华师大版八年级下册初二数学(基础版)(全册知识点考点梳理、重点题型分类巩固练习)(家教、补习、复习用)

华师大版八年级下册数学
重难点突破
全册知识点梳理及重点题型举一反三巩固练习
分式的概念和性质（基础）
【学习目标】
1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.
2．掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算. 【要点梳理】
【403986 分式的概念和性质知识要点】
要点一、分式的概念
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子A
B
叫做分式.其中A
叫做分子，B叫做分母.
要点诠释：（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式，分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分
母中都不含字母.
（2）分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况.
（3）分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但π表示圆周率，是一个常
数，不是字母，如a
π
是整式而不能当作分式.
（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式
不能先化简，如
2
x y
x
是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式，
不能看化简的结果.
要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件
1.分式有意义的条件：分母不等于零.
2.分式无意义的条件：分母等于零.
3.分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.
要点诠释：（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零.
（2）本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式中分母的值不等于零.
（3）必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.
要点三、分式的基本性质
分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做分
式的基本性质，用式子表示是：A A M A A M
B B M B B M
⨯÷
==
⨯÷
，（其中M是不等于零的整式）.
要点诠释：（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中B≠0是已知条件中隐含着的条件，一般在解题过程中不另强调；M≠0是在解题过程中另外附加
的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调M≠0这个前提条件.
（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式中
字母的取值范围有可能发生变化.例如：
，在变形后，
字母x 的取值范围变大了.
要点四、分式的变号法则
对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.
要点诠释：根据分式的基本性质有
b b a a -=-，b b
a a
-=
-.根据有理数除法的符号法则有b b b a a a -==--.分式a b 与a
b
-互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着重要的作用.
要点五、分式的约分，最简分式
与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外），那么这个分式叫做最简分式.
要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分母
再没有公因式.
（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式是
分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.
要点六、分式的通分
与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
要点诠释：（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高
次幂的积作为公分母.
（2）如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相
同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解因式，然后再找最简公分母.
（3）约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则
是针对多个分式而言.
【典型例题】 类型一、分式的概念
1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式？
2a ，3x ，1m m +，23x +，5π，2a a ，23
-．
【思路点拨】3x ，5π，23-虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中5
π
的分母中π表示
一个常数，因此这三个式子都不是分式．
【答案与解析】
解：整式：3x ，23-，5π，2
3x +，分式：2a
，1m m +，2a a ．
【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不
含有字母则不是分式．
类型二、分式有意义，分式值为0
2、下列各式中，m 取何值时，分式有意义？ （1）
2m m +；（2）1||2m -；（3）239
m
m --．
【答案与解析】
解：（1）由20m +=得2m =-，
故当2m ≠-时分式
2
m
m +有意义． （2）由||20m -=得2m =±，
故当2m ≠±时分式1
||2
m -有意义．
（3）由229(9)0m m --=-+<，即无论m 取何值时2
9m --均不为零，故当m 为任
意实数时分式2
39
m
m --都有意义． 【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值，便可使分式有意义．这是解答这类问题的通用方法． 举一反三：
【变式1】（2016·丹东一模）若分式
1
1
x x -+有意义，则x 的取值范围是 ． 【答案】
解：由题意得：10x +≠，解得1x ≠-，故答案为：1x ≠-． 【变式2】当x 为何值时，下列各式的值为0．
（1）2132x x +-；（2）221x x x +-；（3）22
4
x x +-．
【答案】
解：（1）由210x +=得1
2
x =-
， 当12x =-时，1
323()202
x -=⨯--≠，
∴ 当12x =-时，分式21
32x x +-的值为0．
（2）由2
0x x +=得0x =或1x =-，
当0x =时，2
1010x -=-≠，
当1x =-时，22
1(1)10x -=--=， ∴ 当0x =时，分式221
x x
x +-的值为0．
（3）由20x +=得2x =-，
当2x =-时，22
4(2)40x -=--=，
∴ 在分式有意义的前提下，分式22
4
x x +-的值永不为0． 类型三、分式的基本性质
3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数．
（1）0.20.020.5x y x y
+-； （2）113
41123
x y
x y +-． 【思路点拨】将（1）式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可． 【答案与解析】 解：（1）
0.20.020.5x y
x y +-(0.2)501050(0.020.5)50
25x y x y x y x y +⨯+==-⨯-．
（2）11341123x y x y +-111243341
164122
3x y x y x y x y ⎛⎫+⨯
⎪+⎝⎭==-⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭.
