反比例函数压轴题精选(含答案)

例函数 图像上的两点，动点 在 正半轴上运动，当线段
与线段 之差达到最大时，点 的坐标是D
A. B. C. D.
【解答】解：∵把A（1/2，y1），B（2，y2）代入反比例函数y=1/x得：y1=2，y2=1/2，
∴A（1/2，2），B（2，1/2），
∵在△ABP中，由三角形的三边关系定理得：|AP－BP|＜AB，
点 的坐标为 ．
过点 分别做 轴， 轴的垂线，垂足为 ，得矩形 ．
， ， ， ．
．
解法二：如图2，
过点 分别做 轴的垂线，垂足为 ，
点 在双曲线 上，当 时， ．
点 的坐标为 ． 点 ， 都在双曲线 上，
．
．
， ．
（3） 反比例函数图象是关于原点 的中心对称图形，
， ． 四边形 是平行四边形．
．
设点 横坐标为 ，得 ．
（2）若双曲线 上一点 的纵坐标为8，求 的面积；
（3）过原点 的另一条直线 交双曲线 于 两点（ 点在第一象限），若由点 为顶点组成的四边形面积为 ，求点 的坐标．
解：（1） 点 横坐标为 ， 当 时， ．
点 的坐标为 ．
点 是直线 与双曲线 的交点，
．
（2）解法一：如图1， 点 在双曲线上，当 时，
∵A在y=﹣ 上，∴A的坐标是（a，﹣ ），
∵PB⊥y轴，∴B的纵坐标是 ，
∵B在y=﹣ 上，∴代入得：﹣ ，
解得：x=﹣2a，∴B的坐标是（﹣2a， ），
∴PA= ﹣（﹣ ）= ，PB=a﹣（﹣2a）=3a，
∵PA⊥x轴，PB⊥y轴，x轴⊥y轴，∴PA⊥PB，
∴△PAB的面积是： PA×PB= × ×3a= ．故选C．
（3）连接OF，OE，探究∠AOF与∠EOC的数量关系，并证明．
【答案】解：（1）设反比例函数的解析式 ，
∵反比例函数的图象过点E（3，4），∴ ，即 。∴反比例函数的解析式 。
（2）∵正方形AOCB的边长为4，∴点D的横坐标为4，点F的纵坐标为4。
∵点D在反比例函数的图象上，∴点D的纵坐标为3，即D（4,3）。
∵点D在直线 上，∴ ，解得 。∴直线DF为 。
将 代入 ，得 ，解得 。∴点F的坐标为（2，4）。
（3）∠AOF＝ ∠EOC。证明如下：
在CD上取CG=CF=2，连接OG，连接EG并延长交ｘ轴于点H。
∵AO=CO=4，∠OAF=∠OCG=900，AF=CG=2，
∴△OAF≌△OCG（SAS）。∴∠AOF=∠COG。
解得
∴所求一次函数的表达式为y＝x－3．
(2) ∵一次函数y=x－3的图像交y轴于点B，∴B点坐标为﹙0，－3﹚．
∴OB＝3．∵A点的横坐标为－2，C点的横坐标为5，
∴S△AOC=S△AOB+ S△BOC= ．
例4．（2007福建福州）如图，已知直线 与双曲线 交于 两点，且点 的横坐标为 ．
（1）求 的值；
当y＝2时，－x＋6＝2，解得x＝4，
∴点A、B的坐标分别为A(4，2)，B(1，5)，
根据反比例函数系数的几何意义，当反比例函数与点C相交时，k＝1×2＝2最小，设与线段AB相交于点(x，－x＋6)时k值最大，则k＝x(－x＋6)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，
∵ 1≤x≤4，∴当x＝3时，k值最大，此时交点坐标为(3，3)，
∵∠EGB=∠HGC，∠B=∠GCH=900，BG=CG=2，
∴△EGB≌△HGC（AAS）。∴EG=HG。
设直线EG： ，
∵E（3，4），G（4，2），∴ ，解得， 。
∴直线EG： 。
令 ，得 。∴H（5，0），OH=5。在Rｔ△AOF中，AO=4，AE=3，根据勾股定理，得OE=5。∴OH=OE。
5.(2009年牡丹江市)如图，点 、 是双曲线 上的点，分别经过 、 两点向 轴、 轴作垂线段，若 则 ．
6.（2009年莆田）如图，在 轴的正半轴上依次截取 ，过点 分别作 轴的垂线与反比例函数 的图象相交于点 ，得直角三角形 并设其面积分别为 则 的值为．．
第4题图第5题图第6题图
7.（2009年包头）已知一次函数 与反比例函数 的图象在第一象限相交于点 ，与 轴相交于点 轴于点 ， 的面积为1，则 的长为
因此，k的取值范围是2≤k≤9．故选A．
19.（2012临沂）如图，若点M是x轴正半轴上任意一点，过点M作PQ∥y轴，分别交函数 和 的图象于点P和Q，连接OP和OQ．则下列结论正确的是
A．∠POQ不成能等于90°B．
C．这两个函数的图象一定关于x轴对称；
D．△POQ的面积是
故选：D．
20.（2012湖北黄石）如图所示，已知 ， 为反比
A．8B．6C．4D．
【答案】A
17.（2012•德州）如图，两个反比例函数 和 的图象分别是l1和l2．设点P在l1上，PC⊥x轴，垂足为C，交l2于点A，PD⊥y轴，垂足为D，交l2于点B，则三角形PAB的面积为
A．
3
B．
4
C．
D．
5
解
解：∵点P在y= 上，∴设P的坐标是（a， ），
∵PA⊥x轴，∴A的横坐标是a，
