2020届高三数学精准培优专练17：椭圆(一)

1．若椭圆x 216＋y 2
b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
A ．2 5
B ．2 3
C ．4 5
D ．4 3
2．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为3
5.过F 1的直线交椭圆于
A ，
B 两点，则△ABF 2的周长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3，则该椭圆方程为( )
A.x 2144＋y 2128＝1
B.x 236＋y 220＝1
C.x 232＋y 236＝1
D.x 236＋y 232＝1 4．若椭圆x 29＋y 24＋k
＝1的离心率为45，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－1925或21 D.19
25或21
5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )
A.14
B.1
2 C ．2 D ．4
6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满
足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )
A.x 225＋y 25＝1
B.x 236＋y 216＝1
C.x 236＋y 210＝1
D.x 245＋y 2
25＝1 7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2
，则m 等于( )
A. 3
B.32
C.83
D.2
3
8．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两
点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.2
2 B ．2－
3 C.5－2 D.6－ 3
9．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A.33
B.12
C.22
D.13
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
2，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )
A ．4
B ．4 3
C ．8
D ．8 3
11．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(
c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为2
2.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．
14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．
15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________．
17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在
点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________． 18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶点，直线AF 2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆的方程．
19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N.
(1)若直线MN 的斜率为3
4，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.
1．若椭圆x 216＋y 2
b 2＝1过点(－2，3)，则其焦距为( )
A ．2 5
B ．2 3
C ．4 5
D ．4 3
答案 D 解∵椭圆过(－2，3)，则有416＋3
b 2＝1，b 2＝4，
c 2＝16－4＝12，c ＝23，2c ＝432．已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的焦点分别为F 1，F 2，b ＝4，离心率为3
5.过F 1的直线交椭圆于A ，B 两点，则△ABF 2的周长为( )
A ．10
B ．12
C ．16
D ．20
答案 D 解析 如图，由椭圆的定义知△ABF 2的周长为4a ，又
e ＝c a ＝35，即c ＝35a ，∴a 2－c 2＝16
25
a 2＝
b 2＝16.∴a ＝5，△ABF 2的周长为20. 3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，且长轴长为12，离心率为1
3，则该椭圆方程为( )
A.x 2144＋y 2128＝1
B.x 236＋y 220＝1
C.x 232＋y 236＝1
D.x 236＋y 2
32＝1 答案 D 解析 ∵2a ＝12，c a ＝13，∴a ＝6，c ＝2，b 2
＝32.∴椭圆的方程为x 236＋y 232＝1. 4．若椭圆x 29＋y 24＋k
＝1的离心率为4
5，则k 的值为( )
A ．－21
B ．21
C ．－1925或21 D.19
25或21
答案 C 解析 若a 2＝9，b 2＝4＋k ，则c ＝5－k.由c a ＝45，即5－k 3＝45，得k ＝－19
25； 若a 2＝4＋k ，b 2＝9，则c ＝k －5.由c a ＝4
5，即k －54＋k ＝45
，解得k ＝21.
5．若椭圆x 2＋my 2＝1的焦点在y 轴上，且长轴长是短轴长的两倍．则m 的值为( )
A.14
B.1
2
C ．2
D ．4
答案 A 将原方程变形为x 2
＋y 21m
＝1.由题意知a 2＝1
m ，b 2＝1，∴a ＝
1
m ，b ＝1.∴1m ＝2，∴m ＝14
. 6．如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，其中左焦点为F(－25，0)，P 为C 上一点，满足|OP|＝|OF|，且|PF|＝4，则椭圆C 的方程为( )
A.x 225＋y 25＝1
B.x 236＋y 216＝1
C.x 236＋y 210＝1
D.x 245＋y 2
25＝1 答案 B 解析 设椭圆的焦距为2c ，右焦点为F 1，连接PF 1，如图所示． 由F(－25，0)，得c ＝2 5.由|OP|＝|OF|＝|OF 1|，知PF 1⊥PF.
在Rt △PFF 1中，由勾股定理，得|PF 1|＝|F 1F|2－|PF|2＝（45）2－42＝8.
由椭圆定义，得|PF 1|＋|PF|＝2a ＝4＋8＝12，从而a ＝6，得a 2＝36，于是b 2＝a 2－c 2＝36－(25)2＝16，所以椭圆C 的方程为x 236＋y 2
16＝1.