【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘(或除以)一个不等于0的整式，
分式的值不变. 举一反三：
【变式1】如果把分式
y
x x
232-中的y x ,都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A 扩大3倍
B 不变
C 缩小3倍
D 扩大2倍
【答案】B ；
【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母．
（1）22?x y x y x y +-=-； （2）()()?
()()()b a c b a c a b b c a c
--=----． 【答案】2
()x y -；1；
解：（1）先观察分子，等式左边分式的分子为x y +，而等式的右边分式的分子为2
2
x y -，
由于22
()()x y x y x y +-=-，即将等式左边分式的分子乘以x y -，因而分母也要乘以
x y -，所以在？处应填上2()x y -．
（2）先观察分母，等式左边的分母为()()()a c a b b c ---，等式右边的分母为a c -，根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以()()a b b c --，因为
()()[()()]1b a c b a b b c --÷--=，所以在？处填上1．
4、 不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“－”号． （1）
2a b -；（2）45x y --；（3）3m n -；（4）23b
c
--．
【答案与解析】
解：（1）
22a a b b -=- （2）4455x x y y -=- （3）33m m n n =-- （4）2233b b
c c
-=-． 【总结升华】在分子、分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的值不变．一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面． 类型四、分式的约分、通分
5、（2015春•东台市月考）约分，通分： （1）； （2）；
（3）•
．
【思路点拨】
（1）把分子与分母进行约分即可；
（2）根据平方差公式和完全平方公式先把分子与分母进行因式分解，然后约分即可； （3）把分母进行因式分解，然后相乘，即可得出答案． 【答案与解析】 解：（1）
=﹣
；
（2）
= = ； （3）•
= •
=
． 【总结升华】此题考查了分式的约分，用到的知识点是平方差公式和完全平方公式，注意先把分母因式分解，再进行约分． 举一反三：
【403986 分式的概念和性质 例6（2）】 【变式】通分：（1）
4b ac ，22a b c ；（2）22x x +，211
x -． （3）232a b 与2a b ab c -；（4）12x +，244x x -，2
2
x -．
【答案】
解：（1）最简公分母为2
4ab c ，
2322444b b b b ac ab c ab c ==，2
22222244a a a a b c ab c ab c
==． （2）222(1)x x x x =++，211
1(1)(1)x x x =-+-，
最简公分母为2(1)(1)x x +-，
2(1)222(1)(1)2(1)(1)x x x x x
x x x x x --==++-+-．
21122
12(1)(1)2(1)(1)
x x x x x ⨯==-+-+-． （3）最简公分母是22
2a b c ．
2222333222bc bc a b a b bc a b c ==，22222()22222a b a b a a ab ab c ab c a a b c ---==． （4）最简公分母是(2)(2)x x +-， 21222(2)(2)4x x x x x x --==++--，22
4444x x
x x =--，222(2)242(2)(2)4x x x x x x ++==--+-．【巩固练习】
一.选择题
1．（2015春•东台市期中）下列各式：其中
分式共有（ ）
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
2．使分式
5
+x x
值为0的x 值是（ ） A ．0 B ．5 C ．－5
D ．x ≠－5
3. 下列判断错误．．
的是（ ） A ．当23x ≠
时，分式2
31
-+x x 有意义 B ．当a b ≠时，分式22
ab
a b
-有意义 C ．当21-=x 时，分式21
4x x
+值为0
D ．当x y ≠时，分式22
x y y x
--有意义
4．（2016·营口模拟）下列各式中，不论字母取何值时分式都有意义的是（ )
A ．
121x + B ．1
21
x - C ．213x x - D ．2
5321x x ++ 5．如果把分式y
x y
x ++2中的x 和y 都扩大10倍，那么分式的值（ ）
A ．扩大10倍
B ．缩小10倍
C ．是原来的
3
2 D ．不变
6．下列各式中，正确的是（ ）
A ．a m a
b m b +=+ B ．
0a b
a b +=+ C ．1111
ab b ac c +-=
--
D ．221
x y x y x y
-=-+
二.填空题
7．当x ＝______时，分式6
32-x x
无意义． 8.若分式
6
7x
--的值为正数，则x 满足______． 9．（1）112()
x x
x --=- （2）
.y x xy x 22353)(= 10．（1）2
2)(1y
x y x -=+ （2）⋅-=--24)
(21y y x 11.（2016秋·崆峒区期末）分式
21298y z x z x y
,,x xy z
-+-的最简公分母是_________. 12.（2015•朝阳区一模）一组按规律排列的式子：，
，
，
，
，…，其中
第7个式子是 ，第n 个式子是 （用含的n 式子表示，n 为正整数）．
三.解答题
13.当x 为何值时，下列分式有意义?