∴OG是等腰三角形底边EH上的中线。∴OG是等腰三角形顶角的平分线。
∴∠EOG=∠GOH。∴∠EOG=∠GOC=∠AOF，即∠AOF＝ ∠EOC。
例6.(2009山东威海)一次函数 的图象分别与 轴、 轴交于点 ，与反比例函数 的图象相交于点 ．过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 ；过点 分别作 轴， 轴，垂足分别为 与 交于点 ，连接 ．
∴延长AB交x轴于P′，当P在P′点时，PA－PB=AB，
即此时线段AP与线段BP之差达到最大，
设直线AB的解析式是y=kx+b，
把A、B的坐标代入得：2=1/2k+b,1/2=2k+b，
解得：k=－1，b=5/2，
∴直线AB的解析式是y=－x+5/2，
当y=0时，x=5/2，即P（5/2，0），故选D．
A.2B.m－2C.mD.4
2.(2009兰州)如图，若正方形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在函数 （ ）的图象上，则点E的坐标是（，）.
3.(2009泰安）如图，双曲线 经过矩形OABC的边BC的中点E，
交AB于点D。若梯形ODBC的面积为3，则双曲线的解析式为
A． B．
C． D．
4.（2009仙桃）如图，已知双曲线 经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C．若△OBC的面积为3，则k＝____________．
21.(2012湖北随州)如图，直线 与反比例函数 的图象在第一象限内交于A、B两点，交x轴的正半轴于C点,若AB：BC=(m一l)：1(m>l)则△OAB的面积(用m暗示)为
A. B. C. D.
答案：B
22.（2013江苏苏州）如图，菱形OABC的顶点C的坐标为(3，4)，顶点A在x轴的正半轴上．反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过顶点B，则k的值为
2009-2013年中考反比例函数之陆叶了瞬创作
经典结论：
如图，反比例函数 的几何意义：
Hale Waihona Puke Baidu(I) ；
(II) 。
下面两个结论是上述结论的拓展.
(1)如图①，
， 。
(2)如图②，
， 。
经典例题
例1.(1)(兰州)如图，已知双曲线 经过矩形 边 的中点 且交 于点 ，四边形 的面积为2，则 2；
(2)如图，点 为直线 上的两点，过 两点分别作 轴的平行线交双曲线 于 两点，若 ，则 6
第7题图第8题图第9题图
10.（2010江苏盐城）如图，A、B是双曲线 上的点，A、B两点的横坐标分别是a、2a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC=6．则k=．【答案】4
11.（2010安徽蚌埠二中）已知点（1，3）在函数 的图像上。正方形 的边 在 轴上，点 是对角线 的中点，函数 的图像又经过 、 两点，则点 的横坐标为__________。【答案】
， ． ．
轴， 四边形 是平行四边形．
．同理 ． ．
（2） 与 仍然相等． ，
，又 ，
．
． ，
． ． ．
轴， 四边形 是平行四边形． ．
同理 ． ．
第一部分练习
一、选择题
1.(2009年鄂州)如图，直线y=mx与双曲线y= 交于A、B两点，过点A作AM⊥x轴，垂足为M，连结BM,若 =2，则k的值是
8.（2010嵊州市）如图,直线 与双曲线 交于 两点,则 的值为A.－5B.－10C.5D.10【答案】B
9.（2010江苏无锡）如图，已知梯形ABCO的底边AO在 轴上，BC∥AO，AB⊥AO，过点C的双曲线 交OB于D，且OD：DB=1:2，若△OBC的面积等于3，则k的值A．等于2B．等于 C．等于 D．无法确定【答案】B
A.S1＜S2＜S3B.S1>S2>S3C.S1=S2>S3D.S1=S2<S3
【答案】D
14.（2011河北）根据图5—1所示的程序，得到了y与x的函数图象，过点M作PQ∥x轴交图象于点P,Q，连接OP,OQ.则以下结论
①x＜0时， ，②△OPQ的面积为定值，
③x＞0时，y随x的增大而增大
④MQ=2PM⑤∠POQ可以等于90°
过点 分别做 轴的垂线，垂足为 ，
点 在双曲线上， ．
若 ，如图3，
，
． ．
解得 ， （舍去）． ．
若 ，如图4， ，
． ，
解得 ， （舍去）． ．
点 的坐标是 或 ．
例5.(山东淄博)如图，正方形AOCB的边长为4，反比例函数的图象过点E（3，4）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）反比例函数的图象与线段BC交于点D，直线 过点D，与线段AB相交于点F，求点F的坐标；
例2．(2013陕西)如果一个正比例函数的图象与一个反比例函数 的图象交 ，那么 值为24.
