高中数学巧学巧解大全

高中数学巧学巧解大全
第一部分 高中数学活题巧解方法总论
一、代入法
若动点),(y x P 依赖于另一动点),(00y x Q 而运动，而Q 点的轨迹方程已知（也可能易于求得）且可建立关系式)(0x f x =，)(0x g y =，于是将这个Q 点的坐标表达式代入已知（或求得）曲线的方程，化简后即得P 点的轨迹方程，这种方法称为代入法，又称转移法或相关点法。

【例1】（2009年高考广东卷）已知曲线C ：2x y =与直线l ：02=+-y x 交于两点),(A A y x A 和),(B B y x B ，且B A x x <，记曲线C 在点A 和点B 之间那一段L 与线段AB 所围成的平面区域（含边界）为D .设点是L 上的任一点，且点P 与点A 和点B 均不重合.若点Q 是线段AB 的中点，试求线段PQ 的中点M 的轨迹方程；
【巧解】联立与得，则中点，
设线段 的中点坐标为，则，
即，又点在曲线上， ∴化简可得，又点是上的任一点， 且不与点和点重合，则，即， ∴中点的轨迹方程为（）. 【例2】（2008年，江西卷）设),(00y x P 在直线m x =)10,(<<±≠m m y 上，过点P
作双曲线122=-y x 的两条切线PA 、PB ，切点为A 、B ，定点M )0,(1
m。

过点A ),(t s P 2x y =2+=x y 2,1=-=B A x x AB )2
5,21(Q PQ M ),(y x 2
25,221t
y s x +=+=2
52,212-=-=y t x s P C 2)2
12(2
52-=-x y 8
11
2+
-=x x y P L A B 22
1
21<-<-x 4
54
1<<-x M 8112+
-=x x y 4
541<<-x
作直线0
=
-y
x的垂线，垂足为N，试求AMN
∆的重心G所在的曲线方程。

【巧解】设
1122
(,),(,)
A x y
B x y，由已知得到120
y y≠，且22
11
1
x y
-=，22
22
1
x y
-=，（1）
垂线AN的方程为：
11
y y x x
-=-+，
由11
y y x x
x y
-=-+
⎧
⎨
-=
⎩
得垂足1111
(,)
22
x y x y
N
++，设重心
(,)
G x y
所以
11
1
11
1
11
()
32
1
(0)
32
x y
x x
m
x y
y y
+
⎧
=++
⎪⎪
⎨
+
⎪=++
⎪⎩
解得1
1
3
93
4
1
93
4
x y
m
x
y x
m
y
⎧--
⎪
=
⎪⎪
⎨
⎪-+
⎪=
⎪⎩
由22
11
1
x y
-=可得11
(33)(33)2
x y x y
m m
--+-=
即22
12
()
39
x y
m
--=为重心G所在曲线方程
巧练一：（2005年，江西卷）如图，设抛物线2
:x
y
C=的焦点为F，动点P在直线0
2
:=
-
-y
x
l上运动，过P作抛物线C的两条切线PA、PB，且与抛物线C 分别相切于A、B两点.，求△APB的重心G的轨迹方程.
巧练二：（2006年，全国I卷）在平面直角坐标系xOy中，有一个以)3
,0(
1
-
F和)3
,0(
2
F为焦点、离心率为
2
3的椭圆，设椭圆在第一象限的部分为曲线C，动点P在C上，C在点P处的切线与x、y轴的交点分别为A、B，且向量OB
OA
OM+
=，
求点M 的轨迹方程
二、直接法
直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，从而确定选择支的方法叫直接法。

从近几年全国各地的高考数学试题来看，绝大大部分选择题的解答用的是此法。

但解题时也要“盯住选项特点”灵活做题，一边计算，一边对选项进行分析、验证，或在选项中取值带入题设计算，验证、筛选而迅速确定答案。

【例1】（2009年高考全国II
卷）已知双曲线)0,0(1>>=b a C 的右焦点
为F ，过F 且斜率为3的直线交C 于A 、B 两点。

若4=，则C 的离心率为（ ）
（A ）5
6
（B ）5
7
（C ）5
8
（D ）5
9
【巧解】设),(11y x A ，),(22y x B ，)0,(c F ，由4=，得),(4),(2211y c x y x c -=-- ∴214y y -=，设过F 点斜率为3的直线方程为c y x +=
3，
由⎪⎩⎪⎨⎧
=--+=0
3
222222b a y a x b c y x 消去x 得：032)3(422
22=++-b y c b y a b ， ∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=--=+224212222133)3(36a b b y y a b c b y y ， 将 2
14y y -=代入得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧-=---=-22
4222222334)3(363a b b y a b c
b y 化简得
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧--
=-=)3(43)3(32224222222a b b y a b c b y ，∴)3(43)3(342
2422224a b b a b c b --=-， 化简得：)3(9)3(916222222a c a b a c +-=-=，∴223625a c =，25362=e ，即5
6
=e 。

故本题选（A ）
【例2】（2008年，四川卷）设定义在R 上的函数)(x f 满足13)2()(=+⋅x f x f ，若
2)1(=f ，则=)99(f （ ）
（A ）13 （B ）2 （C ）
2
13
（D ）
13
2 【巧解】∵)(13)2(x f x f =
+，∴)()
(1313
)
2(13)4(x f x f x f x f ==+=
+ ∴函数)(x f 为周期函数，且4=T ，∴2
13
)1(13)3()3244()99(===+⨯=f f f f 故选（C ）
巧练一：（2008年，湖北卷）若),1()2ln(2
1
)(2+∞-++-=在x b x x f 上是减函数，则b 的取值范围是（ ）
A ．),1[+∞-
B ．),1(+∞-
C ．]1,(--∞
D ．)1,(--∞
巧练二：（2008年，湖南卷）长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一个球面上，且AB=2，AD=，3AA 1=1，则顶点A 、B 间的球面距离是（ ）
A ．π22
B ．π2
C ．
2
2π
D ．
4
2π
三、定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。