（1）1
2
x x +-；（2）1041x x -+；（3）211x x -+；（4）2211x x ---．
14．已知分式
,y a
y b
-+当y ＝－3时无意义，当y ＝2时分式的值为0， 求当y ＝－7时分式的值．
15．（2014•上城区二模）在三个整式x 2﹣1，x 2+2x+1，x 2+x 中，请你从中任意选择两个，将其中一个作为分子，另一个作为分母组成一个分式，并将这个分式进行化简，再从﹣
≤x≤的范围内选取合适的整数作为x 的值代入分式求值．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】A ；
【解析】解：（1﹣x ），
，
的分母中均不含有字母，因此不是分式，是
整式；
，
分母中含有字母，因此是分式．故选A.
2. 【答案】A ；
【解析】050x x =+≠且. 3. 【答案】B ；
【解析】a b ≠±，22
ab
a b -有意义.
4. 【答案】D ；
【解析】∵2
211x +>，∴不论字母取何值2
53
21
x x ++都有意义. 5. 【答案】D ； 【解析】
102010(2)2101010()x y x y x y
x y x y x y
+++==+++.
6. 【答案】D ；
【解析】利用分式的基本性质来判断. 二.填空题
7. 【答案】2；
【解析】由题意，360,2x x -==. 8. 【答案】7x >；
【解析】由题意70,7x x -<>∴. 9. 【答案】（1）2x -；（2）5y ；
10.【答案】（1）x y -；（2）22xy x y +--；
【解析】22
1(1)(2)22
244x x y xy x y y y y
--++--==---. 11.【答案】2
72xyz ；
【解析】分式
21298y z x z x y
,,x xy z
-+-的最简公分母是272xyz . 12.【答案】
，
． 【解析】解：∵=（﹣1）2•
， =（﹣1）3•， =（﹣1）4•，
…
∴第7个式子是，
第n 个式子为：． 故答案是：
，
．
三.解答题 13.【解析】 解：（1）由分母20x -≠，得2x ≠．∴ 当2x ≠时，原分式有意义．
（2）由分母410x +≠，得14x ≠-
．∴ 当1
4x ≠-时，原分式有意义． （3）∵ 不论x 取什么实数，都有2
10x +>．∴ x 取一切实数，原分式都有意义．
（4）∵ 20x ≥，∴ 211x +≥，∴ 2
(1)1x -+≤-即2
11x --≤-
∴ x 取一切实数，分式22
1
1
x x ---都有意义． 14.【解析】
解：由题意：30b -+=，解得3b =
2023a
-=+，解得2a = 所以分式为23y y -+，当y ＝－7时，
27299
37344
y y ----===+-+-. 15.【解析】
解：选择x 2﹣1 为分子，x 2+2x+1为分母组成分式，则
= =
，
当x=0时，上式=
=﹣1．
分式的乘除（基础）
【学习目标】
1.学会用类比的方法总结出分式的乘法、除法法则.
2.会分式的乘法、除法运算.
3.掌握乘方的意义，能根据乘方的法则，先乘方，再乘除进行分式运算. 【要点梳理】
【402545 分式的乘除运算 知识要点】 要点一、分式的乘除法
1.分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母.用字母表示为：
a c ac
b d bd
⋅=
，其中a b c d 、、、是整式，0bd ≠. 2.分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.用字母表示为：
a c a d ad
b d b
c bc
÷=⋅=
，其中a b c d 、、、是整式，0bcd ≠. 要点诠释：（1）分式的乘除法都能统一成乘法，然后约去公因式，化为最简分式或整式.
（2）分式与分式相乘，若分子和分母是多项式，则先分解因式，看能否约
分，然后再乘.
（3）整式与分式相乘，可以直接把整式（整式可以看作分母是1的代数式）
和分式的分子相乘作为分子，分母不变.当整式是多项式时，同样要先分解因式，便于约分.
（4）分式的乘除法计算结果，要通过约分，化为最简分式或整式.
要点二、分式的乘方
分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方，用字母表示为：
n
n n a a b b
⎛⎫
= ⎪⎝⎭（n 为正整数）. 要点诠释：（1）分式乘方时，一定要把分式加上括号.不要把n n n a a b b ⎛⎫= ⎪⎝⎭写成n
n a a b b ⎛⎫
= ⎪⎝⎭
（2）分式乘方时，要首先确定乘方结果的符号，负数的偶次方为正，负数的
奇次方为负.
