析】由已知条件运用等边三角形的性质得到三角形全等，进而得到更多结论，然后运用排除法，对各个结论进行验证从而确定最后的答案．
【解答】解：①∵正△ABC和正△CDE，
∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，
∵∠ACD＝∠ACB+∠BCD，∠BCE＝∠DCE+∠BCD，
∴∠ACD＝∠BCE，
∴△ADC≌△BEC（SAS），
∴AD＝BE，∠ADC＝∠BEC，（故①正确）；
②又∵CD＝CE，∠DCP＝∠ECQ＝60°，∠ADC＝∠BEC，
∴△CDP≌△CEQ（ASA）．
∴CP＝CQ，
∴∠CPQ＝∠CQP＝60°，
∴∠QPC＝∠BCA，
∴PQ∥AE，（故②正确）；
③∵△CDP≌△CEQ，
∴DP＝QE，
∵△ADC≌△BEC
∴AD＝BE，
∴AD﹣DP＝BE﹣QE，
∴AP＝BQ，（故③正确）；
④∵DE＞QE，且DP＝QE，
∴DE＞DP，（故④错误）；
⑤∠AOB＝∠DAE+∠AEO＝∠DAE+∠ADC＝∠DCE＝60°，（故⑤正确）．
∴正确的有：①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点评】本题考查等边三角形的性质及全等三角形的判定等知识点；得到三角形全等是正确解答本题的关键．
三、解答题（共72分）
17．（10分）在如图的正方形网格中，每一个小正方形的边长为1，格点三角形ABC（顶点是网格线交点的三角形）的顶点A，C的坐标分别是（﹣4，6），（﹣1，4）．
（1）请在图中的网格平面内建立平面直角坐标系；
（2）请画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1；并直接写出A1，B1，C1的坐标．
（3）请在y轴上求作一点P，使△PB1C的周长最小．
【分析】（1）利用点A和C点坐标画出直角坐标系；
（2）利用关于x轴对称的点的坐标特征写出点A1，B1，C1的坐标，然后描点即可；
（3）作C点关于y轴的对称点C′，连接C′B1交y轴于P点，利用两点之间线段最短可判断P点满足条件．
【解答】解：（1）如图，
（2）如图，△A1B1C1为所作；A1（﹣4，﹣6），B1（﹣2，﹣2），C1（﹣1，﹣4）；
（3）如图，点P为所作．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看做是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．18．（10分）已知如图，在△ABC中，AB＝AC，D、E是BC上异于B、C的任意两点，连接AD和AE，且AD＝AE．
（1）图中有几组全等三角形？请分别写出来；
（2）选择其中的一组证明两三角形全等．
【分析】（1）根据全等三角形的判定进行解答即可；
（2）由AB＝AC，利用等边对等角得到一对角相等，同理由AD＝AE得到一对角相等，再利用外角性质及等量代换可得出一对角相等，利用ASA得出三角形ABD与三角形AEC 全等，利用全等三角形的对应边相等可得证．
【解答】解：（1）有2组全等三角形，分别是：△ABD≌△ACE；△ABE≌△ACD；
（2）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C（等边对等角），
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED（等边对等角），
又∠ADE＝∠B+∠BAD，∠AED＝∠C+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE（等量代换），
在△ABD和△ACE中，
，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE（全等三角形的对应边相等）．
【点评】此题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，利用了等量代换的思想，做题时注意一题多解．
19．（8分）求证：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
【分析】作出图形，写出已知、求证，连接OP，然后利用“HL”证明Rt△OCP和Rt △ODP全等，根据全等三角形对应角相等可得∠COP＝∠DOP，再根据角平分线的定义证明即可．
【解答】已知：PC⊥OA于C，PD⊥OB于D，PC＝PD，
求证：∠COP＝∠DOP，
证明：连接OP，
在Rt△OCP和Rt△ODP中，
，
∴Rt△OCP≌Rt△ODP（HL），
∴∠COP＝∠DOP．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的证明，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
20．（12分）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连接BD．
（1）求证：△BAD≌△CAE；
（2）试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明．
【分析】要证（1）△BAD≌△CAE，现有AB＝AC，AD＝AE，需它们的夹角∠BAD＝∠CAE，而由∠BAC＝∠DAE＝90°很易证得．（2）BD、CE有何特殊位置关系，从图形上可看出是垂直关系，可向这方面努力．要证BD⊥CE，需证∠BDE＝90°，需证∠ADB+∠ADE＝90°可由直角三角形提供．
【解答】（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝90°
∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+CAD
即∠BAD＝∠CAE，
又∵AB＝AC，AD＝AE，
∴△BAD≌△CAE（SAS）．
（2）BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