选择题的命题侧重于对圆锥曲线定义的考查，凡题目中涉及焦半径、通径、准线、离心率及离心率的取值范围等问题，用圆锥曲线的第一和第二定义解题，是一种重要的解题策略。

【例1】（2009年高考福建卷，理13）过抛物线)0(22>=p px y 的焦点F 作倾斜
角为450的直线交抛物线于A 、B 两点，线段AB 的长为8，则=p ．
【巧解】依题意直线AB 的方程为2p x y -=，由⎪⎩⎪⎨⎧
=-
=px
y p x y 222
消去y 得：
04
32
2
=+-p px x ，设),(11y x A ，),(22y x B ，∴p x x 321=+，根据抛物线的定义。

2||2p x BF +
=，2
||1p
x AF +=，∴84||21==++=p p x x AB ，∴2=p ， 故本题应填2。

【例2】（2008年，山东卷，理10）设椭圆C 1的离心率为
13
5
，焦点在x 轴上且长轴长为26. 若曲线C 2上的点到椭圆C 1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C 2的标准方程为（ ） （A ）13422
22=-y x
（B ）151322
22=-y x
（C ）14
322
22=-y x
（D ）112
1322
22=-y x
【巧解】由题意椭圆的半焦距为5=c ，双曲线2C 上的点P 满足
|,|8||||||2121F F PF PF <=- ∴点P 的轨迹是双曲线，其中5=c ，4=a ，∴3=b ，
故双曲线方程为13
422
22=-y x ，∴选（A ）
巧练一：（2008年，陕西卷）双曲线)0,0(122
22>>=-b a b
y a x 的左、右焦点分别是
F 1，F 2，过F 1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M 点，若MF 2垂直于x 轴，则双曲线的离心率为（ ）
A ．6
B ．3
C ．2
D ．
3
3 巧练二：（2008年，辽宁卷）已知点P 是抛物线x y 22=上的一个动点，则点P
到点（0，2）的距离与P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ） （A ）
2
17 （B ）3 （C ）5 （D ）2
9
四、向量坐标法
向量坐标法是一种重要的数学思想方法，通过坐标化，把长度之间的关系转化成坐标之间的关系，使问题易于解决，并从一定程度上揭示了问题的数学本质。

在解题实践中若能做到多用、巧用和活用，则可源源不断地开发出自己的解题智慧，必能收到事半功倍的效果。

【例1】（2008年，广东卷）在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是
线段OD 的中点，AE 的延长线与CD 交于点F . 若AC =a ，BD =b ，则AF =（ ）
A ．4
1
a +2
1b B ．3
2a +3
1b
C ．21a +41b
D ．31a +3
2b
【巧解】如图所示，选取边长为2的正方形ABCD
则)0,2(B ，)2,2(C ，)2,0(D ，)1,1(O ，)2
3
,21(E ，
∴直线AE 的方程为x y 3=，联立⎩⎨
⎧==2
3y x y 得)2,32
(F
∴)2,3
2(=AF ，设BD y AC x AF +=，则)22,22()2,2()2,2(y x y x y x AF +-=-+=
∴⎪⎩⎪⎨⎧=+=
-2
223
222y x y x 解之得32=x ，31=y ，∴b a BD AC AF 31323132+=+=，故本题选B A
x
y O B
D
C
E
【例2】已知点O 为ABC ∆内一点，且=++OC OB OA 320，则AOB ∆、AOC ∆、BOC
∆的面积之比等于 （ ）
A ．9：4：1
B ．1：4：9
C ．3：2：1
D ．1：2：3
【巧解】不妨设ABC ∆为等腰三角形，090=∠B
3==BC AB ，建立如图所示的直角坐标系，则点)0,0(B
)3,0(A ，)0,3(C ，设),(y x O ，
∵=++OC OB OA 320，即)0,0(),3(3),(2)3,(=--+--+--y x y x y x
∴⎩⎨⎧==3
696y x 解之得23=x ，21=y ，即)21,23(O ，又直线AC 的方程为03=-+y x ，则
点O 到直线AC 的距离2211|
321
23|
2
2=+-+=h ，∵23||=AC ，因此49||||21=⋅=∆x AB S AOB ，43||||21=⋅=
∆y BC S BOC ，2
3
||21=⋅=∆h AC S AOC ，故选C 巧练一：（2008年，湖南卷）设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且,2,2EA CE BD DC ==BC CF BE AD FB AF 与则++=,2（ ）
A ．反向平行
B ．同向平行
C ．互相垂直
D ．既不平行也不垂直
巧练二：设O 是ABC ∆内部一点，且OB OC OA 2-=+，则AOB ∆与AOC ∆面积之比是 .
五、查字典法
查字典是大家比较熟悉的，我们用类似“查字典”的方法来解决数字排列问题中数字比较大小的问题，避免了用分类讨论法时容易犯的重复和遗漏的错误，给人以“神来之法”的味道。

利用“查字典法”解决数字比较大小的排列
A
B
C
x
y
O
问题的思路是“按位逐步讨论法”（从最高位到个位），查首位时只考虑首位应满足题目条件的情况；查前“2”位时只考虑前“２”位中第“2”个数应满足条件的情况；依次逐步讨论，但解题中既要注意数字不能重复，又要有充分的理论准备，如奇、偶问题，3的倍数和5的倍数的特征，0的特性等等。