（3）在一个算式中同时含有分式的乘方、乘法、除法时，应先算乘方，再算
乘除，有多项式时应先分解因式，再约分.
（4）分式乘方时，应把分子、分母分别看作一个整体.如
()2
2
2222
a b a b a b b b b ---⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭
. 【典型例题】 类型一、分式的乘法
1、计算：(1)
42
2449158a b x
x a b
；(2)22
2441
214
a a a a a a -+--+-． 【思路点拨】(1)中分子、分母都是单项式，直接用分式乘法法则计算，结果要通过约分化简；(2)中分子、分母都是多项式，要先把可分解因式的分子、分母分解因式，然后用乘法法则化简计算． 【答案与解析】
解：(1)
42
2449158a b x x a b 422449315810a b x b
x a b x
==
． (2)22
2
44121
4a a a a a a -+--+-2
2
(2)1
(1)(2)(2)
a a a a a --=-+-
22(2)(1)
(1)(2)(2)a a a a a --=
-+-222(1)(2)2
a a a a a a --==-++-． 【总结升华】分式的乘法运算的实质就是运用分式的基本性质把分式约分化简的过程，熟练之后也可先约分后运用乘法法则计算． 举一反三： 【变式】计算．
（1）
26283m x x
m ；（2）2
2
1
2
2x x x x
+-+ 【答案】
解：（1）原式22621283242m x mx x
x m mx ===；
（2）原式2211
2(2)2x x x x x x
+==-+-；
类型二、分式的除法
【402545 分式的乘除运算 例1（4）】
2、 计算：(1)222324a b a b
c cd
-÷；(2)2222242222x y x y x xy y x xy -+÷+++．
【思路点拨】(1)先运用法则将分式的除法转化为乘法，然后约分化简；(2)先运用分式的除法法则将分式的除法转化为乘法，同时将分子、分母分解因式，然后约分化简． 【答案与解析】
解：(1)222324a b a b c cd -÷22222244236a b cd a b cd c a b c a b ==--23d
c
=-． (2) 2222242222x y x y
x xy y x xy
-+÷+++
2
(2)(2)2()()2x y x y x x y x y x y
+-+=
++22(2)24x x y x xy
x y x y --==++．
【总结升华】分式的除法和实数的除法一样，均是转化为乘法来完成的．
举一反三：
【变式】（2015•宝鸡校级模拟）化简：．
【答案】 解：原式=
•
=．
类型三、分式的乘方
3、（2014秋•华龙区校级月考）下列计算正确的是（ ） A.
B.
C. D.
【思路点拨】把四个选项先利用分式的乘方法则，将分子分母分别乘方，然后利用积与幂的乘法法则，积的乘方的运算法则，积的乘方等于积中每一个因式分别乘方并把结果相乘，幂的乘方法则是底数不变，指数相乘，即可计算出结果，得到计算正确的选项．
【答案】C ． 【解析】解：A 、
，本选项错误；
B 、，本选项错误；
C 、，本选项正确；
D 、
，本选项错误．
所以计算结果正确的是C ．
【总结升华】此题考查了分式的乘方法则，考查了积的乘方及幂的乘方法则，完全平方公式的运用，是一道基础题．
类型四、分式的乘除法、乘方的混合运算
4、 计算：
（1）（2016春•淅川县期中）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷
×（
）3；
（2）2
2
2223
()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
．
【思路点拨】先算乘方，再算乘、除.
【答案与解析】
解：（1）（﹣2ab ﹣2c ﹣1）2÷
×（
）3
=﹣••
=﹣
．
（2）2
2
2223
()a b ab a ab b b a ⎛⎫-⎛⎫÷+ ⎪ ⎪
-⎝⎭⎝⎭
2222232()1()[()]()a b ab b a a b b a -=+-
2222
2332()()1()()a b a b a b b a a b a b +-=
+-
211()a a b a ab
==++． 【总结升华】（1）题中有除法和乘方运算，应先算乘方，要特别注意符号的处理．（2）本题是乘除混合运算，首先把除法运算转化为乘法运算，再用乘法运算法则计算． 举一反三：
【变式】计算：(1)33
2212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
⎝⎭；
(2)
2
22
2
()m n n m m n
m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭
． 【答案】
解： (1)3
3
2212b b a a ab ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-÷-÷ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭232
6
3382
633312212
b b b a a b a b a a a b
a b ⎛⎫⎛⎫=-÷-÷=
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭． (2)
2
22
2
()m n n m m n m n mn m --+⎛⎫÷ ⎪-⎝⎭
2
2222
()()
()()m n m n m n m m n
m n m n m n mn +---==-+． 【巩固练习】
一.选择题 1.计算
2
61053ab c
c b
的结果是( )
A ．
24a c B ．4a C ．4a c D ．1c
2. （2016•迁安市一模）化简：（a ﹣2）•
的结果是（ ）
A ．a ﹣2
B ．a+2
C ．
D ．
3．（2015•蜀山区一模）化简的结果是（ ）
A.