证明如下：由（1）知△BAD≌△CAE，
∴∠ADB＝∠E．
∵∠DAE＝90°，
∴∠E+∠ADE＝90°．
∴∠ADB+∠ADE＝90°．
即∠BDE＝90°．
∴BD、CE特殊位置关系为BD⊥CE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质；全等问题要注意找条件，有些条件需在图形是仔细观察，认真推敲方可．做题时，有时需要先猜后证．
21．（10分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，求△ABC各角的度数．
【分析】设∠A＝x，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得各角的度数．【解答】解：设∠A＝x．
∵AD＝BD，
∴∠ABD＝∠A＝x；
∵BD＝BC，
∴∠BCD＝∠BDC＝∠ABD+∠A＝2x；
∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠BCD＝2x，
∴∠DBC＝x；
∵x+2x+2x＝180°，
∴x＝36°，
∴∠A＝36°，∠ABC＝∠ACB＝72°．
【点评】本题考查等腰三角形的性质；利用了三角形的内角和定理得到相等关系，通过列方程求解是正确解答本题的关键．
22．（10分）如图：已知等边△ABC中，D是AC的中点，E是BC延长线上的一点，且CE ＝CD，DM⊥BC，垂足为M，求证：M是BE的中点．
【分析】要证M是BE的中点，根据题意可知，证明△BDE为等腰三角形，利用等腰三角形的高和中线向重合即可得证．
【解答】证明：连接BD，
∵在等边△ABC，且D是AC的中点，
∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∠ACB＝60°，
∵CE＝CD，
∴∠CDE＝∠E，
∵∠ACB＝∠CDE+∠E，
∴∠E＝30°，
∴∠DBC＝∠E＝30°，
∴BD＝ED，△BDE为等腰三角形，
又∵DM⊥BC，
∴M是BE的中点．
【点评】本题考查了等腰三角形顶角平分线、底边上的中线和高三线合一的性质以及等边三角形每个内角为60°的知识．辅助线的作出是正确解答本题的关键．
23．（12分）（1）如图（1），已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D、E．证明：DE＝BD+CE．
（2）如图（2），将（1）中的条件改为：在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三点都在直线m上，并且有∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE ＝BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
（3）拓展与应用：如图（3），D、E是D、A、E三点所在直线m上的两动点（D、A、E 三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD、CE，若∠BDA＝∠AEC＝∠BAC，试判断△DEF的形状．
【分析】（1）根据BD⊥直线m，CE⊥直线m得∠BDA＝∠CEA＝90°，而∠BAC＝90°，根据等角的余角相等得∠CAE＝∠ABD，然后根据“AAS”可判断△ADB≌△CEA，
则AE＝BD，AD＝CE，于是DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）与（1）的证明方法一样；
（3）由前面的结论得到△ADB≌△CEA，则BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，根据等边三角形的性质得∠ABF＝∠CAF＝60°，则∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，则∠DBF＝∠F AE，
利用“SAS”可判断△DBF≌△EAF，所以DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，于是∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，根据等边三角形的判定方法可得到△DEF为等边三角形．
【解答】证明：（1）∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA＝∠CEA＝90°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD+∠CAE＝90°，
∵∠BAD+∠ABD＝90°，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（2）成立．
∵∠BDA＝∠BAC＝α，
∴∠DBA+∠BAD＝∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，
∴∠CAE＝∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中
，
∴△ADB≌△CEA（AAS），
∴AE＝BD，AD＝CE，
∴DE＝AE+AD＝BD+CE；
（3）△DEF是等边三角形．
由（2）知，△ADB≌△CEA，
BD＝AE，∠DBA＝∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF＝∠CAF＝60°，
∴∠DBA+∠ABF＝∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF＝∠F AE，
∵BF＝AF
在△DBF和△EAF中
，
∴△DBF≌△EAF（SAS），
∴DF＝EF，∠BFD＝∠AFE，
∴∠DFE＝∠DF A+∠AFE＝∠DF A+∠BFD＝60°，
∴△DEF为等边三角形．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等．也考查了等边三角形的判定与性质．。