以免考虑不全而出错。

【例1】（2007年，四川卷）用数字0，1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，
并且比20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）288个
（B ）240个
（C ）144个
（D ）126个
【巧解】本题只需查首位，可分3种情况，① 个位为0，即 0⨯⨯⨯⨯型，首位
是2，3，4，5中的任一个，此时个数为3
414A A ； ②个位为2，即2⨯⨯⨯⨯， 此种情况考虑到万位上不为0，则万位上只能排3，4，5，所以个数为3
413
A A ；③个位为4， 4⨯⨯⨯⨯型，此种特点考虑到万位上不为0，则万位上只能
排2，3，5，所以个数为3413
A A ；故共有24023
4133414=+A A A A 个。

故选（B ） 【例2】（2004年全国II 卷）在由数字1，2，3，4，5组成的所有没有重复数
字的5位数中，大于23145且小于43521的数共有（ ）
A ．56个
B ．57个
C ．58个
D ．60个
【巧解】（1）查首位：只考虑首位大于2小于4的数，仅有1种情况：即⨯
⨯⨯⨯3型，此特点只需其它数进行全排列即可。

有44A 种，
（2）查前２位：只考虑前“２”位中比３既大又小的数，有4种情况：
⨯⨯⨯24，⨯⨯⨯25，⨯⨯⨯41，⨯⨯⨯42型，而每种情况均有33A 种满足条件，故共有
334A 种。

（3）查前３位：只考虑前“3”位中既比１大又小于5的数，有4种情况： ⨯⨯234，⨯⨯235，⨯⨯431，⨯⨯432型，
而每种情况均有22A 种满足条件，故共有224A
种。

（3）查前4位：只考虑前“4”位中既比4大又小于2的数，此种情况只有 23154和43512两种情况满足条件。

故共有58244223344=+++A A A 个，故选C 巧练一：用数字5,4,3,2,1,0可以组成没有重复数字，并且不大于4310的四位偶数共有（ ）
A ．110种
B ．109种
C ．108种
D ．107种
巧练二：（2007年，四川卷）用数字1,2,3,4,5可以组成没有重复数字,并且比
20000大的五位偶数共有（ ）
（A ）48个
（B ）36个
（C ）24个
（D ）18个
六、挡板模型法
挡板模型法是在解决排列组合应用问题中，对一些不易理解且复杂的排列组合问题，当元素相同时，可以通过设计一个挡板模型巧妙解决，否则，如果分类讨论，往往费时费力，同时也难以解决问题。

【例1】体育老师把9个相同的足球放入编号为1，2，3的三个箱中，要求每
个箱子放球的个数不少于其编号，则不同的放球方法有 （ ）
A ．8种
B ．10种
C ．12种
D ．16种
【巧解】先在2号盒子里放1个小球，在3号盒子里放2个小球，余下的6个小球排成一排为：OOOOOO ，只需在6个小球的5个空位之间插入2块挡板，如：OO OO OO ||，每一种插法对应着一种放法，故共有不同的放法为1025=C 种. 故选B
【例2】两个实数集{}1250,,,A a a a =L ，{}1225,,B b b b =L ，若从A 到B 的映射f 使
得B 中每个元素都有原象，且()()()1250f a f a f a ≥≥≥L ，则这样的映射共有
（ ）个
A ．24
50A
B ．24
49C
C ．25
50C
D ．25
49A
【巧解】不妨设B A 和两个集合中的数都是从小到大排列，将集合A 的50个数视为50个相同的小球排成一排为：OO OOOOOOO ΛΛ，然后在50个小球的49个空位中插入24块木板，每一种插法对应着一种满足条件
()()()1250f a f a f a ≥≥≥L 对应方法，故共有不同映射共有24
49
C 种. 故选 B 巧练一：两个实数集合A={a 1, a 2, a 3,…, a 15}与B={b 1, b 2, b 3,…, b 10}，若从A 到B 的是映射f 使B 中的每一个元素都有原象，且f (a 1)≤f (a 2) ≤…≤f (a 10)<f (a 11)<…<f (a 15), 则这样的映射共有
（ ）
A ．5
10C 个
B ．49
C 个
C ．1015个
D ．10
15105A ⋅
巧练二：10个完全相同的小球放在标有1、2、3、4号的四个不同盒子里，使每个盒子都不空的放法有（ ）种
A 24
B ．84
C ．
D ．96七、等差中项法
等差中项法是根据题目的题设条件（或隐含）的特征，联想到等差数列中的等差中项，构造等差中项，从而可使问题得到快速解决，从而使解题过程变得简捷流畅，令人赏心悦目。

【例1】（2008年，浙江卷）已知2,0,0=+≥≥b a b a 且，则（ ）
（A ）2
1
≤ab
（B ）2
1≥ab
（C ）222≥+b a （D ）322≤+b a
【巧解】根据2=+b a 特征，可得b a ,1,成等差数列，1为a 与b 的等差中项。