12
B.
1
a a + C.
D.
4．分式3
2)32(b a 的计算结果是（ ） A ．3632b a B ．3596b
a
C ．3598b a
D ．3
6
278b a
5．下列各式计算正确的是（ ）
A ．y
x y x =33
B ．326
m m
m =
C ．b a b a b a +=++2
2
D ．b a a b b a -=--2
3
)()(
6．22
222n
m m n m n ⋅÷-的结果是（ ）
A ．2n
m
- B ．32n m -
C ．4
m n
-
D ．－n
二.填空题
7.1a c b c
÷⨯_____； 2233y xy x -÷_____．
8．389()22x y
y x
⋅-=______；=+-÷-x y x x xy x 3332
2______． 9．（2015•泰安模拟）化简
的结果是 ．
10.如果两种灯泡的额定功率分别是21U P R =
，2
25U P R
=，那么第一只灯泡的额定功率是第二只灯泡额定功率的________倍.
11．33
22()a bc =____________；=-522)23(
z y x ____________． 12．222
2
2
2.2ab b a b a ab b a ab
+-=++-______． 三.解答题
13. （2016•黄石）先化简，再求值：÷•，其中a=2016.
14.阅读下列解题过程，然后回答后面问题 计算：2
111a b c d b c d
÷⨯
÷⨯÷⨯
解：2
111a b c d b c d
÷⨯
÷⨯÷⨯ ＝2a ÷1÷1÷1①
＝2
a ． ②
请判断上述解题过程是否正确？若不正确，请指出在①、②中，错在何处，并给出正确的解题过程．
15．小明在做一道化简求值题：222
22().,x xy y x y
xy x xy x
-+--÷他不小心把条件x 的值抄丢了，只抄了y ＝－5，你说他能算出这道题的正确结果吗？为什么？
【答案与解析】
一.选择题
1.【答案】C ； 【解析】 ∵ 2261061045353ab c ab c a
c b c b c
==，∴ 选C 项．
2.【答案】B ；
【解析】原式=（a ﹣2）•=a+2，故选B ．
3.【答案】B ； 【解析】解：原式=×
=
．故选B.
4.【答案】D ；
【答案】23663333
228()3327a a a b b b ==. 5.【答案】D ；
【解析】
33
22
()()()()a b a b a b b a a b --==---. 6.【答案】B ；
【解析】22222
2222223n n m n m m m m n n m m n n
-÷⋅=-⋅⋅=-.
二.填空题
7.【答案】2a
bc
；292x y -；
【解析】2111a a a
c b c b c c bc
÷⨯=⨯⨯=.22223933322y x x xy xy x y y -÷=-⨯=-. 8.【答案】218
x
-；－1；
【解析】
328918()22x y y x x
⋅-=-；22233()
3133()x xy x y x x y x x x x x y --+-÷=⨯=---. 9.【答案】
；
【解析】解：原式=•
•
=
．
10.【答案】5；
【解析】222122555U U U R
P P R R R U ÷=
÷=⨯=. 11.【答案】9
368a b c
；1010524332x y z -；
【解析】3399
323636228()a a a bc b c b c
==；25101052510510533243()2232x x x y z y z y z -=-=-.
12.【答案】b
a
；
【解析】()()()()()2222222.2b a b a b a b ab b a b b
a a
b b a ab a a b a
a b ++-+-=⋅=++--+.
三.解答题
13.【解析】 解：原式=
•
•
=（a ﹣1）•
=a+1
当a=2016时，原式=2017． 14.【解析】
解：第①步不正确，因为乘除运算为同级运算时，应从左到右依次计算.应为：
2
2
111111111a b c d a b c d b b c c d d ÷⨯÷⨯÷⨯=⨯⨯⨯⨯⨯⨯=2222a b c d
.
15.【解析】
解：222
22().x xy y x y
xy x xy x
-+--÷ ＝()()
2
2xy
x y
x x y x
x y ---⨯⨯- ＝5y -=
这道题的结果与x 的值无关，所以他能算出正确结果是5.