解析：因为A，B在反比例函数 上，所以 ，我们知道正比例函数与反比例函数的交点坐标关于原点成中心对称，因此 中有 ，所以
例3．(2010山东威海)如图，一次函数 的图象与反比例函数 的图象交于点A﹙－2，－5﹚，C﹙5，n﹚，交y轴于点B，交x轴于点D．
A．12B．20C．24D．32
【答案】D．
解：过C点作CD⊥x轴，垂足为D．
∵点C的坐标为（3，4），∴OD=3，CD=4．
∴OC=OD2+CD2=32+42=5．∴OC=BC=5．∴点B坐标为（8，4），
∵反比例函数y= （x＞0）的图象经过顶点B，∴k=32．
23.（2013山东临沂）如图，等边三角形OAB的一边OA在x轴上，双曲线y＝ 在第一象限内的图象经过OB边的中点C，则点B的坐标是
(1) 求反比例函数 和一次函数 的表达式；
(2)连接OA，OC．求△AOC的面积．
解：(1)∵反比例函数 的图象经过点A﹙－2，－5﹚，
∴m=(－2)×(－5)＝10．
∴反比例函数的表达式为 ．∵点C﹙5，n﹚在反比例函数的图象上，
∴ ．∴C的坐标为﹙5，2﹚．
∵一次函数的图象经过点A，C，将这两个点的坐标代入 ，得
18.（2012福州）如图，过点C(1，2)分别作x轴、y轴的平行线，交直线y＝－x＋6于A、
B两点，若反比例函数y＝ (x＞0)的图像与△ABC有公共点，则k的取值范围是
A．2≤k≤9B．2≤k≤8
C．2≤k≤5D．5≤k≤8
解答：解：∵点C(1，2)，BC∥y轴，AC∥x轴，
∴当x＝1时，y＝－1＋6＝5，
（1）若点 在反比例函数 的图象的同一分支上，如图1，试证明：
① ；
② ．
（2）若点 分别在反比例函数 的图象的分歧分支上，如图2，则 与 还相等吗？试证明你的结论．
解：（1）① 轴， 轴， 四边形 为矩形．
轴， 轴， 四边形 为矩形．
轴， 轴， 四边形 均为矩形．
，
， ．
． ，
，
②由（1）知 ． ．
12.（2010四川内江）如图，反比例函数y＝ (x＞0)的图象经过矩形OABC对角线的交点M，分别与AB、BC相交于点D、E．若四边形ODBE的面积为6，则k的值为
A．1B．2C．3D．4【答案】B
第10题图第11题图第12题图
13.（2011山东东营）如图,直线 和双曲线 交于A、B亮点,P是线段AB上的点（不与A、B重合）,过点A、B、P分别向x轴作垂线,垂足分别是C、D、E,连接OA、OB、OP,设△AOC面积是S1、△BOD面积是S2、△POE面积是S3、则
其中正确的结论是
A．①②④B②④⑤C．③④⑤D．②③⑤
【答案】B
15.（2011甘肃兰州，15，4分）如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数 的图象上。若点A的坐标为（－2，－2），则k的值为
A．1B．－3C．4D．1或－3
【答案】D
16.（2011四川乐山）如图，直线 交x轴、y轴于A、B两点，P是反比例函数 图象上位于直线下方的一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，交AB于点E，过点P作y轴的垂线，垂足为点N，交AB于点F。则