可设
x a -=1，x b +=1，其中11≤≤-x ；则21x ab -=，22222x b a +=+，
又102≤≤x ，故10≤≤ab ，4222≤+≤b a ，由选项知应选（C ）
【例2】（2008年，重庆卷）已知函数31++-=x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则m
M
的值为（ ）
（A ）14
（B ）12
（C
）
2
（D
）
2
【巧解】由31++-=x x y 可得，2
y 为x -1与3+x 的等差中项， 令t y x +=
-21，t y x -=+23，其中2
||y t ≤， 则431)2()2(2
2=++-=-++x x t y t y ，即4222y t -=，又2||y t ≤，则
4022
y t ≤≤，故4
4202
2y y ≤-≤，解之得222≤≤y ，即22=M ，2=m
∴
2
2
222=
=M m ，故选（C ） 巧练：（2008年，江苏卷）xz
y z y x R z y x 2
,032*,,,=+-∈的最小值 .
八、逆向化法
逆向化法是在解选择题时, 四个选项以及四个选项中只有一个是符合题目要求的都是解题重要的信息。

逆向化策略是把四个选项作为首先考虑的信息，解题时，要“盯住选项”，着重通过对选项的分析，考查，验证，推断进行否定或肯定，或者根据选项之间的关系进行逻辑分析和筛选，找到所要选择的，符合题目要求的选项。

【例1】（2008年，湖北卷）函数)4323ln(1
)(22+--++-=x x x x x
x f 的 定义域为（ ） A ．),2[]4,(+∞--∞Y B ．)1,0()0,4(Y -
C ．]1,0()0,4[Y -
D ．)1,0()0,4[Y -
【巧解】观察四个选项取端点值代入计算即可，取1=x ，出现函数的真数为0，不满足，排含有1的答案C ，取4-=x 代入计算解析式有意义，排不含有4-的答案B ，取2=x 出现二次根式被开方数为负，不满足，排含有2的答案A ，故选D
评析：求函数的定义域只需使函数解析式有意义，凡是考查具体函数的定义域问题都可用特值法代入验证快速确定选项。

【例2】（2008年，江西卷）已知函数mx x g x m mx x f =+--=)(,1)4(22)(2，若对
于任一实数)(,x f x 与)(x g 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（ ） A ．（0，2） B ．（0，8）
C ．（2，8）
D ．（∞-，0）
【巧解】观察四个选项中有三个答案不含2，那么就取2=m 代入验证是否符合
题意即可，
取2=m ，则有 22)12(144)(-=+-=x x x x f ，这个二次函数的函数值0)(>x f 对
R x ∈且21≠
x 恒成立，现只需考虑x x g 2)(=当2
1
=x 时函数值是否为正数即可。

这显然
为正数。

故2=m 符合题意，排除不含2=m 的选项A 、C 、D 。

所以选B
巧练一：（2007年，湖北卷）函数1
21
2-+=x x y （x <0）的反函数是（ ）
A.1
1
log 2
-+=x x y （x <－1） B. 11
log 2
-+=x x y （x >1）
C.1
1log 2+-=x x y （x <－1）
D.
1
1
log 2
+-=x x y （x >1） 巧练二：（2004年，重庆卷）不等式2
21
x x +>+的解集是（ ） A ．(1,0)(1,)-+∞U B ．(,1)(0,1)-∞-U
C ．(1,0)(0,1)-U
D ．(,1)(1,)-∞-+∞U
九、极限化法
极限化法是在解选择题时,有一些任意选取或者变化的元素,我们对这些元素的变化趋势进行研究,分析它们的极限情况或者极端位置,并进行估算,以此来判断选择的结果.这种通过动态变化,或对极端取值来解选择题的方法是一种极限化法.
【例1】正三棱锥BCD A -中，E 在棱AB 上，F 在棱CD 上，
使λ==FD
CF
EB AE )0(>λ， 设α为异面直线EF 与AC 所成的角，为异面直线EF 与BD 所成的角，则
βα+的值是 （ ）
A ．
6
π B ．4
π
C ．3
π
D ．2
π
【巧解】当0→λ时，A E →，且C F →，从而AC EF →。

因为BD AC ⊥，排除选择支C B A ,,故选D （或+∞→λ时的情况，同样可排除C B A ,,），所以选D 【例
3
2,x c x ，当x ＞1
时，,,a b c 的大小关系是 （ ）
A a b c <<．c a b << C ．c b a << D ．a c b << 【巧解】当0→x 时，3
2
→a ，1→b ，0→c ，故c a b <<，所以选B 巧练一：若x x x sin 32,2
0与则π
<<的大小关系
（ ）
A ．x x sin 32>
B ．x x sin 32<
C ．x x sin 32=
D ．与x 的取值有关
巧练二：对于任意的锐角βα,，下列不等关系式中正确的是（ ） （A ）βαβαsin sin )sin(+>+ （B ）βαβαcos cos )sin(+>+ （C ）βαβαsin sin )cos(+>+ （D ） βαβαcos cos )cos(+<+
十、整体化法
整体化法是在解选择题时,有时并不需要把题目精解出来,而是从题目的整体去观察,分析和把握,通过整体反映的性质或者对整体情况的估算,确定具体问题的结果,例如,对函数问题,有时只需要研究它的定义域,值域,而不一定关心它
β
的解析示式,对函数图象,有时可以从它的整体变化趋势去观察,而不一定思考具体的对应关系,或者对4个选项进行比较以得出结论,或者从整体,从全局进行估算,而忽略具体的细节等等,都可以缩短解题过程,这是一种从整体出发进行解题的方法.
【例1】已知θ是锐角，那么下列各值中，θθcos sin +可能取到的值是（ ）
A ．
4
3 B ．3
4
C ．3
5
D ．2
1
【巧解】∵)4
sin(2cos sin π
θθθ+=+，又θ是锐角，∴2
0π
θ<<
434
4ππ
θπ
<
+
<，∴1)4sin(22≤+<πθ，即2)4
sin(21≤+<π
θ，故选B 【例2】(2002年,全国卷)据2002年3月5日九届人大五次会议《政府工作报告》指出“2001年国内生产总值达到95933亿元,比上一年增长7.3%.”如果“十·五”期间(2001-2005年)每年的国内生产总值按此年增长率增长,那么,到“十·五”末,我国国内生产总值约为（ ）
（A ）115000亿元 (B)120000亿元 (C) 127000亿元 (D)135000亿元
【巧解】 注意到已知条件给出的数据非常精确, 2001年国内生产总值达到
亿元,精确到亿元,而四个选项提供的数据都是近似值, 精确到千亿元,即
后三位都是0,因此,可以从整体上看问题,忽略一些局部的细节.
把亿元近似地视为亿元,又把近似地视为,这样一来,就有
96000(10.29260.005)126720127000.
≈⨯++⨯=≈
巧练一： 如图所示为三角函数)sin(ϕω+=x A y ，（)0,2
||><A π
ϕ的图象的一部分，
则此函数的周期T 可能是（ ）
95933959339600020.0730.005()()
4
29593317.3%96000140.07360.073⨯+≈+⨯+⨯y 2
A ． π4
B ．π2
C ．π
D ．
8
11π
巧练二：（全国卷）如图，在多面体ABCDEF 中，已知面ABCD 是边长为3的正
方形，EF ∥AB ，EF 2
3
=，EF 与面AC
）
（A ）2
9 （B ）5 （C ）6 （D ）2
15
十一、参数法
在解题过程中，适当引入一个或几个新变量代替原式中的某些量，使得原式中仅含有这些新变量，以此作为媒介，在进行分析和综合，然后对新变量求出结果，从而解决问题的方法叫参数法。