分式的加减（基础）
【学习目标】
1．能利用分式的基本性质通分． 2．会进行同分母分式的加减法． 3．会进行异分母分式的加减法． 【要点梳理】
【403995 分式的加减运算 知识讲解】 要点一、同分母分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 上述法则可用式子表为：
a b a b
c c c
±±=
. 要点诠释：（1）“把分子相加减”是把各分式的分子的整体相加减，即各个分子都应用
括号，当分子是单项式时，括号可以省略；当分子是多项式时，特别是
分子相减时，括号不能省，不然，容易导致符号上的错误.
（2）分式的加减法运算的结果必须化成最简分式或整式. 要点二、异分母分式的加减
异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减. 上述法则可用式子表为：
a c ad bc ad bc
b d bd bd bd
±±=±=
. 要点诠释：（1）异分母的分式相加减，先通分是关键.通分后，异分母的分式加减法变
成同分母分式的加减法. （2）异分母分式加减法的一般步骤：①通分，②进行同分母分式的加减运算，
③把结果化成最简分式.
【典型例题】
类型一、同分母分式的加减
【403995 分式的加减运算 例1（5）（6）】
1、计算：（1）22
222333a b a b a b
a b a b a b
+--+-； （2）222422x x x x x +-+--； （3）21
11x x x
-+
--； （4）222222222a ab b a b b a a b ++--- 【答案与解析】 解：（1）
22222333a b a b a b a b a b a b +--+-22
2222
333a b a b a b a a b a b ab ++--+===； （2）2222
24242222x x x x x x x x x x +-+-+=-----
()222224222x x x x x x -+--===--
（3）2121213111111x x x x x x x x x x ---+-+=-==-
------； （4）2222
2
222
2222222222a ab b a ab b a b b a a b a b a b a b
++=-+------ 2()()()a b a b
a b a b a b
--==+-+.
【总结升华】本例为同分母分式加减法的运算，计算时注意运算符号，结果一定要化简． 举一反三：
【变式】（2016春·广州校级月考）化简：222
11
22a a a a a a --+--
【答案】
解：原式=22211
22a a a a a a -----
=
()
()
12a a a a --
=
1
2
a a -- 类型二、异分母分式的加减
2、计算：
（1）21132a ab +；（2）2
312224x
x x x
+-+--；（3）211a a a ---． 【思路点拨】（1）题中的两个分母都是单项式，最简公分母为2
6a b ；（2）题是异分母分式
的加减，为了减少错误应先把分母按字母降幂排列，并且使最高次项系数为正，再将分母因
式分解；（3）题是分式21
a a -与(1)a --即(1)a -+的和，可将整式部分当成一个整体，且
分母为1，使运算简化． 【答案与解析】 解：（1）原式2222323666b a b a
a b a b a b
+=
+=
； （2）原式2
312224x x x x =-++--31222(2)(2)x x x x x =-++--+ 3(2)(2)24(2)4(2)(2)(2)(2)2
x x x x x x x x x --++-===-+-++；
（3）原式222222211(1)111111111
a a a a a a a a a a a a a a +----+=-=-===------． 【总结升华】（1）异分母分式的加减法关键是确定最简公分母；（2）整式和分式相加减时，
把整式看作分母是1的“分式”，按异分母分式的加减法的步骤进行运算． 举一反三： 【变式】计算：（1）2122
93
m m -
--；（2）112323x y x y ++-. 【答案】 解：（1）
2122
93m m -
--122(3)(3)(3)(3)(3)
m m m m m +=-+--+ 12262(3)2(3)(3)(3)(3)3
m m m m m m m ---===-+-+-+． （2）()()()()
112323232323232323x y x y
x y x y x y x y x y x y -++=++-+-+-
()()22
23234232349x y x y x
x y x y x y -++=
=+--.