7．若焦点在x 轴上的椭圆x 22＋y 2m ＝1的离心率为1
2，则m 等于( )
A. 3
B.32
C.83
D.2
3
答案 B 解析 ∵a 2＝2，b 2＝m ，∴c 2＝2－m.∵e 2＝c 2a 2＝2－m 2＝14.∴m ＝3
2
.
8．已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 2的直线与椭圆交于A ，B 两点，若△F 1AB 是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则椭圆的离心率为( )
A.2
2 B ．2－
3 C.5－2 D.6－ 3
答案 D 设|F 1F 2|＝2c ，|AF 1|＝m ，若△ABF 1是以A 为直角顶点的等腰直角三角形，则|AB|＝|AF 1|＝m ，|BF 1|＝2m.由椭圆的定义可得△ABF 1的周长为4a ，即有4a ＝2m ＋2m ，即m ＝(4－22)a ，则|AF 2|＝2a －m ＝(22－2)a ，在Rt △AF 1F 2中，|F 1F 2|2＝|AF 1|2＋|AF 2|2，即4c 2＝4(2－2)2a 2＋4(2－1)2a 2，即有c 2＝(9－62)a 2，即c ＝(6－3)a ，即e ＝c
a ＝6－39．设斜率为22的直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)交于不同的两点，且这两个交点在x 轴上的射影
恰好是椭圆的两个焦点，则该椭圆的离心率为( )
A.33
B.12
C.22
D.13
答案 C 解析 由题意知，直线l 与椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)两个交点的横坐标是－
c ，c ，所以两个交点分别为(－c ，－22c)，(c ，22c)，代入椭圆得c 2a 2＋c 2
2b 2＝1，两边同乘2a 2b 2，则c 2(2b 2＋a 2
)＝2a 2b 2
.因为b 2
＝a 2
－c 2
，所以c 2
(3a 2
－2c 2
)＝2a 4
－2a 2c 2
，所以c 2a 2＝2或1
2.又因为0<e<1，
所以e ＝c a ＝2
2，故应选C.
10．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的离心率为3
2，四个顶点构成的四边形的面积为4，过原点的直线l(斜率不为零)与椭圆C 交于A ，B 两点，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，则四边形AF 1BF 2的周长为( )
A ．4
B ．4 3
C ．8
D ．8 3
答案 C 解析 由⎩⎪⎨⎪⎧c a ＝
32，2ab ＝4，c 2
＝a 2
－b 2
，
解得⎩⎨⎧a ＝2，
b ＝1.周长为4a ＝8.
11．已知直线l ：y ＝kx 与椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)交于A ，B 两点，其中右焦点F 的坐标为(
c ，0) ，且AF 与BF 垂直，则椭圆C 的离心率的取值范围为( ) A ．[22，1) B ．(0，22] C ．(22，1) D ．(0，22)
答案 C 解析 由AF 与BF 垂直，运用直角三角形斜边的中线即为斜边的一半，可得|OA|＝|OF|＝c ，由|OA|>b ，即c>b ，可得c 2>b 2＝a 2－c 2，即c 2>12a 2，可得2
2<e<1.故选C.
12．在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点F 1，F 2在x 轴上，离心率为22
.过F 1的直线l 交C 于A ，B 两点，且△ABF 2的周长为16，那么C 的方程为________． 解析 根据椭圆焦点在x 轴上，可设椭圆方程为x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)．
∵e ＝
22，∴c a ＝2
2
.根据△ABF 2的周长为16得4a ＝16，因此a ＝4，b ＝22，所以椭圆方程为x 216＋y 2
8＝1.
13．若椭圆的方程为x 210－a ＋y 2
a －2＝1，且此椭圆的焦距为4，则实数a ＝________．
答案 4或8
解析 ①当焦点在x 轴上时，10－a －(a －2)＝22，解得a ＝4.②当焦点在y 轴上时，a －2－(10－a)＝22，解得a ＝8.
14．若椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为1的正方
形，则椭圆C 的内接正方形的面积为________．
答案 43解析 由已知得，a ＝1，b ＝c ＝22，所以椭圆C 的方程为x 2
＋y 212＝1，设A(x 0，y 0)是
椭圆C 的内接正方形位于第一象限内的顶点，则x 0＝y 0，所以1＝x 02＋2y 02＝3x 02，解得x 02＝13，所以椭圆C 的内接正方形的面积S ＝(2x 0)2＝4x 02＝43.