【例1】（2008年，安徽卷）设椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>过点M ，且左焦
点为1(F
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）当过点(4,1)P 的动直线l 与椭圆C 相交于两不同点,A B 时，在线段AB 上取
点Q ，满足AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r
，证明：点Q 总在某定直线上。

【巧解】(1)由题意：2222222211c a b c a b
⎧=⎪
⎪+=⎨⎪
⎪=-⎩ ，解得22
4,2a b ==，所求椭圆方程为 22142x y +=
(2) 由AP QB AQ PB ⋅=⋅u u u r u u u r u u u r u u u r =
设点Q 、A 、B 的坐标分别为1122(,),(,),(,)x y x y x y 。

由题设知,,,AP PB AQ QB u u u r u u u r u u u r u u u r
均不为零，记AP AQ PB QB λ==u u u r u u u r u u u r u u u r ,则
0λ>且1λ≠，又A ，P ，B ，Q 四点共线，从而,AP PB AQ QB λλ=-=u u u r u u u r u u u r u u u r
，
于是 1241x x λλ-=
-， 1211y y λλ-=-， 121x x x λλ+=+， 12
1y y y λλ
+=+ 从而
22212241x x x λλ-=-，L L ① 22212
2
1y y y λλ-=-，L L ② 又点A 、B 在椭圆C 上，即
221124,x y +=L L ③ 222224,x y +=L L ④
①+②2⨯并结合③，④得424x y +=,即点(,)Q x y 总在定直线220
x y +-=上。

【例2】（2004年，辽宁卷）设椭圆方程为12
2
y ，过点M （0，1）的直线
l 交椭圆于点A 、B ，O 是坐标原点，点P 满足)，点N 的坐标为)2
1,21(，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程；
【巧解】直线l 过点M （0，1）设其斜率为k ，则l 的方程为.1+=kx y
记),(11y x A 、),,(22y x B 由题设可得点A 、B 的坐标),(11y x 、),(22y x 是方程
组
⎪⎩
⎪⎨⎧=++=14122y
x kx y 的解. 将①代入②并化简得，032)4(22=-++kx x k ，所以
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
+=++-=+.48,422212
21k y y k k x x 于是 ① ②
).44
,4()2,2()(21222121k
k k y y x x ++-=++=+=
设点P 的坐标为),,(y x 则
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧+=+-=.44,422k y k
k x 消去参数k 得0422=-+y y x ③ 当k 不存在时，A 、B 中点为坐标原点（0，0），也满足方程③，所以
点P 的轨迹方程为.0422=-+y y x
巧练一：（2008年，全国I 卷）直线1=+b
y
a
x 通过点)sin ,(cos ααM ，则有 （ ）
A ．122≤+b a
B ． 122≥+b a
C ．
11
122≥+b a D ．
11122≤+b
a 巧练二： 如图，已知直线l 与抛物线y x 42=相切于点P (2，1)，且与x 轴交于
点A ，O 为坐标原点，定点B 的坐标为（2，0）.
（I ）若动点M ||2=+⋅AM BM AB ，求点M 的轨迹C ；
（II ）若过点B 的直线l ′（斜率不等于零）与（I ）中的轨迹C 交于不同的
两点E 、F （E 在B 、F 之间），试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.
十二、交轨法
如果所求轨迹是两条动曲线（包括直线）的交点所得，其一般方法是恰当地引进一个参数，写出两条动曲线的方程，消去参数，即得所求的轨迹方程，所以交轨法是参数法的一种特殊情况。

【例1】已知椭圆C ：12222
=+b
y a x 36
)0(的离心率为>>b a ,短轴一个端点到右焦点F 的
距离为3.
（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 经过椭圆的焦点F 交椭圆C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作
椭圆的两条切线，A 、B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。