类型三、分式的加减运算的应用
3、（白云区期末）设A 、B 两地的距离为s ，甲、乙两人同时从A 地步行到B 地，甲的速度为v ，乙用v 的速度行走了一半的距离，再用v 的速度走完另一半的距离，那么谁先到达B 地，说明理由．
【思路点拨】分别求出甲乙两人走完全程的时间，比较即可．
【答案与解析】
解：甲走完全程的时间为，
乙走完全程的时间为
+
=
+
=
25
24
•， ∵
25
24
•＞， ∴甲先到达B 地．
【总结升华】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
4、将一个分数的分子、分母同时加上一个正数，这个分数是变大了，还是变小了？请先举例发现其中的规律，再设法说明理由． 【答案与解析】
解：应选择不同特点的分数来试验探索．
1112122132+=>+:；5527544264+=<+:； 2224233253+--=-<-+:；882823323
+--=->-+:；… 我们发现：对于正的真分数，分子、分母都加相同的正数时分数变大；对于正的假分
数，分子、分母都加相同的正数时分数变小；对于负分数，结论与上两条恰好相反．
说明：（1）对于
b
a
（a ，b 均为正整数，且a b >），分子、分母同时加上正数m ，则变成b m
a m
++．因为
()()()()b m b a b m b a m a m a a a m a a m +++-=-+++()0()()am bm m a b a a m a a m --==>++，所以b m b a m a
+>+．①
（2）对于b
a
（a ，b 均为正数，
且a b <），分子、分母同时加上正数m ，则变成了b m a m ++，因为()0()b m b m a b a m a a a m +--=<++，所以b m b
a m a
+<+．② （3）对于负分数的情形，只要将①、②两式两边同乘－1即得结论．
【总结升华】通过特例发现问题，得出一般结论，并去证明，是我们常用研究、探索问题的手段．
【巩固练习】
一.选择题 1．（洪江市期末）下列计算正确的是（ ） A.+= B. +
=0
C.
﹣
=0
D.
+
=0 2．3333
x a a y x y y x
+--+++等于（ ）
A ．33x y x y -+
B ．x y -
C ．22x xy y -+
D ．22
x y +
3．b c a
a b c
-+的计算结果是（ ）
A ．222
b c a abc -+ B ．222b c ac a b abc
--
C ．222b c ac a b
abc
-+
D ．
b c a
abc
-+ 4.（2016·攀枝花）化简22
m n m n n m
+--的结果是（ ） A.m n + B. n m - C. m n - D. m n --
5．
31
3
---a a 等于（ ) A ．2261a a a
+-- B ．1242-++-a a a C ．1442-++-a a a D ．a a
-1
6．
21111
x x x x n n n +-+-+等于（ ） A ．11+n x
B ．11-n x
C ．21x
D ．1
二.填空题
7.分式22
22,
39a b
b c ac 的最简公分母是______． 8．分式,()()x y
a x y
b y x --的最简公分母是______．
9．计算a
a -+
-32
9122的结果是____________． 10.（2016·新县校级模拟）计算：2231
1
x x x -=+- ．
11.
2
11a a a
-+=+_________. 12．若ab ＝2，a b +＝3，则b
a 1
1+＝______．
三.解答题
13.（2015•保康县模拟）化简：
+
．
14．已知22
2222
2xy x y M N x y x y +==--、，用“＋”或“－”连结M 、N ，有三种不同的形式：
M ＋N 、M －N 、N －M ，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x ∶y ＝5∶2．
15．已知2
20x -=，求代数式22
2(1)11
x x x x -+-+的值．
【答案与解析】
一.选择题
1. 【答案】D ；
【解析】解：A 、+=，故错误；
B 、原式=+=，故错误；
C 、原式==﹣
，故错误；
D 、原式=
﹣
=0，故正确．
故选D ．
2. 【答案】A ；
【解析】333333
x a a y x y x y y x x y
+---+=+++. 3. 【答案】C ；
【解析】222222b c a b c ac a b b c ac a b
a b c abc abc abc abc
-+-+=-+=.
4. 【答案】A ；
【解析】()()2222
m n m n m n m n m n m n n m m n m n m n
+-+=-==+-----. 5. 【答案】A ；
【解析】2233332326
311111a a a a a a a a a a
+--++---=-==----. 6. 【答案】D ；
【解析】11311
123
11n n n n n n n x x x x x x x x
+-+++++--++==. 二.填空题
7. 【答案】22
9ab c ； 8. 【答案】()ab x y -；
9. 【答案】23
a -
+； 【解析】()()()()22
1223231222
939333a a a a a a a a -+--+===----+-+. 10.【答案】323
x x x
--；
【解析】()()()()()()()3
313323
111111x x x x x x x x x x x x x x x x -----==+-+-+--． 11. 【答案】1
1a +；
【解析】22211111a a a a a a a --+=-=+++1
1a +. 12.【答案】3
2
；
【解析】113
2
a b a b ab ++=
=.
三.解答题 13.【解析】 解：原式=
+
=+
=
．
14.【解析】
解：M －N ＝()()()
2
222222222222x y xy x y xy x y x y
x y x y x y x y x y x y -+----==-=----+-+.
因为x ∶y ＝5∶2，设52x k y k ==，
所以原式＝523
527
k k k k --=-+.