15．已知F 1、F 2为椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 为椭圆上一点，MF 1垂直于x 轴，且∠F 1MF 2＝60°，则椭圆的离心率为________．
答案 33 解析 方法一：∵|F 1F 2|＝2c ，MF 1⊥x 轴，∴|MF 1|＝233c ，|MF 2|＝43
3 c. ∴2a ＝|MF 1|＋|MF 2|＝23c.∴e ＝2c 2a ＝3
3.
方法二：由F 1(－c ，0)，将x ＝－c 代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得y ＝b 2a ，∵|F 1F 2||MF 1
|＝3，∴2c
b 2a ＝ 3.
∵b 2＝a 2－c 2，∴2ac a 2－c 2＝3，即2e 1－e
2＝ 3.解得e ＝－3(舍)，e ＝3
3.
16． 一个底面半径为2的圆柱被与底面所成角是60°的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于________． 答案 43
解析 ∵底面半径为2的圆柱被与底面成60°的平面所截，其截面是一个椭圆，∴这个椭圆的短半轴长为2，长半轴长为2cos60°＝4.∵a 2＝b 2＋c 2，∴c ＝42－22＝23，∴椭圆的焦距
为4 3.
17．已知F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若椭圆C 上存在点P ，使
得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则椭圆C 的离心率的取值范围是________．
答案 [1
3，1)
解析 设P(x ，y)，则|PF 2|＝a －ex ，若椭圆C 上存在点P ，使得线段PF 1的中垂线恰好经过焦点F 2，则|PF 2|＝|F 1F 2|，∴a －ex ＝2c ，∴x ＝a －2c e ＝a （a －2c ）c .∵－a ≤x ≤a ，∴a （a －2c ）
c ≤a ，∴c a ≥13，∴13≤e<1.故椭圆C 的离心率的取值范围是[1
3
，1)．
18.如右图，已知椭圆x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)，F 1，F 2分别为椭圆的左、右焦点，A 为椭圆的上顶
点，直线AF 2交椭圆于另一点B. (1)若∠F 1AB ＝90°，求椭圆的离心率；
(2)若椭圆的焦距为2，且AF 2→＝2F 2B →
，求椭圆的方程． 答案 (1)22 (2)x 23＋y 2
2
＝1
解析 (1)若∠F 1AB ＝90°，则△AOF 2为等腰直角三角形．所以有|OA|＝|OF 2|，即b ＝c. 所以a ＝2c ，e ＝c a ＝2
2.
(2)由题知A(0，b)，F 2(1，0)，设B(x ，y)，
由AF 2→＝2F 2B →
，解得x ＝32，y ＝－b 2.代入x 2a 2＋y 2b 2＝1，得94a 2＋b 24b 2＝1. 即94a 2＋14＝1，解得a 2
＝3.所以椭圆方程为x 23＋y 22＝1.
19．设F 1，F 2分别是椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1
与C 的另一个交点为N.
2020届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一）
2019届高三数学精准培优专练十七：椭圆（一） (1)若直线MN 的斜率为34，求C 的离心率；
(2)若直线MN 在y 轴上的截距为2，且|MN|＝5|F 1N|，求a ，b.
答案 (1)12 (2)a ＝7，b ＝27
解析 (1)根据c ＝a 2－b 2及题设知M ⎝⎛⎭
⎫c ，b 2a ，b 2a 2c ＝34，2b 2＝3ac. 将b 2＝a 2－c 2代入2b 2＝3ac ，解得c a ＝12，c a ＝－2(舍去)．故C 的离心率为12.
(2)由题意，原点O 为F 1F 2的中点，MF 2∥y 轴，所以直线MF 1与y 轴的交点D(0，2)是线段
MF 1的中点．故b 2a ＝4，即b 2＝4a.① 由|MN|＝5|F 1N|，得|DF 1|＝2|F 1N|.
设N(x 1，y 1)，由题意知y 1<0，则
⎩⎨⎧2（－c －x 1）＝c ，－2y 1＝2，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝－32c ，y 1
＝－1.代入C 的方程，得9c 24a 2＋1b 2＝1.② 将①及c ＝a 2－b 2代入②得9（a 2－4a ）4a 2
＋14a ＝1. 解得a ＝7，b 2＝4a ＝28.
故a ＝7，b ＝27.。