【巧解】（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c
，依题意3c a a ⎧=⎪
⎨⎪=⎩
解之得2=c
1b ∴=，∴所求椭圆方程为2
213
x y +=．
)0，设),(11y x A ，),(22y x B ，),(00y x P ，对椭圆21y +=
求导：
023
2='+y y x
，即y x y 3-='，则过A 点的切线方程PA 为)(311
1
1x x y x y y --
=- 整理得3311=+y y x x ① 同理过B 点的切线方程PB 为3322=+y y x x ②，又),(00y x P 在两切线PA 、PB 上，∴330101=+y y x x 330202=+y y x x ，因此，),(11y x A ，),(22y x B 两点在均在直线3300=+y y x x 上，
又∵)0,2(F 在直线3300=+y y x x 上，∴303200=⨯+y x ，即2
2
30=x 为交点P 的轨迹方程
【例2】过抛物线C ：2x y =上两点M ，N 的直线l 交y 轴于点P （0，b ）. （Ⅰ）若∠MON 是钝角（O 为坐标原点），求实数b 的取值范围； （Ⅱ）若b=2，曲线C 在点M ，N 处的切线的交点为Q.证明：点Q 必在一
条定直线上
运动.
【巧解】（Ⅰ）设点M ，N 坐标分别为).,(),,(),)(,(),,(22221121222211x x ON x x OM x x x x x x ==≠则由题意可设直线l 方程为
y=kx+b,⎪⎩⎪⎨⎧-=⋅=+>+=∆∴=--⎩⎨⎧+==b
x x k x x b k b kx x y b kx y x y 2
121222
4,0得消去由
分
的取值范围是不成立三点不共势此时得由且是钝角6).1,0(.1cos ,,,.
10,0.
1cos ,0|
|||cos ,22
22121ΛΛΘb MON N M O b b b x x x x ON OM MON ON OM MON MON ∴-=∠<<<+-=+=⋅-≠∠<⋅=
∠∴∠
（Ⅱ）当b=2时，由（Ⅰ）知⎩⎨
⎧-=-=⋅=+,
2,
2121b x x k x x
∵函数y=x 2的导数y ′=2x ，
抛物线在),(),,(2
2
2211x x N x x M 两点处切线的斜率分别为,2,221x k x k N M ==∴在点M ，N 处的切线方程分别为
.
2,2,2,,2),(),()(2),(2).
(2:),
(2:212121222
21121222
21121上运动点在定直线即满足的坐标解得交点由-=∴⎪
⎩⎪⎨⎧-==⎪⎩⎪⎨
⎧
⋅=+=
≠⎪⎩
⎪⎨⎧-=--=--=--=-y Q y k x x x y x x x y x Q x x x x x x y x x x x y x x x x y l x x x x y l N M
巧练一：已知定点A （1，0）和定直线1-=x 上的两个动点E 、F ，满足AF AE ⊥，动点P 满足OP FO OA EP //,//（其中O 为坐标原点）. （Ⅰ）求动点P 的轨迹C 的方程；
（Ⅱ）设直线l 经过点)0,1(M 与轨迹C 交于A 、B 两点,分别过A 、B 作轨迹C
的两条切线，A 、B 为切点，求两条切线的交点P 的轨迹方程。

巧练二：如图，在以点O 为圆心，|AB |=4为直径的半圆ADB 中，OD ⊥AB ，P 是半圆弧上一点，∠POB =30°. 曲线C 是满足||MA |－|MB ||为定值的动点M
的轨迹，且曲线C 过点P .
（Ⅰ）建立适当的平面直角坐标系，求曲线C 的方程； （Ⅱ）设过点D 的直线l 与曲线C 相交于不同的两点E 、F . 分别过E 、F .作轨迹C 的两条切线，E 、F .为切点，
求两条切线的交点Q 的轨迹方程。

十三、几何法
利用平面几何或解析几何的知识分析图形性质，发现动点运动规律，然后得出题目结论的方法叫做几何法。

【例1】(2008年，浙江卷)已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足||,0)()(c c b c a 则=-⋅- 的最大值是（ ）
（A ）1
（B ）2
（C ）2
（D ）
2
2 【巧解】不妨设以a 、b 所在直线为x 轴，y 轴，且)0,1(=a ，)1,0(=b ，
),(y x c =由已知0)()(=-⋅-c b c a 得0||)(2=+⋅+-⋅c c b a b a ，
整理得022=--+y x y x
即2
1)2
1()2
1
(22=-+-y x ，所以向量c 的坐标是以)2
1,21(为圆心，
2
2
为半径的一个圆且过原点，故||c 的最大值即为圆的直径为2，故本题选（C ） 【例2】（2008年，江苏卷）若AB=2，AC=ABC S BC ∆则,2的最大值 . 【巧解】建立如图平面直角坐标系，设),(y x C ，)0,0(A ，)0,2(B ，由BC AC 2= 即||2||BC AC =，∴2222)2(2y x y x +-=+， 化简得08822=++-y x x
配方得8)4(22=+-y x ，所以C 点轨迹是以)0,4(D 为圆心，
O
x
y C B(2,0) A
x
y
22为半径的一个圆（除去与x 轴的两个交点），所以当C 点纵坐标绝对值为22，
即22||=y 时，ABC S ∆有最大值为222
2
22=⨯，所以答案为22 巧练一：已知)1
,1(m
m m m A -+
，)0,1(B ，
其中0<m ，则||AB 的最小值为 . 巧练二：已知实数x 、y 满足6)2()2(2222=++++-y x y x ，则y x +2的最大值等于 .
十四、弦中点轨迹法
有关弦中点的问题，主要有三种类型：过定点且被定点平分的弦；平行弦的中点轨迹；过定点的弦重点轨迹。