15. 【解析】
解：()2
2222221(1)(1)1111
x x x x x x x x x ---+=+-+-- 因为2
2x =
所以原式()222
22
21(1)2122
1111
x x x x x x x x ---++-=+==---. 分式方程的解法及应用（基础）
【学习目标】
1. 了解分式方程的概念和检验根的意义，会解可化为一元一次方程的分式方程．
2. 会列出分式方程解简单的应用问题． 【要点梳理】
【 分式方程的解法及应用 知识要点】 要点一、分式方程的概念
分母中含有未知数的方程叫分式方程. 要点诠释：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未
知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字
母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程.
（3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程.
要点二、分式方程的解法
解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程.转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母.在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根.因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根.
解分式方程的一般步骤：
（1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）；
（2）解这个整式方程，求出整式方程的解；
（3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式
方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. 要点三、解分式方程产生增根的原因
方程变形时，可能产生不适合原方程的根，这种根叫做原方程的增根.
产生增根的原因：去分母时，方程两边同乘的最简公分母是含有字母的式子，这个式子有可能为零，对于整式方程来说，求出的根成立，而对于原分式方程来说，分式无意义，所以这个根是原分式方程的增根.
要点诠释：（1）增根是在解分式方程的第一步“去分母”时产生的.根据方程的同解原
理，方程的两边都乘以（或除以）同一个不为0的数，所得方程是原方程的同解方程.如果方程的两边都乘以的数是0，那么所得方程与原方程不是同解方程，这时求得的根就是原方程的增根.
（2）解分式方程一定要检验根，这种检验与整式方程不同，不是检查解方
程过程中是否有错误，而是检验是否出现增根，它是在解方程的过程中没有错误的前提下进行的.
要点四、分式方程的应用
分式方程的应用主要就是列方程解应用题. 列分式方程解应用题按下列步骤进行：
（1）审题了解已知数与所求各量所表示的意义，弄清它们之间的数量关系； （2）设未知数；
（3）找出能够表示题中全部含义的相等关系，列出分式方程； （4）解这个分式方程；
（5）验根，检验是否是增根； （6）写出答案. 【典型例题】
类型一、判别分式方程
1、下列方程中，是分式方程的是（ ）．
A ．
3214312x x +--= B ．124
111
x x x x x -+-=
+-- C ．2
1305x x += D ．x a x a b
+=，（a ，b 为非零常数）
【答案】B ；
【解析】A 、C 两项中的方程尽管有分母，但分母都是常数；D 项中的方程尽管含有分母，
但分母中不含未知数，由定义知这三个方程都不是分式方程，只有B 项中的方程符合分式方程的定义．
【总结升华】要判断一个方程是否为分式方程，就看其有无分母，并且分母中是否含有未知数．
类型二、解分式方程
2、 解分式方程（1）10522112x x +=--；（2）2
251
03x x x x
-=+-． 【答案与解析】 解：（1）
105
22112x x
+=--， 将方程两边同乘(21)x -，得 10(5)2(21)x +-=-．
解方程，得74
x =． 检验：将74x =代入21x -，得5
2102
x -=≠． ∴ 7
4x =
是原方程的解． （2）2251
03x x x x
-=+-，
方程两边同乘以(3)(1)x x x +-，得5(1)(3)0x x --+=． 解这个方程，得2x =．
检验：把2x =代入最简公分母，得2×5×1＝10≠0． ∴ 原方程的解是2x =．
【总结升华】将分式方程化为整式方程时，乘最简公分母时应乘原分式方程的每一项，不要漏乘常数项．特别提醒：解分式方程时，一定要检验方程的根． 举一反三： 【变式】解方程：21
233x x x
-=---． 【答案】 解：
21
233x x x
-=---， 方程两边都乘3x -，得212(3)x x -=---， 解这个方程，得3x =，
检验：当3x =时，30x -=， ∴ 3x =是增根，
∴ 原方程无解．
类型三、分式方程的增根
3、（2015春•安岳县期中）若解关于x 的分式方程
会产生增根，求
m 的值． 【思路点拨】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．把增根代入化为整式方程的方程即可求出m 的值． 【答案与解析】
解：方程两边都乘（x+2）（x ﹣2），得
2（x+2）+mx=3（x ﹣2） ∵最简公分母为（x+2）（x ﹣2）， ∴原方程增根为x=±2，
∴把x=2代入整式方程，得m=﹣4． 把x=﹣2代入整式方程，得m=6． 综上，可知m=﹣4或6．
【总结升华】增根确定后可按如下步骤进行：①化分式方程为整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 举一反三： 【变式】如果方程
11322x x x
-+=--有增根，那么增根是________．。