第四章p 刚体力学

线,对同一轴力矩之代数和为零)，得：
N
firi sin i 0
i 1
定轴转动定律
N
N
得到： Firi sin i (miri2 )
i 1
i 1
上式左端为刚体所受外力的合外力矩，以M 表
示；右端求和符号内的量与转动状态无关，称为刚
体转动惯量，以J 表示。 J miri2
i
刚体受合外力矩： M M i ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
如图，陀螺的顶点固定，陀螺可以绕轴线转动，同时轴线可以进 动，所以需要3个独立的角度值来确定陀螺的位置。 5）一般运动，当然就是不做任何限制了，共需6个独立的量！
6
4.2 刚体的定轴转动
相对于某一惯性参照系（例如地面）固定 不动的直线的转动称之为刚体的定轴转动.
这条固定不动的直线称之为固定轴.
刚体的定轴转动特点：
先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)——3个，独立。
再用一个方向量，即3个角度
——3个，不完全独立。
最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度——1个
我们看到，现在共有7个量，利用
cos2 cos2 cos2 1
消掉一个，剩下6个，
因此，刚体的位置需要6个独立的变量来描述 这区别于质点，质点只要3个独立的量。
第四章 刚体的转动
第四章 刚体力学
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本章教学要求： 了解转动惯量概念。理解刚体转动中的功和能的 概念。理解刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在 绕定轴转动情况下的角动量守恒定律。
本章重点： 刚体绕定轴转动的转动定律和刚体在绕定轴转动 情况下的角动量守恒定律。刚体质点系统的运动 问题 本章难点：
所以我们必须确定2个点的位置，即定下了刚体内一条线的位
置，这需要6个数！
但是刚体并不是一条线，它是一个面，甚至是一个3维体！
因此刚体可以绕着这条线转动，即——
刚体的位置还没有完全确定下来！
B A
按照平面几何的公理，三个不共线的点确定
一个面——因此我们还需要一个点。
这样我们认为完全确定一个刚体的位置，我们需要9个数
v r
v r r sin ωR
角加速度：
lim
t 0
t
d
dt
d 2
dt 2
单位为 rad s-2
,
O' R
vv
P
r
O
两类基本问题
已知运动方程求角速度和角加速度 已知角加速度求角速度和运动方程
求导数 求积分
如果 为恒量
相应公式
0 t
0
0t
1
2
t2
2 02 2 ( 0 )
是投影量（代数量），同正负。
（3） M 与J是对同一转轴而言的，J是大于零的。
（4）J 和转轴有关，J 和质量分布有关；同一个物
体对不同转轴的转动惯量不同。
M J
刚体受合外力矩： M Mi ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
＝ ｄi Fi F1ｄ1 F2ｄ2 ......
运算法则.
z
v
r
P
角速度是矢量，方向规定为沿轴方向，指向用右手螺旋法
则确定：右手四指沿刚体转动方向，伸直的大拇指的指向为 角速度的方向。对于刚体定轴转动，角速度的方向只有两个， 规定逆时针方向为正，角速度方向可用正负号表示。
加速转动 减速转动
方向一致 方向相反
速度和角速度的关系: 以转轴上某点O 为参考点
刚体绕定轴转动，刚体角动量守恒定律
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§4.1 刚体运动的分析
一、描述刚体位置的独立变量
上章已经学习了质点组的运动规律（哪些？）但是这些规律大 多是将质点组作为一个整体来研究，如果想获得任意质点的信 息基本不可能。 刚体作为特殊的质点组，我们能够精确的知道刚体内任意点的 运动规律。 刚体？什么是刚体？ 质点组内任意两点的相对距离不会因为 受力而发生变化，则这样的质点组的就是刚体。 何质点一样，刚体也是理想化的模型，即：
然后考虑到这9个数字之间距离不变，共有3个方程，可以消去 3个未知数，因此共需要6个独立的数来确定一个刚体的位置。
AB (xA xB )2 ( yA yB )2 AC (xA xc )2 ( yA yc )2 BC (xB xc )2 ( yB yc )2
B A
C
因此，如果直接选择三个点来确定刚体的位置，是不方便的，
用ri 乘以上式左右两端：
Fi ri sin i fi ri sin i mi ri2
设刚体由N 个点构成，对每个质点可写出上述类 似方程，将N 个方程左右相加，得：
N
N
N
Firi sin i firi sin i (miri2 )
i 1
i 1
i 1
根据内力性质(每一对内力等值、反向、共
特征: (1)角位移 是相对于某一特定转轴而言的. (2)角位移 不是矢量, 它与合成与转动的 先后次序有关, 不符合矢量的加法交换律.