“点差法”解决有关弦中点问题较方便，要点是巧代斜率。

【例1】（2009年高考海南、宁夏卷）已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点
为)0,1(F ，直线l 与抛物线C 相交于A ，B 两点，若AB 的中点为（2，2），则直线l 的方程为 .
【巧解】由)0,1(F 知抛物线C 的方程为x y 42=，设),(11y x A ，，代入
抛物线方程则有：1214x y =，2224x y =，两式相减有)(4212
2
21x x y y -=-， 即
4)(4)(21212
12
1=+⇒=+--y y k y y x x y y ，又421=+y y ，∴44=k ，即1=k 。

故AB l ：22-=-x y ，即x y =，∴本题应填x y =
【例2】椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，若过原点与线段AB 中点的直线的倾斜角为030，则b
a 的值为 （ ） （A ）
4
3 （B ）
3
3 （C ）
2
3 （D ）3
【巧解】设AB 的中点为),(00y x M ，),(11y x A ，，则0212x x x =+
),(22y x B ),(22y x B
0212y y y =+，又⎩⎨⎧=+=+1
1
2
2222121by ax by ax ，两式相减，得 0))(())((21212121=-++-+y y y y b x x x x a ，
即0)(2)(2210210=-+-y y by x x ax ，∴10
0212
1-=-=--by ax x x y y ∴100=by ax ，又3
3
30tan 000==x y ，∴33=b a ，故选（B ）
巧练一：若椭圆122=+ny mx 与直线01=-+y x 交于A 、B 两点，过原点与线段
AB 中点的直线的斜率为
22，则m
n
的值为 . 巧练二：若椭圆19
362
2=+y x 的弦被点)2,4(P 平分，则此弦所在直线的斜率是
为 .
十五、比较法
现实世界的同类量之间，有相等关系，也有不等关系。

两个可以比较大小的量a 和b ，若0=-b a ，0>-b a ，0<-b a ，则它们分别表示b a =，b a >，b a <，我们把根据两个量的差的正、负或零判断两个量不等或相等的方法叫做差式比较法；当两个量均为正值时，有时我们又可以根据1=b
a
，1>b
a 或1<b
a 来判断
b a =，
b a >，b a <，这个方法叫做商式比较法。

这两种方法在数列与函数、不等式交
汇问题中应用广泛。

比较法之一（作差法0步骤：作差——变形——定号——结论 （1）作差：对要比较大小的两个数（或式）作差。

（2）变形：常采用配方、因式分解等恒等变形手段，将“差”化成“积”。

（3）定号：就是确定是大于0，还是等于0，还是小于0，最后下结论。

概括为“三步，一结论”，这里的“定号”是目的，“变形”是关键。

注意：若两个正数作差比较有困难，可以把式子灵活变形，通过作商或将它们的平方差来比较大小。

【例1】已知数列{}n a 中，11=a ，且点))(,(*1N n a a P n n ∈+在直线01=+-y x 上 （1）求{}n a 的通项公式； （2）若函数)2,(1
...11)(21≥∈++++++=
n N n a n a n a n n f n
，求函数)(n f 的最小值. 【巧解】（1）Θ点),(1+n n a a P 在直线01=--y x 上，即11=-+n n a a 且11=a ∴数列}{n a 是以1为首项，1为公差的等差数列
n n a n =⋅-+=∴1)1(1
n a n =∴
（2）n n n n f 21
2111)(+
++++=
ΛΘ，
1
1111)1(+
+=+n f 0∴
)(n f ∴是单调递增的，故)(n f 的最小值是12
)2(=f
【例2】（Ⅰ）已知函数n S x x x f .263)(2-+-=是数列}{n a 的前n 项和，点（n ，S n ）（n ∈N*），在曲线2)(+=x f y 上，求a n . （Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若6
,)2
1
(1n
n n n n b a c b ⋅=
=-，且T n 是数列{c n }的前n 项和.试问T n 是否存在最大值？若存在，请求出T n 的最大值，若不存在，请说明理由.
【巧解】（Ⅰ）点（n ，S n ）在曲线()2y f x =+上，所以236.n s n n =-+
当n =1时，a 1= S 1=3，当n ≥2时，a n = S n - S n -1=9-6n ，
96.n a n ∴=-
（Ⅱ）111
19611
(),()(32)(),26622
n n n n n n n n b c a b n ---===
=-Q
211111()(32)().222
n n n T c c c n ∴=+++=-++-L L 利用错位相减法，1
(21)() 1.2
n n T n ∴=+-
1111
1(21)()0,1(23)()0,22n n n n T n T n +++=+>+=+>Q
1
11
(21)()121,11(23)()2n
n n n n T T n ++++=
>++Q 11111,1.
2
n n n n T T T T T ++∴+<+∴<<<=L
存在最大值11
.2
T = 巧练一：（2005年，全国卷）若ln 2ln 3ln 5,,2
3
5
a b c ===，则
（ ）
A ．a <b<c
B ．c<b<a
C ．c<a <b
D ．b<a <c
巧练二：已知函数b a x f x +⋅=2)(的图象过点).2
5,2(),2
3,1(B A
（Ⅰ）求函数)(x f y =的反函数)(1x f y -=的解析式； （Ⅱ）记*)(2)
(1
N n a n f n ∈=-，是否存在正数k ，
使得*12)1
1()11)(11(21N ∈+≥+++
n n k a a a n
对Λ均成立.若存在，求出k 的最 大值；若不存在，请说明理由.
十六、基本不等式法
借助基本不等式证明不等式或求某些函数最值的方法叫基本不等式。

