几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理

几何模型｜“三线合一”定理及其逆定理
北师版7年级数学，人教版8年级数学当中都会学到三角形，其中等腰三角形的“三线合一”性质应用十分广泛，可以利用它来巧妙地证明角相等、线段相等或直线垂直等问题．“三线合一”这个重要的性质，就是我们通过所说的“三线合一定理”和“三线合一逆定理”，“逆定理”是存在的，但是课本上没有，不能直接用，是需要证明的。

1．三角形的“三线”
是指三角形中的高线、中线及角平分线。

2．“三线合一”定理的证明
在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线互相重合。

简记为“三线合一”。

（前提一定是在等腰三角形中，其它三角形不适用）
（1）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，求证：∠BAD=∠CAD，B
D=CD。

证明：∵AB=AC，AD⊥BC，AD=AD
∴Rt△ADB≌Rt△ADC（HL）
∴∠BAD=∠CAD，BD=CD
总结：等腰三角形中，底边的高线，既是顶角平分线也是底边中线。

（2）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，∠BAD=∠CAD，求证：AD⊥BC，BD=CD。

证明：∵AB=AC，∠BAD=∠CAD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴∠BDA=∠CDA，BD=CD
∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC，BD=CD
总结：等腰三角形中，顶角平分线，既是底边高线也是底边中线。

（3）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD=CD，求证：AD⊥BC，∠BAD =∠CAD。

证明：∵AB=AC，BD=CD，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SSS）
∴∠BDA=∠CDA，∠BAD=∠CAD
又∵∠BDA+∠CDA=180°
∴∠BDA=∠CDA=90°
∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD
总结：等腰三角形中，底边中线，既是底边高线也是顶角平分线。

3．“三线合一”逆定理的证明
在三角形中，高线、中线、角平分线中只要两线重合，则可推出这条线也是第三条线，且这个三角形为等腰三角形。

简言之：两线合一，必等腰。

（1）如图，在△ABC中，BD=CD，AD⊥BC，求证：AB=AC，∠BAD=∠C AD。

证明：∵BD=CD，AD⊥BC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（SAS）
∴AB=AC，∠BAD=∠CAD
总结：在三角形中，高线和中线重合，则这条线也为角平分线，且三角形为等腰三角形。

（2）如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，求证：AB=AC，BD= CD。

证明：∵∠BAD=∠CAD，AD⊥BC，AD=AD
∴△ADB≌△ADC（ASA）
∴AB=AC，BD=CD
总结：在三角形中，高线和角平分线重合，则这条线也为中线，且三角形为等腰三角形。

（3）如图，在△ABC中，∠BAD=∠CAD，BD=CD，求证：AB=AC，AD⊥BC。

证明：∵BD=CD
∴S△ADB＝S△ADC（等底对等高）
过点D作DE⊥AB于点E，作DF⊥AC于F
∵∠BAD=∠CAD∴DE=DF
∵S△ADB＝S△ADC（等高对等底）
∴AB=AC
∴△ADB≌△ADC（SSS）
∴AB=AC，AD⊥BC。

总结：在三角形中，中线和角平分线重合，则这条线也为高线，且三角形为
等腰三角形。

备注：这种逆命题不能作为定理来用，掌握了它和它的证明过程，其目的是为我们解题增加一种重要思路和方法。

4．“三线合一”定理及逆定理的运用
以上四个条件，只要出现2个，则可推导出另两个。