z
z
z
y
y
y
角
位x 移
不
z
是
x
i
k
22
z
x z
矢
y
y
y
量
x
x
k
i
x
22
(3) 瞬时角位移 d 符合矢量运算法则, 为矢量.
角速度: 大小为在某一时刻 t 附
刚体上任一P点线量 与角量的关系：
v r a r
矢量式
an r 2
z
v
r
P
v r
a dv d ( r ) r v
dt dt
即 a a an r v
可见，刚体各质元的角量相同，线量一般不同。
角速度
例题 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 ,
大小：M z rF sin rF =Fd (F F sin : 力的切向分量）
d r sin称为力臂
MZ 转
动
平O
r
面
F
A
方向：右手螺旋，图中 向上(沿转轴方向)
力不在转动平面内
M
r
F
r
(F1
F
2
)
r
F1
r
F2
r F1 只能引起轴的
变形, 对转动无贡献。
F1 F
转动 平面
r
F2
注 （1）在定轴转动问题 中，如不加说明，所指的力 矩是指力在转动平面内的分 力对转轴的力矩。
（2） M Z rF2 sin F2 d
d r s是in转 轴到力作用线
F1 F
的距离，称为力臂。
（3） F1 对转轴的力矩为零，
在定轴转动中不予考虑。
转动 平面
r
F2
（4）在转轴方向确定后，力对 转轴的力矩方向可用+、-号表示。
刚体上各点都绕同一固定转轴作不同半径的圆 周运动，且在相同时间内转过相同的角度。
为了研究方便，我们将垂直于固定轴的 平面称之为转动平面. 如图所示.
vi ri mi
质元
转动平面
固定轴
3. 描述刚体转动的物理量
角位移: 在时间间隔 t 内, 刚体上任一点相对于 某一特定转轴转过的角度为 . z
o
x
刚体的转动惯量： J miri2
i
合外力矩不是先求合外力再求力矩，而是根 据每个外力F的作用点相对于固定参考点O的 位置矢量r，计算出M，再求它们的矢量和。
4-2-3 转动惯量J
o
1.分 立 质 点 J miri2
2.连 续 分 布
m1
r1
ri mi
r2
m2
小质元 dm dJ r2dm
则 J r2dm
dm —质元的质量
r—质元到转轴的距离
取决于三个因素：
1.m的大小；2.m的分布；3.转轴位置
o o
r dm
o
线分布
面分布
体分布
质量为线分布 质量为面分布 质量为体分布
dm dl
dm ds
dm dV
其中、、分别为质量的线密度、面密度和体密度。
因为，这三个点之间坐标有相互的关系，而导致不能独立变
化，虽然6个坐标独立，但是3个点不独立.
能否直接找到6个变量，这6个变量完全独立呢？ 考虑角度量，即
先用一个点的坐标定下3个值 （x, y, z)——3个，独立。
再用一个方向量，即3个角度(, , ) ——3个，不完全独立。
最后用1个角量来确定刚体绕该方向转过的角度——1个
将刚体看作是大量的质点的集合体，则 显然对一个刚体，从表面上看，需要确定其内部所有的质点的 位置，即点数N×3=3N个，共有这么多数需要完全确定。
但考虑到刚体内部各点的距离不变，因此很多方程来确定坐标 值。因此一个刚体的位置确定不需要3N个独立的数。
那到底要多少个独立的数来确定一个刚体的位置呢？ 假若确定了一个点的位置坐标，则刚体位置确定了吗？ 没有！因为刚体还可以绕这个点转动： 将刚体看作是一条线——这条线的位置需要两个点来确定—— 两点确定一条直线！所以至少要2个点的坐标，即6个参数！
i
M J J d
dt
刚刚体 体定 定轴 轴 转转动 动定 定律 律
定轴转动定律: 刚体绕定轴转动时, 作用在刚体上的合外力矩 等于刚体对该转轴的转动惯量与角加速度的乘积.