常用的基本不等式有下面几种形式：①若a 、R b ∈，则ab b a 222≥+，（当
且仅当b a =时取等号），反之22
2b a ab +≤也成立，②若0>a 、0>b ，则
ab b a 2≥+，（当且仅当b a =时取等号），反之2
)2
(
b a ab +≤也成立。

③若a 、b 、
c 都是正数，则abc c b a 3333≥++，
（当且仅当c b a ==时取等号），反之2
3
33c b a abc ++≤也成立。

④若a 、b 、c 都是正数，则33abc c b a ≥++，（当
且仅当c b a ==时取等号），反之3
)2
(
c b a abc ++≤也成立。

对于公式ab b a 222≥+及公式ab b a 2≥+的理解，应注意以下几点：
①两个公式成立的条件是不同的，前者只要求a 、b 是实数，而后者强调a 、b 必须是正数。

②要对两个公式的等号及“当且仅当b a =时取等号”的含义要有透彻的理解并会在函数、三角函数、解析几何等知识中灵活应用。

解题功能及技巧是：①二、三元不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能。

②在创设应用不等式的使用条件时，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧。

③“和定积最大，积定和最小”，即n 个)3,2(=n 正数的和为定值，则可求积的最大值，积为定值，则可求和的最小值。

应用此结论求某些函数最值要注意三个条件：就是“一正——各项都是正数；二定——积或和是定值；三等——等号能否取到”，求最值时，若忽略了上述三个条件，就会出现错误，导致解题失败。

必要时要做适当的变形或换元，以满足上述条件。

【例1】（2008年，重庆卷）函数f （x ）
0≤x ≤2π）的值域是（ ）
（A ）[－11
,44]
（B ）[－11,33]
（C ）[－11
,22
]
（D ）[－22
,33
]
【巧解】∵x
x
x f cos 45sin )(+=，∴x x x x x f cos 451
cos cos 45sin )(222
++-=+=
令x t cos 45+=，∵π20≤≤x ，1cos 1≤≤-x ，∴0>t ∴45cos -=
t x ，∴)109(1611
)45(
cos 451
cos 2
2
-+-=+--=++-t
t t t x
x
41)1092(161=-⋅-
≤t t ，当且仅当t t 9=，即3=t 时取等号，此时2
1
cos -=x ，
即32π=
x 或3
4π，∴41)(2≤x f ，因而21)(21≤≤-x f ，故)(x f 的值域为[－11,22]
【例2】（2008年，辽宁卷）设),2
,0(π
∈x 则函数x x y 2sin 1
sin 22+=的最小值
为 .
【巧解】由二倍角公式及同角三角函数的基本关系得：
x x x x x x x x x x x y tan 21tan 3cos sin 2cos sin 3cos sin 21sin 22sin 1sin 222222+=+=+=+= =x
x tan 21
tan 23+，
∵),2
,0(π
∈x ∴0tan >x ，利用均值定理，3tan 21
tan 232
=⋅≥x
x y ，当且仅当 3
1
tan 2=
x 时取“=”，∴3m in =y ，所以应填3. 巧练一：函数)0(1
21
2
2>++++=x x x x x y 的最小值是 。

巧练二：求函数21(15)(0)5
y x x x =-≤≤的最大值。

十七、综合法
利用某些已知证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合法。

【例1】已知
,a b 是正数，且1a
b x
y
+=，,(0,)x y ∈+∞，求证：2x y +≥ 【巧证】左
2()()a b bx ay x y x y a b a b x
y
y x
=+=+⋅+=++
+≥++=
=右，当且仅当ay bx
x y
=，即22x a y b =时，取“＝”号，故2x y +≥。

【例2】已知,,a b c 是正数，且1a b c ++=，求证：111
9a b c
++≥
【巧证】1113()()()a b c a b c a b c b a c a c b
a b c a b c a b a c b c
++++++++=
++=++++++ 32229≥+++=，当且仅当1
3
a b c ===时取“＝”号。

巧练一：已知函数x x x f ln 2
1
)(2+=．设)()(x f x g '=，
求证：22)()]([-≥-n n n x g x g )(*N n ∈．
巧练二：已知,,,a b c d 都是实数，且221a b +=，221c d +=，求证：||1ac bd +≤
十八、分析法
证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题，如果能够肯定这些充分条件都具备，那么就可以判定原不等式成立，这种方法通常叫分析法。

注意：①分析法是“执果索因”，步步寻求不等式成立的充分条件，可以简单写成
A B B B B n ⇐⇐⇐⇐Λ21，②分析法与综合法是对立统一的两种方法。

综合
法是“由因导果”；③分析法论证“若A 则B ”这个命题的证明模式（步骤）是： 欲证明命题B 成立，只须证明命题1B 成立，K ，从而有K ，只须证明命题2B 成立，从而又有K ，只须证明命题A 成立，而已知A 成立，故B 必成立。

④用分析法证明问题时，一定要恰当用好“要证”，“只须证”，“即证”，“也即证”等词语。

【例1】求证6273+<+
【巧证】∵073>+，062>+，要证6273+<+， 只须证22)62()73(+<+，即证2421021210+<+
也即证2421<，∵2421<，2421<显然成立，∴原不等式6273+<+成立。

【例2】设0>a ，0>b ，且b a c +>2，证明ab c c a ab c c -+<<--22 【巧证】要证ab c c a ab c c -+<<--22
只须证ab c c a ab c -<-<--22，即证ab c c a -<-2||
两边平方得：ab c c ac a -<+-2222，也即证ac ab a 22<+，∵0>a 且b a c +>2。