定轴转动定律
讨论：
M J J d
dt
（1） M 一定，J
转动惯量是转动
惯性大小的量度；
（2) 刚体产生角加速度原因是受外力矩M作用。M与
式中a、b、c 都是常量。求它的角加速度。 解：飞轮上某点角位置可用表示为 ＝at+bt3-ct4
将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为
d (at bt3 ct 4 ) a 3bt 2 4ct3
dt
角加速度是角速度对t的导数，因此得
a d d (a 3bt 2 4ct3 ) 6bt 12ct 2
刚体的运动
1.刚体的平动：刚体上任何一条直线在各个时刻都保持平行的运动。
由图知 r j r i r ij 式中 rij为恒矢量，所以
dr j dt
dri , dt
d2r j dt 2
d2rj dt 2
即 v j vi, a j ai
刚体平动的特点：刚体平动时，各质元的速度和加速度都相同， 所以只要了解刚体上某一质元的运动，就足以掌握整个刚体的 运动。物体如同一个质点，所以需要3个独立变量！
dt dt
由此可见飞轮作的是变加速转动。
质点和刚体转动角动量
一、质点定点转动的角 动量L
L r mv
大小 L rmv mr2 J
o
v
m
r
o
因而 L J(角动量）类似m（v 动量） 由于r F称为力矩，所以r mv又称为动量矩， 即角动量又称为动量矩。
二、刚体定轴转动角动量
mi: Li miri2
总角动量 L Li miri2 J
o
vi o ri mi
定义：刚体对于转轴的转动惯量J为：
J miri2
i
或
L J
§4-2 刚体定轴转动定律
一、刚体受力矩
Z
1.外力F在转动平面内。
F对转轴力矩 M rF
r : 转动平面与转轴交点O指向 力的作用点的矢量。
2）定轴转动，设物体被限制在一个轴上转动，如图：
9
物体似乎可以沿着轴运动，同时转动，故需要2个变量，一个 为角度量，另一个为距离量。但是书上忽略了沿轴的移动。
3）平面平行运动
6
如图，物体在平面内运动，物体可以转动，物体的在平面的位置 需要2个坐标来确定，加上转动的角度，共需要3个量。
4）定点转动，如图的一个陀螺，绕顶点运动。
z
近的单位时间间隔内, 刚体上任
一点角位移的大小; 其方向在转 轴方位, 可用右手螺旋法则确定.
o
d
y
t
lim d t0 t dt
x
单位为 rad s-1
特征: (1) 角速度是矢量, 它反映了刚体转动瞬时
角位移随时间变化的规律.
(2) 定轴转动时, 转轴的方向已经给定, 角
速度的方向可用正负表示, 即满足标量
3.
刚体同时受几个力矩时，总力矩为
M M1 M2 ... Mn
由于各力矩也只有两个方向（沿转轴或逆转轴），因而可用投影代数
和表示：
M z Miz ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
＝ ｄi Fi F1ｄ1 F2ｄ2 ......
略去下标Z，
M Mi ri Fi F1 r1 F2 r2 ......
i
＝ ｄi Fi F1ｄ1 F2ｄ2 ......
2. 刚体定轴转动定律
O’
对刚体中任一质量元 mi ω
Fi -外力
ri
fi -内力
mi
应用牛顿第二定律，可得： O
来自百度文库
Fi fi miai
采用自然坐标系，上式切向分量式为：
fi
i
Fii
Fi sin i fi sin i mi ai mi ri
形变可忽略 ，但是产生弹力又必须要形变， 就好像质点——大小忽略，但是质量是存在的。
力学的任务是研究物理对象的空间位置随时间的变化的运动学 与动力学的规律，即机械运动的规律。因此必须要能用数字说 明物体在空间的位置。
质点力学中的坐标(x、y、z、)即是描述空间位置的。 一个质点只需要三个相互独立的数字就可以完全确定其位置。 但是一个刚体呢？对刚体，位置不光是坐标，还包括取向。